Difracción

Ginés Cervantes Linares
Problemas Tema 7: Difracción
Problemas
ÓPTICA FÍSICA
CURSO 05/06
Tema 7: Difracción
1.- Calcula los radios de las zonas de una placa semiperiódica para que su focal principal sea de 1cm para
una longitud de onda de 550nm. ¿Funcionará esta placa como lente para una longitud de onda de 0.1nm
(rayos X)?
Sabemos que: ρ m = m·λ0 · f '
a)
Se queda en función de la raíz
ρ m = m·550·10 −9 (metros )·1·10 −2 (metros ) = 7,41·10 −5 m (metros)
b)
Si funciona con cualquier λ0 porque ρ m es proporcional a m . Por lo que si puede funcionar para 0.1nm.
ρm2
ρ 2 (7.41·10 −5 )
= 1 =
= 55metros
m·λ0 1·λ0
0.1·10 −9
2
De aquí podríamos conocer la focal que tendrá: f ' =
2.- Considérese una placa zonal de Fresnel construida de tal manera que los focos para los dos extremos
del espectro visible (λvioleta = 390nm y λrojo = 780nm) están separados 1m entre sí. Calcula la posición del
foco para la longitud de onda del centro del espectro (λamarillo = 585nm).
ρ 2
ρ2
La ecuación de una placa zonal es: ρ m = m·λ0 · f ' , y despejando f ' = m = 1
m·λ 0 1·λ0
La separación entre focos es ∆f’=1m
∆f ' = 1m = f ' (390) − f ' (780) =
ρ1 2
1·390·10 −9 m
−
ρ1 2
1·780·10 −9 m
=
ρ1 2
1·390·10 −9 m
−
ρ1 2
1··2·390·10 −9 m
=
ρ1
2ρ − ρ
= 1 −9 1 =
= 1m
780·10 m 780·10 −9 m
2
2
ρ1 2 = 780·10 −9 m
2
ρ1 = 780·10 −9 m = 8,83·10 −4 m = 0,883mm
La función de una placa zonal es actuar como lente para cualquier longitud de onda, y de aquí podemos sacar la
focal:
ρ 2 780·10 −9 m
= 1,33m
f 589 ' = m =
m·λ 0 589·10 −9 m
3.- Al observar una fuente puntual muy lejana a través de un trozo de tela, puede verse una figura de
difracción en forma de cruz con franjas. Indica el tipo de malla que forma el tejido. Si el cuadrado central
tiene una anchura angular de 20' cuando se utiliza una λ0 = 600nm, determina la distancia entre los hilos
del tejido.
En este caso se forma una figura de difracción que está producida por las intersecciones existentes entre los
hilos de la tela.
a)Como el entramado que forma la tela es una cruz con bandas a los lados, ese entramado formará una malla
cuadrada o rectangular.
b)La anchura angular son 20’(=5,82·10-3 rad) para una longitud de onda de 600nm:
2λ
2·600·10 −9 m
a=
= 2,1·10 − 4 m = 0,21mm
∆θm = θ m − θ ( m −1) = 0 = 20'
−3
a
5,82·10 rad
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4.- Determina el radio que debe tener la apertura de un telescopio para poder resolver para todas las
longitudes de onda del visible, dos estrellas separadas entre sí 1.6 1010 Km y distantes de la Tierra 1016
Km. Si disponemos de un telescopio con una apertura de 20cm de radio, tal vez podamos resolverlas
empleando un filtro de color. ¿Para qué longitud de onda empezaremos a resolver las estrellas?. ¿De qué
color puede ser el filtro, rojizo o azulado?.
Para que se puedan resolver las dos estrellas se debe cumplir la condición:
λD
λD
O1O2 ≥ 0,61 0
R ≥ 0,61 0 ; según el criterio de Lord Rayleigh.
O1O2
O1O2
R
λ
λ
OO
w ≥ 0,61 0 ⇒ R ≥ 0,61 0
tgw ≅ w = 1 2 = 1.6·10 −6 rad = 0.33' '
R
w
D
−6
w = 1.6·10 rad = 0.33"
a)
¿para que longitudes de onda del visible podremos resolver las estrellas?
w
λD
Le imponemos la condición a R ≥ 0,61 0
para los valores extremos del
O1O2
Telescopio
visible ((780 y 390).
780·10 −9 m·1019 m
390·10 −9 m·1019 m
R ≥ 0,61
=
0
,
297
m
R
≥
0
,
61
= 0,149m
1,6·1013 m
1,6·1013 m
R
(R es el radio de la lente del telescopio).
Para valores R< 0,149m no entra dentro del visible y no se resuelve ninguna.
Para valores 0,149m≤R< 0,297m no todas se pueden resolver
Para R≥0,297m se resulten todas las longitudes de onda dentro del visible
b)Para resolver las estrellas, la última longitud de onda que resuelvo (RTSC=0.2m):
λ
R ·w 1.6·10 −6 ·0.2
Trabajando con ángulos: R Lim = 0.61 0 Lim → λ0 Lim = Lim =
= 5.246·10 −7 m = 524.6nm
0.61
0.61
w
13
λ D O1O2 ·R
1,6·10 ·0,2
≥ λ0
≥ λ0
Trabajando con medidas: O1O2 ≥ 0,61 0
0,61·D
R
0,61·1016
5,246·10 −7 m ≥ λ0 λ0 = 524,6nm (verde)
Con el telescopio sólo resolvemos para el violeta, entonces lo que tenemos que hacer es poner un filtro azulado.
5.- Si el diámetro de la pupila del ojo humano es de 3mm (bajo ciertas condiciones de iluminación), calcula
el ángulo mínimo que somos capaces de resolver para luz blanca. Repite los cálculos para un telescopio de
10m de diámetro. Si observamos un avión volando a 3Km sobre nuestras cabezas, ¿qué detalles podríamos
apreciar teóricamente con el ojo desnudo y utilizando el citado telescopio?.
Usando de nuevo el criterio de Lord Rayleigh; ω ≥ 0,61
Cuanto más pequeño se el término: 0,61
λ0
R
λ0
R
mejor, porque entonces o bajamos la longitud de onda o
aumentamos la pupila.
a) ángulo mínimo para luz blanca. Para ello usamos una λ0 mayor que el visible, en la que a partir de la cual se
supone que va a haber luz policromática (blanca). (780nm)
7,8·10 −7
= 3,17·10 −4 rad = 1,5'
Los detalles a 3 km a ojo desnudo: ω ojo ≥ 0,61
−3
1,5·10
7,8·10 −7
b) Los detalles a 3km con telescopio: ω ojo ≥ 0,61
= 9,516·10 −8 rad = 5,452·10 −6 º = 0,02' '
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c) Xojo= ω ·3·103= 3,17·10 −4 rad ·3·103m=0,95m
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d) Xtelesc= ω ·3·103= 9,516·10 −8 rad ·3·103m=2,85·10-4m=0,285mm
6.- En cuanto a efectos de difracción únicamente, ¿cuándo deberíamos ver mejor, de noche o de día?. ¿Por
qué no es así?. ¿Con qué color apreciaríamos más detalles, con rojo o con azul?.
a)Teniendo en cuenta solamente el fenómeno de la difracción, teóricamente de noche veríamos mejor porque la
pupila es más grande, lo que conlleva que la mancha producida por la difracción es menor. Pero en realidad
esto no ocurre, para empezar porque al aumentar la pupila dejamos de trabajar en óptica paraxial, y segundo,
porque al aumentar la pupila hacen efecto en el ojo otras aberraciones. A mayor luz mayor sensibilidad.
b)Usando el criterio de Lord Rayleigh ω = 0,61
λ0
, para una apertura fija (en este caso una pupila fija) la
R
resolución solo dependería de la longitud de onda, entonces a mayor λ0 mayor ω , pero un mayor ángulo no
significa que se resuelva más, sino al revés, cuanto menor ángulo de resolución más preciso es el sistema óptico
para resolver dos puntos, por lo que se resuelve mejor para el azul ( λ0 menor).
7.- El pintor neoimpresionista Georges Seurat era miembro de la escuela puntillista. Sus pinturas
consisten en un enorme número de puntos de colores puros, muy pequeños y juntos. Al observarse desde
cierta distancia, estos puntos se confunden produciendo un efecto de mezcla de color. Si los puntos están
separados 2mm entre sí, estima la distancia a la que deberemos colocarnos del cuadro para que se
produzca la fusión de colores.
Ahora lo que nos plantea el problema es lo mismo que hemos hecho hasta ahora, pero al revés, ahora hay que
calcular la distancia entre puntos a partir de la cual se dejan de ver como separados.
λ0
780·10 −9
O1O2 p 0,61
Para el Rojo ( λ0 =780nm): ω = 0,61
= 2,379·10 − 4 rad =49.07”
−3
ω
2·10
λ
390·10 −9
ω = 0,61 0
Para el Azul ( λ0 =390nm): ω = 0,61
= 1,189·10 − 4 rad =24.54”
O1O2
2·10 −3
Cuando ω es menor que 1,189·10 −4 rad se funden todos los puntos de colores.
Cuando ω es mayor o igual a 2,379·10 −4 rad unos se funden y otros no, por lo que unos se resuelven y otros no.
Con todos estos datos, y suponiendo que la pupila de una persona normal es de 3mm calculamos la distancia:
3 −3
3 −3
·10
·10 (radio − pupilar )
2
Df
= 12,61m
p 1,189·10 − 4 rad
ω = tgω = 2
D
1,189·10 − 4 rad
8.- Realizando la práctica de la red de difracción, que ya hemos colocado perpendicular al haz incidente,
observamos el espectro de una lámpara desconocida, observando que a un ángulo de 15º respecto a la
dirección de incidencia aparece una línea azul. Continuamos recorriendo el espectro y encontramos que
tras la última línea roja aparece otra línea con el mismo color azul anteriormente observado. ¿A qué
ángulo debe encontrarse?. ¿Podríamos determinar el parámetro de red y la longitud de onda a partir de
estas dos medidas?.
mλ0
a)La fórmula para las redes de difracción es: senθm =
d
La primera línea aparece a 15º y es de color azul:
1·λ
m=1 sen15 = 0,259 = 0
d
Para la segunda línea azul:
2·λ0
λ
= 2· 0 = 2·0,259 ⇒ θ 2 = arcsen(0,518) = 31,19º
M=2 senθ 2 =
d
d
b)Tanto el parámetro de red como la longitud de onda no los podemos conocer con los datos que tenemos.
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9.- Determina el parámetro de red necesario para resolver el doblete amarillo del Sodio (λ0 = 588.996nm y
λ0+∆λ = 589.593nm) si la anchura del haz incidente es de 3cm.
Tenemos el doblete amarillo del sodio:
∆λ = (589,593 − 588,996) = 0,597 nm
Para poder ver el doblete como separado se debe cumplir:
∆λ
588,996·10 −9
=
= 986,59 ≤ mN = R
λ
0,597·10 −9
De aquí podemos sacar la relación entre el número de rendijas con la anchura del haz y con la distancia entre
rendijas:
3cm 0,03(metros )
0,03
N=
=
986,59 ≤ mN = R = m
d
d
d
0,03
d ≤m
= m·3,0407·10 −5 (nm) = 30407(metros)
986,59
Según el valor que adopte “m” variará el valor del parámetro de red.
Normalmente se usa el primer orden interferencial porque para otros valores se empieza a confundir.
⎧⎪ϑλ0 = 1.125º ⎫⎪
Para m=1 y d=30.000nm ⎨
⎬∆ϑλ0 = 0.001º ≅ 4" de.arco
⎪⎩ϑλ0 + λ = 1.126º ⎪⎭
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