Derivada de funciones trigonométricas

CAPÍTULO 6
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, 2 y 3)
Las funciones trascendentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letras que lo simbolizan que hacen que una función adquiera un valor, es
decir, que se convierta en un número. Sin él, la función es vacía, o sea, no tiene valor.
Por ejemplo, la función sen (seno) es vacía, no tiene ningún valor porque le falta el argumento, le falta ese número que la transforme en una cantidad concreta. Si a la función anterior se
le agrega el número 26 para tener sen 26 entonces esto ya adquiere un valor, el cual es
sen 26 = 0 . 4383711 . A este número 26 que hizo que sen adquiriera un valor se le llama argumento.
Otro ejemplo: la función log (logaritmo) es vacía, no tiene asociado ningún valor, pero si
se le agrega 107 para tener log 107 entonces así ya adquiere el valor log 107 = 2 . 029383 . En
este caso el 107 es el argumento de la función logaritmo.
De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vacía, no tiene asociado ningún valor, pero si se le agrega el número 1.23 para tener arc tan 1.23 ya adquiere el valor
arc tan 1 . 23 = 50 . 8886 . En este caso el número 1.23 es el argumento de la función arc tan.
87
Funciones trigonométricas
Las principales funciones trascendentes son:
a) trigonométricas;
b) trigonométricas inversas y
c) logarítmicas y exponenciales.
No son todas, pero las que se van a estudiar en este curso serán ésas. Dos características
interesantes en todas las fórmulas de derivación de las funciones trascendentes son que el argumento está representado siempre por la letra u y la segunda es que todas las fórmulas terminan
multiplicando por la derivada del argumento, o sea por
du
.
dx
Es conveniente tener presentes las reglas de escritura matemática para identificar el argumento en una función trascendente, en las que el símbolo de la función se refiere a la escritura
con la que se invoca la función correspondiente. Por ejemplo, sen es el símbolo de la función
seno; cos es el símbolo de la función coseno; log es el símbolo de la función logaritmo, etc.
Dichas reglas son:
1)
El argumento comienza con el símbolo escrito inmediatamente después del símbolo de la
función.
Ejemplos:
a)
cos ( 3 x + 1)
El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que está
escrito inmediatamente después del símbolo de la función cos.
Por razones obvias, termina donde cierra el paréntesis.
88
Funciones trigonométricas
b)
tan
x2 − 7 x
El argumento comienza con la raíz cuadrada por ser lo que está
escrito inmediatamente después del símbolo de la función tan.
c)
arc sec 2 x 2 y
El argumento comienza con el número 2 por ser lo que está
escrito inmediatamente después del símbolo de la función
arc sec.
d)
tan cos 4 x
El argumento comienza con la función coseno por ser lo que
está escrito inmediatamente después del símbolo de la función
tan , es decir, el argumento de la tangente es cos 4x.
2)
Todos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso de que alguno no sea
parte del argumento, éste debe escribirse antes de la función trascendente.
Ejemplo:
a)
sen 3ab3 xy 5
Todos éstos son factores monomios, por lo tanto el argumento de la función seno es 3ab3xy5. En caso de que, por
ejemplo, y5 no fuera parte del argumento, así está mal escrito y debe escribirse y 5 sen 3ab3 x .
89
Funciones trigonométricas
3)
Solamente el primer término pertenece al argumento. En caso de que otros términos sean
parte del argumento, deben encerrarse entre paréntesis. O en caso de que no lo sean, deben
escribirse antes de la función trascendente.
Ejemplo:
csc 2 x 4 + 6 x − 3
Una escritura así provoca la duda ¿6x - 3 son también parte
del argumento? Conforme a esta regla, no son y debería
escribirse como 6x - 3 + csc 2x4. O en todo caso, si lo son
su escritura correcta sería csc(2x4 + 6x - 3).
4)
Solamente el 1er factor polinomio es parte del argumento. En caso de que un 2º factor polinomio no sea componente del argumento, debe escribirse antes de la función trascendente.
Ejemplo:
cot ( x 2 + 5 x − 6 ) ( 4 x − 1)
Esta escritura es incorrecta porque se presta a dudas: ¿El
factor (4x - 1) es parte del argumento? Para evitar estas ambigüedades existe la regla anterior que dice que no y que
además
ordena
escribirlo
como
( 4 x − 1) cos ( x 2 + 5 x − 6 ) ; pero en el caso de que fuera
parte
del
argumento,
su
cos ⎡⎣( x 2 + 5 x − 6 ) ( 4 x − 1) ⎤⎦
5)
escritura
correcta
sería
Un exponente escrito sobre el símbolo de la función indica que toda la función está elevada
a dicha potencia.
Ejemplo:
cot 3 ( 5 x − 6 )
Este exponente indica que la función cotangente es la que
está elevada al cubo, o sea que
90
Funciones trigonométricas
cot 3 ( 5 x − 6 ) = cot ( 5 x − 6 ) cot ( 5 x − 6 ) cot ( 5 x − 6 )
6)
Un exponente escrito sobre el argumento indica que es el argumento el que está elevado a
dicha potencia.
Ejemplo
cot ( 5 x − 6 )
3
Este exponente indica que el argumento (5x - 6) es el que
está elevado al cubo, o sea que
cot ( 5 x − 6 ) = cot ⎣⎡( 5 x − 6 )( 5 x − 6 )( 5 x − 6 ) ⎦⎤
3
Nótese como se cumplen las reglas de escritura anteriores.
7)
Todo argumento negativo debe escribirse entre paréntesis.
Ejemplo:
sen ( − 2 x )
La razón de esta regla es para evitar confusiones en los
inexpertos que interpretan como resta cuando se escribe
sen − 2 x , a pesar de que carece de sentido una resta así,
pues la función sen estaría vacía (sin argumento), ya que
se estaría tomando como un término a sen y como otro
término a - 2x.
8)
Cuando una función trascendente está dividida entre cualquier cantidad, debe escribirse la
fracción que indica la división antes de la función trascendente. En caso de que sea solamente el argumento el que esté dividido, debe encerrarse el argumento entre paréntesis o en
caso extremo debe escribirse la línea de fracción claramente a la mitad del símbolo de la
función.
Ejemplos
91
Funciones trigonométricas
1
log ( 6 x − 1)
3
Lo que pide esta regla es que se evite escribir el ejemplo ante-
rior como
log ( 6 x − 1)
3
, pues es frecuente una escritura defi-
log ( 6 x − 1)
ciente como
3
que provoca la duda: ¿El 3 divide
a toda la función o solamente al argumento?.
⎛ 6x − 1 ⎞
sec ⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
Para evitar las confusiones señaladas en el ejemplo anterior,
con un paréntesis en el argumento se deja en claro qué divide
el 3.
6.2 FÓRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Áreas 1, 2 y 3)
Las fórmulas de derivación de las seis funciones trigonométricas son:
(9)
d
du
sen u = cos u
dx
dx
(10)
d
du
cos u = − sen u
dx
dx
(11)
d
du
tanu = sec 2 u
dx
dx
(12)
d
du
cot u = − csc 2 u
dx
dx
(13)
d
du
secu = tanu secu
dx
dx
92
Funciones trigonométricas
(14)
d
du
csc u = − cot u cscu
dx
dx
Debe notarse que la derivada de una función trigonométrica es otra, u otras, función trigonométrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Ade-
⎛ du ⎞
⎟
⎝ dx ⎠
más todas las fórmulas terminan multiplicando por la derivada del argumento ⎜
Ejemplo 1: Hallar la derivada de y = sen 5 x
Solución:
El argumento es 5x, o sea que u = 5x. Aplicando la fórmula (9) se obtiene
dy
d
= cos
5x
5x
N
dx
dx cos u
d
u
dx
dy
= 5 cos 5 x
dx
Nótese que el argumento 5x no cambia de la función original al resultado de la derivada.
Ejemplo 2: Hallar la derivada de y= cos x2.
Solución:
El argumento es x2, o sea que u = x2. Aplicando la fórmula (10) se obtiene
93
Funciones trigonométricas
dy
d 2
= − sen x 2
x
dx
dx
- sen u
d
u
dx
dy
= − 2 x sen x 2
dx
Ejemplo 3: Hallar la derivada de y = tan (x2 - 3x + 5)
Solución:
El argumento es (x2 - 3x + 5), o sea que u = x2 - 3x + 5. Aplicando la fórmula (11) se obtiene:
dy
d
= sec 2 ( x 2 − 3 x + 5 )
( x 2 − 3x + 5)
dx dx d
u
dx
sec 2 u
dy
= ( 2 x − 3) sec 2 ( x 2 − 3 x + 5 )
dx
Ejemplo 4: Hallar la derivada de y = cot
7x
94
Funciones trigonométricas
Solución:
El argumento es
7x , o sea que u =
dy
= − csc 2
dx
7x
7 x . Aplicando la fórmula (12):
d
dx
7x
dy
d
1/ 2
= − csc 2 7 x
(7x)
dx
dx d
u
dx
-csc 2 u
La derivada pendiente es de la forma un, por lo que
dy
= −csc 2
dx
⎡
⎤
⎢ 1
⎥
− 1/ 2 d
7x ⎢
7x) N
7 x⎥
(N
2
dx
⎢⎣ N
⎥⎦
n
dy
= − csc 2
dx
u
n-1
d
u
dx
⎡ 7 ⎤
7x ⎢
⎥
⎣ 2 7x ⎦
Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática
dy
7
=−
csc 2
dx
2 7x
95
7x
Funciones trigonométricas
⎛ 1 ⎞
4 ⎟
⎝ x ⎠
Ejemplo 5: Hallar la derivada de y = sec ⎜
Solución:
El argumento es
1
1
, o sea que u = 4 . Aplicando la fórmula (13):
4
x
x
dy
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞ d ⎛ 1 ⎞
= tan ⎜ 4 ⎟ sec ⎜ 4 ⎟
⎜ 4 ⎟
dx
⎝ x ⎠
⎝ x ⎠ dx ⎝ x ⎠
dy
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞ d
= tan ⎜ 4 ⎟ sec ⎜ 4 ⎟
x− 4 )
(
dx
⎝ x ⎠
⎝ x ⎠ dx
dy
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
= tan ⎜ 4 ⎟ sec ⎜ 4 ⎟ ⎡⎣ − 4 x − 5 ⎤⎦
dx
⎝ x ⎠
⎝ x ⎠
Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática
dy
−4
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
= 5 tan ⎜ 4 ⎟ sec ⎜ 4 ⎟
dx
x
⎝ x ⎠
⎝ x ⎠
⎛
Ejemplo 6: Hallar la derivada de y = csc ⎜
⎜
⎝
Solución:
El argumento es
3
4
6x − 1
⎛
dy
= − cot ⎜
⎜
dx
⎝
5
⎞
⎟
6 x 5 − 1 ⎟⎠
3
4
, o sea que u =
⎞
⎛
⎟ csc ⎜
⎜
6 x 5 − 1 ⎟⎠
⎝
3
4
96
3
4
6x − 1
. Aplicando la fórmula (14):
⎞ d ⎛
⎟
⎜
6 x 5 − 1 ⎟⎠ dx ⎜⎝
3
4
⎞
⎟
6 x5 − 1 ⎟⎠
3
4
Funciones trigonométricas
⎛
dy
= − cot ⎜
⎜
dx
⎝
⎞
⎛
⎟ csc ⎜
⎜
6 x 5 − 1 ⎟⎠
⎝
3
4
⎞ d
⎡3 ( 6 x 5 − 1)− 1 / 4 ⎤
⎟
⎢
⎥⎦
6 x 5 − 1 ⎟⎠ dx ⎣
3
4
La derivada pendiente es de la forma un, por lo que
⎛
dy
= − cot ⎜
⎜
dx
⎝
⎛
dy
= − cot ⎜
⎜
dx
⎝
⎞
⎛
⎟ csc ⎜
⎜
6 x 5 − 1 ⎟⎠
⎝
3
4
⎞
⎛
⎟ csc ⎜
⎜
6 x 5 − 1 ⎟⎠
⎝
4
3
4
⎞
− 5/ 4 d
3
⎤
⎟ ⎡⎢ −
6 x 5 − 1)
6 x5 − 1) ⎥
(
(
5
⎟
dx
⎦
6x − 1 ⎠ ⎣ 4
3
⎞ ⎡ − 3 ( 30 x 4 )
⎟⎢
5/ 4
5
6 x − 1 ⎟⎠ ⎢ 4 ( 6 x 5 − 1)
⎣
3
4
⎤
⎥
⎥
⎦
Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática
⎛
dy
90 x 4
⎜
=
cot
5/ 4
⎜
dx
4 ( 6 x 5 − 1)
⎝
⎞
⎛
⎟ csc ⎜
⎜
6 x 5 − 1 ⎟⎠
⎝
3
4
(
Ejemplo 7: Hallar la derivada de y = sen 4 x 2 − 4 x + 7
Solución:
)
⎞
⎟
6 x 5 − 1 ⎟⎠
3
4
5
El argumento es (4x2 - 4x + 7)5 , por lo que u = (4x2 - 4x + 7)5. Empleando la fórmula (9):
5 d
5
dy
= cos ( 4 x 2 − 4 x + 7 )
4 x2 − 4 x + 7 )
(
dx
dx
La derivada pendiente es de la forma un, por lo que
97
Funciones trigonométricas
⎡
⎤
4
dy
d
⎢
⎥
2
2
2
N
5 ( 4x − 4x + 7)
4 x − 4 x + 7 )⎥
= cos ( 4 x − 4 x + 7 ) ⎢ N
(
dx
dx ⎢⎣
⎥⎦
n
u
d
u
dx
n-1
5
4
dy
= cos ( 4 x 2 − 4 x + 7 ) ⎡⎢5 ( 4 x 2 − 4 x + 7 ) ( 8 x − 4 ) ⎤⎥
⎣
⎦
dx
finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:
4
5
dy
= 5 ( 4 x 2 − 4 x + 7 ) ( 8 x − 4 ) cos ( 4 x 2 − 4 x + 7 )
dx
Ejemplos con potencias
Ejemplo 8: Hallar la derivada de y = cos 4 5 x
Solución:
Como la función y = cos 4 5 x es lo mismo que y = ( cos 5 x ) , tiene la forma de un, en
4
donde u = cos 5x y n = 4. Entonces aplicando la fórmula (6) correspondiente a un de la
página 69 se obtiene:
dy
= 4 ( cos 5 x )
dx N 3
N
d
cos 5 x
dx
n-1
n
d
u
dx
u
98
Funciones trigonométricas
La derivada pendiente es de la forma cos u , de manera que aplicando ahora la fórmula (10)
del coseno:
⎡
⎤
dy
d
3 ⎢
⎥
5x ⎥
= 4 ( cos 5 x ) ⎢ − sen 5 x
dx
dx
⎢⎣
⎥⎦
d
u
dx
- sen u
dy
= 4 cos 3 5 x ⎡⎣ − sen 5 x ( 5 ) ⎤⎦
dx
Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática se llega a
dy
= − 20 cos 3 5 x sen 5 x
dx
(
Ejemplo 9: Hallar la derivada de y = 7 x 3 tan 5 x 2 − 7
Solución:
)
(
)
La función tiene la forma del producto uv, en donde u = 7 x 3 y v = tan 5 x 2 − 7 . Entonces aplicando la fórmula (7) del producto uv de la página 77:
dy
d
d
= 7N
x3
tan ( 5 x 2 − 7 ) + tan ( 5 x 2 − 7 )
7 x3
dx
dx
dx
u
dv
dx
v
99
du
dx
Funciones trigonométricas
La primera derivada pendiente es de la forma tan u, en donde u = 5x2 - 7:
⎡
⎤
dy
d
⎥
3 ⎢
2
2
2
= 7 x ⎢ sec ( 5 x − 7 )
5 x − 7 ) ⎥ + tan ( 5 x 2 − 7 ) ⎡⎣ 21x 2 ⎤⎦
(
dx
dx ⎥
⎢⎣
⎦
d
u
dx
sec2u
dy
= 7 x 3 ⎡⎣ sec 2 ( 5 x 2 − 7 ) (10 x ) ⎤⎦ + tan ( 5 x 2 − 7 ) ⎡⎣ 21x 2 ⎤⎦
dx
Nótese que el factor ⎡⎣ 21x 2 ⎤⎦ se escribió con un paréntesis de diferente forma al del argumento de la tangente para evitar confusiones y dejar claro que no pertenece al argumento.
Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:
dy
= 70 x 4 sec 2 ( 5 x 2 − 7 ) + 21x 2 tan ( 5 x 2 − 7 )
dx
sen 4 5 x
Ejemplo 10: Derivar y =
sec x 2
Solución:
La función tiene la forma de un cociente, es decir, de
u
, en donde u que representa al nuv
merador es u = sen 4 5 x y v que representa al denominador es v = sec x 2 . De manera
que empleando la fórmula del cociente:
100
Funciones trigonométricas
v
du
dx
u
dv
dx
P
d
d
sec x 2
sen 4 5 x − sen 4 5 x
sec x 2
dy
dx
dx
=
2 2
dx
x )
(sec
v2
La primera derivada pendiente o indicada es
d
sen 4 5 x , la cual se deriva con la fórmula
dx
de un (ver ejemplo 8), ya que sen45x = (sen 5x)4; en donde ahora por cambiar de fórmula
u = sen 5 x y n = 4, mientras que la segunda derivada pendiente es
d
sec x 2 , la cual es
dx
de la forma sec v, en donde v = x2 . Nótese que aunque la fórmula original está expresada en
términos de la variable u, es decir,
d
du
sec u = tan u sec u
,
dx
dx
en este caso se está empleando la variable v , esto es
d
dv
sec v = tan v sec v
dx
dx
en virtud de que la variable u se utilizó en la primera derivada pendiente. Realizando las
derivadas indicadas:
101
Funciones trigonométricas
n
u
⎡ ⎢P
sec x ⎢ 4 ( sen 5 x )
⎢
dy
⎣
=
dx
2
Como la derivada del seno es
n-1
P
3
du
dx
tan v
sec v
dv
dx
⎤
⎡ P P ⎤
⎥
⎢
d
d 2⎥
4
sen 5 x ⎥ − sen 5 x ⎢tan x 2 sec x 2
x
dx
dx ⎥
⎥
⎢
⎥
⎦
⎣
⎦
2 2
sec x
d
du
sen u = cos u
:
dx
dx
d
⎛
⎞
sec x 2 ⎜ 4 sen3 5 x cos 5 x
5 x ⎟ − sen 4 5 x ( tan x 2 sec x 2 [ 2 x ])
dy
dx
⎝
⎠
=
dx
sec 2 x 2
Finalmente, multiplicando y ordenando conforme a las reglas de escritura se llega a
dy
20 sec x 2 sen3 5 x cos 5 x − 2 x sen 4 5 x tan x 2 sec x 2
=
dx
sec 2 x 2
Ejemplo 11: Derivar y = tan sen 4 x .
Solución:
En este caso debe distinguirse en primer lugar que el argumento de la función trigonométrica
tangente es a su vez la función trigonométrica seno; y que el argumento de este seno es 4x.
Significa que la función a derivar tiene la forma de tan u, en donde u = sen 4x.. Utilizando
entonces la fórmula de derivación de la tangente se obtiene que
102
Funciones trigonométricas
dy
d
= sec 2 sen 4 x
sen 4 x
dx
dx
du
dx
sec 2 u
dy
d
⎡
⎤
4x⎥
= sec 2 sen 4 x ⎢cos 4 x
dx
dx
⎣
⎦
cos u
du
dx
dy
= 4 sec 2 sen 4 x cos 4 x
dx
aunque para evitar confusiones en el argumento de la secante, es preferible escribirlo con el
coseno por delante:
dy
= 4 cos 4 x sec 2 sen 4 x
dx
Ejemplo 12: Obtener la derivada de y =
Solución:
3
tan5 ( x 2 − 3) .
(
)⎦
5
Obsérvese que la función a derivar puede escribirse también como y = ⎡ tan x 2 − 3 ⎤ 3 ,
⎣
por lo tanto es de la forma un, en donde u = tan (x 2 - 3) y n =
mula se obtiene:
103
5
3
. Empleando dicha fór-
Funciones trigonométricas
5
−1 d
dy
5
3
⎡tan ( x 2 − 3) ⎤ =
tan ( x 2 − 3)
⎣
⎦
dx N
3 dx
n
u
n -1
du
dx
2
dy
d
5
⎡tan ( x 2 − 3) ⎤ 3 sec 2 ( x 2 − 3)
=
x 2 − 3)
(
⎣
⎦
dx
dx
3
2
dy
5
⎡ ⎤
3
= tan ( x 2 − 3) sec 2 ( x 2 − 3) ⎢ 2 x ⎥
dx
3
⎣ ⎦
2
dy
10 x
=
tan 3 ( x 2 − 3) sec 2 ( x 2 − 3)
dx
3
dy
10 x
=
sec 2 ( x 2 − 3)
dx
3
104
3
tan 2 ( x 2 − 3)
Funciones trigonométricas
EJERCICIO 12
Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:
1)
y = sen 8 x
2)
y = cos ( 2 − 6 x )
3)
y = tan ( x 2 − x )
4)
y = cot ( x 2 + 6 x )
5)
y = sec 3x 5
6)
⎛ 1 ⎞
y = csc ⎜ 7 ⎟
⎝ x ⎠
7)
⎛
y = sen ⎜
⎝
8)
⎛ 3 ⎞
y = cos ⎜ 8 ⎟
⎝ 2x ⎠
9)
y = tan
10)
⎛
y = cot ⎜
⎜
⎝
11)
2 ⎞
⎛
y = sec ⎜ x + ⎟
x ⎠
⎝
12)
y = csc ( x3 − x 2 + x − 6 )
13)
y = sen 4 2 x
14)
y = cos 3 6 x
15)
y = tan5 x 7
16)
y=
17)
y=
18)
y = 4 sen ( x 2 − x )
6
2 ⎞
⎟
x ⎠
( 4 x − 5)
csc ( x 2 − 5 )
105
4
5
( 3x − 5)
sec 7 x
7
⎞
⎟
⎟
⎠
Funciones trigonométricas
19)
y=
1
cos 6 x
4
20)
y = 9 cot ( 8 − 3x )
21)
y = cot x3 sec 5 x
22)
y = x 7 cot ( 4 x − 9 )
23)
⎛ 1 ⎞
y = ( 5 − x ) csc ⎜ ⎟
⎝ x ⎠
24)
7
y = tan ⎡⎢3 x ( x 2 − 1) ⎤⎥
⎣
⎦
25)
⎛ 2x ⎞
y = cos ⎜
⎟
⎝ 3x − 1 ⎠
26)
y=
27)
y=
28)
y=
29)
y = tan cos 2 x
30)
y = csc sen x 5
31)
y = 5 tan ( 2 x − 3)
32)
y=
x
sec (1 − x )
7
106
sen 2 x
x5
5
4
cot 6 7 x
cot x 2
x2