Poster 2 del grupo en la Jornada de Investigación de la FCT

OPTIMIZACIÓN LINEAL Y ENTERA PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA MIXTA APLICACIONES
M. Merino1, G. Pérez1, A. Garín2, L. F. Escudero3
1. Departamento de Matemática Aplicada, Estadística e Investigación Operativa, UPV/EHU
2. Departamento de Economía Aplicada III (Estadística y Econometría), UPV/EHU
3. Departamento de Estadística e Investigación Operativa, URJC
OPTIMIZACIÓN LINEAL Y ENTERA
Problema entero 0‐1 con un elevado
número de variables y restricciones
x ∈ {0 ,1}
• Preprocesar para eliminar redundancias.
• Fijar variables a 0 ó a 1.
• Identificar nuevas condiciones como ciclos
maximales o cubrimientos minimales.
• Reforzar vía incremento o reducción de
coeficientes las restricciones del problema.
• Resolver la relajación lineal, obtenida al eliminar la
condición de integralidad sobre las variables 0-1.
• Utilizando metodología Branch and Bound y Branch
and Cut obtener el óptimo 0-1.
Ciclos maximales y cubrimientos minimales
j∈J
ij
∑x
j∈C1
j
j
≤ bi , aij ≤ bi ,
aij , bi ∈ Z +
∀j ∈ J
≤ 1, x j ∈{0,1}
∑ c j x j ≤ k,
Se trata de abordar el entorno
de incertidumbre que rodea a
dichos problemas, a través de
una disciplina dentro de la
Optimización
denominada
Programación Estocástica vía
Análisis de Escenarios.
Planificación de la producción
La planificación de la producción es una de las tareas más
importantes para los encargados de la manufacturación de
una empresa. Hay que tener en cuenta la incertidumbre de la
demanda y planear la producción a lo largo de varios
periodos de tiempo para evitar problemas relacionados con la
continuidad de la producción. Algoritmo BFC.
Principio de no‐anticipatividad
Si dos escenarios, sean ω y ω'
son idénticos considerando la
información disponible sobre ellos
desde la primera etapa hasta la
etapa t incluida, entonces las
decisiones a tomar bajo esos
escenarios hasta la etapa t deben
ser las mismas.
Modelo 2 etapas mixto 0‐1
∑ aij > bi y
j∈C2
j∈C2
∑ aij ≤ bi ∀l ∈ C2
j∈C2 , j ≠ l
Z
PE
∑ w [c δ + c x + q y ]
= min
ω
ω ∈Ω
t
ω
1
⎛δ ⎞
b1 ≤ A ⎜ ω ⎟ ≤ b 2
⎝x ⎠
ω
⎛δ ⎞
h 01ω ≤ T 0ω ⎜ ω ⎟ ≤ h 02ω
⎝x ⎠
t
ω
ωt
ω
2
Planificación financiera
ω
∀ω ∈ Ω
⎛δ ⎞
h1ω ≤ T ω ⎜ ω ⎟ + W ω y ω ≤ h 2ω
⎝x ⎠
∀ω ∈ Ω
xω , yω ≥ 0
ω
δ ω ∈ {0 ,1}
∀ ω ,ω ' ∈ Ω
Sistema reforzado equivalente más fuerte
δ −δ
∀ ω ,ω ' ∈ Ω
j
cl xl +
∑c x
j∈J
ij
≤ bi , aij ≤ bi ,
j∈J \{l}
j
j
≤ k,
aij , bi ∈ Z + ∀j ∈ J
cl > cl
ω
ω'
=0
∀ω ∈ Ω
Dado un conjunto de periodos de tiempo, un conjunto de
activos, en concreto, títulos con garantía hipotecaria y un
presupuesto o capital inicial para invertir, la aplicación MBS
consiste en determinar el subconjunto de los activos que
serán incluidos en la cartera así como la fracción del valor
nominal a considerar para cada uno, bajo incertidumbre en
la trayectoria del tipo de interés a lo largo del horizonte de
planificación. Algoritmo BFC-BD.
∀ω ∈ Ω
xω − xω = 0
'
∑a x
APLICACIONES
Las aplicaciones de las técnicas de Optimización bajo
Incertidumbre están dando lugar a resultados muy
satisfactorios en numerosos campos, entre los que cabe
destacar: planificación de la producción, distribución de
canales de riego, distribución y gestión de la red eléctrica,
logística y planificación de comunicaciones, problemas de
localización de plantas, administración de inversiones en
carteras de valores financieros, control del tráfico aéreo y
asignación de rutas de vehículos.
En los procesos de toma de
decisiones
es
habitual
encontrarse en un entorno no
totalmente determinista.
max c t x
Ax ≤ b
∑a x
PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA MIXTA
Algoritmo BFC‐BD
Algoritmo diseñado para la resolución de problemas estocásticos multietapa
mixtos 0‐1. Combina técnicas de ramificación y fijación coordinada (BFC) con la
Descomposición de Benders (BD). Implentado en C++ con COIN
REFERENCIAS
Comparativa Log2
Scaled Performance
Profile en términos de
tiempo de CPU, en 23
problemas estocásticos
bietapa mixtos 0-1
[1] J.R. Birge y F.V. Louveaux. Introduction to Stochastic
Programming. Springer Series in Operations research, New York:
Springer-Verlag, 1997.
[2] A. Alonso-Ayuso, L.F. Escudero, A. Garín, M. T. Ortuño, G. Pérez.
On the product selection and plant dimensioning under uncertainty.
Omega, 33:307-318, 2005.
[3] L.F. Escudero, A. Garín, M. Merino, G. Pérez. A two-stage integer
programming approach as a mixture of Branch –and-Fix Coordination
and Benders Decomposition schemes. Annals of Operations
Research, 152:395-420, 2007
PROYECTOS
[1] Análisis de la integración de los mercados de renta fija en la
Unión Europea. MEC.2005-08.
[2] Integración y eficiencia de los mercados de renta fija en los
paises de la Unión Europea. FBBVA. 2005-07.
[3] Métodos cuantitativos aplicados al estudio de mercados
Stochastic Programming Community
http://stoprog.org
Computational Infrastructure for Operations Research Red Temática de Optimización bajo Incertidumbre financieros. UPV.038.
http://www.coin-or.org
http://www.optimizacionbajoincertidumbre.org