Movimiento circular y gravitación

Movimiento circular y gravitación
(RC-87)
J. A. Montiel tosso (ies antonio galán acosta, córdoba)
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Podemos decir que el movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una
circunferencia y el módulo de la velocidad es constante, es decir, recorre arcos
iguales en tiempos iguales.
Ahora estudiaremos cada uno de los parámetros del movimiento.
VELOCIDAD ANGULAR
Veamos el siguiente gráfico que representa un objeto P describiendo un
movimiento circular, desde la posición P1 hasta la P2, tardando un tiempo t. Si
unimos las posiciones del objeto con el centro de giro obtenemos su
radiovector. En la figura se aprecia cómo el ángulo girado por el radiovector al
cambiar de posición el cuerpo es n. Definimos la velocidad angular como:
El ángulo se mide en Radianes (rad) y
el tiempo en segundos. Por eso la
velocidad angular se medirá en rad/s
en el S I.
Ejercicio 1:
Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala
circular. Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros
segundos, 120º a los diez segundos y 240º a los 20 s. Halla:
a) El ángulo recorrido en cada caso, expresado en radianes.
b) La velocidad angular del movimiento.
c) El tiempo que tardará la aguja en describir una vuelta completa.
Ejercicio 2:
Convierte en grados los siguientes ángulos expresados en radianes: B/2, B/4,
B, B/3, 3B/2 y 2B.
VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL
Sabemos que el arco s de circunferencia girado (en metros), o sea, el camino
recorrido por el objeto se puede calcular multiplicando el ángulo descrito n (en
radianes) por el valor del radio (en metros). Por tanto es sencillo sustituir en la
expresión de la velocidad angular:
Siendo v la velocidad lineal del objeto (el espacio recorrido s entre el tiempo t
que dura el movimiento). Podemos decir que:
o bien que
Ejercicio 3:
Expresa las siguientes velocidades angulares en la unidad internacional: 300
rpm, 120 rps.
Ejercicio 4:
Una rueda de 15 cm de radio gira a 90 rpm. Halla su velocidad angular en rad/s
y la velocidad lineal de un punto de su periferia.
Ejercicio 5:
Calcula la velocidad angular de los siguientes movimientos:
a) Rotación de la Tierra sobre su eje.
b) Aguja horaria de un reloj
c) Minutero de un reloj
d) Segundero de un reloj.
ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA
El movimiento circular uniforme es un caso "especial", pues posee aceleración.
Esto parece un contrasentido, ya que te preguntarás: ¿Cómo un movimiento
uniforme puede tener aceleración?
Hay aceleración debido al cambio continuo de dirección del vector velocidad a
lo largo de todo el movimiento.
Dicha aceleración está siempre dirigida hacia el centro, por lo que se llama
aceleración centrípeta. Por otro lado, este vector puede verse que es
perpendicular (o normal) al vector velocidad en todo momento. Por ello también
se le denomina aceleración normal. Su módulo se obtiene dividiendo el
cuadrado de la velocidad entre el radio de la trayectoria:
FRECUENCIA Y PERÍODO DEL M C U
La frecuencia f es el número de vueltas dadas en un segundo. El período T es
la magnitud inversa, es decir, el tiempo (en segundos) empleado en dar una
vuelta completa.
Ejercicio 6:
Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto.
Determina el periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración
centrípeta.
FUERZA CENTRÍPETA
Ya vimos por la segunda ley de la dinámica que toda aceleración debe ser
provocada por alguna fuerza. Así pues, la fuerza centrípeta es la fuerza que
origina la aceleración centrípeta. Está dirigida hacia el centro de giro y se
calcula multiplicando la masa del objeto en movimiento por la ac:
¿Serías capaz de hallar una fórmula para Fc, similar a la anterior pero en
función de la velocidad angular?
¿Quién ejerce la Fc cuando giramos una piedra sujeta por una cuerda sobre
nuestra cabeza? ¿Y cuando la Tierra gira alrededor del Sol? ¿Y para que la
Luna describa su órbita en torno a la Tierra?
¿Cuáles son las unidades internacionales de la fuerza centrípeta y de la
aceleración centrípeta?
¿Hay aceleración centrípeta en un movimiento rectilíneo?
Ejercicio 7:
Un niño tiene una piedra de 300 g atada a una cuerda de 50 cm de longitud
y la agita sobre su cabeza provocando un movimiento circular en un plano
horizontal cuya velocidad angular es de 60 rpm. Halla la fuerza centrípeta
que actúa sobre la piedra.
LA POSICIÓN DE LA TIERRA EN EL UNIVERSO
Desde la antigua filosofía hasta el final de la Edad Media, el hombre había
concebido dos modelos antagónicos del Universo. La teoría geocéntrica,
propuesta por Ptolomeo y defendida por Aristóteles, suponía que la Tierra era
el centro del Universo y colocaba en esferas concéntricas a todos los astros
visibles, girando en perfectos círculos. La teoría heliocéntrica de Aristarco,
perfeccionada por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico y apoyada por el
italiano Galileo Galilei en los albores de la física, a mediados del siglo XVII,
señalaba al Sol como centro del sistema solar.
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO
Los estudios recopilados por el alemán Kepler que reunió muchos datos
astronómicos, fundamentalmente de Tycho Brahe, le permitieron deducir tres
leyes matemáticas acerca del movimiento planetario:
1ª.- Todos los planetas realizan órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el
Sol.
2ª.- La recta que une a los planetas y el Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
3ª.- El cuadrado del período el movimiento orbital del planeta es directamente
proporcional al cubo de su distancia al Sol.
Isaac Newton, en su famosa obra "Philosophiae naturalis principia
mathematica", publicada en 1867, se basó en las leyes de Kepler para
desarrollar su ley de gravitación universal.
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Su enunciado es: "La fuerza con que se atraen dos objetos es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa".
En la figura se dibuja la fuerza F que la masa M realiza sobre la masa m,
situada a una distancia r de M.
Naturalmente, por la ley de acción y reacción, sobre M actuará una fuerza igual
y contraria a F, que no hemos dibujado para simplificar la figura.
G es la constante de gravitación universal y vale 6,67·10 -11 N m2 /kg2.
Ejercicio 8:
Calcula la fuerza con que se atraen dos esferas de hierro de 6 kg cada
una situadas a una distancia de 25 cm.
Ejercicio 9:
¿Con qué fuerza se atraen dos cuerpos separados 0,5 m y cuyas masas
respectivas son 5 y 10 kg?
Ejercicio 10:
Dos masas de 5 y 6 kg se atraen con una fuerza de 6,7·10 -7 N ¿A qué
distancia se encuentran?
EL PESO DE LOS CUERPOS Y LA GRAVEDAD
La fórmula de Newton es válida para explicar la atracción gravitatoria entre dos
astros o la que existe entre un objeto pequeño, por ejemplo, una manzana y la
Tierra. Sabemos que el peso P de un cuerpo viene dado por el producto de su
masa por la aceleración de la gravedad:
Pero, al mismo tiempo este peso puede calcularse por la ley de Newton:
donde M es la masa de la tierra y
r su radio. Igualando obtenemos:
Y despejando la aceleración de la
gravedad nos queda
¿Dónde es mayor la gravedad terrestre en la orilla del mar o en la cima de
una montaña?
¿En qué unidad se mide el peso? Indica si es una magnitud escalar o
vectorial, justificando la respuesta.
Ejercicio 11:
La masa del Sol es 2·1030 kg y su radio 6,96·108 m. ¿Cuál es el valor de g
en su superficie? ¿Cuánto pesaría allí un objeto de 50 kg?
Ejercicio 12:
¿Con qué fuerza se atraen el Sol, cuya masa se indica en el ejercicio
anterior y la Tierra, de 6·1024 kg de masa, si están separados por una
distancia de 150 millones de kilómetros?
Ejercicio 13:
Una persona pesa en la superficie terrestre 650 N. ¿Cuánto pesará en la
luna sabiendo que allí la gravedad es 1,6 m/s2?
Ejercicio 14:
El peso de un objeto en un determinado planeta es el doble que en la
Tierra. ¿Cuál será el valor de la gravedad en dicho planeta?
Ejercicio 15:
El radio de Júpiter es 7·107 m y su masa 1,9·1027 kg. ¿Cuánto pesará allí un
camión de 3 toneladas? Compara el resultado con el peso del camión en la
Tierra.
LAS MAREAS Y LAS ESTACIONES DEL AÑO
La atracción gravitatoria de la luna y el sol causan el fenómeno de las mareas:
Puedes obtener más información sobre las mareas en:
http://www.monografias.com/trabajos10/mare/mare.shtml
La inclinación del eje de rotación terrestre asociada con el movimiento de
traslación de la Tierra en su órbita alrededor del Sol originan las diferentes
estaciones.
Puedes obtener más información en:
http://www.phy6.org/stargaze/Mseasons.htm
IDEAS ACTUALES SOBRE EL ORIGEN Y EVOLUCIÓN DEL UNIVERSO
El astrónomo norteamericano Edwin Hubble descubrió en 1938 que todas las
galaxias se alejan entre sí a gran velocidad. Ellos sirvió de base para que el
físico George Gamow propusiera en 1949 la teoría del Big Bang (o la Gran
Explosión) para explicar el origen del universo.
Según Gamow, todo lo que vemos se formó a partir de una concentración muy
densa (prácticamente un punto geométrico) de materia que "estalló" y desde
entonces ha ido enfriándose y aumentando de volumen, mientras se fueron
formando las partículas, los átomos, las estrellas, los planetas…