Sbre 2010 - Unican.es

06-09-2010
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - 2o I.T.O.P
ESTADÍSTICA
Tiempo=90 m.
[Ejer. 1] Un test rápido sobre el contenido alcohólico en la sangre de un conductor, realizado por
la policı́a en la carretera, es fiable el 80 % de las veces (proporción de aciertos tanto en
conductores sobrios como embriagados). Los conductores que dan positivo son sometidos
por un médico a un test más preciso, que nunca falla en un conductor sobrio, pero que tiene
un 10 % de error en los embriagados. Sabiendo que el 5 % de los conductores detenidos por
la policı́a está embriagado, se pide:
a) Representar los sucesos pertinentes y sus probabilidades respectivas con un diagrama
de árbol.
(0.5 p.)
b) Probabilidad de que un conductor detenido sea sometido a un segundo test.
(1.0 p.)
c) Un conductor dio negativo en el segundo test, ¿cuál es la probabilidad de que condujese
embriagado?.
(1.0 p.)
[Ejer. 2] En la siguiente tabla de frecuencias, se registran los pesos en g. de ciertas tornillos.
intervalo
marca de clase
frecuencia
1≤x<3
5
3≤x<5
7
5≤x<7
10
7≤x<9
9 ≤ x < 11
2
a) Dar las marcas de clase y calcular la frecuencia correspondiente al cuarto intervalo,
sabiendo que la media x es igual a 6 gramos.
b) Hallar el estadı́stico Q3 .
(0.50 p.)
(0.50 p.)
c) Aceptamos que el peso medio de un tornillo es aleatorio con µ = 6 g. y una desviación
tı́pica de σ = 1, 5 g.
1) Los tornillos se empaquetan en cajas de 100 cuyo peso es Y . Determinar el peso
medio de las cajas y su varianza.
(0.75 p.)
2) Una caja es rechazada si su peso es inferior a 570 g. ¿Cuál es la probabilidad de
que una caja sea rechazada?.
(0.75 p.)
1
[Ejer. 3] La duración de un compuesto es X dı́as, y sigue una distribución de probabilidad con


 1 e−(x−15)/20 15 ≤ x
20
f (x) =


0
otro caso
función de densidad
a) Determina la función de distribución de X y el tiempo medio de vida.
(1.25 p.)
b) El precio de venta del compuesto en euros (Y ) , depende de la duración mediante la
relación Y = 2X + 3. Determinar la función de distribución de Y y la probabilidad de
que el precio supere los 73 euros.
(1.25 p.)
[Ejer. 4] Dos máquinas de una fábrica producen piezas del mismo tipo. Se toman de cada máquina
15 piezas y se analiza la cantidad de plomo X que contienen que se supone una variable
aleatoria normal.
Maquina A (xA )
(Datos
15
∑
Maquina B (xB )
3,81
3,94
6,47
5,06
3,78
4,09
3,98
6,23
5,31
4,65
4,96
3,87
3,65
4,74
5,95
6,11
5,53
4,31
6,64
5,59
5,13
5,66
3,83
4,54
4,74
6,78
6,44
4,62
4,01
5,23
xAi = 70, 14;
i=1
15
∑
x2Ai
i=1
= 338, 71;
15
∑
xBi = 79, 51;
i=1
15
∑
x2Bi = 435, 13) Se pide:
i=1
a) A partir de la muestra de 30 piezas hallar un intervalo de confianza para el contenido
medio de plomo X que contienen las piezas producidas en la fábrica, con un nivel de
confianza del 0,95.
(1.00 p.)
b) A la vista de los resultados de cada máquina, ¿se puede mantener, con un nivel de
confianza de 0,95, y suponiendo igualdad de varianzas, que las dos máquinas producen
piezas con el mismo contenido medio de plomo?
(0.75 p.)
c) Según la normativa industrial se consideran piezas defectuosas las que contienen un
nivel de plomo superior a 6,7. Considerando las 30 piezas analizadas de las dos máquinas, construir un intervalo de confianza al 0.95 para la proporción de piezas defectuosas
que se están fabricando.
(0.75 p.)
NOTA.- Se recuerda al alumno que debe incluir las expresiones o fórmulas utilizadas en
los ejercicios y no limitarse a las cantidades numéricas. Ası́mismo, cuando se utilice una
aproximación de una función de distribución de probabilidad a otra, se debe indicar explı́citamente.
2
0.1.
Soluciones
[Ejer. 1] Un test rápido ......
a) Diagrama de árbol test?.
0.9
+
0.8
0.05
+
0.1
-
E
0.2
-
+
0
+
0.2
0.95
1
S
-
-
0.8
b) Pregunta la probabilidad de que dé (+) en la primera prueba.
P (+) = 0,05 × 0,8 + 0,95 × 0,2 = 0,23
c) El segundo test está sujeto a que dió positivo en el primero, luego el nuevo espacio
4
19
muestral P+ (E) =
y de sobrio positivo es P+ (S) =
23
23
0,1
P+ (E|−) =
0,1
4
23
4
19
+1
23
23
= 0, 0206
Solución I
[Ejer. 2]
a)
x·
∑
fi =
∑
xi · fi =⇒ 6(24 + f4 ) = 118 + 8 · f4 =⇒ f4 = 13
3
N = 27,75 =⇒ Q3 = 7,88
4
c) Sea X con µ = 6 y una desviación de σ = 1, 5.
b) Por interpolación se obtiene:
1) Y =
100
∑
i=1
Xi =⇒ E[Y ] = 600, V ar[Y ] = 100 · 1,52 = 225
(
570 − 600
2) p(Y < 570) = p z <
15
)
= Φ(−2) = 1 − Φ(2) = 0,029
[Ejer. 3] Solución I
3
a)
∫
x
1 −(x−15)/20
e
dx = 1 − e−(x−15)/20
20
15
∫ ∞
1
E[X]) =
x e−(x−15)/20 dx = 35
20
15
FX (x) =
b) Para y ≥ 33,
(
FY (y) = PX
y−3
X≤
2
)
(
= FX
y−3
2
)
= 1 − e−(y−33)/40
PY (Y > 73) = 1 − FY (73) = 1 − e−1
[Ejer. 4] s2 = 0,91, x = 4,988
70, 14 + 79, 51
338, 71 + 435, 13
= 4,988 y s2 =
− 4,9882
30
30
0,95
Con t0,975;29 = 2,0452, 4,988 ± t0,975;29 √ = (4, 639; 5, 36)
29
b) Con t0,975;28 = 2,0484, suponiendo varianzas iguales
√
√
15 s2A + 15 s2B
1
1
xA − xB ± t0,975;28
+
28
15 15
a) Con x̄ =
√
√
1
24,4094 1
4, 676 − 5,3 ± 2,0484
+
= (−1,3224; 0,0744)
28
15 15
) (
)
( 2
0,05 11,14
χ (2x, α/2) χ2 (2x + 2, 1 − α/2)
;
=
;
(0,00084; 0,185)
c)
2n
2n
60
60
4