Trigonometría

La Trigonometría es la parte de las Matemáticas dedicada al estudio de las relaciones existentes entre los lados y los
ángulos de un triángulo. Un triángulo queda determinado conociendo sólo alguno de sus elementos. A partir de ellos,
se puede obtener el valor de los otros. Por ejemplo, conociendo un ángulo y los lados que lo forman , el triángulo
queda determinado, es decir , se sabe inequívocamente, cuál es. A este proceso se le llama , actualmente, resolver el
triángulo.
¿Para qué se puede desear resolver un triángulo? Muchas aplicaciones justifican el desarrollo de la trigonometría a
través de la historia:
Astronomía: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, predicción de eclipses,
confección de calendarios, ...
Artillería: ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que sea disparar con una catapulta o un cañón?
Cartografía: Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y ángulos.
Construcciones. Como construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En que
dirección se excava un túnel para que salga , al otro lado de la montaña , en el lugar deseado.
Navegación. Construcción de cartas marinasen las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes....
Sus orígenes se remontan al tiempo de los egipcios. Ante las periódicas inundaciones del río Nilo, resultaba de vital
importancia conocer la cantidad de superficie cultivable. Desde mucho antes se sabía calcular el área de un triángulo;
el más conocido y utilizado era aquel cuyos lados medían 3, 4 y 5. Pero el problema surgía cuando en la triangulación
de la superficie no todos los triángulos eran rectángulos. ¿Cómo calcular entonces el área de un triángulo cualquiera
con el sólo conocimiento de las longitudes de los lados? Quien dio la respuesta a esta última cuestión fue Herón de
Alejandría.
Las culturas babilónicas, egipcia y griega antigua, manejaron aspectos práctico relacionados con la Trigonometría:
medida de ángulos en grados sexagesimales, realización de algunas construcciones para las que se requería
triangulación como, por ejemplo, el túnel de Samos (siglo VI a.C.) que se taladró desde sus dos extremos, orientación
de templos de modo que un cierto día del año el Sol iluminara el santuario consagrado al Dios,....
La búsqueda de precisión para prever eclipses y para construir calendarios eficientes, les llevó a una sistematización
de sus observaciones y al intento de una matematización de las mismas. Este proceso lo culmina Hiparco (s II a.C)
con la construcción de unas auténticas tablas trigonométricas precursoras de la moderna Trigonometría.
Siglos más tarde, en tiempos de Copérnico, empezaron los estudios de lo que más tarde se denominaría
Trigonometría esférica, entre cuyas aplicaciones se halla el cálculo de la distancia entre dos puntos cualesquiera de
una superficie esférica. En el siglo XVI FranÇois Viète sistematizó y amplió los conocimientos trigonométricos de
entonces con importantes teoremas que aplicó a la resolución de problemas aritméticos y geométricos. Pocos años
después se inventaron los logaritmos. La espléndida ayuda que estos aportaron para aliviar los cálculos aritméticos
supuso un enorme impulso al desarrollo posterior de la Trigonometría.
Desde su descubrimiento, la Trigonometría ha permitido resolver numerosos problemas de las ciencias aplicadas.
Arquitectura, topografía, navegación, astronomía, .... no serían posibles sin la existencia de la Trigonometría.
1. MEDIDA DE ÁNGULOS
Cada vez que medimos una magnitud debemos tomar una unidad de medida. Existen varios sistemas de
medida de ángulos.
A Sistema sexagesimal. La unidad fundamental de medida en el sistema sexagesimal es el grado
sexagesimal. Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto. Para medir ángulos
pequeños utilizamos submúltiplos del grado. Un grado tiene 60 minutos. Un minuto tiene 60
segundos.
x60
x 60
1 grado = 1º
1 minuto = 1´
1 segundo = 1´´
: 60
: 60
Una medida angular en el sistema sexagesimal puede venir expresada en una única unidad ( forma
incompleja) o en varias (forma compleja) . Para pasar de una a otra basta aplicar las equivalencias
entre las diferentes unidades.
Ejemplo :
24,22º (forma incompleja)
= 24º 13´12´´ (forma compleja)
ASistema centesimal. Un grado centesimal es la centésima parte de un ángulo recto. Un
grado centesimal tiene 100 minutos. Un minuto centesimal tiene 100 segundos.
x 100
x 100
1 grado = 1 g
1 minuto = 1 min
1 segundo = 1s
: 100
: 100
La ventaja de este sistema es que la transformación de una expresión compleja a incompleja y
viceversa , es automática.
Ejemplo :
48,5216g = 48g 52m 16s
ARadian. La unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacional es el radián Un radian
es una medida angular correspondiente a un ángulo cuyo lado mide igual que su arco.
Como la longitud de una circunferencia es 2pr, el radio ( lado del ángulo ) cabe 2p veces en la
circunferencia y por tanto 360º = 2p rad. Esta equivalencia permite pasar de grados a radianes y
viceversa.
EJERCICIOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Expresa en forma incompleja de segundos 35º 17´26´´.
Expresa en forma compleja 32046´´.
Expresa el ángulo a = 65g 43m 12s en forma sexagesimal.
Expresa el ángulo a = 15º 43´21´´ en forma centesimal
¿Cuántos radianes son 150º?
Expresa en radianes los ángulos de 90º y 210º.
7.
Expresa los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal:
5p
p
rad , rad .
3
8
UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA.
Las calculadoras científicas pueden trabajar con los tres tipos de medidas angulares. Basta escoger el
modo correspondiente: DEG= sistema sexagesimal, GRA= sistema centesimal , RAD = radianes.
Para introducir en la calculadora, por ejemplo, el valor del ángulo 15º 23´ 56´´ , debes teclear :
1
5
° ´ ´´
2
3
° ´ ´´
5
6
° ´ ´´
Obtendrás 18,39888889, que es la expresión decimal o incompleja del ángulo.
Si lo que quieres es hallar la expresión compleja del ángulo, por ejemplo, si te dan el ángulo
25,764166º debes teclear el número y después la inversa de
° ´ ´´
EJERCICIO . Escribe la forma incompleja de los siguientes ángulos , utilizando la calculadora
a) 15,3824º
b) 25,1206º
c) 87,0285º
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
Consideremos un ángulo a. Señalamos un punto cualquiera A de uno de sus lados y trazamos la
perpendicular al otro lado. Con ello obtenemos un triángulo rectángulo. Se definen las razones
trigonométricas del ángulo a de la siguiente manera:
A
Seno de a :
a
catetoopuesto
b
=
hipotenusa
a
cateto _ contiguo c
cos a =
=
hipotenusa
a
sen a =
Coseno de a :
cateto _ opuesto
b
=
cateto _ contiguo c
hipotenusa
a
Cosecante de a : cosec a =
=
cateto _ opuesto b
hipotenusa
a
Secante de a:
sec a =
=
cateto _ contiguo c
cateto _ contiguo c
Cotangente de a : cotg a =
=
cateto _ opuesto
b
Tangente de a:
Y las razones inversas a estas :
tg a =
Þ Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo utilizado para
definirlas.
EJERCICIOS.
1.
Calcula las razones trigonométricas del ángulo a:
6 cm
a
8 cm
2.
¿Puede ser el seno de un ángulo agudo mayor que 1 ? Razona tu respuesta.
3.
Calcula las razones trigonométricas de a
a
8 cm
6
cm
3. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Como los ángulos de un triángulo suman siempre 180º y en un triángulo rectángulo tiene que
haber un ángulo de 90º, los otros dos ángulos son complementarios. Observa lo siguiente:
a
c
b
cosa =
c
b
c
a
cos b =
c
sen a =
Como puedes ver se verifica
sen a = cos b
y
sen b =
sen b = cos a
Por tanto , el seno de un ángulo coincide con el coseno de su complementario.
EJERCICIO: Halla el seno y el coseno de 60º , sabiendo que sen 30º = ½ y cos30º =
3
2
UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA
Al utilizar la calculadora pueden presentarse dos problemas distintos:
Problema directo : Dado un ángulo , determinar sus razones trigonométricas.
Ejemplo: Vamos a calcular sen20º15´
1º Introducimos el ángulo :
2
0
° ´ ´´
1
5
° ´ ´´
2º Tecleamos : sin
En algunas calculadoras hay que teclear primero sin .
Obtendrás 0,346117057
Problema inverso : Dada una razón trigonométrica, encontrar el ángulo correspondiente.
Ejemplo: Encontrar el ángulo a tal que sen a = 0,2734
1º Introducimos el número 0,2734
2º Tecleamos :
shift
sin
o
inv
sin
según la calculadora.
Obtendrás 15,866687
Lo pasaras a su expresión en grados minutos y segundos como explicamos
Anteriormente: 15º 52´0,07´´
EJERCICIOS.
1. Utilizando la calculadora averigua el valor de:
a) sen 80º 25´12´´
e) sec 28º 13´
b) cos 120º 13´´
f) cotg 126º 12´36´´
c) tg 71º 12´32´´
g) cos 250º 36´´
d) cosec 36º
h) tg 270º
2. Utilizando la calculadora averigua el valor del ángulo a tal que:
a) Sen a = 0,8311
c) tg a = -3,2614
b) Cos a = - 0,2634
d) sen a = - 0,9235
4. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
MISMO ÁNGULO
Entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo existen unas relaciones que nos serán de
gran utilidad, pues nos permitirán , conocida una razón, calcular las otras.
Observando el dibujo,
2
æ cö
æ bö
sen a + cos a = ç ÷ + ç ÷
è aø
è aø
2
2
2
y así obtenemos el teorema fundamental de la trigonometría:
c2 + b2
a2
=
= 2 =1
a2
a
sen2 + cos2 = 1
Si ahora dividimos el seno entre el coseno de un ángulo, obtenemos:
c
sen a
a = c = tg a
=
b
cosa
b
a
Þ tg a =
sen a
cosa
Si ahora, partiendo de la fórmula fundamental, dividimos por sen2a o por cos2a , obtenemos
nuevas relaciones:
sen 2 a cos2 a
1
+
=
2
2
sen a sen a sen 2 a
sen 2 a cos2 a
1
+
=
2
2
cos a cos a cos2 a
Þ
1 + cotg2a = cosec2 a
Þ
1 + tg2a = sec2 a
EJERCICIOS.
1. Sabiendo que sen a = 0,6 , calcula el resto de las razones trigonométricas del ángulo.
2. Calcula las razones trigonométricas de a sabiendo que tg a =
3
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.
Las razones trigonométricas de un ángulo dependen sólo de la “abertura” del ángulo, no de la
medida de sus lados. Suelen considerarse los ángulos dibujados con vértice en el centro de una
circunferencia ( no importa el radio ) de centro el origen de coordenadas y con uno de sus lados
sobre el eje x. De esta manera , cada ángulo a está asociado a un punto P de la circunferencia.
Este punto P tendrá unas coordenadas , P ( x, y ) . Por tanto , se tiene :
sen a =
y
r
cosa =
x
r
tg a =
y
x
P (x,y)
r
y
x
Como el radio puede tomar cualquier valor, suele utilizarse una circunferencia de radio 1 , que
recibe el nombre de circunferencia goniométrica. De esta manera:
y
=y
1
x
cos a = = x
1
y
tg a = = z ( th de Thales)
x
sen a =
1
y
z
a
x
Según lo dicho anteriormente, podemos razonar cual es el signo de cualquier razón
trigonométrica en cualquiera de los cuatro cuadrantes:
sen a Þ +
cosec a Þ +
cos aÞ +
sec a Þ +
tg a Þ +
cotg a Þ +
sen a Þ +
cosec a Þ +
cos aÞ -
sec a Þ -
tg a Þ -
cotg a Þ -
sen a Þ -
cosec a Þ -
cos aÞ -
sec a Þ -
tg a Þ +
cotg a Þ +
sen a Þ -
cosec a Þ -
cos aÞ +
sec a Þ +
tg a Þ -
cotg a Þ -
Si queremos calcular las razones trigonométricas de ángulos de más de 360º basta dividir por
360 para saber el número de vueltas que da . El resto de la división efectuada proporciona el
ángulo equivalente del primer giro.
Ejemplo: 1 3 2 0
240
360
3
sen 1320º = sen 240º = -0,866
EJERCICIOS.
1. Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 66º, 175º ,
342º , -18º , -120º.
2. Calcula las razones trigonométricas de a , sabiendo que pertenece al cuarto cuadrante y que
su seno vale –1/2.
3. Calcula las razones trigonométricas de 120º , reduciendo a un ángulo del primer cuadrante.
4. Calcula las razones trigonométricas de a sabiendo que tg a = -3
y
90º < a < 180º
5. Si sen a = ¾ y a es un ángulo agudo, halla , sin utilizar la calculadora , sen(90º - a ) y
cos (180º - a)
6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º, 45º Y 60º
Razones del ángulo de 30º
Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. La altura lo divide en dos triángulos
rectángulos iguales, cuyos ángulos miden 30º y 60º. Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de
esos triángulos rectángulos para hallar el valor de h:
2
æ1ö
h = 12 - ç ÷ =
è2ø
h
3
3
=
4
2
Las razones trigonométricas del ángulo de 30º serán:
1
1
sen 30º = 2 =
1 2
3
3
cos 30º = 2 =
1
2
1
3
tg 30º = 2 =
3
3
2
cosec 30º = 2
sec 30º =
cotg 30º =
2
2 3
=
3
3
3
Razones trigonométricas del ángulo de 60º
Las razones trigonométricas del ángulo de 60º pueden calcularse a partir del mismo triángulo
rectángulo utilizado para hallar las razones del ángulo de 30º:
3
3
Sen 60º = 2 =
1
2
Cosec 60º =
2
2 3
=
3
3
1
1
cos 60º = 2 =
1 2
sec 60º = 2
3
tg 60º = 2 = 3
1
2
1
3
cotg 60º =
=
3
3
Razones trigonométricas del ángulo de 45º
Consideremos un cuadrado de lado la unidad. La diagonal del cuadrado lo divide en dos
triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos agudos miden 45º. Aplicamos el teorema de
Pitágoras a uno de estos triángulos para hallar el valor de d.
45º
d=
12 + 12 = 2
Las razones trigonométricas del ángulo de 45º serán :
1
2
=
2
2
1
2
Cos 45º =
=
2
2
Sen 45º =
Tg 45º =
1
=1
1
cosec 45º = 2
sec 45º = 2
cotg 45º =
1
=1
1
7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos
(lados y ángulos) conocidos.
Para ello basta utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
Ejemplo : Resuelve el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5cm y uno de sus
catetos 4 cm.
B
52 - 4 2 = 9 = 3
4
cos C =
Þ C = 36,87º
5
a = 5 cm
A
b = 4 cm
c=
C
B = 90º - 36º 52´ 12´´ = 53,13º
EJERCICIOS :
1. Resuelve el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5cm.
2. Resuelve el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 3 cm y uno de sus ángulos es de
70º.
3. Resuelve el triángulo rectángulo uno de cuyos catetos mide 4 cm y uno de sus ángulos
es de 50º.
4. El ángulo de elevación del punto más alto de una antena , observado desde el punto del
suelo situado a 50m de su pie es de 30º. Calcula la altura de la antena.
5. El ángulo de elevación del punto más alto de una montaña , observado desde un punto
situado en tierra es de 32º. Al aproximarnos 1000 m en dirección a la montaña , el
ángulo de elevación es de 41º. ¿Cuál es su altura si los dos puntos de observación están
al nivel del mar?
6. Jaime está haciendo volar una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y esta forma un ángulo
de 55º con el suelo ¿A que altura se encuentra?
7. Para hallar la anchura de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A en una
orilla del río y medimos el ángulo, 53º , bajo el cual se ve un árbol que está frente a
nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 20 metros de la orilla en dirección
perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol,
32º.¿cuánto mide el ancho del río?
20 m
x
8. TEOREMA DEL SENO
Este teorema relaciona los ángulos de un triángulo con sus lados opuestos:
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
C
a
b
c
=
=
senA senB senC
a
b
A
D
c
B
Demostración : Consideremos el triángulo de la figura ( un triángulo cualquiera).
Trazamos la altura y consideramos los dos triángulo rectángulos que se forman,
ADC y DBC . Se cumple :
h
b
h
sen B =
a
Þ
h = b . sen A
Þ
h = a . sen B
b . sen A = a . sen B Þ
a
b
=
senA senB
sen A =
Igualando las dos expresiones
que constituye la primera parte de la igualdad.
Si ahora trazamos la altura desde A, y razonamos de forma análoga, obtenemos:
b
c
=
senB senC
con lo que se concluye la demostración.
Interpretación geométrica del teorema del seno.
La constante de proporcionalidad expresada en el teorema del seno tiene una importante
interpretación geométrica. En efecto, puede demostrarse que :
a
b
c
=
=
= 2R
senA senB senC
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC
EJERCICIOS:
1. Halla el lado a del triángulo de la figura:
C
b=5 cm
A= 50º
a
B=30º
2. Halla el ángulo B del triángulo ABC , sabiendo que a= 9 cm , b = 6 cm y A = 62º.
9. TEOREMA DEL COSENO
Este teorema es una generalización del teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos:
El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados menos el doble del producto de éstos por el coseno del ángulo que comprenden.
C
b
A
a2 = b2 + c2 – 2.b.c cos A
b2 = c2 + a2 – 2 .a.c cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b cos C
a
c
B
Demostración.
Sólo vamos a demostrar una de las igualdades ya que para demostrar las otras el razonamiento
es análogo.
Observemos el triángulo de la figura:
C
Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo DBC,
tenemos :
a2 = h2 + c22
Pero en el triángulo ADC se cumple :
b
h
a
h = b . sen A
c1 = b . cos A
Teniendo en cuenta que c2 = c – c1 podemos escribir:
A
D
B
c1
c2
a2 = h2 + c22 = h2 + ( c – c1 )2 =
c
= ( b . sen A )2 + ( c – b cos A )2 =
= b2. sen A + c2– 2 . b . c cosA + b2.cos2 A =
= b2 . ( sen2 A + cos2 A ) + c2 – 2 . b . c . cos
2
2
2
2
Y como sen A + co A = 1, se tiene :
a = b + c2 - 2 . b . c cos A
Ejemplo : Halla el lado c del triángulo de la figura :
Aplicamos el teorema del coseno:
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b cos C
Sustituyendo los datos, tenemos:
C
b= 5 cm
A
c=
a = 8cm
c
8 2 + 5 2 - 2.8.5. cos120º = 11,36 cm
B
EJERCICIOS
1. Halla el lado c del triángulo ABC, sabiendo que b = 10 cm y C = 36º.
2. Halla el ángulo B del triángulo ABC sabiendo que a = 9 cm, b = 6 cm y A = 62º.
3. Halla el lado a del triángulo ABC, si b = 10 cm, c = 12 cm y A = 26º.
4. Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 9 , B = 118º , C = 26º
b) c = 7 , B = 40º , C = 60º
c) b = 10 m , c = 9m , A = 35º
d) a = 6 cm , c = 5 cm , B = 123º
5. ¿A qué distancia del refugio situado en A se halla un observador situado en B , distante 100m
de otro punto C, si se han medido los ángulos B = 40º y C = 60º ?
A
C
B
6. Dos amigos parten de un mismo punto A y siguen direcciones que forman entre sí un ángulo
de 35º . Tras caminar 50 m y 75 m , respectivamente, se sitúan en dos puntos B y C . Calcula la
distancia que les separa y los ángulos B y C del triángulo ABC.
C
a
B
b = 50 m
c = 75 m
A
7. En un parque hay tres estatuas A, B, C. A dista 50m de B y 60 m de C. Si el ángulo que
forman los segmentos AB y AC es de 120º, ¿cuánto dista B de C ?ç
8. Resuelve el triángulo ABC sabiendo que a = 5 m , b = 3 m y c = 7 m.
9. El entrenador de un equipo de fútbol indica a tres jugadores que se sitúen en el campo
formando un triángulo . A debe situarse a 20 m de B, B a 15 m de C y C a 23 m de A.
¿Bajo que ángulo observa cada jugador a los otros dos?
10. En un instante determinado, un avión se encuentra a 8 km de la torre de control de un
aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 30º, ¿A que
distancia se encuentra en ese momento el dirigible del aeropuerto?
10 . RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO SUMA
Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma a + b en función de las razones
trigonométricas de los ángulos a y b. Las demostraciones hacen referencia a la construcción
de la siguiente figura:
C
F
b
E
a+b
a
A
B
D
Sen ( a + b ) = sen a . cos b + cos a . sen b
Demostración :
Sen ( a + b ) =
BC BF + FC DE + FC DE FC
=
=
=
+
AC
AC
AC
AC AC
Observa, además, que:
DE = AE . sena
y
FC = CE . cos a
Si sustituimos en la expresión anterior , tenemos:
Sen ( a + b ) =
Pero
AE
CE
. sen a +
. cos a
AC
AC
AE
= cos b
AC
y
CE
= senb . Luego:
AC
Sen ( a + b ) = sen a . cos b + cos a . sen b
Cos ( a + b ) = cos a . cos b - sen a . sen b
Demostración :
AB AD - BD AD - FE AD FE
=
=
=
AC
AC
AC
AC AC
Cos ( a + b ) =
Observa, además, que:
AD = AE . cosa y FE = CE . sen a
Si sustituimos en la expresión anterior, tenemos:
Cos ( a + b ) =
Pero
AE
= cos b
AC
AE
CE
. cosa sena
AC
AC
y
CE
= senb . Luego :
AC
Cos ( a + b ) = cos a . cos b - sen a . sen b
Tg ( a + b ) =
tga + tgb
1 - tga × .tgb
Demostración :
Para determinar
cos ( a + b ):
Tg ( a + b ) =
tg ( a + b ) bastará dividir las expresiones de sen ( a + b ) y
sen(a + b ) sena × cos b + cosa × senb
=
cos(a + b ) cosa × cos b - sena × senb
Dividiendo el numerador y el denominador por el producto cos a . cos b y
simplificando:
sena × cos b cos a × senb
+
tga + tgb
cos a × cos b cosa × cos b
tg (a + b ) =
=
cosa × cos b sena × senb
1 - tga × tgb
cosa × cos b cos a × cos b
11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DIFERENCIA
Sen ( a - b ) = sen a . cos b - cos a . sen b
Demostración : Como a - b = a + ( - b ) , se tiene:
Sen ( a - b ) = sen ( a + ( - b ) ) = sen a . cos ( - b) + cos a . sen (-b ) =
= sen a . cos b + cos a . ( - sen b )=
= sen a . cos b - cos a . sen b
Cos ( a - b ) = cos a . cos b + sen a . sen b
Demostración: Como a - b = a + ( - b ) , se tiene:
Cos ( a - b ) = cos ( a + ( - b ) ) = cos a . cos (-b) - sen a . sen (-b) =
= cos a . cos b - sen a . ( - sen b ) =
= cos a . cos b + sen a . sen b
Tg ( a -b ) =
tga - tgb
1 + tga × .tgb
Demostración : Como a - b = a + ( - b ) , se tiene:
Tg ( a -b ) = Tg [ a + (-b ) ] =
tga + tg (- b )
tga - tgb
==
1 - tga × tg (- b )
1 + tga × tgb
EJERCICIOS.
1. Calcula el valor de cos 105º , teniendo en cuenta que 105º = 60º + 45º.
2. Calcula las razones trigonométricas de 150º. Para ello expresa 150º como suma de dos
ángulos cuyas razones sean conocidas.
3. Calcula cos ( a -b ) si sen a = 4/5 y sen b = 12/13 y tanto a como b son
ángulos del segundo cuadrante.
12. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DOBLE Y MITAD
Vamos a ver ahora como obtener las razones trigonométricas del ángulo doble, 2a , y del
ángulo mitad, a/2, en función de las del ángulo a.
Razones trigonométricas del ángulo doble
Puesto que 2a = a + a , podemos deducir las razones trigonométricas de 2a a partir de las
obtenidas para el ángulo suma. En efecto:
Sen 2a = sen ( a + a ) = sen a . cos a + cos a . sen a = 2 sen a . cos a
Luego Sen 2a= 2 sen a . cos a
Cos 2a = cos ( a + a ) = cos a . cos a - sen a . sen a = cos2 a - sen2 a
Luego
Cos 2a = cos2 a - sen2 a
Tg 2a = tg ( a + a ) =
Luego Tg 2a =
tga + tga
2tga
=
1 - tga .tga 1 - tg 2a
2tga
1 - tg 2a
Razones trigonométricas del ángulo mitad.
Puesto que a = 2 ×
a
2
, podemos combinar las relaciones que ya conocemos por el ángulo
doble y el teorema fundamental:
æa ö
æa ö
= cos 2 ç ÷ - sen 2 ç ÷
2
è2ø
è2ø
æa ö
æa ö
1 = sen 2 ç ÷ + cos 2 ç ÷
è2ø
è2ø
cos a = cos 2 ×
a
Restando estas dos igualdades, tenemos:
1 - cos a
æa ö
æa ö
1 - cos a = 2 sen 2 ç ÷ Þ senç ÷ = ±
2
è2ø
è2ø
Análogamente, si sumamos las dos igualdades anteriores, tenemos :
æa ö
1 + cos a = 2 × cos 2 ç ÷ Þ
è2ø
1 + cos a
æa ö
cosç ÷ = ±
2
è2ø
Para obtener la tangente del ángulo mitad, dividiremos
æa ö
÷
è2ø
sen ç
1 - cos a
æa ö
tg ç ÷ = ±
1 + cosa
è2ø
Elegiremos el signo según el cuadrante al que pertenezca
a
2
entre
æa ö
÷,
è2ø
cos ç
EJERCICIOS :
1. Calcula el valor de sen 40º y cos 40º sabiendo que sen20º = 0,34 y cos20º = 0,94.
2. Calcula el valor de sen 25º y cos 25º sabiendo que sen50º = 0,77 y cos50º = 0,64.
3. Sabiendo que sen14º = 0,24 y sen 42º = 0,67, halla cos14º , tg 14º , cos 42º y
tg42º. Calcula también las razones trigonométricas de 28º, 56º y 21º.
13. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS.
Estas transformaciones tienen por objeto expresar las sumas y diferencias de senos y cosenos en
forma de producto.
senA + senB = 2 × sen
A+ B
A- B
× cos
2
2
A+ B
A- B
× sen
2
2
A+ B
A- B
cos A + cos B = 2 × cos
× cos
2
2
A+ B
A- B
cos A - cos B = -2 × sen
× sen
2
2
senA - senB = 2 × cos
Veamos como deducir estas fórmulas:
Consideramos las expresiones del seno de los ángulos a +b y a -b
+
Sen ( a + b ) = sen a . cos b + cos a . sen b
Sen ( a - b ) = sen a . cos b - cos a . sen b
Sen ( a + b ) + Sen ( a - b ) = 2 sen a . cos b
ìa + b = A
îa - b = B
Llamamos í
y expresamos a y b en función de A y B. Para ello
resolvemos el sistema y obtenemos: a =
A+ B
A- B
y b =
2
2
Si sustituimos estos valores en la expresión anterior obtendremos:
Sen ( a + b ) + Sen ( a - b ) = 2 sen a . cos b
senA + senB = 2 × sen
A+ B
A- B
× cos
2
2
Análogamente, si restamos y hacemos los mismos cambios , obtendremos:
-
Sen ( a + b ) = sen a . cos b + cos a . sen b
Sen ( a - b ) = sen a . cos b - cos a . sen b
Sen ( a + b ) - Sen ( a - b ) = 2 cos a . sen b
senA - senB = 2 × cos
A+ B
A- B
× sen
2
2
Procederíamos de forma análoga para encontrar las fórmulas que expresan en forma de producto
las sumas y las diferencias de cosenos.
14. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son aquellas en las que la incógnita está afectada por razones trigonométricas.
No hay un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Sin embargo, en la
mayoría de los casos , puede resultarte útil seguir los siguientes pasos:
1. Si hay razones trigonométricas de distintos ángulos, x , 2x , x + p,..., las
expresaremos todas en función del mismo ángulo ( generalmente x )
2. Si hay varias razones trigonométricas, senx, cosh, tgx, ... las expresaremos todas en
función de una de ellas.
3. Resolveremos la ecuación obtenida considerando como incógnita la razón
trigonométrica elegida en el paso 2.
4. Hallaremos el ángulo x a partir de su razón trigonométrica, teniendo en cuenta que,
si el ángulo x es una solución, tambien lo serán los ángulos x + 360º k, con kÎZ.
Ejemplos :
a) cos 3x =
- 2
2
Los ángulos cuyo coseno es igual a
- 2
son 135º y 225º.
2
Por otro lado, los ángulos obtenidos al sumar a los anteriores un número entero de
vueltas tendrán el mismo coseno. Luego se cumple que :
ì3 x = 135º +360º k ; k Î Z
í
î3 x = 225º +360º k , k Î Z
Al despejar x, obtenemos las soluciones:
135º 360º k
ì
ïï x = 3 + 3
í
ï x = 225º + 360º k
ïî
3
3
Þ
ì x = 45º +120º k
í
î x = 75º +120º k
b) sen x = sen 2x
Escribimos sen 2x en función de x, utilizando que sen 2x = 2 sen x cos x :
La ecuación queda:
Sen x = 2 sen x cos x
Sen x – 2 senx cos x = 0
Sacamos factor común a sen x:
sen x = 0
Sen x . ( 1 – 2 cos x ) = 0
1 – 2cos x = 0
- De sen x = 0 obtenemos como soluciones:
ì x = 0º +360º k , k Î Z
í
î x = 180º +360º k , k Î Z
Observa que todas las soluciones difieren 180º y por tanto podemos escribirlas como
x = 0º + 180ºk
- De 1 – 2 cos x = 0, obtenemos como soluciones:
Cos x =
ì x = 60º +360º k , k Î Z
1
Þ í
2
î x = 300º +360º k , k Î Z
c) sen x + sen 3x = 0
Utilizamos la expresión que transforma una suma de senos en producto:
Sen x + sen 3x = 2 × sen
x + 3x
x - 3x
× cos
= 2 . sen 2x . cos (-x) = 2 . sen 2x . cos x
2
2
Con lo que la ecuación dada es equivalente a
2 . sen 2x . cos x = 0
Las soluciones serán los valores de x que satisfagan:
-
ì2 x = 0º +360º k
Þ 2x = 0º + 180ºk , kÎZ Þ x = 0º+90ºk, kÎZ
î2 x = 180º +360º k
ì x = 90º +360º k , k Î Z
Cos x = 0 Þ í
Þ x = 90º + 180º k , kÎZ
î x = 270º +360º k , k Î Z
Sen 2x = 0 Þ í
d) cos 2x = 1 + sen x
Sustituimos cos 2x
por cos2 x – sen2 x , para conseguir que aparezcan razones
trigonométricas de un único ángulo , x , en toda la ecuación:
cos2 x – sen2 x = 1 + sen x
Sustituimos cos2 x por 1 - sen2 x
para conseguir la misma razón trigonométrica en toda
la ecuación:
1 - sen2 x - sen2 x
= 1 + sen x
2
1 - 2 sen x = 1 + sen x
2 sen2 x + sen x = 0
Resolvemos la ecuación considerando como incógnita “ sen x “. Sacamos factor común a
“sen x” , con lo que la suma se transforma en un producto:
Sen x . ( 2 sen x + 1 ) = 0
Entonces :
ì x = 0 + 360k , k Î Z
î x = 180º +360º k , k Î Z
- sen x = 0 Þ í
- 2 . sen x + 1 = 0 Þ sen x =
Þ x = 0º + 180º k , kÎ Z
ì x = 210º +360º.k , k Î Z
-1
Þ í
2
î x = 330º +360º.k , k Î Z
EJERCICIOS. TRIGONOMETRÍA
1. ¿Cuántos grados sexagesimales son
5p
rad?
4
2. Halla las razones trigonométricas del ángulo a:
a
3,9
2,4
3
a
7
3. De un triángulo rectángulo se conoce un cateto b = 86 cm y el ángulo opuesto B = 40º.
Calcula los demás elementos del triángulo.
4. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo cuadrante y cuya
cotangente vale –2/3.
5. Halla todos los ángulos comprendidos ente 0º y 360º que verifican:
a) sen a = -1/2
b) cos a =
2
2
c) tg a =
3
6. Un observador situado en la orilla de un río ve un árbol situado en la orilla opuesta , bajo
un ángulo de 60º. Si se aleja 20m , lo ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura de dicho
árbol y la anchura del río.
7. Dos radares A y B , distan entre sí 15 km y detectan un avión , que está en el mismo plano
vertical que ellos bajo ángulos de 42º y 56º respectivamente. Halla la altura a la que vuela el
avión y la distancia de éste a cada uno de los radares.
8. En un triángulo rectángulo se conoce B = 56º3´ y su cateto opuesto b = 2. Calcula los
valores del cateto c , la hipotenusa y el ángulo C.
9. Una escalera de 3m de largo está apoyada sobre una pared, estando su base a un metro y
medio de la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?
10. Calcula el área de la parcela triangular del dibujo.
150 m
30º
75 m
11. ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado 10 cm ?
12. ¿Cuánto vale la parcela con forma de paralelogramo del dibujo si el precio del metro
cuadrado es de 50.000 pesetas?.
120m
55º
200 m
13. La longitud del hilo que sujeta una cometa es de 15m . Si el ángulo de elevación de la
cometa es de30º, ¿qué altura alcanza la cometa?
14. El piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 30º.
Dieciocho segundos más tarde , el ángulo de depresión obtenido sobre el mismo punto es de
55º. Si vuela horizontalmente y a una velocidad de 400millas/hora , halla la altitud del
vuelo.
15. Calcula los ángulos menores de 360º que cumplen:
a) Sen a = 1
d) sen a = 0
b) tg a = - 3
e) cos a = -1
16. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 135º
b) 240º
17. Calcula : a) sen 1930º
c) cos a = - 0,5
c) 315º
b) tg 5350º
c) cosec 375º
18. Utilizando la calculadora averigua el valor del ángulo a:
a) cos a = -0,8793
b) cosec a = 2,5634
c) cotg a = -13,582
19. Determina la superficie de un pentágono regular inscrito en un círculo de 9 cm de radio.
20. Calcula las incógnitas de los siguientes triángulos:
a
a
x
x
3
2
3
x
30º
45º
2
60º
21. Calcula el valor de las incógnitas:
4
4
1
a
90º
b
c
h
9 cm
C
4 cm
B
22. Una antena de televisión está sujeta por dos cables que forman ángulo recto, siendo la
distancia entre los dos puntos de anclaje de 20 m.
a) Calcula la longitud de los cables y la altura de la antena , así como las longitudes de
las dos partes en que la antena divide a la distancia entre los puntos de anclaje.
b) ¿Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo que forma el cable
más largo con el suelo?
c) Halla las razones trigonométricas de los dos ángulos agudos que forman la antena y
los cables.
55º
20 m
23. Demuestra las siguientes igualdades:
a) cotg a . sec a = cosec a
b) sec a - cos a = tg a . sen a
24. Expresa sen 3a en función de sen a y cos a.
25. Halla los ángulos del primer giro que satisfacen la ecuación:
sen x +
2 . Cos x = 1
26. Sin utilizar la calculadora, calcula sena , cos a y tga:
a) 120º
b) 225º
c) 330º
d) 1590º
27. Calcula el perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50º y cuya diagonal menor mide
13 cm.
28. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 24 cm y 8 cm y uno de sus
ángulos interiores mide 120º.
29. Resuelve la ecuación:
tg x
+ cotg x
30. Resuelve los triángulos:
a) a = 34 cm B = 52º
b) a = 10
b=6
c) a = 5
b=3
d) B = 52º
b= 20
e) a = 10
b = 12
31. Calcula sen 2a
sen a = -12/13
si
sabemos
=
4
3
es
un ángulo del tercer cuadrante y que
C = 47º
C = 72º
c=7
a = 12
c = 14
que
a
32. Verifica las siguientes identidades :
a) 1 + tg a = sec a
2
2
sen 2 a + cos 2 a
b)
= cos a
sec a
1 + sena cos eca + 1
=
1 - sena cos eca - 1
1 + sena cos a
e) 1 + tga + tg 2 a =
cos 2 a
c)
33. Conocida
2
sec a =
34. Sabiendo que cos a =
y
d)
1 + sena cos eca + 1
=
1 - sena cos eca - 1
3p
< a < 2p ,
2
calcula
sen a
y
tg a.
2m
, calcula sen a y tg a .
1+ m2
35. Sin utilizar la calculadora, averigua el valor de :
sen 45º + cos 135º + tg 225º + cosec 315º + sec(-45º) + cotg 585º
36. Halla los ángulos positivos menores que 1000º que verifiquen sen x =
3
.
2
37. Si tg a = ¾ y tg b = ½ y ambos son ángulos del tercer cuadrante, calcula las razones
trigonométricas del ángulo a+b.
38. Resuelve las siguientes ecuaciones si 0 < x < 360º:
æ
è
pö
1
÷=
4ø 2
3
b) cos x . cotg x =
2
c) sen x + cos x = 2
a) cosç x +
d)
1
3
cos x senx = 0
2
2
e) ( tg x - 1 ) . ( 4 . sen2x – 3 ) = 0
39. Los visuales a lo alto de una torre desde dos puntos A y B del plano horizontal , separados
300m entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 50º y 45º, respectivamente. Calcula la
distancia desde lo alto de la torre a los dos puntos.
40. En el triángulo ABC, AD es la altura relativa al lado
trigonométricas del ángulo B y halla loa ángulos A, B , C.
B
BC. Calcula las razones
D
4,2
3
2
A
C
41. Halla las razones trigonométricas de a sabiendo que tga =
23
y a>90º .
3
42. Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido mide 60º. Halla
los otros ángulos.
43. Simplifica las siguientes expresiones:
a) ( cos a + sen a )2 – 2 sen a cosa
b) sec a – sen a . tg a
sen 2 a
c)
1 - cos a
cos ec 2 a + sen 2 a cos 2 a
d)
.
cos ec 2 a - sen 2 a 1 + sen 4 a
e) sena. sec a +
cos a sena
cot ga cos a
44. Halla el valor de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora.
Cos 120º + sen(-60º) + tg 120º + cotg 60º + sec 420º + cosec 960º
45. Resuelve las siguientes ecuaciones:
æ
è
a) senç x -
pö
3
÷=
4ø 2
b) 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0
46. Calcula el volumen de un cono de revolución , sabiendo que la generatriz del cono forma
con la base un ángulo de 60º y el radio de la base mide 3m.
47. Demuestra que en todo triángulo rectángulo se cumple:
c2
a) cos B . tg C =
ab
b) sen2B + sen2 C = 1
48. Halla los ángulos positivos menores de 1000º que verifiquen cos x = -1/2.
49. Verifica las siguientes identidades:
a)
sena
1 + cos a
=
1 - cos a
sena
c) tg 2 a - sen 2 a =
b) sec2a + cosec2a = sec2a .cosec2a
d)
sen 2 a
cot g 2 a
cos a - sec a
= tg 3 a
sena - cos eca
50. Simplifica la expresión:
1 - sen 2 a
`1 + cos a + sena + sena cos a
51. Sabiendo que tg a = 2 , calcula el valor de sen 4ª
52. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen x . cos x = ½
b) sen 2x = cos x
c) cos 2p + 5 cos x + 3 = 0
d) cos 2x – cos 6x = sen 5x + sen 3x
53. El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 2 2 cm y dos de sus
ángulos miden 30º y 45º. Resuelve dicho triángulo.
54. Halla los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 18 cm2 y dos de sus ángulos A =
30º y B = 45º.
55. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
æ
è
a) tg ç 4 x -
pö
÷ = -1
4ø
c) tg 2x = -tg x
b) sen 2x . cos x = 6 sen3x
d) 3 cos x = 2 sec x – 5
56. Halla los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 83 m y 51 m y cuya altura
mide 61 m.
57. Sean A y B dos puntos inaccesibles , pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y
D separados por la longitud de 73,2 m. Suponiendo que los ángulos ACD = 80º12´
BCD=32º y ADC = 23º14´ determina la distancia AB.
58. Un amigo le dice a otro : Tengo tres hijos cuyas edades , que son números enteros, si las
tomasemos como longitudes formarían un triángulo, de manera que uno de sus ángulos es doble
que el otro. Si mi hijo mediano tiene 5 años, ¿qué edades tienen los otros dos?
59. Sabemos que las medidas de los lados del triángulo de las Bermudas son números enteros
consecutivos tomando como unidad 100 km. Ademas, el ángulo menor es la mitad del ángulo
mayor. ¿Sabrias hallar las medidas del triángulo de las Bermudas?
60. ¿Es posible que un triángulo tenga lados que midan a = 15 cm , b = 7 cm y c = 5 cm?
61. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 cm y 14 cm y forman un ángulo de 75º. Halla
los lados y los ángulos del paralelogramo.
62. Eeen un triángulo conocemos dos de sus ángulos y un lado A= 55º , B = 98º a=7,5 cm .
Resuelve el triángulo.
63. En un triángulo se conocen A = 35º, b = 20 cm y c= 14 cm . Resuelve el triángulo.
64. Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 3 b = 8 A = 25º
b) a = 12,6 b = 26,4 B = 124º 34´