1.2 Interpretación estadística de Mecánica Cuántica

1.2
Interpretación estadística de Mecánica Cuántica
La constatación experimental de la dualidad de partícula y onda que los electrones, deberían mostrar también un comportamiento
ondulatorio, cerró el círculo de una de las propuestas más seductoras de la física cuántica: todo lo que existe es, al mismo tiempo, onda
y materia. Más aun a la escala atómica y nuclear el comportamiento de electrón se describe por las leyes de la física cuántica, en la cual
el electrón se considera no como una partícula sino como una onda y por eso sería más correcto llamarla no física cuántica sino física
ondulatoria. De aquí está claro que sin un conocimiento, al menos superficial de la teoría de ondas, es difícil entender las ideas de
mecánica cuántica. Por esta razón presentamos a continuación una lista breve de las fórmulas y las definiciones que se usan en la teoría
de ondas.
1.2.0 Clasificación general y propiedades de ondas
Ondas en general describen unos procesos periódicos en un campo  dados a través de la función de onda     x, t  en un campo
1D y    r,t  en campos 2D y 3D. A continuación presentamos brevemente la clasificación de tipos más importantes de ondas y
sus propiedades.
O1
Ondas Monocromáticas 1D
O1.1
Ondas Viajeras 1D
Ondas Viajeras se propagan en un espacio sin restricciones (   x   ). Función de onda correspondiente para una onda
monocromática se puede escribir en una de las tres siguientes formas
2

 A sin   x  Vt  ; A  amplitud ,   longitud de onda, V  velocidad de fase


1

x t
  x, t    A sin 2    ; T  ;   ; T  periodo,   frecuencia circular

T
V
T




2
;   2 , k  número de onda,   frecuencia angular
 A sin  kx   t  ; k 


(1)
La última forma de representación de una onda monocromática viajera 1D se usara en nuestro curso con mayor frecuencia. Entre la
frecuencia angular y el número de onda monocromática existe una relación:
(2)
 k   V  k
Si una onda se propaga en un espacio donde no hay dispersión (velocidad V no depende de k), por ejemplo OEM en vacío, entonces la
dependencia es lineal, en el caso contrario no es lineal y por eso la dependencia     k  se llama curva de dispersión. Es importante
anotar que en el caso cuando la dispersión no es lineal (y como veremos más adelante esto caso corresponde a las ondas de Broglie)
solo última forma de las tres representaciones en ecuaciones (1) es adecuada- La forma más conveniente de la función de onda De
Broglie en este caso es en términos de las funciones de variable compleja:
  x, t   A ei  kx t  ;  *  x, t   A *ei  kx t 
Son evidentes las siguientes relaciones:
1
  x, t    *  x, t   Re  x, t   A cos  kx   t  ;
2
  x, t   *  x, t   A
(3)
1
  x, t    *  x, t   Im  x, t   A sin  kx   t ;
2i 
(4)
2
Como ondas viajeras se transmiten en un espacio sin límites no existen ningunas restricciones ni sobre la longitud de onda ni sobre el
número de ondas, ni sobre frecuencias:
(5)
0    ;    k  ; 0      k   ;
Es decir, para una onda viajera el número de las frecuencias permitidas es incontable y el espectro (el conjunto de las frecuencias
permitidas) es continuo.
O1.2 Ondas Estacionarias 1D
Ondas estacionarias se propagan en un espacio restringido ( a  x  b ). Las ondas estacionarias se transmiten en este caso en un espacio
restringido con las condiciones específicas en las fronteras que llevan a existencia de un conjunto contable las longitudes de onda,
números de ondas, y frecuencias correspondientes:
  1, 2 , 3 , ; k  k1,k 2 ,k3 , ;  ;   1    k1  , 2    k2  , 3    k3  , 
(6)
Las funciones de ondas correspondientes pueden ser representarse en una forma sinodal:
 n  x, t   An sin  kn x  nt  ; n  2 kn ;  n  2 n , n  1,2,3,
(7)
o compleja
 n  x, t   An ei  kn x n t  ;  n *  x, t   An * ei  kn x nt 
(8)
Es decir, para ondas estacionarias el espectro es discreto, existe de un conjunto contable de las longitudes de onda n , números de
ondas k n , y frecuencias  n permitidas, que se identifican con un solo número n  1,2,3, contador.
O2
Ondas Monocromáticas 2D y 3D
O2.1 Ondas Viajeras 2D y 3D
Ondas Viajeras se propagan en un espacio 2,3 D sin restricciones (   x, y, x   ). Función de onda correspondiente para una onda
monocromática se caracteriza por un vector de onda k  k x , k y , k z cuyo dirección de propagación de onda puede escribir en una de


 A sin  k  r    t 
  r, t   
i  kr  t 

 Ae

;    k 

(9)

Si el vector de onda k  k x , k y , k z en todo el espacio mantiene su dirección entonces onda
monocromática (9) se llama plana y su frente de propagación es un plano perpendicular a este vector.
Además, en todo el plano que es perpendicular al vector k la fase k  r  t es la misma. La longitud
de onda monocromática plana está relacionada con la longitud del vector de onda:

2
; k  kx2  k y 2  kz2
k
(10)
Si el vector de onda k en todo el espacio es paralelo al vector de posición r ,
k  k  r r ; k  k x 2  k y 2  k z 2 entonces onda monocromática (9) se llama esférica y sus frentes de propagación son esferas
perpendiculares a este vector, mientras que la función de onda tiene la forma:
A
sin  k  r    t 


  r, t    r
;    k 
 A ei  k r  t 

 r
(11)
La dependencia de la amplitud con alejamiento desde el origen así como está dado en las formulas (11) garantiza que el flujo del
cuadrado de módulo de la función de onda a través de todas esferas centradas durante un periodo de oscilación es la misma
(¡demuéstralo! y presente la interpretación de este resultado usando como ejemplo OEM)
O2.2 Ondas Estacionarias 2D y 3D
Ondas estacionarias se propagan en un espacio restringido dentro una región G de 2D (  x, y   G ) o de 3D (  x, y, z   G ). Las
ondas estacionarias describen en este caso un proceso en un espacio restringido con las condiciones específicas en las fronteras, que
originan un conjunto contable de las frecuencias   1   k1  , 2   k 2  , 3    k3  ,  correspondientes a vectores de ondas
k  k1, k 2 , k3 ,  , donde kn   kn1, kn 2 , kn3  ; n   n1, n2, n3; n1, n2, n3  1,2,3, con 3 contadores para 3D mientras que para 2D
solamente con 2 contadores k n   kn1, kn 2  ; n   n1, n2; n1, n2  1,2,3,
Los tres componentes del vector de onda kn1, kn 2 , kn3
muestran los números de ondas 3D en las direcciones X,Y y Z, respectivamente.
Las funciones de ondas correspondientes pueden ser representarse en una forma trigonométrica:
 n r, t   An sin  k nr  n t  ; n  1,2,3,
(12)
o compleja
 n r, t   An ei knr nt  ;  n * r, t   An * ei knr nt 
(13)
El espectro es discreto, que se debe a un conjunto contable de vectores de ondas k n y frecuencias  n permitidas, los cuales se
identifican con dos contadores ( n1, n2  1,2,3, ) en el caso de 2D y con tres contadores ( n1, n2, n3  1,2,3, ) en el caso de 3D.
O3
Grupo de Ondas
O3.1
Onda compuesta
Una onda compuesta se obtiene mediante la adición o superposición de cualquier número de ondas monocromáticas. Ondas
monocromáticas satisfacen el principio de superposición: función de onda compuesta es igual a la suma de funciones de ondas
parciales. Este principio es de mucha importancia para entender la diferencia principal entre comportamiento de las partículas y ondas.
Cuando dos ondas están llegando a un punto en la misma fase, según este principio la amplitud en este punto se dobla, mientras que la
energía se cuadriplica. Al contrario si dos ondas están llegando en contrafase la amplitud resultante es nula y la energía en este punto
no se suma sino se resta. Es decir para las ondas la ley de conservación de la energía no se cumple localmente sino solamente en el
promedio. Esto resulta en los efectos de interferencia y difracción que caracterizan el comportamiento de las ondas. Entonces el
principio de superposición para la función de onda resultante de una superposición de n ondas monocromáticas matemáticamente se
escribe como:

i k j x  j t
n
  x, t    A j e

(14)
j 1
donde Aj , k j ,  j , j  1,2,3, son parámetros correspondientes de las ondas parciales. La onda compuesta   x, t  ya no es una onda
armónica en movimiento, sino más bien una superposición de n ondas con diferentes longitudes de onda y frecuencias y con diferentes
amplitudes. Cada onda parcial viaja con su velocidad de fase propia, V j   j k j , j  1,2,3, Si estas velocidades parciales no
coinciden el perfil de onda compuesta se cambia con el tiempo. Generalmente las frecuencias angulares de ondas parciales
monocromáticas dependen del número de onda k según el tipo de dispersión que tienen las ondas parciales.
En el caso especial cuando la dispersión es lineal las razones  j k j para cada una de las ondas parciales tienen el mismo valor
 j k j  c, j  1,2,3, , n . Por lo tanto, la el perfil de la onda compuesta no cambia con el tiempo a pesar de la presencia en la
superposición de las frecuencias angulares y los números de onda difieren. En realidad, en este caso:
n

i k j x  j t
  x, t    A j e
j 1

ik j  x ct 
n
 Aj e
j 1
n
   j x  c  t   f x  c  t 
j 1
(15)
Esto es una forma general de una onda viajera que se desplaza lo largo de eje conservando en todo el tiempo su perfil   x,0  f  x 
inicial Ejemplos de superposición de las ondas no dispersos son un haz de luz policromática que viaja en el vacío y las vibraciones
no amortiguadas de una cuerda tensa.
Para un movimiento de onda dispersiva, la frecuencia angular ω (k) no es proporcional a |k|, de manera que la velocidad de fase varía
de una onda parcial a otra. Puesto que la velocidad de fase en esta situación depende de k, la forma de la onda compuesta cambia con
el tiempo. Un ejemplo de movimiento ondulatorio dispersiva es un haz de luz policromática que viaja en un medio dieléctrico. Debido
a que la velocidad de fase de cada onda parcial monocromática depende en su longitud de onda, el haz de luz se dispersa, o se separa
en sus ondas parciales, cuando pasa a través de un prisma de cristal. La ola en la superficial causada por la caída de una piedra sobre el
agua es otro ejemplo de movimiento de onda dispersiva.
O3.2 Pulsaciones
Como un ejemplo específico pero simple para explicar el comportamiento de una onda compuesta y consideremos en detalle las
propiedades de una onda compuesta   x, t  que resulta de superposición de las dos ondas monocromáticas
  x, t   A e 
i k1x 1t 
 Ae 
i k2 x 2t 
(16)
Denotemos k ,  los valores promedios y k ,  las diferencias de los parámetros correspondientes, entonces:
k1  k  k 2; k2  k  k 2; 1     2; 2     2
Sustituyendo (17) en (16) y haciendo un poco algebra sencilla la función de onda resultante se reduce a la siguiente expresió n:
i k  x  t 
 k  x    t 
  x, t   A  x, t  e 
; A  x, t   2 A cos 

2


(17)
(18)
La ecuación (18) representa una onda plana con el número de onda k , frecuencia
angular  y velocidad de fase  / k , pero con una amplitud modulada por la
función
A  x, t   2 A cos   k  x    t  2  . La parte real de la onda (1.8) en
un momento de tiempo t fija se muestra en la Figura). La curva sólida es la onda
plana con la longitud de onda   2 / k y la curva punteada muestra el perfil de la
amplitud envolvente de la onda plana. Esta envolvente también muestra el perfil de
una onda armónica con la longitud de onda   4 / k . En los puntos de máxima
amplitud, las dos ondas originales se interfieren constructivamente. En los nodos en
la Figura las dos ondas interfieren destructivamente y se anulan entre sí.
A medida que el tiempo crece, la onda plana exp i  k  x    t  se mueve con
Figura. La superposición de dos ondas planas se
velocidad de fase  / k . Si consideramos un punto fijo x de esta onda plana
muestra por la curva continua. El perfil de la amplitud
podemos observar no sólo un movimiento periódico arriba abajo con el periodo de
se muestra por la curva punteada. (b) La posiciones de
fase sino también un aumento y la caída periódica de la amplitud debido a la
las curvas de (a) después de un corto intervalo de tiempo
función de modulación A  x, t  .
El patrón en la figura 1.2 (a) se propaga a lo largo del eje X a medida que avanza el tiempo. Después de un corto período de tiempo
t el máximo de la curva envolvente (línea punteada) de la onda (1.8) se desplaza a una posición que se muestra en Figura (b).
Desplazamiento del máxima amplitud según (18) se define mediante la condición:
k  x    t  2  x  x0    k   t
x0  2 / k
De aquí se ve que el máximo de la curva envolvente se desplaza a la derecha con la velocidad v g   k , llamada la velocidad de
grupo.
O3
Paquetes de Ondas
Una onda compuesta de un conjunto incontable de ondas monocromáticas con los números de onda k de todo un intervalo estrecho
k0  k  k  k0  k alrededor de un valor k0  2 0 llamaremos un paquete de ondas. Este término en general significa una
superposición de ondas que difieren ligeramente con sus longitudes de onda o/y con sus direcciones de propagación. Consideremos un
paquete de ondas propagados en la dirección OX. De acuerdo con la definición anterior de un paquete de ondas, la función de onda
compuesta   x, t  está dada por
  x, t  
k0 k

k0 k
i  kx   k t 
Ak  e 
dk
(19)
Asumiendo que el ancho del intervalo para los números de onda posibles es muy pequeño podemos desarrollar la función subintegral
en serie de Taylor alrededor del punto k0 y dejar solamente los primeros términos de la expansión:
  k   0   '  k0  k  k0  ; 0    k0  ; A  k   A  k0 
Tomando   k  k0 como nueva variable de integración la integral se reduce a la siguiente
  x , t   A  k0  e 
i k0 x 0 t 
k
i  x   k0 t 
 e
d
k
La integral respecto  puede calcularse directamente y esto conduce a la fórmula final:
  x, t   A  x , t  e 
i k0 x 0 t 


; A  x, t   2 A  k0  k sinc k  x     k0   t 
(20)
En matemática, la función sinc o seno cardinal, denotada por sinc(z) , tiene definición:
sinc(z)  sinz/ z
(21)
El gráfico muestra que el valor de la función tiene una singularidad evitable en cero, que generalmente se redefine específicamente
como igual a 1. La función sinc es analítica en todas partes y se difiere de cero solamente en un estrecho intervalo alrededor de x  0 .
Dado que el argumento del sinc en (20) incluye la pequeña cantidad de k k0 , la función A  x, t  varía muy lentamente en función
de la coordenada x, y por lo tanto A  x, t  se puede considerada como una envolvente de la modulación de la amplitud de la onda casi
monocromática. Encontraremos la coordinada x para que esta amplitud tenga un máximo. Llamemos a este punto como el centro del
paquete de ondas. El máximo evidentemente será en el punto x     k0   t . Esto significa que el centro del
paquete de ondas se mueve con una velocidad V que se obtiene diferenciando esta igualdad con respecto a t.
d   k0 
(22)
v g     k0  
dk
Llamaremos a esta cantidad la como la velocidad de grupo (a diferencia de la velocidad de fase V   k ). Si
la dispersión de las ondas seria lineal   V  k entonces como para las v g  V ondas acústicas o en
caso de OEM en vacío, tuviéramos y forma del paquete de ondas no varía con el tiempo. Al contrario, cuando
la dispersión     k  no es lineal las velocidades de fase y de grupo no coinciden la forma del paquete con
el tiempo debe sufrir las modificaciones, a causa de esta dispersión.
La función sinc se difiere esencialmente de cero solamente cuando z  1 y por eso la amplitud de un paquete A  x, t  es significativa
solamente cuando
k  x     k0   t  1  
1
1
1
1
 x     k0   t 
    k0   t 
 x     k0   t 
k
k
k
k
Definimos k como incertidumbre en números de onda de un paquete y x como incertidumbre en la posición del máximo de la
función de onda del paquete. Entonces de las fórmulas anteriores se ve que
(23)
x  k 1
La fórmula (23) se llama la relación de incertidumbre para paquetes de ondas.