NGJ/v06 3.4 Solución de sistemas de ecuaciones lineales 57

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
3.4 Solución de sistemas de ecuaciones lineales
•
a,11 x + a1, 2 y = b1
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a2,1 x + a2, 2 y = b2
se resuelve por tres distintos métodos:
• gráfico
• suma y resta
• sustitución
•
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
a,11 x1 + a1, 2 x2 + a1,3 x3 = b1
a2,1 x1 + a2, 2 x2 + a2,3 x3 = b2
a3,1 x1 + a3, 2 x2 + a3,3 x3 = b3
se resuelve por tres métodos distintos:
• Suma y resta
• Sustitución
• Cramer
Método de Cramer
a,11 a1, 2 a1,3
D = a2,1 a2, 2 a2,3
a3,1 a3, 2 a3,3
NGJ/v06
x1 =
b1 a1, 2 a1,3
a,11 b1 a1,3
a,11 a1, 2 b1
b2, a2, 2 a2,3
a2,1 b2 a2,3
a2,1 a2, 2 b2
b3 a3, 2 a3,3
D
x2 =
a3,1 b3 a3,3
D
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
x3 =
a3,1 a3, 2 b3
D
57
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
Método Gauss simple
Ejemplo:
R1 : 2 x + 3 y + z = 1
R2 : 6 x − 2 y − z = −14
R3 : 3x + 2 y − z = 1
P=2
P=1
(A) − 11y − 4 z = −17
R1 :
2
1x + 3 y + 1 z = 1
2
2
2
(B) − 5 y − 5 z = − 1
2
2
2
R1 (−6): − 6 x − 9 y − 3z = −3
2
6 x − 2 y − z = −14
R2 :
(A) / -11 y + 4 z = 17
11
11
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
A
− 2 y − 4 z = −17
( (A) / -11 ) (5/2)
(B)
R1
2
R3 :
(−3) : − 3 x − 9 y − 3 z = − 3
2
2
2
−z= 1
3x + 2 y
5 y + 20 z = 85
2
22
22
−5 y−5 z =−1
2
2
2
(R3)
− 35
22
z = 74
22
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−5 y−5 z =−1
2
2
2
B
(R2) : − 11y − 4(− 74
P=3
(R1) 2 x + 3 y + z = 1
(R2) − 11 y − 4 z = −17
(R3) − 35 z = 74
22
22
(R3) : z =
− 74 22
•
22 35
z = − 74
NGJ/v06
35
⇒
) = −17
35
4(74)
− 17 −
35
y=
− 11
− 891
y=
− 385
⎛ 891 ⎞ 74
(R1) 2 x + 3⎜
=1
⎟−
⎝ 385 ⎠ 35
1474
x=−
770
x = −1.914285714
y = 2.314285714
z = −2.114285714
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
58
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
En forma general:
(1) a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
(2) a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
(3) a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
⎡a11a12 a13b1 ⎤
A = ⎢⎢a21a22 a23b2 ⎥⎥
⎢⎣a31a32 a33b3 ⎥⎦
P1 = 1
si a11 ≠ 0
'
a22
= a22 − (a12 / a11 )(a21 )
'
a23
= a23 − ( a13 / a11 )(a21 )
b2' = b2 − (b1 / a11 )(a 21 )
'
a32
= a32 − (a1, 2 / a11 )(a31 )
'
a 33
= a33 − (a13 / a11 )(a 31 )
b3' = b3 − (b1 / a11 )( a 31 )
a13 b1 ⎤
'
a23
b2' ⎥⎥
'
a33
b3' ⎥⎦
⎡a11 a12
⎢ 0 a'
22
⎢
'
⎢⎣ 0 a32
(
Sustitución regresiva:
)
''
x3 = b3'' / a33
a3´´,3 = a3´ ,3 − a2´ ,3 / a2´ , 2 a3´ , 2
(
)
b3´´ = b3´ − b2´ / a 2´ , 2 a3´ , 2
⎡a11 a12
⎢ 0 a'
22
⎢
⎢⎣ 0
0
NGJ/v06
a13 b1 ⎤
'
a23
b2' ⎥⎥
'
a33
b3' ⎥⎦
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
x2 =
'
b2' − a 23
x3
'
a 22
x1 =
b1 − a13 x3 − a12 x 2
a11
59
Métodos numéricos y álgebra lineal
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Sistemas de ecuaciones lineales
Eliminación de Gauss con pivote
Seleccionar como pivote al coeficiente de mayor valor absoluto y hacer lo mismo
10 x1 + x2 − 5 x3 = 1
− 20 x1 + 3x2 + 20 x3 = 2
5 x1 + 3x2 + 5 x3 = 6
Eliminación de Jordan
Eliminación donde escoger pivote como Gauss ……
4 x1 − 9 x2 + 2 x3 = 5
2 x1 − 4 x2 + 6 x3 = 3
⇒
x1 − x2 + 3 x3 = 4
⎡4 − 9 2 5⎤
⎢ 2 − 4 6 3⎥
⎥
⎢
⎢⎣1 − 1 3 4⎥⎦
P = 1 : hacer “0’s” columna 1
P =2
a21 = 2 − (4 / 4)(2) = 0
2
5 ⎤
⎡4 − 9
⎢0 5 / 4 5 / 2 11 / 4⎥
⎥
⎢
⎢⎣0 1 / 2 5
1 / 2 ⎥⎦
a22 = −4 − (−9 / 4)(2) = 1 / 2
a23 = 6 − (2 / 4)(2) = 5
a24 = 3 − (5 / 4)(2) = 1 / 2
a31 = 1 − (4 / 4)(1) = 0
a32 = −1 − (−9 / 4)(1) = 5 / 4
a33 = 3 − (2 / 4)(1) = 5 / 2
a34 = 4 − (5 / 4)(1) = 11 / 4
2
5 ⎤
⎡4 − 9
⎢0 1 / 2
5
1 / 2 ⎥⎥
⎢
⎢⎣0 5 / 4 5 / 2 11 / 4⎥⎦
p – p2 , p3
Hacer “0” columna 2
(5 / 4)
(−9) = 0
5/ 4
5/ 2
= 2−
(−9) = 20
5/ 4
11 / 4
= 5−
(−9) = 124 / 5
5/ 4
5/ 4
= 1/ 2 −
(1 / 2) = 0
5/ 4
5/ 2
= 5−
(1 / 2) = 4
5/ 4
11 / 4
= 1/ 2 −
(1 / 2) = −6 / 10
5/ 4
a12 = −9 −
a13
a14
a32
a33
a34
NGJ/v06
1/2 >5/2
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
60
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
P=3
20 124 / 5 ⎤
⎡4 0
⎢0 5 / 4 5 / 2 11 / 4 ⎥
⎥
⎢
⎢⎣0 0
4 − 6 / 10⎥⎦
a23 = 5 / 2 − (4 / 4)(5 / 2) = 0
a24 = 1 / 4 −
(−6 / 10)
(5 / 2) = 25 / 8
4
⎡4 0 0 139 / 5 ⎤
⎢0 5 / 4 0 25 / 8 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 4 − 6 / 10⎥⎦
x1 = 6.95
x2 = 2.5
x3 = −0.15
Seudo código
ENTRADA: Matriz a, n
p=1
MIENTRAS p <= n HACER
SI p < n ENTONCES
Verificar pivote columna-p
Acomodar matriz
FIN SI
r=1
MIENTRAS r <= n HACER
SI r ≠ p ENTONCES
ar , p = 0
PARA k = P + 1 HASTA n + 1 1++ HACER
a p,k
a p,r
ar , k = ar , k −
a p,r
FIN PARA k
FIN SI
r=r+1
FIN MIENTRAS r
p=p+1
FIN mientras p
NGJ/v06
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
61
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
Actividades colaborativas
Hoja de trabajo
Hoja de trabajo de Solución de sistemas de ecuaciones lineales
En equipo de dos personas, resuelve la siguiente hoja de trabajo en estas misma hojas
Matrícula ________ Nombre ___________________________
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
− 12 x1 + x2 − x3 = −20
4 x1 + x2 − x3 = −2
a) − 2 x1 − 4 x2 + 2 x3 = 10
b) 5 x1 + x2 + 2 x3 = 4
x1 + 2 x2 + 2 x3 = 25
6 x1 + x2 + x3 = 6
resolverlos con:
a. Eliminación de Gauss simple
b. Eliminación de Gauss con pivote parcial
c. Gaus-Jordan simple
d. Gaus-Jordan con pivoteo parcial
e. Cramer
NGJ/v06
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
62
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
Solución de Hoja de Solución de sistemas de ecuaciones lineales
1) Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
− 12 x1 + x2 − x3 = −20
4 x1 + x2 − x3 = −2
a) − 2 x1 − 4 x2 + 2 x3 = 10
b) 5 x1 + x2 + 2 x3 = 4
x1 + 2 x2 + 2 x3 = 25
6 x1 + x2 + x3 = 6
x =1
x=3
y=2
y = −13
z =1
z = 10
resolverlos con:
a. Eliminación de Gauss simple
b. Eliminación de Gauss con pivote parcial
c. Gaus-Jordan simple
d. Gaus-Jordan con pivoteo parcial
e. Cramer
NGJ/v06
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
63
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
Tarea de Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Individualmente, resuelve la siguiente hoja de trabajo en estas misma hojas
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Programa un algoritmo (en EXCEL, JAVA o calculadora) que resuelva un
sistema de 4, 5 y 6 ecuaciones lineales para los métodos de:
a. Gauss
b. Cramer
2) Prueba cada algoritmo con la matriz:
⎡ 3.06187 0.00000 3.3750 − 3.0000 0.00000
⎢ 0.00000 3.01687 3.3750 0.0000 − 0.01687
⎢
⎢ 3.37500 3.37500 900.00 0.0000 − 3.37500
⎢
⎢− 3.00000 0.00000 0.0000 3.0400 0.00000
⎢ 0.00000 − 0.01687 − 3.3750 0.0000 4.01687
⎢
⎣⎢ 0.00000 3.37500 450.00 6.0000 − 3.37500
3) Si los valores exactos son:
0.0000 ⎤
3.3750 ⎥⎥
450.00 ⎥
⎥
6.0000 ⎥
− 3.3750⎥
⎥
2100.0 ⎦⎥
⎡ x1 ⎤ ⎡1600⎤
⎢x ⎥ ⎢
⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢ x3 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢ ⎥=⎢
⎥
⎢ x 4 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢ x5 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ x 6 ⎥⎦ ⎣⎢0.00 ⎦⎥
x1 = 20276.42407
x 2 = 111.2829177
x3 = −53.64218277
x 4 = 20100.91073
x5 = −83.46218824
x6 = −46.24940329
Calcula el error relativo para cada variable en cada método y compara valores
Método
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Gauss
Cramer
¿Qué método arroja menor error?
NGJ/v06
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
64
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
Solución Tarea de Solución de sistemas de ecuaciones lineales
1) Programa un algoritmo (en EXCEL, JAVA o calculadora) que resuelva un
sistema de 4, 5 y 6 ecuaciones lineales para los métodos de:
a. Gauss
b. Jordan
c. Cramer
2) Prueba cada algoritmo con la matriz:
⎡ 3.06187 0.00000 3.3750 − 3.0000 0.00000 0.0000 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1600⎤
⎢ 0.00000 3.01687 3.3750 0.0000 − 0.01687 3.3750 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢
⎥ ⎢ 2⎥ ⎢
⎥
⎢ 3.37500 3.37500 900.00 0.0000 − 3.37500 450.00 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥=⎢
⎥
−
3
.
00000
0
.
00000
0
.
0000
3
.
0400
0
.
00000
6
.
0000
⎢
⎥ ⎢ x 4 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢ 0.00000 − 0.01687 − 3.3750 0.0000 4.01687 − 3.3750⎥ ⎢ x5 ⎥ ⎢0.00 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣⎢ 0.00000 3.37500 450.00 6.0000 − 3.37500 2100.0 ⎦⎥ ⎢⎣ x6 ⎥⎦ ⎣⎢0.00 ⎦⎥
3) Si los valores exactos son:
x1 = 20276.42407
x 2 = 111.2829177
x3 = −53.64218277
x 4 = 20100.91073
x5 = −83.46218824
Método
real
Gauss
error
Cramer
error
x6 = −46.24940329
Calcula el error relativo para cada variable en cada método y compara valores.
¿Qué método arroja menor error?
x3
x5
x1
x2
x4
x6
20276.42407000
20276.42407
0.00%
20276.42407
111.28291770
111.28292
0.00%
111.2829177
-53.64218277
-53.64218
0.00%
-53.64218277
20100.91073000
20100.91073
0.00%
20100.91073
-83.42188240
-83.46219
-0.05%
-83.46218824
-46.24940329
-46.24940
0.00%
-46.24940328
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
-0.05%
0.00%
NGJ/v06
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
65
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Sistemas de ecuaciones lineales
Algoritmos para ser incluidos en el
Proyecto Final
1. Solución de ecuaciones lineales
Cramer
x1 =
b1 a1, 2 a1,3
a,11 b1 a1,3
b2, a2, 2 a2,3
a2,1 b2 a2,3
b3 a3, 2 a3,3
D
x2 =
a3,1 b3 a3,3
D
a,11 a1, 2 b1
a2,1 a2, 2 b2
x3 =
a3,1 a3, 2 b3
D
Gauss simple
Gauss con pivote
Eliminación de Jordan
NGJ/v06
3.4 Solución de sistemas
de ecuaciones lineales
66