5. FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Campo magnético creado por una carga. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos. Ley de Gauss para el magnetismo. Ley de Ampere Materiales magnéticos 5.1 Campo magnético creado por una carga y un elemento de corriente eléctrica: Ley de Biot y Savart. Campo magnético creado por una carga µ0 = 4π × 10−7 Tm / A = 4π × 10−7 N / A2 µ0 qv × r B= 4π r 3 v q>0 µ0 Permeabilidad en el vacío Expresiones similares útiles para el B creado por … µ0 dqv × r dq → dB = 4π r 3 d l × dq r µ dqv × r µ0 dt = Idl → dB = 0 3 4π r 4π r3 r µ0ε 0 = 1 / c µ0 Idl × r dB = 4π r 3 Ley de Biot y Savart Efecto magnético mutuo de dos cargas con v paralelas y perpendiculares a B. B2 q1 > 0 v1 F21 F12 = q2 v2 × B1 F21 = q1v1 × B2 F12 B1 v1 v2 q2 > 0 q1 > 0 F12 = q2 v2 × B1 F21 = 0 F12 B1 v2 q2 > 0 En el instante siguiente las direcciones han cambiado y el problema se complica. Entonces ¿para qué puede ser útil de forma inmediata? Corrientes a lo largo de conductores. Campo magnético creado por un hilo: se aplica la ley de Biot y Savart a cada tramo del hilo Por simetría cada elemento dl del hilo contribuye al campo en un punto P que dista R del hilo con: r dl P ϕ θ R I dB x µ 0 Idl × r dB = 4π r 3 x = R tan θ cosθ = R r µ0 Idl sin ϕ µ0 Idx sin ϕ = 4π r2 4π r2 Los distintos elementos del hilo contribuyen en mayor o menor medida pero siempre en la misma dirección (ver abajo), así sólo hay que integrar el módulo: B = ∫ dB = dθ → dx = R cos 2 θ 1 cos 2 θ → 2 = r R2 ⇒ dB = µ0 I dx µ0 I dx sin cosθ ϕ = 4π ∫ r 2 4π ∫ r 2 π /2 µI µI µ0 I cos 2 θ R = 0 ∫ cosθdθ = 0 cos d θ θ =− 4πR −π / 2 2πR 4π ∫ R 2 cos 2 θ LAS LINEAS DE CAMPO MAGNÉTICO SON CERRADAS, NO HAY FUENTES NI SUMIDEROS COMO EN EL CAMPO ELÉCTRICO Resultado relativista encontrado al principio de este tema: Iε 0 µ0 Iµ 0 = = B= 2 2πε 0 Rc 2πε 0 R 2πR I Campo magnético creado por una espira circular (dipolo magnético) En el centro de la espira: por simetría cada elemento dl de la espira contribuye con: dl µ 0 Idl × R µ 0 IdlR = dB = ux 4π R 3 4π R 3 z R R z θ I↓ ↑I x y µ0 I µ0 I µ0 I µ0 IA µ0 µ dl R 2 = = = = π 4π R 2 ∫ 4π R 2 2 R 2πR 3 2πR 3 B = ( Bx ,0,0) En el eje de la espira: por simetría cada elemento dl de la espira contribuye con un campo cuya componente “y” se cancela con la misma componente del elemento diametral opuesto de la espira. Por tanto sólo contribuyen la componentes “x”. Como en el caso anterior basta integrar el módulo: I↓ ↑I dl B = Bx = ∫ dB = x µ0 Idl 4π R 2 Como todas las contribuciones son iguales en módulo y dirección, OX, basta integrar el módulo: y dB ⇒ dBx = r dB y µ 0 Idl × r µ 0 Idl = dB = u 4π r 3 4π r 2 µ I B = ∫ dBx = 0 2 cosθ ∫ dl 4π r dB θ dBx LAS LINEAS DE CAMPO MAGNÉTICO SON CERRADAS x µ0 I R 2πR 4π r 2 r = = µ0 IR 2 2r 3 → x→∞ = ⇒ dBx = dB cosθ = SUR µ0 Idl cosθ 4π r 2 NORTE µ0 IR 2 2( R 2 + x 2 )3 / 2 µ0 IR 2 2x3 = µ0 2 µ 4πx 3 Fuera del eje es algo más complicado, B ya no tiene dirección OX B creado en el centro de la “espira” (dipolo magnético) cuya corriente es la de una única carga v z µ0 qv × r µ0 qvR B= B → = 4π r 3 4π R 3 R y ⇒B= q B x µ0 1 q L 3 4π R m Bespira _ usual = µq , L µ0 1 2µ 4π R 3 L = − R × mv L = Rmv ← q ⇒ µq = L 2m Momento magnético asociado a una carga que sigue una trayectoria circular cerrada Caso del electrón: momento magnético orbital y momento magnético espín (q=-e) e ⇒ µe = − L 2me L S e µS µL e µs = − g s S 2me g s ≈ 2.0024 p ≡ qr Dipolo eléctrico E p = − pE M = p×E + µ ≡ NIA Dipolo magnético E B = − µ p M = µ ×B µ p E − Equilibrio del dipolo; campo externo uniforme y campo creado por el dipolo B Campo magnético creado por una bobina infinita de radio R y n espiras por unidad de longitud Cada elemento dx de la espira genera un campo dB en un punto P del eje de la espira cuya dirección es la mostrada en la figura y el módulo: 2 R P x dx B = Bx = B I ↓ I × n × dx dB = µ0 IR 2( R 2 + x 2 )3 / 2 ↓ µ0 IndxR 2 2( R 2 + x 2 )3 / 2 Campo creado por UNA espira en un punto x de su propio eje Campo creado por las espiras localizadas en dx en un punto x de su propio eje Todos los elementos generan un campo con la misma dirección, basta entonces integrar el módulo: B = Bx = ∫ dBx = µ0 InR 2 2 +∞ x µ0 InR 2 dx = ∫ ( R 2 + x 2 )3 / 2 2 R2 R2 + x 2 −∞ +∞ = −∞ µ0 In 2 2 = µ0 In Fuera de la bobina: B=0. Las líneas de campo se cierran en el infinito. Dentro de la bobina el campo es uniforme (lo demostraremos más adelante). La regla de la mano derecha da la dirección de B. Detalles de campos creados por bobinas finitas: S S N N 5.2 Fuerza magnética entre dos conductores paralelos. F12 L1 B R B I2 La corriente I1 (extendida por el hilo infinito) genera un campo magnético B1 que ve la corriente I2 produciendo una fuerza F12 sobre una longitud L2 de ella que sabemos es: F12 = I 2 L2 × B1 I1 Por la disposición de las corrientes la fuerza es atractiva entre las corrientes y de módulo: F12 = I 2 L2 B1 Análogamente: F21 = I1L1 × B2 F21 = I1L1B2 El campo creado por cada hilo es: ⇒ F12 = I 2 L2 µ0 I1 2πR Bi = µ0 I i 2πR F21 = I1L1 µ0 I 2 2πR Que por unidad de longitud es: ⇒ f12 = µ0 I1I 2 = f 21 2πR 5.3 Ley de Gauss para el magnetismo. Ley de Gauss: El flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo Φ = ∫ EdA = Q / ε 0 Φ m = ∫ BdA = 0 5.4 Ley de Ampere Ley de Ampere: La integral del campo magnético a lo largo de un camino cerrado es proporcional a la corriente neta que lo encierra: ∫ Bdl = µ0 ∑ I i C Se considera I positiva si sigue la regla de la mano derecha, en caso contrario es negativa: Ejemplo de cómo se cumple la ley de ampere con el campo creado por una corriente cuyo resultado ya conocemos: Camino a: a µ0 I µ0 I B d l Bdl dl = = = ∫ ∫ ∫ 2πr 2πr ∫ dl = µ0 I b c I Camino b: µ0 ( − I ) µ0 I B d l = − Bdl = − dl = dl = µ0 I ∫ ∫ ∫ 2πr ∫ 2πr Camino c: (en los tramos rectos B ⊥ dl) ∫ Bdl = ... = µ0 I Ejemplo, con el mismo sistema, de cómo usar la ley de ampere para obtener el campo magnético (compare la simplicidad del método con el cálculo directo que hice más arriba). Por simetría B en módulo debe ser el mismo en todos los puntos que estén a la misma distancia del hilo; por otra parte su dirección y sentido lo determina la ley de Biot y Savart tal como indica la figura; queda entonces buscar el módulo que lo hacemos con la ley de Ampere: Tomamos el camino cerrado más simple, en el que B (módulo) sea I siempre el mismo, es decir el camino a del ejemplo anterior: B ∫ B dl = µ 0 ∑ I i r C R µ0 ∑ I i = µ0 I ∫ Bdl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B 2πr µ0 I B= 2πr Volvemos a encontrar lo que sabíamos. Este resultado es independiente de lo grueso que sea el hilo siempre que r sea mayor que el radio del hilo. ¿Qué pasa dentro del hilo? La ley de Ampere nos da la solución fácilmente. Supongamos que a través del hilo circula una densidad de corriente j uniforme, es decir j=I/A (A=πR2 sección del hilo). R Volvemos ha proceder como antes, la única diferencia es que la corriente encerrada depende del radio r: r B ↑I µ0 I 2πR B= µ0 µ µI I ( r ) = 0 jπr 2 = 0 2 r 2πr 2πr 2πR B j= ~r ~ 1/ r r R I (r) I = πr 2 πR 2 Otro ejemplo: Campo magnético creado por una bobina infinita de radio R y n espiras por unidad de longitud ∫ B dl = µ 0 ∑ I i C d c a b Por simetría, con B→0 lejos de la bobina µ0 ∑ I i = 0 a ∫ Bdl = ∫ Bdl = 0, c b d d ∫ Bdl + ∫ Bdl = (− B(a) + B(c))h = 0 b a c ⇒ B fuera = constante ¡no puede ser salvo que la constante sea CERO! ⇒ B fuera ≡ 0 µ0 ∑ I i = µ0 Inh b c d a ∫ Bdl = ∫ Bdl + ∫ Bdl + ∫ Bdl + ∫ Bdl c a a b c ∫ Bdl + ∫ Bdl = 0, d ∫ Bdl = 0 db b d c a ∫ Bdl = Bh ∫ Bdl = Bh B = µ0 In ¡UNIFORME! 5.5 Materiales magnéticos La materiales no conductores en presencia de un campo eléctrico se polariza: las cargas de distinto signo de las moléculas son atraídas, en sentido contrario generando dipolos eléctricos y/o orientándolos en el campo eléctrico. Este efecto modifica el campo final resultante en estos materiales. La constante dieléctrica ε (o χ o κ) caracteriza este fenómeno. En cierta forma algo similar ocurre en con el campo magnético, este magnetiza a los materiales y el resultado es un campo magnético final distinto. Sin embargo la magnetización es un fenómeno más complejo que la polarización a causa de distintos factores: la existencia de un momento magnético intrínseco de los electrones, el momento magnético de los átomos originado por las órbitas de sus electrones y las posibles magnéticas interacciones magnéticas entre electrones. El resultado final depende del tipo de materiales dando lugar a un campo magnético final más débil o más fuerte que el impuesto, a favor o en contra. Incluso sin un campo magnético hay materiales ya magnetizados. L S µS e µL Descripción del magnetismo con el vector H P = np P polarización por unidad de volumen p polarización molecular inducida n densidad de moléculas P = ε 0 χ E E, χ E > 0 E = E0 − P / ε 0 = D / ε 0 − P / ε 0 D = ε 0 (1 + χ E ) E = εE = ε 0κE M = nm M momento magnético por unidad de volumen m momento magnético molecular n densidad de moléculas ¿ χm ? M = χmH 1 H= B+M B = B0 + χ m B0 µ0 B = µ0 (1 + χ m ) H = µH = µ0κ m H χm >0: Paramagnetismo χm<0: diamagnetismo. → χE>0: dieléctricos Ferromagnetismo M≠0, H=0 Variantes: Antiferromagnetismo Ferrimagnetismo Campo B generado por una bobina con corriente en el vacío χm = 0 E0 E= 1 + χE Lo mismo pero con núcleos de diferentes materiales L e µL B = B0 + χ m B0 Puramente Diamagnético S µS Paramagnético S µS Ferromagnético Las figuras muestran sólo el comportamiento cualitativo materiales magnéticos χm < 0 χm > 0 χ m >>> 0 ¡B ≠ 0 ! ¿Existen monopolos magnéticos? S S N N S N N S N S N S N S