Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

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Teorema de Pitágoras. Aplicaciones
a
Teorema de Pitágoras
c
En un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa.
b
c
b
b 2 + c 2 = a 2
T
En el margen hay una bonita demostración de este teorema:
c
T
b
T
•En el primero, hay dos cuadrados de áreas c 2 y b 2 y cuatro triángulos T.
T
•En el segundo, hay un cuadrado de área a 2 y cuatro triángulos T.
b
c
•Por tanto, al suprimir los cuatro triángulos de cada uno, las áreas de lo que queda coinciden: b 2 + c 2 = a 2.
c
T
T
a
b
•Los dos cuadrados grandes son iguales. Su lado es c + b.
Veamos algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras.
T
T
Cálculo del lado desconocido
en un triángulo rectángulo
Aunque el teorema de Pitágoras es una igualdad entre áreas, se utiliza sobre todo
para relacionar los lados de un triángulo rectángulo:
a = √b 2 + c 2
b = √a 2 – c 2
c = √a 2 – b 2
Ejercicios resueltos
1.Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 33 cm y 56 cm, respectivamente.
a
33 cm
a 2 = b 2 + c 2 8 a = √b 2 + c 2 = √332 + 562 = √4 225 = 65
56 cm
La hipotenusa mide 65 cm.
97 cm
72 cm
2.En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 97 cm, y uno de los
catetos, 72 cm. Calcular la longitud del otro cateto.
b = √972 – 722 = √4 225 = 65
b
El cateto desconocido mide 65 cm.
Actividades
1En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos
catetos y se pide la hipotenusa (si su medida no es
exacta, dala con una cifra decimal):
a)37 cm y 45 cm
88
b)16 cm y 30 cm
2En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto (exactamente o con una cifra decimal):
a)45 cm y 37 cm
b)39 cm y 15 cm
UNIDAD
9
13
5
Cómo saber si un triángulo es rectángulo
52
+
122
=
132
a, b, c son los lados de un triángulo, y a es el mayor.
12
13
3
— Si b 2 + c 2 = a 2, el triángulo es rectángulo.
32 + 122 < 132
— Si b 2 + c 2 < a 2, el triángulo es obtusángulo.
12
— Si b 2 + c 2 > a 2, el triángulo es acutángulo.
13
7
72 + 122 > 132
Obtención de un segmento en una figura
12
5. Ampliación teórica: rectas
tangentes a circunferencias.
Hay muchas figuras en las que algunos de sus elementos son los lados de un triángulo rectángulo. Esto permite relacionarlos mediante el teorema de Pitágoras.
Veamos algunos ejemplos.
Ejercicios resueltos
1.Una circunferencia de centro
O tiene un radio de 80 cm.
Desde un punto P que dista
130 cm de O trazamos una
tangente. ¿Cuál es la longitud del segmento de tangente,
PT ?
2.Dos circunferencias de centros
O y O' y radios 9 cm y 5 cm
tienen sus centros a 20 cm.
Hallar la longitud del segmento tangente exterior común.
1.
T
80 cm
P
130 cm
O
2.
El segmento tangente, PT, es perpendicular al radio, OT.
PT y OT son catetos del triángulo PTO.
PO es la hipotenusa. Por tanto:
—
PT = √1302 – 802 = √10 500 = 102,47 cm
t
t
5 cm
9 cm
5 cm
O
d = 20 cm
t'
4 cm
O'
O
5 cm
O'
d = 20 cm
t' = √202 – 42 = 19,6 cm
El trozo de tangente común mide 19,6 cm.
Actividades
3De un rombo conocemos una diagonal, 24 cm, y el
lado, 13 cm. Halla la otra diagonal.
4Una circunferencia tiene un radio de 15 cm. Una
recta, r, corta a la circunferencia en dos puntos,
A y B. La distancia entre A y B es de 18 cm.
¿Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a
la recta?
5Averigua cómo son los triángulos de lados:
a)7 cm, 8 cm, 11 cm
b)11 cm, 17 cm, 15 cm
c)34 m, 16 m, 30 m
d)65 m, 72 m, 97 m
6Halla el radio de la circunferencia sabiendo que:
—
OP = 39 cm
—
PT = 36 cm
T
P
7r1 = 15 cm, r2 = 6 cm,
O1O2 = 41 cm
Halla la longitud
del segmento T1T2.
O
T1
r1
O1
T2
r2
O2
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