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Cálculo I
NOCIONES PRELIMINARES (*)1
CONJUNTOS
Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas (“elementos”) que tienen
algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras mayúsculas, y los elementos con
minúsculas y los símbolos {}. Hay dos formas de indicar un conjunto:
por comprensión (o propiedad): se indica la propiedad que permite decidir cuáles son los
elementos del conjunto. En símbolos: A = {x / x es un número dígito par}.
por extensión: se enumeran todos los elementos. En símbolos: A = {2,4,6,8}.
Algunos conjuntos particulares:
Conjunto universal U: está formado por todos los elementos del tema de referencia.
Conjunto vacío: cuando no tiene elementos. Símbolo: ∅ o {}.
Conjunto unitario: tiene un solo elemento.
Complemento de A: está formado por todos los elementos que no pertenecen a A.
En símbolos: Ā = {x / x ∉ A}. ( ∈ se lee “pertenece” y ∉ se lee “no pertenece”).
Representación en diagramas (conocidos como diagramas de Venn)
A
U
*a
*b
*c
*c
a ∈ A,
b∈A∧c∈A
A
*a
*b
c∉A
c∈U
*a
*c
*d
*b
a ∈ A, b ∈ A, c ∈ A
c ∈ B, d ∈ B
d ∉ A, a ∉ B, b ∉ B
Algunas relaciones entre conjuntos:
1. Inclusión: Un conjunto A está incluido en un conjunto B si todo elemento de A pertenece a B. En
símbolos: A ⊂ B ⇔ ∀x: (x ∈ A ⇒ x ∈ B). A es un subconjunto de B.
2. Inclusión amplia: A ⊆ B. El conjunto A está incluido en B o A es igual a B.
3. Igualdad: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A.
Operaciones entre conjuntos:
Unión: A ∪ B. Es el conjunto formado por los elementos de A, o de B, o de ambos conjuntos.
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}. Ejemplo: A = {2,4,6 }, B = {2,7,8 }. Es: A ∪ B = {2,4,6,7,8}.
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(*) Apunte elaborado por la Mgter. Prof. Duarte A.
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Intersección: A ∩ B. Es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}. Ejemplo: A = {2,4,6 }, B = {2,7,8 }. Es: A ∩ B = {2}.
Diferencia: A – B. Es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.
A - B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}. Ejemplo: A = {2,4,6 }, B = {2,7,8 }. Es: A - B = {4,6}.
Diferencia simétrica: A ∆ B . Es el conjunto formado por los elementos de A o de B y que no
pertenecen a (A ∩ B).
A ∆ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A∩B}. Ejemplo: A = {2, 4, 6}, B = {2, 7, 8}.
Es: A ∆ B = {4, 6, 7, 8}.
Complemento: Sea A un subconjunto de U. Complemento de A (Ac ) es el conjunto formado por los
elementos de U que no pertenecen a A.
Ac = { x ∈ U / x ∉ A }
Producto cartesiano A X B: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera
componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B. Ejemplo: A = {2, 4, 6}, B =
{2, 7, 8}.
Es A X B = {(2;2), (2;7), (2;8), (4;2), (4;7), (4;8), (6;2), (6;7), (6;8) }.
La representación gráfica se realiza colocando los
elementos de A en una recta horizontal y los
elementos de B en una recta vertical. Cada punto
del gráfico es la representación de un par ordenado
del producto cartesiano.
El producto A X B es distinto a B X A, ¿porqué?.
Conjuntos especiales: son conjuntos cuyos elementos son números. Se tiene así: el conjunto de
números naturales N, el de números enteros Z, el de números racionales Q, el de los irracionales
I, el de los reales R y el conjunto de los números complejos C.
Los Números Reales
Cumplen con las siguientes propiedades:
- La suma y el producto de dos números reales es otro número real.
- La adición y sustracción son conmutativas y asociativas.
- El elemento neutro para la suma es el cero y para el producto es el uno.
- Un número más su opuesto es igual a cero y un número por su recíproco es igual a
uno. En símbolos:
o a + (-a) = 0 y a . (a-1) = 1
- El producto es distributivo con respecto a la suma.
El orden en R
Un número real puede ser cero, o positivo o negativo. En símbolos:
∀a: ( a ∈ R ⇒ a = 0 v a ∈ R+ v a ∈ R–)
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El conjunto de los número reales es totalmente ordenado por la relación menor o igual. O sea, dados
dos números reales a y b, pueden ser: a < b, a = b, o a > b. Si a < b ⇒ a – b < 0, o sea a – b ∈ R–, de
igual forma si b > a ⇒ b – a > 0, o sea b – a ∈ R+.
Las expresiones a < b, b > a o también a ≤ b y b ≥ a , se denominan desigualdades.
Inecuaciones
Cuando una desigualdad tiene incógnitas, se llama inecuación. Resolver una inecuación implica
resolver la desigualdad, aplicando las propiedades que se verifiquen para ellas y obtener como
resultado un conjunto solución.
Ejemplo: resolver 3x + 5 > x – 3
Rpta: 3x – x > -3 –5 ⇔ 2x > - 8 ⇔ x > - 4. Conj. Solución: S = {x ∈ R / x > - 4}.
Si la inecuación es cuadrática, se procede aplicando propiedades convenientes.
Por ejemplo, resolver la inecuación 2x2 + x - 6 > 0.
Rpta: 2x2 + x - 6 > 0 ⇔ x2 + 1/2x – 3 > 0 ⇔ (x + ¼)2 > 49/16 ⇔ 2
x + 1/4 > 7/4 ∨ x + ¼ < -7/4 ⇔
x > 3/2 ∨ x < - 2.
Conj. Solución: S = {x ∈ R / x < - 2 ∨ x > 3/2 }.
Si la inecuación fuera: 2x2 + x - 6 < 0, se llega a: (x + ¼)2 < 49/16 ⇔ 3
x + 1/4 < 7/4 ∧ x + ¼ > -7/4 ⇔
x < 3/2 ∧ x > - 2.
Conj. Solución: S = {x ∈ R / x > - 2 ∧ x < 3/2 }.
Valor absoluto de un número real: es igual al mismo número si éste es positivo o cero, y es igual
a su opuesto, cuando es negativo. En símbolos:
a  = a, si a ≥ 0 y a  = - a, si a < 0 .
Propiedades:
1. ∀a: ( a ≠ 0 ⇒ a > 0
2. ∀a: a = - a 
3. ∀a, ∀b: a.b= a b
4. ∀k> 0, ∀x: x ≤ k ⇔ - k ≤ x ∧ x ≤ k ⇔ - k ≤ x ≤ k
5. ∀k> 0, ∀x: x ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ - k
6. ∀a, ∀b: a + b≤ a  + b
7. ∀a, ∀b: a - b≥ a  - b
CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES: INTERVALOS Y ENTORNOS
Intervalos
Siendo a < b, el intervalo cerrado [a;b] es el conjunto de números reales formado por a, por b y por
todos los números comprendidos entre a y b. En símbolos: [a;b] = {x / x ∈ R ∧ a ≤ x ≤ b}.
Gráficamente:
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Recordando que: x2 > a2 ⇔ : x2 - a2 > 0 ⇔ (x – a)(x + a) > 0 ⇔ x > a ∨ x < - a.
Se tiene en cuenta que: x2 < a2 ⇔ : x2 - a2 < 0 ⇔ (x – a)(x + a) < 0 ⇔ x < a ∧ x > - a.
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La longitud del intervalo es el número positivo b – a. Los números a y b se llaman extremos izquierdo
y derecho respectivamente.
Siendo a < b, el intervalo abierto (a;b) es el conjunto todos los números reales comprendidos entre a y
b. En símbolos: (a;b) = {x / x ∈ R ∧ a < x < b}.
Gráficamente:
Ejemplo: [-2; 5] = {x / x ∈ R ∧ - 2 ≤ x ≤ 5}.
En caso de ser (-2; 5] , es un intervalo semiabierto y está formado por {x / x ∈ R ∧ - 2 < x ≤ 5}.
También se podría tener el [-2;5).
Entornos
Si a es un número real cualquiera y h un número positivo, se llama entorno de centro a y radio h al
intervalo abierto (a-h; a+h). En símbolos: E(a;h) = {x / a - h < x < a + h}.
Utilizando una de las propiedades del valor absoluto, la definición se puede escribir:
E(a;h) = {x / x – a  < h }.
Ejemplo 1: un entorno expresado como intervalo E(3;2) = (3 –2; 3 +2) = (1; 5)
Ejemplo 2: un intervalo expresado como entorno (-2; 2) = E(0;2)
Se puede observar que el centro es igual a la semisuma de los extremos del intervalo.
Ejemplo 3: el intervalo (-7; 10) es un entorno de centro a = (-7 + 10)/2 = 3/2. Para hallar el radio h se
hace: a + h = 10 ⇒ h = 10 – 3/2 = 17/2. Se trata del entorno E(3/2; 17/2).
Intervalos infinitos
(a; ∞) = {x / x > a }
[a; ∞) = {x / x ≥ a }
(- ∞; a) = {x / x < a }
(- ∞; a] = {x / x ≤ a }
(- ∞; ∞) = {x / x ∈R }
Intersección de intervalos
Sea a < b.
(a; ∞) ∩ (- ∞; b ) = {x ∈ R / x > a ∧ x < b} = {x ∈ R/ a < x < b} = (a ; b)
(- ∞; a) ∩ (b; ∞) = {x ∈ R / x < a ∧ x > b} = ∅
Unión de intervalos
(a; ∞) ∪ (- ∞; b ) = {x ∈ R / x > a ∨ x < b} = R = (- ∞; ∞)
(- ∞; a) ∪ (b; ∞) = {x ∈ R / x < a ∨ x > b}
Gráficamente:
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Producto cartesiano de intervalos
Se quiere hallar [a; b] X [c ; d]. Se puede visualizar en la representación gráfica. El resultado es el
conjunto de pares ordenados (x ; y) cuya primera componente es a ≤ x ≤ b y cuya segunda componente
es c ≤ y ≤ d.
¿Cómo sería la representación gráfica de (a; b) X (c ; d)?
También se podría realizar el producto cartesiano de intervalos infinitos. Un caso especial es :
(-∞;∞) X (-∞;∞) = R X R = R2 (se lee “erre dos”). Su representación gráfica es el plano.
Inecuaciones con valor absoluto
Las propiedades estudiadas del valor absoluto se aplican a las inecuaciones.
Ejemplo: Resolver la inecuación 3x - 1
 < 2x + 5
Rpta: 3x - 1 < 2x + 5 ⇔ 3x – 1 > -(2x + 5) ∧ 3x – 1 < 2x + 5 ⇔ x > -4/5 ∧ x < 6 ⇔
⇔ -4/5 < x < 6 ∴S = {x ∈ R / -4/5 < x < 6 } = (-4/5 ; 6).
RELACIONES
De un producto cartesiano podemos seleccionar aquellos pares ordenados que satisfacen cierta
condición que establece la correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos. Esa condición se
denomina relación (simbolizada por R).
Por eso podemos decir que una relación es un conjunto incluido ampliamente en el producto
cartesiano. En símbolos: R ⊆ A X B.
Si designamos con x a los elementos de A y con y a los elementos de B, entonces x R y , o (x;y) ∈ R
indica una relación entre dichos elementos. En general: R = { (x;y) / p(x) }, siendo p la propiedad o
condición que representa la relación.
Por ejemplo:
R: “x es menor que y” ( < ), En el producto cartesiano {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} la
relación dada está representada por todos los pares ordenados que tengan la primera componente
menor que la segunda.
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
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Definición
Una relación de un conjunto A a un conjunto B es cualquier conjunto de pares ordenados de A × B.
Dominio y Codominio
Definición
El conjunto de todas las primeras componentes de una relación es el dominio de la relación. El
conjunto de todas las segundas componentes de una relación es el codominio de la relación.
Ejemplo: Enumerar el dominio y el codominio de la relación “menor que” del ejemplo anterior.
Solución.
DR = {1, 2}
CR = {2, 3}
Una relación puede darse entre elementos del mismo conjunto; es decir:
R relación en A ⇔ R ⊆ A X A.
En particular, si A es el conjunto de los números reales, R ⊆ ℜ X ℜ.
FUNCIONES
De entre todas las relaciones binarias que se pueden presentar entre dos conjuntos, interesan
especialmente aquellas que hacen corresponder a cada elemento del primer conjunto un único
elemento del segundo conjunto. Este tipo de relación recibe el nombre de relación funcional, o
función (también llamada aplicación, correspondencia o transformación).
La palabra función (Leibniz, S.XVII) proviene del término latino functo, que significa “acto de
realizar”.
Definición
Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna a cada x
de A un elemento determinado de manera única f(x) de B.
A partir de esta definición podemos considerar:
En forma simbólica: f: A → B
En forma geométrica:
A
f
B
Otra definición posible es:
Sean A y B dos conjuntos. Una función de A a B es un conjunto f de pares ordenados en AXB, tal que
para cada x ∈ A existe una y ∈ B única , con (x; y) ∈ f.
En símbolos:
1. ∀x ∈ A, ∃ y ∈ B / (x; y) ∈ f; (condición de existencia)
2. si (x; y) ∈ f y (x; z) ∈ f ⇒ y = z.(condición de unicidad)
Si (x; y) ∈ f, se puede decir que y = f( x), entonces (x; f(x)) ∈ f . Cuando x asume un valor particular a,
y = f(a) se conoce como el valor de f en el punto a, o como la imagen del punto a bajo f.
Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y f = {(1;
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2 ), (2; 4), (3; 4)}
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El conjunto de los elementos que aparecen como primer componente de los pares
ordenados de f se llama dominio de f, debe coincidir con A y se denota Df.. El conjunto de
todos los elementos de B se llama codominio de f y el conjunto de los elementos que
aparecen como segunda componente de los pares ordenados de f se llama recorrido de f ,
Rf (o conjunto imagen).
Nótese que el Dominio de f es siempre igual a A, en cambio el recorrido Rf puede ser un subconjunto
del codominio B o en otros casos pueden ser iguales, Rf = Cdf.
En el ejemplo dado, A y B son conjuntos de números, entonces la función es una Función numérica o
función escalar. Como generalmente tomamos f : R → R, entonces se denomina Función Real de
variable real.
Se considera como Dominio Natural de f al conjunto R, pero en ocasiones el dominio de f puede ser
un subconjunto de R, por ejemplo un intervalo I, por lo tanto se cumple: f : I → R . Por otra parte, el
Codominio natural de f es R y el conjunto imagen o recorrido satisface la relación Rf ⊆ R.
Diferentes representaciones de una función:
La regla de correspondencia entre los dos conjuntos se puede explicitar de manera coloquial, en forma
de conjunto, en forma simbólica, en tablas y en gráficos (o grafos).
Por ejemplo:
Sea una función dada en forma coloquial por “a cada x ∈ A, le corresponde su cuadrado en B”, y sean
A= B=ℜ.
Por medio de conjuntos: f = {(x; y) / y = x2}
En símbolos: f: ℜ→ ℜ y f(x) = x2 . (en este caso es una expresión algebraica, pero no siempre).
Por tablas:
x
f(x)
1
1
2
4
-1
1
-2
4
0
0
Gráficamente:
y
x
Cuando la función es real de variable real, la representación gráfica es un trazo continuo.
Otra manera es representar a la función como a una máquina que acepta elementos de D(f) como
“materia prima” y produce los elementos correspondientes de R(f) como productos finales.
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Si se toma un elemento x de D(f), y se procesa a través de f se produce el elemento f(x), si se procesa
un elemento diferente z de D(f), se obtiene f(z), que puede ser diferente o no de f(x). Si se intenta
introducir en f algo que no pertenece a D(f), se encontrará que no es aceptado. Queda además clara la
diferencia entre f (la máquina) y f(x) (la producción).
x
f
f (x)
Habitualmente, a x se designa como variable independiente de la función y a y como variable
dependiente (del valor que toma x).
En general, una función sirve para modelizar matemáticamente una situación real.
Ejemplo: se ha encontrado que la velocidad mínima de vuelo de un pájaro es proporcional a la raíz
cuadrada de su longitud. Es decir, la velocidad depende de la longitud, por ende, longitud es variable
independiente y velocidad, variable dependiente: v = f (L ) .
En este caso, expresado en símbolos: v = k . L , siendo k una constante de proporcionalidad y L su
longitud.
Intersecciones de una función con los ejes coordenados
Si x = 0, se halla la imagen f(0) = y0 ; el par (0; y0) es la ordenada al origen de la función.
Representa un punto que gráficamente es la intersección de la función con el eje y.
Si se hace f(x0) = 0 , se halla el valor x = x0; entonces el par (x0; 0) es el cero de la función.
Representa un
Gráficamente, constituyen las intersecciones con el eje y con el eje x, respectivamente.
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