MATEMÁTICA TERCERO SEMANA TREINTA Y siete DEL 31 DE MAYO AL 4 DE JUNIO TERCER CURSO BGU-TEC. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES ORGANIZAR EL PORTAFOLIO VIRTUAL O PORTAFOLIO FÍSICO OBSERVE LOS MODELOS PRESENTADOS EJERCICIOS DE REFUERZO PARA ESTA SEMANA JAIRO CALVOPIÑA – HENRY SÁNCHEZ -JORGE SUNTAXI CORREO: jairo.calvopina@estudiantes.edu.ec ¡BIENVENIDO A LA CLASE DE HOY! AGENDA DE HOY INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN PROPIEDADES EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN OBJETIVO DE APRENDIZAJE Los estudiantes comprenderán que la ciudadanía mundial y la cultura de paz exigen el respeto y la práctica de los derechos humanos, la justicia social, la diversidad, la igualdad entre todos los seres humanos y la sostenibilidad ambiental en función de promover un mundo y un futuro mejor para todos. PROYECTO: Cinco acordeones del aprendizaje para un mundo mejor INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA La integral definida s define como 𝒃 𝒃 න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = 𝑭 𝒙 | = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 𝒂 𝒂 ′ Donde 𝑭 𝒙 = 𝒇 𝒙 y además 𝒇(𝒙) es una función continua y finita en el intervalo de integración [𝒂, 𝒃] A y b recibe el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC Propiedades 1: Sea 𝑓: [𝑎; 𝑏] acotada e integrable Definimos: 𝒂 න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = 𝟎 𝒂 𝒃 𝒂 න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = −න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 𝒂 𝒃 Propiedades 2: Sea 𝑓: [𝑎; 𝑏] acotada e integrable y para todo 𝑐𝜖[𝑎; 𝑏] Se cumple que : F es integrable en los intervalos 𝑎; 𝑐 𝑦 [𝑐; 𝑏] Además se verifica el reciproco 𝒃 𝒄 𝒃 න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 + න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 𝒂 𝒂 𝒄 Propiedades 3: Suma y resta de integrales Sea 𝑓: [𝑎; 𝑏] 𝑔: [𝑎; 𝑏] Es continua en [𝑎; 𝑏] Entonces f es integrable en 𝑎; 𝑏 𝒃 𝒃 𝒃 න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 + න𝒈 𝒙 𝒅 𝒙 + … 𝒂 𝒂 𝒂 Ejemplos 1,2 𝟕 න 𝟕 𝒅 𝒙 = න 𝟕 𝒅 𝒙 = 𝟕𝒙 𝟎 2 7𝑥| = 7 2 − 7 0 = 14 0 𝟏 𝒙𝟐 න𝒙𝒅 𝒙 = න𝒙𝒅 𝒙 = 𝟐 −𝟏 𝒙𝟐 1 𝟏𝟐 −𝟏 | = − 𝟐 −1 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 = − =𝟎 𝟐 𝟐 Ejemplos 3 −𝟏 න (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅 𝒙 = න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 −𝟑 1 (𝒙 −𝟑𝒙)| = 𝟏 𝟐 − 𝟑 1 − [ −𝟑 −3 = 1 − 3 − 9 − 9 = −20 𝟐 𝟐 − 𝟑(−3)] Ejemplos 4 𝟑 𝟑 𝒚 න(𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏) 𝒅 𝒚 = න(𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏) 𝒅 𝒚 = − 𝒚𝟐 + 𝒚 𝟑 𝟐 𝒚𝟑 3 𝟐 −𝒚 +𝒚 | = 𝟑 2 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 − 𝟑𝟐 + 𝟑 − − 𝟐𝟐 + 2 𝟑 𝟑 8 7 =9−9+3− +4−2=− 3 3 Ejemplos 5 𝟐 𝟑 𝒕 න(𝟐𝒕 − 𝒕𝟐 ) 𝒅 𝒕 = න(𝟐𝒕 − 𝒕𝟐 ) 𝒅 𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝒕 2 𝟐 𝟏 𝒕𝟐 − | = 𝟐𝟐 − − 𝟏𝟐 − = 𝟑 1 𝟑 𝟑 𝟖 𝟏 𝟒− −𝟏+ = 𝟑 𝟑 𝟏 − 𝟑 Ejemplos 8 𝟑 𝟏 න 𝟐 𝒅 𝒙 = න 𝟏/𝒙𝟐 𝒅 𝒙 = 𝒙 𝟏 𝟐 −𝟐+𝟏 𝒙 𝟏 −𝟐 −𝟏 න𝒙 𝒅 𝒙 = =𝒙 = 𝟏 𝒙 𝟏 3 𝟏 𝟏 1 5 |1 = − = −2=− 𝟏 𝒙 𝟑 3 3 2 𝟐 −𝟐 න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅 𝒙 = න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅 𝒙 = −𝟒 Llamamos 𝑢 = 1 − 4𝑥 →→→ 𝑑𝑢 = −4𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 −4 𝟏 𝒅𝒖 𝟏 න 𝒖 − = − න 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = 𝟒 𝟒 𝟏 +𝟏 𝟐 𝒖 𝟏 − . 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐𝒖𝟐 𝟏 =− . =− 𝟒 𝟑 𝟑 𝒖𝟐 𝟔 =− 𝟏 − 𝟒𝒙 𝟔 𝟑 𝟐 +𝑪 − 𝟏 − 𝟒𝒙 𝟔 𝟑 𝟐 −2 | = − 𝟏+𝟖 𝟔 𝟑 𝟐 −4 − =− 𝟏 − 𝟒 −𝟐 𝟔 𝟏 + 𝟏𝟔 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 =− 27 173 − = 6 6 −24,11526399 = −24.12 𝟏 − 𝟒 −𝟒 𝟔 − 𝟑 𝟗𝟐 𝟔 − 𝟏𝟕 𝟔 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟐 3 න 𝑙𝑛6𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑙𝑛 6𝑥𝑑𝑥 1 Llamamos 1 𝑢 = 𝑙𝑛6𝑥 →→→ 𝑑𝑢 = . 6𝑑𝑥 6𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 Integrando න 𝑑𝑣 = න 𝑑𝑥 න 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗𝒅𝒖 න 𝑙𝑛 6𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢 Sustituyendo 1 න 𝑙𝑛 6𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛6𝑥 − න 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥𝑙𝑛6𝑥 − න 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛6𝑥 − 𝑥 + 𝐶 = Ejemplos 𝟑 න 𝒍𝒏𝟔𝒙 𝒅 𝒙 = න 𝒍𝒏𝟔𝒙 𝒅 𝒙 = 𝒙𝒍𝒏𝟔𝒙 − 𝒙 + 𝒄 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝟔𝒙 − 𝒙| 3 = 𝟑𝒍𝒏𝟔. 𝟑 − 𝟑 − 𝟏𝒍𝒏𝟔. 𝟏 − 𝟏 1 = 3 𝑙𝑛18 − 3 − 𝑙𝑛6 + 1 = 4,879355804 = 4,88 TAREA SEMANA 37 Trabajo autónomo. Determinar las siguientes integrales. 𝟐 )𝒙(𝒅𝒙𝟓 𝟏 𝟏 1. −𝟏(𝟒 − 𝟗𝒚)𝒅𝒚 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 2. 𝟐𝒙( + 𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟐 𝒙−𝟐 3. 𝒙𝒅) 𝟐 ( 𝟏 𝟑 4. 𝒙 𝟏+ 𝟑 𝟑 𝒅𝒙
