eserved@d = *@let@token fg]bla Lógica II

Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Lógica II
Pablo Cobreros
pcobreros@unav.es
Tema 2: Elementos I
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Numeros
Resumen
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Introducción
Conjuntos
Conjuntos
Relaciones
Tratamiento extensional de las relaciones
Producto cartesiano
Relaciones de equivalencia
Ordenaciones
Funciones
Funciones
Numeros
Números
Resumen
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Numeros
Resumen
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
I
En este tema vamos a ver desarrollar algunas nociones que ya
han aparecido como las nociones de relación y función.
I
Las nociones introducidas aquı́ serán empleadas luego en
temas posteriores.
I
Además hablaremos también un poco sobre los números.
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
I
En este tema vamos a ver desarrollar algunas nociones que ya
han aparecido como las nociones de relación y función.
I
Las nociones introducidas aquı́ serán empleadas luego en
temas posteriores.
I
Además hablaremos también un poco sobre los números.
P. Cobreros
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Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
I
En este tema vamos a ver desarrollar algunas nociones que ya
han aparecido como las nociones de relación y función.
I
Las nociones introducidas aquı́ serán empleadas luego en
temas posteriores.
I
Además hablaremos también un poco sobre los números.
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Conjuntos
Qué es un conjunto
Intuitivamente un conjunto es una colección de objetos. Los alumnos
matriculados en 2o de Filosofı́a, por ejemplo, forman un conjunto
(llamémosle ∆). Expresamos la relación entre un objeto y un conjunto al
que pertenece empleando ‘∈’. Por ejemplo, Helena∈ ∆ pero Pablo∈
/ ∆.
Podemos definir los conjuntos de, al menos, dos maneras distintas:
I
Por intensión: especificando una propiedad que poseen los miembros
del conjunto. {n | n ∈ Nat} (donde Nat expresa la condición de ser
número natural).
I
Por extensión: nombrando cada uno de los elementos de un
conjunto. {0, 1, 2, 3, . . .}.
P. Cobreros
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Relaciones
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Resumen
Conjuntos
Relaciones entre conjuntos
Los conjuntos son extensionales en el sentido de que lo que define a un
conjunto son los elementos de ese conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los
alumnos matriculados en 2o Filosofı́a es igual al conjunto de los alumnos que
han venido hoy a clase.
Se dice que B está incluı́do en A, B ⊆ A, cuando todo elemento de B es
también un elemento de A. Según lo anterior, si B ⊆ A y A ⊆ B entonces A y
B son el mismo conjunto.
El conjunto vacı́o, ∅, es el conjunto que no tiene elementos. Sólo hay un
conjunto vacı́o (por qué?) El conjunto vacı́o está incluı́do en todo conjunto
(por qué?).
Los conjuntos son a su vez objetos, de modo que un conjunto puede ser un
elemento que pertenezca a otro conjunto. El conjunto de todas las cosas que
no son alumnos de 2o Filosofı́a tiene como elemento ∅ (dado que ∅ no es un
alumno de 2o de Filosofı́a). Sin embargo no hay que confundir las relaciones ∈
y ⊆: ∅ ⊆ ∅ pero ∅ ∈
/ ∅.
P. Cobreros
La simplicidad
Lógica II:
2
lasTema
ramas
de los conjuntos es engañosa: la teorı́a de conjuntos es una de
más potentes de la matemática.
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Numeros
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Conjuntos
Conjuntos Vs. tuplas ordenadas
Como hemos mencionado, lo que define a un conjunto es su extensión. El
conjunto {a, b, c} es igual al conjunto {b, c, a}.
Una n-tupla es un conjunto ordenado de n elementos. Expresamos las
n-tuplas de esta manera: ha1 , . . . , an i. A diferencia de los conjuntos, el
orden importa en las tuplas. Por ejemplo, el par hLa Pantoja, Paquirrı́ni
es distinto del par hPaquirrı́n, La Pantojai.
La operación Producto cartesiano genera un conjunto de pares ordenados
a partir de un conjunto:
Definición: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito
A × B, es la relación que empareja cada elemento de A con cada
elemento de B, es decir, A × B = {hx, y i | x ∈ A, y ∈ B}.
Usaremos esta operación en breve.
P. Cobreros
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Conjuntos
Relaciones
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Conjuntos
Operaciones entre conjuntos
Empleamos operaciones para definir conjuntos a partir de conjuntos.
I (Unión) A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
I (Intersección) A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
I (Complemento) ∼ (A) = {x | x ∈
/ A}.
I (Conjunto potencia) ℘(A) = {x | x ⊆ A}.
Esto es suficiente de momento
P. Cobreros
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Resumen
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Tratamiento extensional de las relaciones
Tratamiento extensional
En la lógica de primer orden, un predicado se interpreta con un conjunto
de elementos. Por ejemplo, el predicado ‘es hombre’ se interpretará con
el conjunto: {Jesús, Marı́a, La Pantoja, Paquirrı́n...}.
Aunque este modo de proceder es una idealización (puesto que los
predicados son sensibles a contextos intensionales), resulta muy útil. Este
modo de tratar los predicados se conoce como ‘extensional’ ya que
identifica el predicado con su extensión.
Cuando veamos la semántica para lenguajes de primer orden nos
preguntaremos qué aspecto deben tener las interpretaciones. Por ejemplo,
pregunaremos cómo interpretar una oración de la forma Pa. El predicado
se interpretará con un conjunto de elementos del universo de discurso.
P. Cobreros
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Funciones
Numeros
Resumen
Tratamiento extensional de las relaciones
Tratamiento extensional
En la lógica de primer orden, un predicado se interpreta con un conjunto
de elementos. Por ejemplo, el predicado ‘es hombre’ se interpretará con
el conjunto: {Jesús, Marı́a, La Pantoja, Paquirrı́n...}.
Aunque este modo de proceder es una idealización (puesto que los
predicados son sensibles a contextos intensionales), resulta muy útil. Este
modo de tratar los predicados se conoce como ‘extensional’ ya que
identifica el predicado con su extensión.
Cuando veamos la semántica para lenguajes de primer orden nos
preguntaremos qué aspecto deben tener las interpretaciones. Por ejemplo,
pregunaremos cómo interpretar una oración de la forma Pa. El predicado
se interpretará con un conjunto de elementos del universo de discurso.
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Funciones
Numeros
Resumen
Tratamiento extensional de las relaciones
Tratamiento extensional
En la lógica de primer orden, un predicado se interpreta con un conjunto
de elementos. Por ejemplo, el predicado ‘es hombre’ se interpretará con
el conjunto: {Jesús, Marı́a, La Pantoja, Paquirrı́n...}.
Aunque este modo de proceder es una idealización (puesto que los
predicados son sensibles a contextos intensionales), resulta muy útil. Este
modo de tratar los predicados se conoce como ‘extensional’ ya que
identifica el predicado con su extensión.
Cuando veamos la semántica para lenguajes de primer orden nos
preguntaremos qué aspecto deben tener las interpretaciones. Por ejemplo,
pregunaremos cómo interpretar una oración de la forma Pa. El predicado
se interpretará con un conjunto de elementos del universo de discurso.
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Funciones
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Resumen
Tratamiento extensional de las relaciones
Tratamiento extensional
El tratamiento extensional se puede extender al caso de las relaciones. En
este caso, una relación se interpretará con un conjunto de pares
ordenados. Esto es ası́ porque en las relaciones el orden importa:
...es madre de... es verdadero de hLa Pantoja, Paquirrı́ni pero falso de
hPaquirrı́n, La Pantojai.
En lógica de primer orden, las relaciones, como los predicados, se tratan
extensionalmente. Una interpretación para una relación R consistirá, por
tanto, en un conjunto de pares ordenados del universo de discurso. Por
ejemplo, si queremos interpretar R con la relación ...es madre de..., la
interpretación será el conjunto de pares:
{. . . hLa Pantoja, Paquirrı́ni, hMarı́a, Jesúsi . . . }
P. Cobreros
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Tratamiento extensional de las relaciones
Tratamiento extensional
El tratamiento extensional se puede extender al caso de las relaciones. En
este caso, una relación se interpretará con un conjunto de pares
ordenados. Esto es ası́ porque en las relaciones el orden importa:
...es madre de... es verdadero de hLa Pantoja, Paquirrı́ni pero falso de
hPaquirrı́n, La Pantojai.
En lógica de primer orden, las relaciones, como los predicados, se tratan
extensionalmente. Una interpretación para una relación R consistirá, por
tanto, en un conjunto de pares ordenados del universo de discurso. Por
ejemplo, si queremos interpretar R con la relación ...es madre de..., la
interpretación será el conjunto de pares:
{. . . hLa Pantoja, Paquirrı́ni, hMarı́a, Jesúsi . . . }
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Tratamiento extensional de las relaciones
Tratamiento extensional
El tratamiento extensional se puede extender al caso de las relaciones. En
este caso, una relación se interpretará con un conjunto de pares
ordenados. Esto es ası́ porque en las relaciones el orden importa:
...es madre de... es verdadero de hLa Pantoja, Paquirrı́ni pero falso de
hPaquirrı́n, La Pantojai.
En lógica de primer orden, las relaciones, como los predicados, se tratan
extensionalmente. Una interpretación para una relación R consistirá, por
tanto, en un conjunto de pares ordenados del universo de discurso. Por
ejemplo, si queremos interpretar R con la relación ...es madre de..., la
interpretación será el conjunto de pares:
{. . . hLa Pantoja, Paquirrı́ni, hMarı́a, Jesúsi . . . }
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Funciones
Numeros
Resumen
Producto cartesiano
Producto cartesiano
Definición: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito
A × B, es la relación que empareja cada elemento de A con cada
elemento de B, es decir, A × B = {hx, y i | x ∈ A, y ∈ B}.
El producto cartesiano nos sirve para definir el conjunto de pares en el
que se encuentrar incuı́da una relación.
Por ejemplo, la relación ‘... es marido de...’ será un subconjunto de
Varones×Mujeres. La relación ‘...es amigo de...’ será un subconjunto de
Humano×Humano (suponiendo que es una relación que se da
únicamente entre seres humanos).
P. Cobreros
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Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Producto cartesiano
Ejemplos
Ejemplo: Sea A = {1, 2} y B = {a, b}. Calcular A × B
Toda relación en un conjunto A es un subconjunto de A × A.
Ejemplo: Sea A = {Felipe (padre), Marı́a (madre), Juan (hijo), Patricia
(hija)}. Cualquier relación que podamos considerar dentro de este conjunto
está en A × A:
{hFelipe, Felipei, hFelipe, Marı́ai, hFelipe, Juani, hFelipe, Patriciai, hMarı́a,
Felipei, hMarı́a, Marı́ai, hMarı́a, Juani, hMarı́a, Patriciai, hJuan, Felipei, hJuan,
Marı́ai, hJuan, Juani, hJuan, Patriciai, hPatricia, Felipei, hPatricia, Marı́ai,
hPatricia, Juani, hPatricia, Patriciai}
P. Cobreros
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Relaciones
Funciones
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Relaciones de equivalencia
Reflexividad, simetrı́a, transititvidad
Definiciones
I
Una relación R en un conjunto A es reflexiva ssi todo elemento de A
está conectado por R consigo mismo.
I
Una relación R en un conjunto A es simétrica ssi para cualesquiera
elementos a, b en A, si Rab entonces Rba.
I
Una relación R en un conjunto A es transitiva ssi para cualesquiera
elementos a, b, c en A, si Rab y Rbc entonces Rac.
Ejercicio: De las siguientes relaciones diga si tienen las propiedades
mencionadas:
...es padre de... ...está casado con... ...es hermano de...
P. Cobreros
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Relaciones de equivalencia
Relación de equivalencia
Definición: Una relación R en un conjunto A es una relación de
equivalencia ssi R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplos:
...estudió en Universidad de...
...pertenece a la familia de...
Las relaciones de equivalencia expresan que cierto aspecto es el mismo entre
los elementos que relacionan. La relación de equivalencia por excelencia es la
de identidad.
P. Cobreros
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Relaciones
Funciones
Numeros
Ordenaciones
Antisimetrı́a y ordenación parcial
Definición: Una relación R es antisimétrica ssi si Rab y a 6= b entonces
no es el caso que Rba.
Definición: Una relación R en un conjunto A es una ordenación parcial
de A ssi R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Ejemplos: Los árboles generados por las tablas analı́ticas son
ordenaciones parciales.
Una relación de este tipo establece cierto orden entre los elementos del
conjunto al que se aplica. En una ordenación parcial de un conjunto
puede haber elementos que no estén conectados por la relación.
P. Cobreros
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Resumen
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Ordenaciones
Ordenación lineal
Definición: Una ordenación parcial R de un conjunto A es lineal
ssi para cualesquiera elementos a, b en A al menos uno de ellos
está conectado con el otro por R.
Ejemplos: Una ordenación lineal es la relación ‘...mayor o igual
que...’ sobre el conjunto de números naturales.
P. Cobreros
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Resumen
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Ordenaciones
Elementos máximos y mı́nimos
Definición: Sea R una ordenación parcial de un conjunto A. Un
elemento de a es máximo (respecto a R) ssi no está conectado por
R con ningún otro elemento de A. Un elemento de A es mı́nimo
(respecto a R) precisamente si ningún otro elemento de A está
conectado por R con él.
Ejemplos: Los árboles de las tablas analı́ticas tienen un único
elemento mı́nimo y un número finito de elementos máximos.
Una ordenación lineal puede tener a lo sumo un elemento mı́nimo y
un elemento máximo (ejercicio).
P. Cobreros
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Ordenaciones
Irreflexividad y ordenaciones estrictas
Definición: Una relación R en un conjunto A es irreflexiva ssi si
ningún objeto está conectado por R consigo mismo.
Definición: Una relación R en un conjunto A es una ordenación
estricta de A ssi R es irreflexiva y transitiva.
Ejemplos: La relación ‘ser un ancestro de’ es una ordenación
estricta sobre el conjunto de los hombres.
Las nociones de ordenación estricta lineal y de elemento máximo y
elemento mı́nimo respecto a una ordenación estricta se definen de
manera análoga a los de ordenación lineal y elemento máximo y
elemento mı́nimo respecto a una ordenación parcial.
P. Cobreros
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Funciones
Qué es una función
Una función es una relación que empareja uno o varios elementos de un
conjunto A con un único elemento de un conjunto B.
Ejemplos: La suma y la multiplicación son funciones de dos argumentos
del conjunto de números naturales al conjunto de números naturales.
Definición: Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es una
función de A a B precisamente si cada elemento de A está conectado por
R con exactamente un elemento de B. El conjunto A es el dominio de la
función y B el alcance.
Utilizaremos las letras f , g , h para designar funciones. Una función f de
A a B se designa: f : A → B. Si b es el elemento de B con que f
empareja al elemento a de A, b es la imagen bajo f de a, escrito f (a).
P. Cobreros
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Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Funciones
Qué es una función
Una función es una relación que empareja uno o varios elementos de un
conjunto A con un único elemento de un conjunto B.
Ejemplos: La suma y la multiplicación son funciones de dos argumentos
del conjunto de números naturales al conjunto de números naturales.
Definición: Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es una
función de A a B precisamente si cada elemento de A está conectado por
R con exactamente un elemento de B. El conjunto A es el dominio de la
función y B el alcance.
Utilizaremos las letras f , g , h para designar funciones. Una función f de
A a B se designa: f : A → B. Si b es el elemento de B con que f
empareja al elemento a de A, b es la imagen bajo f de a, escrito f (a).
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Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Funciones
Composición
Definición: Si f y g son funciones tales que el alcance de f es un
subconjunto del dominio de g , la composición de g y f , escrito
g ◦ f , es la función que empareja cada elemento del dominio de f
con la imagen bajo g de su imagen bajo f ; es decir, para todo
elemento del dominio de f , g ◦ f (x) = g (f (x)).
Ejemplos: Sean Juan, José y Vicente nieto, padre y abuelo. La
función f =‘El padre de...’ aplicada a Juan da como resultado José.
La composicion f ◦ f aplicada a Juan da como resultado Vicente.
P. Cobreros
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Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Funciones
Funciones biunı́vocas
Definición: Una función es biunı́voca ssi nunca asigna la misma imagen
a más de un elemento de su dominio.
Ejemplos: La función que empareja cada embajador en Washington con
el paı́s que representa es biunı́voca (cada embajador representa a un paı́s
distinto).
Definición: Si f es una función biunı́voca, la inversa de f , escrito f −1 , es
la función que empareja cada elemento del alcance de f con el elemento
del dominio del que es imagen bajo f .
El resultado de invertir una función biunı́voca es una función (trivial).
Además es una función biunı́voca (Zalabardo: 48, Lema 1.40).
P. Cobreros
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Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Funciones
Correspondencia biunı́voca
Definición: Una correspondencia biunı́voca entre un conjunto A y
un conjunto B es una función biunı́voca que tiene la totalidad de
B como alcance.
La noción de función cumplirá un papel importante en lo que
veremos más adelante. La noción de correspondencia biunı́voca
será importante sobre todo a partir del tema 6.
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Números
Naturales
I
El conjunto de los números naturales, N, contiene 0, 1, 2, 3,
...
1. Tienen un único elemento mı́nimo (0),
2. no tienen elemento máximo,
3. y están ordenados linealmente por ≤.
I
Los enteros positivos, son los naturales sin 0.
I
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Papel auxiliar en los subı́ndices de conjuntos y tuplas.
Resumen
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Números
Enteros
I
El conjunto de los números enteros, Z, contiene
...−3 − 2, −1, 0, 1, 2, 3, ... es decir,
1.
2.
3.
4.
5.
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Los enteros positivos, Z+ ,
Los enteros negativos, Z− ,
0,
están ordenados linealmente por ≤,
aunque sin elementos mı́nimos ni máximos.
Numeros
Resumen
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Números
Racionales
I
El conjunto de los números racionales, Q, es el conjunto de
números expresables como una fracción de enteros, como 1/2
o 45/ − 36
1. Los números racionales tienen más de una expresión, como 1/2
y 2/4,
2. Z ⊆ Q,
3. están ordenados linealmente por ≤,
4. sin elementos mı́nimos ni máximos,
5. aunque densamente: Si a < b entonces hay un c distinto de a
y distinto de b tal que a < c < b (esto es, entre cualesquiera
dos racionales hay otro).
6. Sobre la expansión decimal de un número racional.
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
Resumen
Números
Reales
I
Hay números
√ que no son expresables como una fracción de
enteros: π, 2. Éstos pertenecen a una categorı́a más amplia,
la de números reales, R, que consiste en la clase de números
expresables por una expansión decimal.
1. Q ⊆ R,
2. Los reales no racionales se llaman irracionales. Su expansión
decimal es infinita y no uniforme.
3. están ordenados lineal y densamente por ≤,
4. sin elementos mı́nimos ni máximos,
5. aunque ≤ es una ordenación continua
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Introducción
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Numeros
En esta sección hemos visto:
1. Relaciones
I
I
I
Producto cartesiano
Relaciones de equivalencia
Ordenaciones (parciales, lineales, estrictas, con elementos
mı́nimos y máximos)
2. Funciones
I
I
Qué es una función
Composición, biunı́vocas y correspondencias
3. Números
I
P. Cobreros
Lógica II: Tema 2
Naturales, enteros, racionales y reales
Resumen