¿Por qué surgen los números complejos?

Coloquio de números
complejos y
polinomios
Alumnas: Carolina Castello y
Stefania Chandler
Profesora: Gisela Saslavsky
Fecha de entrega: 3/12/2013
Carolina Castello y Stefania Chandler
Índice
Introducción ........................................................................................................................................ 2
Aplicaciones......................................................................................................................................... 2
Resolución de ecuaciones algebraicas ............................................................................................ 2
Electricidad ...................................................................................................................................... 3
Aerodinamica ....................................................................................Error! Bookmark not defined.
Ingenieria Civil ................................................................................................................................. 4
Fisica ..................................................................................................Error! Bookmark not defined.
Actividad 1 ........................................................................................................................................... 4
Actividad 2 ........................................................................................................................................... 6
Actividad 3 ........................................................................................................................................... 6
Actividad 4 ........................................................................................................................................... 7
Actividad 5 ........................................................................................................................................... 8
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Carolina Castello y Stefania Chandler
Introducción
¿Por qué surgen los números complejos?
Es fácil dar respuestas en el caso de los números naturales: para contar.
Si tenemos deudas de dinero, si hace mucho frío, necesitamos contar de un modo
nuevo: aquí aparecen los números enteros.
Si aparece el problema de compartir y hay que dividir terrenos, herencias, pizzas,
etc., necesitamos los números racionales.
¿Son suficientes todos esos números? Los pitagóricos se dieron cuenta de que si
construyes un cuadrado de lado uno, su diagonal es:
d2 = 12 + 12
Ese número no es racional así que necesitamos incluir los irracionales para
resolver ecuaciones como:
x2 – 2 = 0
Otro inconveniente lo encontramos en la resolución de algunas ecuaciones
polinómicas: x2 + 1 = 0 que no tiene solución real, ya que resolviendo:
X=√-1
Y como sabemos las raíces de números negativos no tiene solución real, por lo
tanto, la única solución en ampliar los conjuntos numéricos, de esta forma surgen
los números complejos.
Estudiando la geometría analítica se llega a la conclusión de que:
i2=-1
Entonces podemos concluir que necesitamos a los números complejos para que
las raíces de números negativos tengan solución.
Aplicaciones
Resolución de ecuaciones algebraicas
Si intentamos resolver ecuaciones de segundo grado aparentemente sencillas,
como puede ser la ecuación x2 + 1 = 0; nos encontramos que las soluciones son
los números que cumplen x = -+√-1; y no conocemos ningún número real cuyo
cuadrado sea igual a -1 o a ningún numero negativo.
Existen muchos ejemplos de este tipo, en los que surgen raíces de números
negativos, lo cual hace necesario ampliar el conjunto de los números reales e
inventar un número cuyo cuadrado sea igual a -1. A este número se le designa
con el número de unidad imaginaria: i =√-1.
Si al Conjunto de los Números Reales, le añadimos el conjunto de los números
imaginarios, el resultado es el Conjunto de los Números Complejos.
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Ejemplo. Al resolver la ecuación x2 + 9 = 0 no encontramos solución dentro del
conjunto de los números reales.
Los números que son solución de esta ecuación son números imaginarios.
x2 + 9 = 0 entonces x2 = -9 entonces x = -+√9
No conocemos ningún número real cuyo cuadrado sea -9.
Pero las soluciones las podemos escribir de la siguiente forma:
x =-+√-9 = -+√9√-1= -+3i
Es decir la ecuación x2+9 = 0 tiene por solución los números complejos z1 = 3i y z2
=-3i.
Electricidad
Se aplican en el análisis de circuitos de corriente alterna ya que las más usadas
son senoidales, las funciones de los capacitores e inductores pueden ser
modeladas de manera fasorial. Esto es, de trabajar en el dominio del tiempo a
trabajar en el dominio de la frecuencia.
Como un ejemplo común, podría decir corregir el factor de potencia en las
empresas. Si el factor de potencia es por arriba del .9 (y menor al 1, es imposible
que sea más que uno), la compañía de luz otorga una bonificación a la empresa
en su recibo de energía. Si por el contrario, el factor de potencia es menor a .8,
multan a la empresa.
Hay personas y empresas que se dedican (mediante números complejos) a dar
solución a los problemas de factor de potencia.
Electrónica
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para
una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de
Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la
amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada.
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Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto
con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable
compleja de la forma
f(t)=z e^{iwt} \,\!
Donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y
la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,
capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias
imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y
físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente
destinada a la intensidad de corriente.
Aerodinámica
En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que
el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas
aerodinámicas de Jouwkoski
Las conclusiones de Joukowski sobre formas aerodinámicas son cruciales para el
diseño de elementos como por ejemplo las alas de las aeronaves. Conseguir esto
requiere un uso más avanzado del análisis complejo. La idea es calcular la imagen
de un conjunto de puntos del plano complejo por la transformación f( z )= 1 z +z .
Ingeniería Civil
En ingeniería civil las áreas donde se aplican los números complejos son aquellas
donde se requiere del cálculo o estudio de vibraciones como tuberías y en el
cálculo de concavidades.
La concavidad: como características del grafico de una función, se refiere a la
condición geométrica de convexidad de la región de abajo de la curva.
Física
En el campo de la física se usan los números complejos en circuitos y electrónica,
ya que facilitan el trabajo de los vectores cuando se está en presencia de una
corriente alterna. Una señal de alterna es de la
forma
complejo
que con senos y cosenos.
y puede interpretarse como la parte real del
. Operar con exponenciales es mucho más fácil
Actividad 1
¿Qué relación existe entre las partes real e imaginarias de un número
complejo y su opuesto? ¿Y entre las de un número complejo y su
conjugado?
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¿Qué relación existe entre los módulos y los argumentos de un
número complejo y su opuesto? ¿Y entre los de un número complejo y
su conjugado?
La relación que existe es que los signos de la parte real y de la parte imaginaria de
un numero complejo y su opuesto también son opuestos, es decir que si x=a+bi, el
opuesto de x (nombrado y) y=-a-bi.
La parte imaginaria de un número complejo tiene el signo opuesto al de la parte
imaginaria de su conjugado, mientras que la parte real mantiene el signo, es decir
que si x=a+bi, el conjugado (y) y=a-bi.
La relación que existe entre los módulos y los argumentos de un número complejo
y su opuesto es que los argumentos varían entre el número complejo y su opuesto
y los módulos permanecen constantes
El módulo de un número complejo se obtiene aplicando Pitágoras a los
coeficientes a y b de la forma binómica, con un z=a+bi el módulo se obtendría así:
√a2+b2. El modulo siempre es >=0, este es el motivo por el cual no varía entre el
complejo y su opuesto.
Por otro lado, los argumentos de un numero complejo y su opuesto
geométricamente se encuentran representados en cuadrantes opuestos a modo
de espejo, por lo tanto, los argumentos de un numero complejo y su opuesto
tienen una diferencia de 180º, que es lo mismo que decir que tienen una diferencia
de ᴫ denotándolo en radianes, forma en que se suelen escribir los argumentos.
La relación entre el modulo y el argumento de un numero complejo y su conjugado
es nuevamente que el modulo no varía por las mismas razones explicadas
anteriormente, mientras que los argumentos son distintos.
El argumento del número complejo conjugado geométricamente se halla en el
cuadrante opuesto con respecto al eje “y” del número complejo manteniendo el
ángulo del referencial pero con signo también opuesto. Es decir que si el
argumento de a es nº, el argumento de a conjugada va a ser -nº.
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Actividad 2
Escriban la fórmula usando variable compleja (z∈ℂ) y presenten un gráfico
realizado con Geogebra de las siguientes regiones:
• Circunferencia de radio 5 y centro el origen.
X2+(yi)2=25
• Circunferencia de radio 7 y centro 3 -2i.
(x-3)2+(yi+2i)2=49
• Disco cerrado de radio 5 y centro 3 + 2i.
(x-3)2+(yi-2i)2=25
• Corona abierta de radios 5 y 7 y centro -3 + 2i.
25<(x+)2+(yi-2i)2<49
Actividad 3
Explica cómo puede obtenerse el resultado de una multiplicación de
números complejos en forma gráfica, usando las transformaciones de
homotecia y rotación en el plano. Ejemplifica usando el Geogebra.
Explica cómo puede obtenerse el resultado de una división de números
complejos en forma gráfica, usando las transformaciones de homotecia y
rotación en el plano. Ejemplifica usando el Geogebra.
Considerando las Actividades realizadas hasta ahora: ¿Qué similitudes y
qué diferencias encuentran entre los números complejos y los vectores del
plano?
Para graficar la multiplicación de dos números complejos, se toman a estos como
dos vectores en su forma polar, de esta manera se pueden sumar sus argumentos
y luego se marca esta medida con un transportador. Se estaría realizando una
translación. Para saber el modulo del nuevo vector, producto de la multiplicación
de dos números complejos, se multiplican los módulos de los vectores originales.
Se estaría realizando una homotecia.
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De esta manera obtuvimos el vector que resulta de la multiplicación de los
números complejos nombrados anteriormente en forma polar.
Así, si 𝑧1 = 𝑟𝛼 y 𝑧2 = 𝑟𝛽 son dos números complejos:
𝑧1 . 𝑧2 = (𝑟. 𝑟)(𝛼+𝛽)
Para la división de dos números complejos, es necesarios pasar ambos números a
su forma polar, se dividen los módulos y al argumento del dividendo se le resta el
argumento del divisor.
Así, si 𝑧1 = 𝑟𝛼 y 𝑧2 = 𝑟𝛽 son dos números complejos:
𝑧1 : 𝑧2 = (𝑟: 𝑟)(𝛼−𝛽)
Al analizar a los números complejos con vectores posición, es decir que presentan
un módulo y un argumento. Pero la multiplicación de dos números complejos es
otro número complejo por lo que también se puede ver con un vector el cual tiene
argumento y modulo, en cambio la multiplicación de dos vectores es un número
escalar. Además de que los números complejos se pueden dividir y que la división
entre vectores no tienen ningún significado geométrico.
Actividad 4
Trabajen con el enlace potencia de la wiki. A partir de la fórmula de De
Moivre para la potencia de números complejos, demuestren la fórmula para
hallar las raíces enésimas de un número complejo dado en forma polar.
Analicen los archivos de la wiki sobre radicación de números complejos:
enlace radicación y archivo “raíces quintas de la unidad.ggb”
Expliquen cómo pueden obtenerse las raíces cuartas de un número
complejo en forma gráfica a partir de las raíces cuartas de la unidad (1= 1 cis
0º), usando las transformaciones de homotecia y rotación en el plano.
Ejemplifiquen usando Geogebra.
Demostración formula de De Moivre
Un número complejo se puede expresan en su forma polar de la siguiente manera:
∝= |∝|. (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
Por lo tanto para calcular las raíces enésimas de un número complejo la formula
sería la siguiente:
∝𝑛 = |∝|𝑛 . (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝑛
Las raíces de los números complejos pueden ser expresados de la misma
manera, por la tanto la formula sería la siguiente:
∝1/𝑛 = |∝|1/𝑛 . (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃)1/𝑛
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∝1/𝑛 = 𝑤𝑘 = |∝|𝑛 . (cos (
𝜃+𝑘2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃+𝑘2𝜋
𝑛
)), k=0, 1,…, n-1
Actividad 5
Analicen las páginas y los archivos presentados en la página
Polinomios de la wiki. Luego resuelvan:
a) ¿Cómo podrían aplicar el criterio de Gauss para encontrar las raíces
racionales de los siguientes polinomios?
T ( x )=x³−(2 /5 ) x²+(1/2) x+1 y S ( x )=(1/2 ) x⁴−(1/2) x³−x²+x
¿Sirve el criterio de Gauss para encontrar todas las raíces reales de un
polinomio?
Grafiquen los polinomios usando Geogebra y señalen sus raíces
reales.
b) Expresen los siguientes polinomios reales como producto de
polinomios irreducibles en
R[x] y en C[x]:R( x) =x⁴−6x²−8x+24 y Q ( x ) =x⁶−x
Grafiquen los polinomios usando Geogebra y señalen sus raíces
reales.
Tomando a F(X) como un polinomio con coeficientes racionales, P(X) H[X],
tomamos un múltiplo (s) común a todos los denominadores de sus coeficientes.
Entonces el polinomio P*(X) = sP(X) tiene las mismas raíces que P(X) y todos sus
coeficientes enteros.
Criterio de Gauss: La utilidad del teorema de Gauss se basa en que se puede
construir una lista de posibles raíces y luego comprobar si cada uno de ellos es o
no raíz del polinomio. (La expresión de α = p/q debe estar simplificada al máximo)
A) T(x)=X³-(2/5)X²+(1/2)X+1
Para comenzar hay que convertir los coeficientes de la ecuación en números
enteros, esto se logra a través de un denominador común múltiplo. Sin este primer
paso no se podría aplicar el teorema de Gauss, ya que este establece que los
coeficientes del polinomio no pueden ser irracionales.
Como segundo paso, se deben buscar los divisores posibles para:
P { +-10,+-5,+ - 2, + - 1}
Q { +-10,+-5,+ - 2, + - 1}
Luego se obtienen las posibles raíces:
p/q= {-+1,-+2,-+5,-+10,-+0.5,-+2.5,-+0.2,-+0.4,-+0.1)}
Se reduce el polinomio mediante Ruffini y se obtiene lo siguiente:
P(1)=0, P(-1)=0 P(0.2)=0 etc.
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Hasta encontrar los números que sirven como raíces.
El teorema de Gauss no sirve para calcular las raíces reales de un polinomio, ya
que se pueden presentar casos de números irracionales donde son necesarios los
números complejos para hallar la raíz. Esto no sucede con las raíces racionales ya
que no incluye a los números negativos.
Bibliografía
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http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/complejos/nivel3/teoria/co
mplejos41.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://algebraunq.wikispaces.com/N%C3%BAmeros+complejos
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