Beatriz Sinova Fernández Estadística e Investigación Operativa Address: Dept. de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Oviedo Facultad de Ciencias - Campus de Llamaquique Calvo Sotelo s/n, 33007 Oviedo, Spain E-mail: sinovabeatriz.uo@uniovi.es Congreso Jóvenes Investigadores RSME Soria, 5 9 de septiembre de 2011 Una nueva métrica para números fuzzy Para modelar muchos experimentos de la vida real, se usa la escala de números fuzzy porque permite una representación más adecuada y exible de la imprecisión que los números reales, y mayor expresividad, capacidad computacional y tratamiento matemático que los valores categóricos. Pueden citarse un buen número de ejemplos y aplicaciones que involucran valoraciones, juicios o percepciones con una imprecisión subyacente en campos muy dispares, desde las ingeniería del control a las ciencias del comportamiento. e : R → [0, 1] tal que U e e para cada α ∈ (0, 1] el α−nivel correspondiente Uα = {x ∈ R : U (x) ≥ α} es un intervalo compacto no e0 = {x ∈ R : U e (x) > 0}. Para cada x ∈ R, el valor U e (x) representa el `grado de compatibilidad vacío y U e de x con la propiedad que caracteriza a U ' (o también puede interpretarse como el `grado de posibilidad e ). Fc (R) denotará el espacio de números fuzzy. Cada número fuzzy vendrá de la armación x es `U Un número fuzzy se formaliza, en su acepción más general, como una aplicación caracterizado indistintamente, entre otros, en términos de: • • α-niveles; eα = (inf U eα + sup U eα )/2 = centro de U eα ) y la semiamplitud (spr U eα = U eα − inf U eα )/2 = radio de U eα ) de todos sus α-niveles; (sup U e1 , y la semiamplitud izquierda (lsprU eα =midU e1 − inf U eα ) y la • o el punto medio del 1-nivel, midU e e e semiamplitud derecha (rsprUα = sup Uα −midU1 ) de todos sus α-niveles. el ínmo y el supremo de todos los o el punto medio (mid En cuanto a la aritmética entre los números fuzzy, las operaciones más importantes desde un punto de vista estadístico son la suma y el producto por escalares. La aritmética fuzzy usual, basada en el Principio de Extensión de Zadeh (1975), equivale a la aritmética intervalar usual nivel a nivel. Esto es, dados dos e , Ve ∈ Fc (R) U cada α ∈ [0, 1] números fuzzy tal que para e + Ve )α = (U y el producto de e U y un número real γ ∈ R, suma de Minkowski de por el escalar γ se dene como la suma de eα U y e U y Ve se dene como e + Ve ∈ Fc (R) U eα , z ∈ Veα } Veα = {y + z : y ∈ U e ∈ Fc (R) γ·U tal que para cada α ∈ [0, 1] eα }. e )α = γ · U eα = {γ · y : y ∈ U (γ · U Una observación importante es que el espacio Fc (R) con estas dos operaciones no es lineal, sino que tiene una estructura semilineal cónica. Una de las ventajas del empleo de números fuzzy frente al de datos categóricos es que entre los primeros tiene sentido medir la `proximidad'. Al respecto, se han denido en la literatura varias métricas (cf. Diamond y Kloeden, 1999, Trutschnig et al., 2009). En recientes estudios motivados por la necesidad de establecer medidas y estimadores más robustos que la media tipo Aumann de un conjunto de datos fuzzy (o de un número fuzzy aleatorio, en un contexto probabilístico general) se ha hecho patente la conveniencia de considerar métricas tipo L1 que permitieran introducir una extensión de la noción de mediana (habida cuenta de la no existencia de un orden total universalmente aceptable entre los números fuzzy). La representación mid1/lspr/rspr coincide con la representación mid/spr para números fuzzy simétricos y, en consecuencia, para intervalos. Con inspiración parcial en la métrica de Hausdor para intervalos y en las métricas L2 de Trutschnig et al. (2009) y de Yang y Ko (1996) para números fuzzy, se introduce, a continuación, una nueva distancia 1 JIRSME: Beatriz Sinova Fernández 2 entre números fuzzy basada en la caracterización mid1/lspr/rspr. Dados dos números fuzzy y un valor θ> e1 − midVe1 | + θ · = |midU 2 e , Ve ) D1θ (U Entre ρ1 sus ventajas, propuesta pacio de e , Ve ∈ Fc (R) U 0, la distancia D1θ entre ellos se dene como: por números reseñar Diamond fuzzy y en que Z eα − lsprVeα |dα + θ · |lsprU 2 (0,1] se Kloeden un cono trata y de que cerrado una métrica también y convexo eα − rsprVeα |dα. |rsprU (0,1] topológicamente permite {funciones vectoriales de tres dimensiones de tipo L1 con dominio Z del un encaje espacio (0, 1]}. de equivalente a la isométrico del es- funciones H1 = También es interesante señalar que esta métrica va a permitir garantizar la existencia de un concepto de mediana operativo, lo cual no podía armarse en general cuando se utilizaba una métrica L1 basada en la caracterización mid/spr e 2 inspirada en la métrica L de Trutschnig et al. (2009). References [1] Diamond, P., Kloeden, P., 1999. Metric spaces of fuzzy sets. Fuzzy Sets Syst. 100, 6371. [2] Trutschnig, W., González-Rodríguez, G., Colubi, A., Gil, M.A. 2009. A new family of metrics for compact, convex (fuzzy) sets based on a generalized concept of mid and spread. Inform. Sci. 179, 39643972. [3] Yang, M.S., Ko, C.H., 1996. On a class of fuzzy c-numbers clustering procedures for fuzzy data. Fuzzy Sets Syst. 84, 4960. [4] Zadeh, L.A., 1975. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part 1. Inform. Sci. 8, 199249; Part 2. Inform. Sci. 8, 301353; Part 3. Inform. Sci. 9, 4380.