Tarea 2 Cálculo Diferencial e Integral IV Profa. Molina Ramı́rez Andrea, Profa. Vargas Cruz Karina, Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz fecha de entrega: 16/Agosto/12 1.-Demuestre las siguientes propiedades. Sea f,g:R⊂ Rn → R tales que f y g son integrables sobre R a) f g es integrable sobre R R R b) |f | es integrable sobre R y además R f ≤ R |f | c) máx(f, g) y mı́n(f, g) son integrables sobre R. (recuerda que máx(f, g) = f +g+|f −g| 2 y mı́n(f, g) = f +g−|f −g| ) 2 2.- Sea f (x, y) = 2x2 + y en [0, 2] × [0, 1]. a) Usando sumas de Riemman calcular las sumas superiores e inferiores de f. b) Para concluir el ejercicio, usa la definición en clase: Z Z f dA = lı́m n→∞ m X n X mij A(Rij ) = i=1 j=1 m X n X Mij A(Rij ) i=1 j=1 y calcula el valor de la integral. 3.-Probar que si E1 , ..., Ek tienen contenido cero en Rn entonces Tk j=1 Ej también tienen con- tenido cero. 4.-Demostrar que en la definición de contenido cero y medida cero pueden sustituirse los rectángulos cerrados por rectángu- los abiertos. 5.-Dar un ejemplo de un conjunto cerrado de medida cero que no tenga contenido cero 6.-Pruebe que si a < b, entonces [a, b] ⊂ R no tiene contenido cero 7.-Pruebe que, si f es integrable sobre el rectángulo R ⊂ Rn , entonces f es integrable sobre cualquier rectángulo R0 ⊂ R 1