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37S MATEMÁTICA BGU-TEC

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MATEMÁTICA TERCERO
SEMANA TREINTA Y siete
DEL 31 DE MAYO AL 4 DE JUNIO
TERCER CURSO BGU-TEC.
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
ORGANIZAR EL PORTAFOLIO VIRTUAL O PORTAFOLIO FÍSICO
OBSERVE LOS MODELOS PRESENTADOS
EJERCICIOS DE REFUERZO PARA ESTA SEMANA
JAIRO CALVOPIÑA – HENRY SÁNCHEZ -JORGE SUNTAXI
CORREO: jairo.calvopina@estudiantes.edu.ec
¡BIENVENIDO A LA CLASE DE HOY!
AGENDA DE HOY
INTEGRAL DEFINIDA
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN
OBJETIVO DE APRENDIZAJE
Los estudiantes comprenderán que la ciudadanía
mundial y la cultura de paz exigen el respeto y la
práctica de los derechos humanos, la justicia social, la
diversidad, la igualdad entre todos los seres humanos
y la sostenibilidad ambiental en función de promover
un mundo y un futuro mejor para todos.
PROYECTO:
Cinco acordeones del aprendizaje para un mundo mejor
INTEGRAL
INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA
La integral definida s define como
𝒃
𝒃
න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = 𝑭 𝒙 | = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂
𝒂
𝒂
′
Donde 𝑭 𝒙 = 𝒇 𝒙 y además 𝒇(𝒙) es una función
continua y finita en el intervalo de integración [𝒂, 𝒃]
A y b recibe el nombre de extremo inferior y superior de
integración, respectivamente
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC
Propiedades 1:
Sea 𝑓: [𝑎; 𝑏] acotada e integrable
Definimos:
𝒂
න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = 𝟎
𝒂
𝒃
𝒂
න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = −න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙
𝒂
𝒃
Propiedades 2:
Sea 𝑓: [𝑎; 𝑏] acotada e integrable y para todo 𝑐𝜖[𝑎; 𝑏]
Se cumple que :
F es integrable en los intervalos 𝑎; 𝑐 𝑦 [𝑐; 𝑏]
Además se verifica el reciproco
𝒃
𝒄
𝒃
න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 + න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙
𝒂
𝒂
𝒄
Propiedades 3:
Suma y resta de integrales
Sea 𝑓: [𝑎; 𝑏] 𝑔: [𝑎; 𝑏] Es continua en [𝑎; 𝑏]
Entonces f es integrable en 𝑎; 𝑏
𝒃
𝒃
𝒃
න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 = න𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 + න𝒈 𝒙 𝒅 𝒙 + …
𝒂
𝒂
𝒂
Ejemplos 1,2
𝟕
න 𝟕 𝒅 𝒙 = න 𝟕 𝒅 𝒙 = 𝟕𝒙
𝟎
2
7𝑥| = 7 2 − 7 0 = 14
0
𝟏
𝒙𝟐
න𝒙𝒅 𝒙 = න𝒙𝒅 𝒙 =
𝟐
−𝟏
𝒙𝟐 1
𝟏𝟐
−𝟏
|
=
−
𝟐 −1
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏
= − =𝟎
𝟐 𝟐
Ejemplos 3
−𝟏
න (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅 𝒙 = න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
−𝟑
1
(𝒙 −𝟑𝒙)|
= 𝟏 𝟐 − 𝟑 1 − [ −𝟑
−3
= 1 − 3 − 9 − 9 = −20
𝟐
𝟐
− 𝟑(−3)]
Ejemplos 4
𝟑
𝟑
𝒚
න(𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏) 𝒅 𝒚 = න(𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏) 𝒅 𝒚 =
− 𝒚𝟐 + 𝒚
𝟑
𝟐
𝒚𝟑
3
𝟐
−𝒚 +𝒚 | =
𝟑
2
𝟑
𝟑𝟑
𝟐
− 𝟑𝟐 + 𝟑 −
− 𝟐𝟐 + 2
𝟑
𝟑
8
7
=9−9+3− +4−2=−
3
3
Ejemplos 5
𝟐
𝟑
𝒕
න(𝟐𝒕 − 𝒕𝟐 ) 𝒅 𝒕 = න(𝟐𝒕 − 𝒕𝟐 ) 𝒅 𝒕 = 𝒕𝟐 −
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝒕
2
𝟐
𝟏
𝒕𝟐 − | = 𝟐𝟐 −
− 𝟏𝟐 −
=
𝟑 1
𝟑
𝟑
𝟖
𝟏
𝟒− −𝟏+ =
𝟑
𝟑
𝟏
−
𝟑
Ejemplos 8
𝟑
𝟏
න 𝟐 𝒅 𝒙 = න 𝟏/𝒙𝟐 𝒅 𝒙 =
𝒙
𝟏
𝟐
−𝟐+𝟏
𝒙
𝟏
−𝟐
−𝟏
න𝒙 𝒅 𝒙 =
=𝒙 =
𝟏
𝒙
𝟏 3 𝟏
𝟏
1
5
|1 = −
= −2=−
𝟏
𝒙
𝟑
3
3
2
𝟐
−𝟐
න
𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅 𝒙 = න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅 𝒙 =
−𝟒
Llamamos 𝑢 = 1 − 4𝑥 →→→ 𝑑𝑢 = −4𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 𝑑𝑥
−4
𝟏
𝒅𝒖
𝟏
න 𝒖 −
= − න 𝒖𝟐 𝒅𝒖 =
𝟒
𝟒
𝟏
+𝟏
𝟐
𝒖
𝟏
− .
𝟒 𝟑
𝟐
𝟑
𝟐𝒖𝟐
𝟏
=− .
=−
𝟒 𝟑
𝟑
𝒖𝟐
𝟔
=−
𝟏 − 𝟒𝒙
𝟔
𝟑
𝟐
+𝑪
−
𝟏 − 𝟒𝒙
𝟔
𝟑
𝟐
−2
|
=
−
𝟏+𝟖
𝟔
𝟑
𝟐
−4
−
=−
𝟏 − 𝟒 −𝟐
𝟔
𝟏 + 𝟏𝟔
𝟔
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
=−
27
173
−
=
6
6
−24,11526399 =
−24.12
𝟏 − 𝟒 −𝟒
𝟔
−
𝟑
𝟗𝟐
𝟔
−
𝟏𝟕
𝟔
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟐
3
න 𝑙𝑛6𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑙𝑛 6𝑥𝑑𝑥
1
Llamamos
1
𝑢 = 𝑙𝑛6𝑥 →→→ 𝑑𝑢 =
. 6𝑑𝑥
6𝑥
1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
Integrando
න 𝑑𝑣 = න 𝑑𝑥
න 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗𝒅𝒖
න 𝑙𝑛 6𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢
Sustituyendo
1
න 𝑙𝑛 6𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛6𝑥 − න 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑥𝑙𝑛6𝑥 − න 𝑑𝑥
= 𝑥𝑙𝑛6𝑥 − 𝑥 + 𝐶
=
Ejemplos
𝟑
න 𝒍𝒏𝟔𝒙 𝒅 𝒙 = න 𝒍𝒏𝟔𝒙 𝒅 𝒙 = 𝒙𝒍𝒏𝟔𝒙 − 𝒙 + 𝒄
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝟔𝒙 − 𝒙|
3
= 𝟑𝒍𝒏𝟔. 𝟑 − 𝟑 − 𝟏𝒍𝒏𝟔. 𝟏 − 𝟏
1
= 3 𝑙𝑛18 − 3 − 𝑙𝑛6 + 1 = 4,879355804 = 4,88
TAREA SEMANA 37
Trabajo autónomo.
Determinar las siguientes integrales.
𝟐
‫)𝒙(𝒅𝒙𝟓 𝟏׬‬
𝟏
1. ‫׬‬−𝟏(𝟒 − 𝟗𝒚)𝒅𝒚
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
2. ‫ 𝟐𝒙( ׬‬+ 𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙
𝟐 𝒙−𝟐
3. ‫𝒙𝒅) 𝟐 ( 𝟏׬‬
𝟑
4. ‫ 𝒙 𝟏׬‬+ 𝟑 𝟑 𝒅𝒙
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