Ejercicios sobre determinantes y matriz inversa

ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES.
Consideraremos
como una matriz cuadrada de orden n.
“Determinante es el valor numérico único asociado a toda matriz cuadrada”.
Propiedades de los determinantes
Las propiedades más importantes de los determinantes son:
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta. Es
decir:
2. El determinante de la matriz nula es igual a cero. Es decir O n  0
3. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, el valor del determinante es
igual a cero.
4. Si en un determinante existen multiplicidad de filas con filas o de columnas con columnas el
valor del determinante es igual a cero.
5. Si en un determinante existen dos filas iguales o dos columnas iguales, el valor del determinante
es igual a cero.
6. Para que un escalar  multiplique a un determinante, basta con que multiplique a una sola fila o
una sola columna.
7. Si todas las filas de una matriz de orden
determinante de la matriz queda multiplicado por
están multiplicadas por un mismo escalar  el
 n
Es decir:  An   n An
8. Si An es una matriz diagonal o una matriz triangular superior o triangular inferior el determinante
se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal.
Así: A n   a11  a22   a33  .... ann 
9. a) Si en una matriz cuadrada se intercambia una fila con otra fila, el valor del determinante
cambia de signo por cada intercambio.
b) Si en una matriz cuadrada se intercambia una columna con otra columna el valor del
determinante cambia de signo por cada intercambio.
10. a) Si a los elementos de una fila de una matriz cuadrada se les suma una n veces los
elementos de otra fila el valor de su determinante no varia. Para indicar la operación
simbólicamente escribimos: Fi  n Fr  Fi
b) Si a los elementos de una columna de una matriz cuadrada se les suma una n veces los
elementos de otra columna el valor de su determinante no varia. Para indicar la operación
simbólicamente escribimos: C j  n Cw  C j
11. El determinante de la matriz identidad es igual a uno. Es decir: In  1
12. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los
determinantes de ambas matrices:
1
13. Si en un determinante una fila o columna está formada por k sumandos, entonces el
determinante puede expresarse como la suma de “k” determinantes, en donde el primero está
formado por los primeros sumandos y el resto de filas o columnas; el segundo está formado por los
segundos sumandos y el resto de filas o columnas y así sucesivamente hasta el k-ésimo que está
formado por los k-ésimos sumandos y el resto de filas o columnas. Ejemplo:
a11  b11  c11 a12 a1n a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13
a21  b21  c21 a 22 a2n  a21 a22 a23  b21 b22 b23  c21 c22 c23
a31  b31  c31 a32 a33 a31 a32 a33 b31 b32 b33 c31 c32 c33
14. Sean las matrices A m x n y B m x n , con m  n entonces el valor del determinante del producto
de A por B es igual a cero. Es decir: Si A m x n y B m x n con m  n entonces AB  0
15. Si A es una matriz anti simétrica y de orden impar, entonces el valor de sus determinante es
igual a cero. Es decir: es decir Si Ant   An con n impar entonces A  0
EJERCICIOS SOBRE DETERMINANTES. MATRIZ INVERSA POR EL
METODO DE LA ADJUNTA Y MATRIZ INVERSA POR GAUSS.
Ej 1) Haciendo uso de las propiedades de determinantes y el método de cofactores, encuentre
el valor del siguiente determinante:
2 4
1 3
A
0 1
7 5
4
1
8
9
8
7
11
11
Cambiemos la fila 1 por la fila 2, simbólicamente lo denotamos como: F1  F2
2 4
1 3
A
0 1
7 5
4
1
8
9
8
1 3
7
2 4

11
0 1
11
7 5
1
4
8
9
7
8
11
11
Colocamos un menos afuera del determinante para compensar el cambio de fila 1 por la fila 2, ya
que al realizar el intercambio de fila, cambia de signo el valor del determinante.
F2  2F1  F2
1 3
2 4
A 
0 1
7 5
1
4
8
9
7
1
3
1
7
1 3
8
2  2(1) 4  2(3) 4  2(1) 8  2(7)
0 10


11
0
1
8
11
0 1
11
7
5
9
11
7 5
1
2
8
9
7
22
11
11
F4  7F1  F4
2
1 3
0 10
A 
0 1
7 5
1
2
8
9
7
1
3
1
7
1 3 1
22
0
10
2
22
0 10 2


11
0
1
8
11
0 1 8
11
7  7(1) 5  7(3) 9  7(1) 11  7(7)
0 26 2
7
22
11
60
Utilizando el método de cofactores, según columna 1:
1 3 1
0 10 2
A 
0 1 8
0 26 2
7
10 2 22
22
  1 8 11
11
26 2 60
88
10 2 22
1
F3  F3 : A  2 1 8 11
2
13 1 30
Note que colocamos un dos afuera del determinante para compensar el producto de la fila 3 por el
1
escalar 2, ya que al multiplicar el determinante por el escalar
el valor del determinante quedará
2
1
multiplicado por el escalar ..
2
5 1 11
1
F1  F1 A  2x2 1 8 11
2
13 1 30
1
y note que para compensar tal operación debemos de
2
1
colocar otros 2 afuera del determinante, ya que al multiplicar el determinante por el escalar
el
2
1
valor del determinante quedará multiplicado por .
2
Hemos multiplicado la fila 1 por el escalar
F2  F2
5 1 11
5 1 11
A  (1)(1)(2x2) 1 8 11  4 1 8 11
13 1 30
13 1 30
Note que hemos multiplicado la fila 1 por el escalar -1 y note que para compensar tal operación
debemos de colocar un (-1) afuera del determinante, ya que al multiplicar el determinante por el
escalar -1 el valor del determinante quedará multiplicado por-1, es decir que si no realizamos tal
compensación, el valor dele determinante cambiará de signo..
Para calcular el determinante por el método de cofactores es conveniente hacer dos ceros en la
misma fila o columna, para ellos podemos hacer F2  8F1  F2 , por lo que tenemos:
3
5
1
11
5 1 11
A  4 1  8(5) 8  8(1) 11  8(11)  41 0 77
13
1
30
13 1 30
Ahora haremos
F3  F1  F3
:
5 1 11
5 1 11
A  4 41 0 77  4 41 0 77
13 1 30
8 0 19
Evaluando el determinante utilizando el método de cofactores, según columna 2 tendremos:
5 1 11
41 77
A  4 41 0 77  4(1)
 4[(41x19)  (77 x8)]  652
8 19
8 0 19
Ej 2) Haciendo uso de las propiedades de determinantes y el método de Chio, encuentre el
valor del siguiente determinante:
2 4
1 3
A
0 1
7 5
4
1
8
9
8
7
11
11
Utilizando propiedades, cambiamos la fila 1 por la fila 2:
1
3 1 7
2 4 4 8
A 
0  1 8 11
 7 5 9 11
1
3 1 7
1 2 2 4
: A  2
0  1 8 11
 7 5 9 11
Note que como hemos multiplicado la fila 2 por , el valor del determinante quedará dividido entre
2, or lo que para no alterar el valor del determinante, multiplicamos afuera por 2.
Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemento pivote, el elemento a11:
2  (3) 2  1 4  (7)
5 1 11
5 1 11
  111 
A  2  42   1  0
8
11
 2 (1)  1 8 11  2  1 8 11
 1
 5  (21) 9  7 11  (49)
26 2 60
26 2 60
4
Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemento pivote, al elemento pivote a12= 2:
.
3) Demuestre la propiedad
Partimos de
Por definición de matriz inversa
Aplicando determinantes a ambos miembros de la ecuación:
Por propiedades de determinantes:
Despejando
tenemos:
4) Utilizando el método de la adjunta, calcule la matriz inversa de la matriz:
3
5
E
4

5
1
5
2
3
2
4
3
6
4
5 
2

5
a) Calculemos el valor del determinante, utilizando el método de Chio:
3 1 2 4
5 5 4 5
E
4 2 3 2
5 3 6 5
Cambiemos la columna 1 por la columna 2:
1
5
E 
2
3
3
5
4
5
2 4
4 5
3 2
6 5
Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemento pivote, el elemento a11:
Multipliquemos por (-1) la fila 1, la fila 2 y la fila 3, es decir
5
Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemento pivote, el elemento a22:
b) Calculemos los 16 cofactores de la matriz E:
E11 
5 4 5
 14
2 3 2
3 6 5
E14  
5 5 4
 (22)  22
4 2 3
5 3 6
E23  
3 1 4
 10
4 2 2
5 3 5
E34  
3 1 2
 24 E41  
5 5 4
5 3 6
E43  
3 1 4
5 5 5
4 2 2
5 4 5
 20 E13 
4 3 2
5 6 5
E12  
E21  
1 2 4
 7
2 3 2
3 6 5
3 1 2
E24  4 2 3  4
5 3 6
1 2 4
 21
5 4 5
2 3 2
5 5 5
 20
4 2 2
5 3 5
E22 
3 2 4
 25
4 3 2
5 6 5
E31 
1 2 4
 42
5 4 5
3 6 5
E42 
3 2 4
5 4 5
4 3 2
 5
 (30)  30
3 1 2
E44  5 5 4  2
4 2 3
c)
Escribamos la matriz de cofactores de la matriz E:
6
 14  20  20 22 
 7
25  10 4 

Cof (E) 
 42  10  10  24


30
2 
 21  5
transpongamos la matriz de cofactores de la matriz E:
 7 42  21
 14
 20 10  10  5 

Cof (E)t  
 20  10  10 30 


4  24
2
 22
Luego la matriz inversa de la matriz E será:
Cof (E)t
 7 42
21  1
 14
  
 70
70 70
70
5
  20 25  10  5    2

 
70
70
70    7
 70
  20  10  10 30    2
 70
70
70
70   7
 22
4
 24
2   11

 
70
70
70   35
 70
1 3
3
 
10
5
10
5
1 1 

14
7
14  
1 1
3 
7
7
7 
2  12
1 

35 35
35 
5) Utilizando el método de Gauss, con pivote nulificador, calcule la matriz inversa de la
3 1 2 4 
5 5 4 5 

matriz: E  
4 2 3 2 


5 3 6 5
7