ejercicios de estimación estadística

EJERCICIOS DE ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
1º) Se supone que el tiempo medio diario, dedicado a ver TV en una cierta zona se puede
aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica igual
a 15 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400 espectadores de TV es esa
zona, obteniéndose que el tiempo medio diario dedicado a ver TV es de tres horas.
a) determínese un intervalo de confianza para µ con un nivel de confianza del 95%.
b) Cuál ha de ser el tamaño de la muestra para que el error de estimación de µ sea menor o
igual a tres minutos con un nivel de confianza del 90%

σ
σ 
 x − zα ⋅

,
x
+
z
⋅
α


n
n
2
2


a) El intervalo de confianza para la media , vendrá dado por:
A un nivel de confianza del 95% le corresponde un nivel de significación de α=0,05 →
α
2
= 0,025




 = 0,025 → P  z ≤ z α  = 1 − 0,0250 = 0,975 → z α = 1,96
≥
z
α




2 
2 
2


15
15 

El intervalo será:  180 − 1,96 ⋅
, 180 + 1,96 ⋅
 = (178´53,181´47)
400
400 

Pz
E = zα ⋅
b) El error de estimación será:
σ
2
n
A un nivel de confianza del 90% le corresponde
z α = 1,645 por lo tanto el error será:
2
15
E=1,645
=3 →
n
n = 8,225 → n = 67,65
El tamaño mínimo de la muestra debe ser de 68 personas.
2º) Se supone que el precio (en euros) de un refresco, se puede aproximar por una variable
aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica igual a 0,09 euros. Se toma una
muestra aleatoria simple del precio del refresco en 10 establecimientos y resulta:
1,50
1,60
1,10
0,90
1,00
1,60
1,40
0,90
1,30
1,20
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para µ.
b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor absoluto
de la diferencia entre la media muestral y µ, sea menor o igual que 0,10 € con probabilidad
mayor o igual que 0,99.
1,50 + 1,60 + 1,10 + 0,90 + 1,00 + 1,60 + 1,40 + 0,90 + 1,30 + 1,20
= 1,25
10
A un nivel de confianza del 95% le corresponde un valor de z α =1,96
La media muestral será:
x=
2
El intervalo de confianza para la media será:
0,09
0,09 

, 1,25 + 1,96
1,25 − 1,96
 = (1´19 ,1´31)
10
10 

b) Nos piden el tamaño de la muestra para que el error sea menor que 0,10 con un nivel de
confianza del 99%. A este nivel de confianza le corresponde un valor de
x − µ = E = 2,575
0,09
= 0,10
n
→
α
2
=2,575 por tanto:
n =2,3175 → n= 5,37
El tamaño mínimo de la muestra del precio del refresco debe de ser de 6.
3º) Una empresa fabrica tornillos para llantas, cuyo diámetro sigue una distribución normal de
media igual a µ mm y desviación típica igual a 2 mm. Se selecciona un lote de 100 tornillos y
resulta una media muestral de 19 mm.
a) Determina un intervalo de confianza al 98% para µ.
b) Para un determinado modelo de automóvil, se exige que el diámetro de los tornillos sea de 20
mm. Plantea un test de hipótesis que permita decidir si los tornillos fabricados se ajustan a ese
tamaño, con una confianza del95%.
a) A un nivel de confianza del 98% le corresponde α=0,02 por lo que
α
2
=0,01




2,32 + 2,33
P z ≥ z α  = 0,01 → P z ≤ z α  = 1 − 0,01 = 0,99 → z α =
=2,325
2
2 
2 
2



2 
σ
σ  
2
 = 19 − 2,325
, 19 + 2,325
El intervalo será:  x − z α ⋅
,
x
+
z
⋅
=
α


100
100 
n
n 

2
2
= (18´535 ,19´465)
b) Planteamos las hipótesis nula y alternativa
H0: µ=20
H1: µ≠20
La zona de aceptación será un intervalo de confianza para la media (µ=20), ahora con un nivel
de confianza del 95%.

σ
σ 
 µ − zα ⋅

µ
,
+
z
⋅
α

n
n 
2
2

Al un nivel de confianza del 95% le corresponde
z α =1,96 por lo que el intervalo queda:
2
2
2 

, 20 + 1,96
 20 − 1,96
 = (19´608 , 20´392)
100
100 

Como x =19 ∉ (19´608 , 20´392) se decide con una confianza del 95% que los
tornillos fabricados no se ajustan al diámetro necesario.
4º) La altura en cm. de las cañas producidas por una variedad de carrizo en cada cosecha es
una variable aleatoria que sigue una ley normal con desviación típica σ = 16 cm. Para contrastar
si la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170 cm, se ha tomado una muestra
aleatoria de 64 de estas cañas y se han medido sus longitudes, resultando como media muestral
x = 166 cm. ¿Son suficientes estos datos para rechazar que la altura media de las cañas de la
última cosecha es de 170 cm, a un nivel de significación α = 0,05?
H0:
H1:
µ=170
µ≠170
Para α = 0,05 ,
z α =1,96 por lo que
2
16
16 

, 170 + 1,96
170 − 1,96
 =(166´08 , 173´92)
64
64 

Se rechaza la hipótesis nula de que la altura media de las cañas es de 170 cm