Práctica 8

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Nombre y Apellidos:
Grupo: 3A
ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaciones diferenciales ordinarias

Cálculo de la solución general
Para obtener, en caso de que sea posible, la solución
F(x,y,y',y'',...,yn   0, utilizaremos la función de Mathematica:
DSolve[ecuacion, y[x],x]
general
de
una
ecuación diferencial
DSolvey 'x  yx  Sinx, yx, x

Campo de direcciones
En el caso de la ecuación 4) del ejercicio 1, Mathematica no proporciona la solución general de dicha ecuación
diferencial. En tal caso, se puede obtener una información cualitativa de las soluciones construyendo el campo de
direcciones de la ecuación diferencial. De modo general:
Para obtener el campo de direcciones de la ecuación diferencial y'=f(x,y), cargaremos el paquete:
Graphics`PlotField`
y a continuación escribiremos:
PlotVectorField[{1,f},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
 Graphics`PlotField`
PlotVectorField1, Sinx  y, x, 1, 1, y, 1, 1, Axes  True;

Cálculo de la solución de un problema de valor inicial/contorno
Para obtener, si es posible, la solución exacta a un problema de valor inicial/contorno escribiremos:
DSolve[{ecuacion,condiciones}, y[x],x]
DSolvey'x  yx  Sinx, y0  0, yx, x
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
Cálculo de soluciones aproximadas a problemas de valor inicial/contorno
Para obtener una solución numérica (aproximada) a los problemas de valor inicial/contorno en un cierto inter valo, utilizaremos la función de Mathematica:
NDSolve[{ecuacion,condiciones},y[x],{x,xmin,xmax}]
Las soluciones así obtenidas se podrán evaluar en puntos del intervalo considerado así como representar
gráficamente.
NDSolvey 'x  yx  Sinx, y0  0, yx, x, 1, 1

Cálculo de las solución de un problema de valor inicial utilizando la
Transformada de Laplace
Para obtener la solución de un problema de valor inicial utilizando la Transformada de Laplace se tendrán en
cuenta las funciones de Mathematica :
LaplaceTransform[expresion,t,s]
InverseLaplaceTransform[expresion,s,t]
(supuesto t la variable independiente de la expresión cuya transformada queremos calcular)
Ejercicios
1- Obtener, si es posible, la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) xy'+y = x4 y3
2) x y2  3yx2  x  yx2 y '  0
xy4
3) y'= 

xy6
4) y'+x2 y  x  y2
5) x3 y''' + x2 y'' - 2x y' + 2y =0
xy'  y  x4 y3
xy2  3yx2  x  yx2 y '  0
y' 
xy4

xy6
3
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y'  x2 y  x  y2
x3 y'''  x2 y''  2x y'  2y  0
2- En el caso de la ecuación 3) se obtiene una forma implícita de la solución. Comprobarlo con Mathematica
3- Obtener el campo de direcciones de la ecuación 4)del ejercicio 1, en el dominio [-0.5,0.5],[0.7,2.5]
y'+x2 y  x  y2
4- Obtener, si es posible, la solución exacta de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:
a) xy'+y = x4 y3
y(1)=-1
 x  y
xy4
c) y'= 

xy6
3
2
d) x y'''+ x y''-2xy'+2y = 0
b)
y'+x2 y
a xy'  y  x4 y 3
y'  x2 y  x  y2
2
y(0)=1
y(0)=2
y(1)=0, y'(1)=1, y''(1)=1/2
y1  1
y0  1
4
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y' 
xy4

xy6
x3 y'''  x2 y''  2xy'  2y  0
y0  2
y1  0, y'1  1, y''1  1  2
En el caso b), Mathematica no proporciona la solución exacta del problema de valor inicial planteado (esta
solución sabemos que existe por el Teorema de Existencia y Unicidad); mientras que en el caso c) se obtiene una
forma implícita de la solución.
5- Encontrar una solución aproximada de cada uno de los problemas de valor inicial b) y c) en el intervalo
[-0.5,0.5]. Evaluar las soluciones obtenidas en puntos del intervalo y representarlas gráficamente. Por último,
representar conjuntamente el campo de direcciones del ejercicio 3 con la solución aproximada obtenida para b)
6- Consideremos el siguiente problema de valor inicial:
y'+2y = q(x) donde q(x) = 1 si 0 x 1 y q(x) = 0 si x > 1 ;
y(0) = 0
Puesto que se trata de una ecuación con un término de naturaleza discontinua, se obtendrá la solución exacta
siguiendo los pasos siguientes:
a) Resolver el problema de valor inicial: y'+2y=1, y(0)=0 y representar gráficamente su solución
y1 (x) en el intervalo [0,1]
b) Resolver la ecuación diferencial: y'+2y=0 y representar gráficamente algunas de sus soluciones
particulares en el intervalo [1,3]
c) Representar simultáneamente en el intervalo [0,3] la situación hasta el momento obtenida
d) Obtener y representar gráficamente la solución particular y2 (x) que conduzca a una solución continua
para x0 del problema de valor inicial planteado
e) Construir la solución exacta ye (x), es decir la función tal que:
ye (x)=y1 (x) en 0x1
ye (x)=y2 (x) en 1x3
y representarla gráficamente en el intervalo [0,3]
7- Determinar una solución aproximada ya (x) al problema de valor inicial del ejercicio anterior y representarla
gráficamente.
Representar también el error |ye (x)-ya (x)| cometido en la aproximación
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8- Obtener la solución de los siguientes problemas de valor inicial:
y''+y=t+(1-t) H(t-1)
y(0)=0, y'(0)=1
y''+y=(t-) cost
y(0)=0, y'(0)=1
a) Directamente
b) Utilizando la Transformada de Laplace
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
La obtención de soluciones generales, soluciones particulares (exactas) a problemas de valor inicial y soluciones
aproximadas de sistemas de ecuaciones diferenciales se lleva a cabo de manera análoga a lo señalado para ecuaciones diferenciales
 Ejercicios
1- Dado el sistema de ecuaciones diferenciales:
0




0

x' = 


8



16

0
0
1
0
1
0
0
0
0 t
 





1
0






x+






0
1




 
 
0 0
con la condición inicial
1 






0 



x(0) = 




1






2


a) Obtener, si es posible, la solución general del sistema
b) Obtener, si es posible, la solución exacta al problema de valor inicial planteado
c) Representar gráficamente la 3ª componente del vector solución
2- ¿Proporciona Mathematica la solución exacta al siguiente problema de valor inicial?
1
2t
1 





0
2
0 
x' = 



x
2
 1 2  t t 
 0 


x(1)= 1 


 1 
3- Puesto que no es posible obtener de forma exacta la solución al problema de valor inicial anterior, obtener la
solución de forma aproximada en el intervalo [0.5,1.5] y representar la 2ª componente del vector solución
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