ETSI de CAMINOS, C. Y P. DE MADRID Segundo Curso – MÉTODOS - Matemáticas Examen Final Ordinario 29 de junio de 2011 Alumno nº matrícula: NORMAS DEL EXAMEN: 1) Cada ejercicio debe resolverse en la hoja del enunciado: no se admiten hojas adicionales. 2) Debe escribirse con tinta azul o negra: no se admite escritura a lápiz ni en color rojo. 3) El DNI del alumno debe estar a la vista sobre la mesa. 4) No está permitido levantarse ni hablar hasta que se hayan recogido los últimos ejercicios y se salga del aula de examen. 5) Se puede disponer sólo del Formulario oficial de la asignatura (sin informaciones adicionales de ningún tipo) y del papel en blanco para uso como borrador. _______________________________________________ Ejercicio nº 4 .- (A) Considérese el campo u = ρ cos θgρ + f (θ) g θ definido en el plano. Se pide: 1) Calcular la función f tal que f(0) = 0 y el campo u sea de divergencia nula. [3 puntos] 2) Para esta función f calcular un potencial vector del campo u y la ecuación de sus líneas de corriente. [3 puntos] (B) Calcular el flujo del campo v = i − j + xe y k a través de las superficies S : {x2 + y2 + z2 £ 1, x – y = 0} y S*: {x2 + y2 + z2 = 1, x – y > 0}. [4 puntos]. Solución: (ver Práctica 4, ejercicio 26) 1 (A) 1) La divergencia de u : ·u 2 cos f () = 2 cosθ + f '(θ) de donde ∇·u =0 ⇔ f ′(θ) =−2cos θ luego f(θ) = –2 senθ + cte. = –2 senθ (constante de ajuste nula pues f(0) = 0) 2) Se observa que el campo u es continuo en E2 admitiendo que u (0,0) = 0 (ya que u → 0, cuando ρ → 0 ). El dominio, pues, es Ω = E2, que es simplemente conexo. Por lo tanto el campo admite potencial vector en E2 y puede tomarse uno de la forma w = Ψ(ρ,θ) k , donde Ψ puede obtenerse de dos modos: ψ(ρ0 ,θ0 ) = ∫ u·n d s , i) por la integral: C siendo C cualquier camino en Ω que una el origen de integración, en este caso el origen O(0,0), con el punto genérico (ρ0,θ0), y siendo n la normal del camino C que señala a la derecha del avance. Así, tomando C el segmento OP0, o sea C : {ρ = t , θ = θ0; 0 ≤ t ≤ ρ0}, se tiene: n = –eθ ; ds = dt ; u (t , θ0 ) = t cosθ0 g – 2senθ0 g luego (figura 1): P (ρ ,θ ) 0 0 0 ρ0 ψ (ρ0 , θ0 ) = ψ (0,0) + ∫ u·n d s = ψ (0,0) + ∫ 2t sen θ0 d t C 0 C ⇒ ψ(ρ,θ) = ψ(0,0) + (ρ0)2 senθ0 , O tomando ψ(0,0) = 0, resulta un potencial vector de u : w(ρ, θ) =ρ2 sen θ k (un potencial vector más figura 1 general es wg = w+∇U, para cualquier campo escalar de clase 2) ii) por el sistema de E.D.P. que se obtiene al exigir ∇×Ψ(ρ,θ)k = u : ∇×Ψ(ρ,θ)k = g ρ 1 ∂ ρ ∂ρ 0 de donde: (Ec. 1) ⇒ Ψ(ρ,θ) = ∫ ρ2 cos θ∂θ = ρ2 sen θ + h(ρ) A esa forma de Ψ de la (Ec. 3) le exigimos la (Ec. 2) para determinar h(ρ) y se tiene: (Ec. 2 y 3) ⇒ 2ρsenθ + h′(ρ) = 2ρsenθ ⇒ h′(ρ) = 0 ⇒ h(ρ) = k = cte. De modo que, finalmente: Ψ(ρ,θ) = ρ2cosθ + k gθ gz ∂ ∂θ ∂ ∂z 0 Ψ = 1 ρ ∂Ψ ∂Ψ ∂θ gρ − ∂ρ g θ = u (Ec. 3) ETSICCP - 2ºcurso 2 Métodos-matemáticas lo que coincide con la solución hallada por integración. ±c Las líneas de corriente de u tienen por ecuaciones ψ(ρ,θ) = cte., y en este caso: ρ2 senθ = c ⇔ ρ = sen θ Otro modo de calcular la función de corriente ψ y con ella el potencial vector #. (B) El campo v i j xe y k es regular de ¥ y adivergente. Las dos = N superficies comparten su borde, que es la circunferencia meridiana de la esfera unidad en el plano {y = x}: ∂S = ∂S* = {x2 + y2 + z2 = 1, y = x } Siendo el campo obviamente adivergente, dará el mismo flujo a través de ambas superficies, como consecuencia del teorema de Gauss (aplicado al volumen encerrado entre ambas superficies). Tomando S, que se encuentra en el plano {x–y = 0}, de normal 1 2 (i − j ) (sentido hacia S*, que se encuentra en el semiplano {x> y}), resulta: 2= S ∫ 2 d= S π ∫ * u·N *dS * ∫ v·N d = S S S ____________________________________ #.