2 Universidad de Talca Instituto de Matemática y Física Campus Talca 2 2 2 Como el número 1 se denomina número real unitario y la ecuación dada Álgebra puede escribirse como x 3 5 1, a estas tres soluciones se les llama raíces cúo Carrera: Agronomía N 4: Números complejos. bicas de la unidad. Guía L Sección B En la sección 1.3 mencionamos que x 2 1 es irreducible sobre los números reales pero, si factorizamos sobre los números complejos, entonces x 2 1 se puede factorizar como sigue: Resolver los ejercicios de la sección 2.4 del texto “Álgebra y trigonometría, con geometría analítica” de Swokowski y Cole, 12a edición. 1 5 sx x2 idsx 2 id Ejercicios a resolver: 1 al 22, 25, 26, 33, 34, 37, 38, 43 al 46, 51, 53. 2.4 Ejercicios Ejer. 1-34: Escriba la expresión en la forma a y b son números reales. 1 s5 2 2id s23 6id 2 s25 bi, donde a s4 7id 3 s7 2 6id 2 s211 2 3id 4 s23 8id 2 s2 5 s3 6 s22 6ids8 2 id 5ids2 2 7id 7 s1 2 3ids2 5id 9 s5 2 2id2 8 s8 10 s6 13 s3 4ids3 2 4id 14 s4 9ids4 2 9id 15 (a) i43 (b) i220 16 (a) i 92 (b) i233 17 (a) i73 (b) i246 18 (a) i66 (b) i255 21 4i 1 2 7i 6 2 2i 20 5 2 2 7i 22 2 9i 23 2 i 40 x 2 2 2x 26 5 0 41 x 2 13 5 0 42 x 2 8x 17 5 0 43 x 2 5x 20 5 0 44 x 2 3x 650 45 4x 2 350 46 23x 2 2 47 x 3 x 49 27x 3 5 sx x2550 48 x 3 2 27 5 0 125 5 0 26 22 6i 3i d 32 2236 2249 34 2216 5 2 22121 2225 1 2225 2216 2281 Ejer. 35-38: Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales. sx 2ydi 5 x 53 4x 4 55 x 3 s3x 36 sx 2 yd 2i 3i 5 7 4yi O t2 r o 4i s tipos de ecuaciones ydi2 .55 2x 25x 2 3x 2 yi 36 5 0 54 27x 4 21x 2 103 450 4x 5 0 56 8x 3 2 12x 2 2x 2 3 5 0 Ejer. 57-62: Verifique la propiedad. 57 z w5z w 59 z ? w 5 z ? w 58 z 2 w 5 z 2 w 60 z!w 5 z!w 61 z 5 z si y sólo si z es real. 5d3 62 z 2 5 s z d2 50 16x 4 5 sx 2 4d4 51 x 4 5 256 ds 2225 8 2 2236 2281 7 2 2264 38 8 13 5 0 4x 33 4 37 s2x 2 yd 2 16i 5 10 39 x 2 2 6x 23 2 2i 5 2i 28 s3 2 2id3 5id3 30 s 23 35 4 Ejer. 39-56: Encuentre las soluciones de la ecuación. 24 29 s 2 2 224 ds 3 2 2216 d 31 2 3 4 2 2i 25i 3id 7id2 12 is2 2 7id 2 25 9id 2ids7 2 3id 4id 19 24 2 27 s2 11 is3 2 6i 7i 23 52 x 4 5 81 2.5 Otros tipos de ecuaciones Las ecuaciones consideradas en secciones previas son inadecuadas para muchos problemas. Por ejemplo, en aplicaciones a veces es necesario considerar potencias x k con k ! 2. Algunas ecuaciones comprenden valores absolutos o radicales. En esta sección damos ejemplos de ecuaciones de estos tipos que se pueden resolver usando métodos elementales. EJEMPLO 1 Resolver una ecuación que contenga un valor absoluto Resuelva la ecuación x 2 5 5 3. SOLUCIÓN Si a y b son números reales con b ! 0, entonces a 5 b si y 81 (a) 0; 24,500,000 (b) 2.13 $ 1027 83 (a) s2d (b) 47.65 F Respuestas a ejercicios impares (e) No hay solución 53 l 5 EJERCICIOS 2.4 1 2 ! 4i EJERCICIOS SELECCIONADOS 6909 pies 47 2 3 9 3 5 2 , 2 4 34 13 2 5 a solución de x 5 4. 1 3 & 217 (c) &12 57 (b) Sí 23 22 & 1 211 2 1 2 , 2 3 1 4 222 & 37 3 3 9 43 No hay soluciones reales 2 7 (2x 2 3)(6x ! 1) 21 (b) y 5 22x & 28x 2 ! 1 2%h ! 2% 2h2 ! 2%A 2% d 6.9 cm 57 2150"% después de 3 s (b) Después de 4 s 96.86 C 63 2 pies 5 1 214 2 mi o 3 2 1.1 mi ! 4t ! 1 (b) 3:30 p.m. 73 7 mi"h 75 300 pares (b) 2.13 $ 1027 5F 5 41 2 11i 4 7 17 2 i 13 25 4 2 7i ! 59 31 2 1 241 4 i 51 (d) &7 & 25 & 2 1 7 2 , 3 5 15 (a) 2i 3 3 2 i 10 5 21 19 4 i 5 27 2142 2 65i 95 21 21 1 2i 2 13 25 11 224 2 7i (b) 21 17 (a) i 34 40 ! i 53 53 19 7 17 2 i 15 (a) 2i 3 3 2 i 10 5 21 1 2i 2 25 5 1 1 1 & 255 i 247 i 45 2 & 2 2 8 8 5 5 25 15 5 & 23 i 23 i 25, & 49 , 2 2 2 2 26 26 3 3 1 27 i &4, &4i i 53 &2i, & 55 0, 2 & 2 2 2 z ! w 5 sa ! bid ! sc ! did sa ! cd ! sb ! ddi 5 sa ! cd 2 sb ! ddi sa 2 bid ! sc 2 did 5 z ! w z ? w 5 sa ! bid ? sc ! did sac 2 bdd ! sad ! bcdi sac 2 bdd 2 sad ! bcdi ac 2 adi 2 bd 2 bci asc 2 did 2 bisc 2 did sa 2 bid ? sc 2 did 5 z ? w Si z 5 z, entonces a 2 bi 5 a ! bi y por tanto 2 bi 5 bi, o 2bi 5 0. Así, b 5 0 y z 5 a es real. Inversamente, si z es real, entonces b 5 0 y por tanto z 5 a ! 0i 5 a 2 0i 5 a ! 0i 5 z. 41 22 & 3i 39 37 F 5 41 2 11i 4 2 ! i 27 2142 2 65i 5 5 44 95 21 ! i i 29 22 2 14i 31 2 33 113 113 2 37 x 5 3, y 5 24 39 3 & 2i 35 x 5 4, y 5 21 23 61 43 EJERCICIOS 2.5 1 215, 7 55 h 5 59 9.16 pies"sec 3 18 2 3i 9 21 2 20i (b) 1 gT 2 4% 2 3 2 2 ,2 3 5 No hay solución 2 , 2 3 9 15 5 7 & 1 5 57 26, 2 , 0 13 2 11 0, 25 2 2 5 1 262 21 6 23 5, 7 25 23 17 & 19 6 2 5 27 21 29 2 31 3 33 0, 4 35 &3, &4 4 1 8 , 28 37 & #70 & 10 229 39 &2, &3 41 10 27 16 8 1 2 4 , 43 45 2 47 2 , 2 49 0, 4096 9 27 125 3 3 51 (a) 8 (b) &8 (c) No hay solución real (d) 625 (e) No hay solución gT 2 1 2S 2 2 % 2r 4 53 l 5 55 h 5 57 h 97% of L 4% 2 %r 432 10.3 cm 61 $4.00 63 2 3 59 9.16 pies"sec % 65 53.4% 67 Hay dos posibles rutas, correspondientes a x 0.6743 millas y x 2.2887 millas 69 (a) s2d (b) 860 min 71 3.7 $ 3.7 $ 1.8 9 & ! EJERCICIOS 2.6 1 (a) 22 # 2 (b) 211 # 27 (c) 2 7 # 21 3 1 2S 2 2 % %r 61 $4.00 6 65 53.4% 67 Hay dos posibles rutas, correspon millas y x 69 (a) s2d 2.2887 millas (b) 860 min 71 EJERCICIOS 2.6 1 (a) 22 # 2 (d) 1 # 7 3 (b) 211 # 27