Diseño y fabricación de bombas centrífugas

____________________________ Ud.1 DISEÑO Y FABRICACIÓN DE BOMBAS CENTRIFUGAS. Problema 267
Problema 267
El rodete de una bomba centrífuga, cuya velocidad real de giro va a ser 1320 rpm,
presenta las siguientes características geométricas:
D1 = 125 mm
b1 = 30 mm
D2 = 300 mm
b2 = 25 mm
β 1 = 17º
z = 10
β 2 = 22º
Determinar:
* a) El caudal de diseño de la bomba, sin considerar prerrotación a la entrada, y la
altura útil correspondiente a dicho caudal. Suponer ηh = 0,85 , ηv = 0,95 y ηm =
0,90
Se sabe además que los álabes del rodete se han construido como arcos de
circunferencia. Admitiendo las hipótesis de Pfleiderer y considerando el flujo ideal,
determinar para el caudal anterior:
* b) Par total que soporta cada álabe y par elemental soportado en su punto medio.
* c) Potencia transmitida al fluido en la primera mitad del rodete, hasta r = ( r1 + r2 ) / 2
* d) Velocidades relativas a uno y otro lado de los álabes para el radio medio r , teniendo
en cuenta que en dicho punto b = 27 mm y que según Pfleiderer w∞ = (wA+wB)/2
* e) Variación de la velocidad relativa en la dirección del centro de curvatura del álabe,
en el punto A del intradós de radio r
Nota. Para el trazado de los álabes en arco de circunferencia, aplicar las siguientes
expresiones:
R=
r22 − r12
; OC = R 2 + r22 − 2 R r2 cos β 2 = R 2 + r12 − 2 R r1 cos β 1
2 ( r2 cos β 2 − r1 cos β 1 )
Solución
a) Caudal de diseño de la bomba y altura útil en su punto nominal
Determinemos primeramente el caudal de diseño del rodete, que es aquél para el cual
las pérdidas por choque son nulas. Para dicho caudal el ángulo β 1 de entrada del flujo
deberá coincidir con el del álabe, de modo que resolviendo el triángulo de entrada
resulta:
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u1 =
πN
π 1320
D1 =
0 ,125 = 8 ,64 m s
60
60
v1 m = u 1 tg β 1 = 8 ,64 tg17 = 2 ,64 m s
Q ro = π D1 b1 v1m = π 0 ,125 ⋅ 0 ,03 ⋅ 2 ,64 = 0 ,0311 m 3 s = 31,1 l s
Teniendo en cuenta ahora el rendimiento volumétrico, el caudal de diseño de la
bomba será:
Qo = Qro ηv = 31,1 ⋅ 0 ,95 = 29,5 l s
La altura teórica que comunicaría el rodete a las partículas, supuesto el número de
álabes infinito, es:
 πD 
H t ,∞ =  2 
 60 
2
2
2
N 2 cot g β 2
cot g 22
 π 0 ,3  1320
−
N Qro = 
−
1320 ⋅ 0 ,0311 =

g
60 g b2
9 ,8
60 ⋅ 9 ,8 ⋅ 0 ,025
 60 
= 43 ,87 − 6 ,91 = 36 ,96 m
Para tener en cuenta el efecto de la desviación, evaluaremos el coeficiente de
Pfleiderer, con ψ = 0,6 (1 + sen β2 ), puesto que β2 < 90º y r2 /r1 > 2. Sustituyendo
resulta:
ψ = 0 ,6 (1 + sen 22 ) = 0 ,82
µ=
1+
1
2ψ
  r 2 
z 1 −  1  
  r2  


=
1+
1
2 ⋅ 0 ,82
= 0 ,83
2

125  
10 1 − 
 
  300  
con lo que la altura teórica para un número de álabes finito, será:
H t ,z = H t ,∞ µ = 36 ,96 ⋅ 0 ,83 = 30 ,68 m
Considerando finalmente el rendimiento hidráulico de la bomba, se tiene:
Hu =
H t ,z η h = 30 ,68 ⋅ 0 ,85 =
26 ,07 m
b) Par total que soporta cada álabe y par elemental soportado en su punto medio
El par total transmitido por el rodete al fluido en su punto nominal será:
Mt =
γ Qro H t , z
ω
=
30 γ Qro H t , z
πN
=
30 ⋅ 1000 ⋅ 0 ,0311 ⋅ 30 ,68
= 6 ,9 Kp ⋅ m
π 1320
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y por consiguiente, el par total que soporta cada álabe:
Mz =
M t / z = 6 ,9 / 10 = 0 ,69 Kp.m
Para calcular el par elemental en el punto medio, recurriremos a las hipótesis de
Pfleiderer. En ellas se supone que el producto (∆p⋅b) se mantiene constante a lo largo
de todo el álabe. Para evaluar dicho producto, recordemos que el par resistente sobre
un elemento de álabe ds viene dado por:
dM = dF ⋅ h = ∆p ds ⋅ b ⋅ h = ∆p b ds ⋅ r sen β = ∆p b ⋅ r dr
de modo que al integrar el par elemental a
lo largo de todo el álabe, el producto (∆p⋅b)
puede salir fuera de la integral, resultando:
β
ds
β
dF
dM
r2
r2
r1
r1
M z = ∫ dM = ∆p ⋅ b ∫ r dr = (∆p ⋅ b)
r
h= rsen β
r22 − r12
2
Dicho par debe ser igual al calculado anteriormente a partir de las características
nominales de la bomba:
r 2 − r2
M z = (∆p ⋅ b ) 2 1 = 0 ,69 Kp.m
2
y despejando:
∆p ⋅ b =
2Mz
r22
− r12
=
2 ⋅ 0 ,69 ⋅ 4
0 ,3 2 − 0 ,125 2
= 74 ,22 kp m = cte
Finalmente, en el punto medio del álabe, esto es, para:
r +r
0 ,3 + 0 ,125
r= 1 2 =
= 0 ,106 m
2
4
el par elemental soportado será:
dM r =
(∆p ⋅ b ) r dr = 74 ,22 ⋅ 0 ,106 dr =
7 ,87 dr Kp ⋅ m
c) Potencia transmitida al fluido en la primera mitad del rodete
Primeramente evaluaremos el par transmitido por los álabes al fluido, hasta dicha
sección:
r
M t = z ∫ dM = (∆p ⋅ b ) z
r1
r 2 − r12
0 ,106 2 − (0 ,125 2)2
= 74 ,22 ⋅ 10
= 2 ,72 kp ⋅ m
2
2
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y multiplicando éste por la velocidad angular tendremos la potencia transmitida:
W = M t ω = 2 ,72
π 1320
= 376 kp ⋅ m s = 5,01 CV
30
la cual representa un porcentaje respecto a la potencia total idéntico al del par
transmitido, esto es:
2 ,72
100 = 39 ,4%
6 ,9
d) Velocidades relativas a uno y otro lado de los álabes para el radio medio r
Conforme al teorema de Bernouilli generalizado, la diferencia de presiones entre dos
puntos A y B ubicados a uno y otro lado del álabe, y equidistantes del eje de giro, es
igual a la diferencia de las alturas dinámicas referidas a la velocidad relativa:
∆p AB w2A − w2B
=
γ
2g
Conforme a las hipótesis de Pfleiderer, para el punto medio del álabe tendremos:
∆p m =
∆p ⋅ b 74 ,22
=
= 2748 ,9 kp m 2
bm
0 ,027
de modo que igualando ∆pm = ∆pAB resulta:
w2A − w2B =
2g
2 ⋅ 9 ,8
∆p m =
2748 ,9 = 53 ,88 (m s )2
γ
1000
(1)
Por otra parte, según otra de las hipótesis de Pfleiderer, referida en el enunciado, se
tiene:
(w A+wB)/2 = w∞
(2)
donde w∞ representa la velocidad relativa para dicho radio, supuesto un número de
álabes infinito, y por consiguiente el flujo perfectamente guiado por éstos, de modo
que del triángulo de velocidades se desprende:
w∞ = vm /sen β
La velocidad v m puede determinarse mediante la ecuación de continuidad, y el
ángulo β de los álabes en dicho punto a partir del trazado de los mismos, de modo
que resolviendo (1) y (2) simultáneamente, podremos determinar las velocidades wA
y wB pedidas.
Calculemos primeramente la velocidad meridiana en el rodete para el radio medio:
vm =
Qro
0 ,0311
=
= 1,73 m s
2π r b 2π 0 ,106 ⋅ 0 ,027
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Por otro lado, para determinar el ángulo β de los álabes en su punto medio
calcularemos primero el radio y el centro de los mismos. Según las fórmulas del
enunciado:
R=
r22 − r12
D 22 − D12
0 ,3 2 − 0 ,125 2
=
=
= 0 ,117 m
2 (r2 cos β 2 − r1 cos β 1 ) 4 (D 2 cos β 2 − D1 cos β 1 ) 4 (0 ,3 cos 22 − 0 ,125 cos 17 )
2
D 
OC = R +  2  − R D 2 cos β 2 = 0 ,117 2 + 0 ,15 2 − 0 ,117 ⋅ 0 ,3 cos 22 = 0 ,060 m
 2 
2
y para el punto medio del álabe, de la figura se deduce:
wA
A
β
β
D
2
OC = R 2 + r 2 − 2 R r cos β
u
r
O
R 2 + r 2 − OC
cos β =
2R r
B
R
2
0 ,117 2 + 0 ,106 2 − 0 ,06 2
β = ar cos
= 30 ,9º
2 ⋅ 0 ,117 ⋅ 0 ,106
C
Resolviendo ahora el triángulo de velocidades en A:
w∞ =
vm
1,73
=
= 3,37 m s
sen β sen 30,9
y sustituyendo dicha velocidad en (2) resulta:
wA + wB = 2w∞ = 2 ⋅ 3,37 = 6 ,74 m s
Por otra parte, de la ecuación (1):
w 2A − wB2 = 63,68 = ( w A + w B )( w A − wB ) = 6 ,74 (w A − w B )
wA − wB =
63,68
= 9 ,45 m s
6 ,74
y resolviendo estas dos últimas ecuaciones simultáneamente se obtiene:
w A = 8 ,1 m s
w B = − 1,36 m s
El valor negativo de wB significa un retroceso en la cara convexa del álabe, y por
consiguiente la aparición de remolinos en dicha zona.
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e) Variación de la velocidad relativa en la dirección del centro del álabe, en el punto A
La variación de la velocidad relativa w en la dirección normal viene dada por:
dw w
= − 2ω
dn R
y en particular, para el punto medio de la pared cóncava, esto es, para el punto A,
valdrá:
w
8 ,1
π 1320
 dw 
−2
= 69 ,23 − 276 ,46 = −207 ,2 s −1
  = A − 2ω =
dn
R
0
,
117
30
 A
es decir:
 dw 
  = −207 ,2 (m s ) m
 dn  A
Supongamos ahora que dicha variación fuera constante a lo largo de la normal, y
aproximemos la distancia a entre los puntos A y D, siendo D el pie de la perpendicular
cuando alcanza al álabe siguiente, como:
2π r
2π 0 ,106
sen β =
sen 30 ,9 = 0 ,034 m
z
10
La velocidad relativa en el punto D, anterior al B, sería, conforme a las
aproximaciones anteriores:
a ≈ t sen β =
 dw 
wD = wA + a   = 8 ,1 + 0 ,034 ⋅ ( −207 ,2 ) = 1,01 m / s
 dn  A
lo que significa que el flujo se ralentiza a medida que avanza hacia la salida. En
realidad, para un cálculo más exacto del comportamiento del flujo en el interior del
canal, habría que recurrir a la resolución de las ecuaciones completas del flujo ideal en
el mismo.
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