Dificultades del concepto de promedio a través de un curso

Dificultades del concepto de promedio a través de un curso universitario
de estadística
José Armando Albert*, María Guadalupe Tobías*, Oscar Villarreal*
albert@itesm.mx, mgtl@itesm.mx, ovr@itesm.mx
Tecnológico de Monterrey*
Línea temática: Enseñanza de la probabilidad y la estadística a nivel universitario.
Modalidad: Oral.
RESUMEN
La presente investigación aborda un concepto que en apariencia es simple y transparente
para la enseñanza: el promedio, pero que entraña una gran complejidad por el cambio de
significados que toma según el contexto estadístico, de distribuciones de probabilidad o
inferencia estadística. El concepto de promedio es esencial para la el análisis de datos
cuantitativos e inferencia estadística en ciencia e ingeniería. Sin embargo, a pesar de que es
notable el número de estudios sobre este tema, la mayoría se concentra en el nivel básico, y,
muy pocos, a nivel universitario. Es por eso que este estudio se aboca a explorar algunas de
las dificultades y principales significados que estudiantes de ingeniería atribuyen al
concepto de media en los distintos estadios del desarrollo de un curso de probabilidad y
estadística, particularmente las referidas a la media, media ponderada, la media como
representante de datos y la media como variable aleatoria que constituye una idea
fundamental para las distribuciones del muestreo y posterior inferencia estadística. Se
reportan los resultados obtenidos, algunos de los cuales son semejantes a los hallados en
niveles anteriores, tal como la dificultad de interpretación del promedio como una función
continua cuando la variable en cuestión sea discreta, pero también se reportan resultados
más específicos del nivel universitario como las dificultades de asignar un dominio al
promedio como valor esperado de una variable continua y para conceptualizar a la media
como una variable aleatoria.
Palabras clave: Promedio, variable aleatoria, parámetro, estadística universitaria.
ABSTRACT
This research deals with a concept that is simple and transparent appearance for teaching:
the average, but that is highly complex by the change of meanings taken as the statistical
context, probability distributions and statistical inference. The concept of average is
essential for quantitative data analysis and statistical inference in science and engineering.
However, although it is notable the number of studies on this topic, most people focus on
the basic level, and very few, at the university level. That's why this study is to explore
some of the main difficulties engineering’s students have and meanings attributed to the
concept of average in different stages of development of a course in probability and
statistics, particularly those related to the average weighted, average as representative data
and average as random variable who is a fundamental idea of sampling distributions and
subsequent statistical inference. The results are reported, some of which are similar to those
found in previous levels as the average difficulty of interpretation as a continuous function
when the variable in question is discrete, but more specific results at the university level are
also reported as the difficulty of assigning a domain to the expected value of a continuous
variable and to conceptualize the average as a random variable.
Keywords: Average, random variable, parameter, university statistics.
Introducción
El concepto de media es importante en la formación de ingenieros por su muy frecuente uso
en la obtención de mediciones confiables y en sus inferencias a partir del muestreo. El
concepto de media es visto en los inicios de un curso de probabilidad y estadística para
ingenieros como representante de datos o punto de equilibrio. Luego, como un parámetro
en las distribuciones de probabilidad, como el valor esperado de una variable aleatoria X,
como un estimador en inferencia estadística. Aunque existen varios trabajos de
investigación alrededor del concepto de media, la gran mayoría se sitúa a nivel básico. Es
por eso que esta investigación se propone hacer un estudio exploratorio que permita
identificar con más claridad la problemática a la que se enfrenta el profesor universitario en
su esfuerzo porque sus estudiantes aprendan este concepto multifacético.
Antecedentes
El problema sobre cómo aprender la estadística escolar es abordado por la comunidad de
investigadores y educadores desde la década de los 80’s. Sin embargo, la mayoría de las
investigaciones se sitúan en los niveles básicos. Debido a su complejidad, la comunidad
científica en didáctica de la estadística se ha dado a la tarea de hacer investigaciones más
puntuales. En ese sentido, esta investigación se restringe a la exploración de los
significados que atribuyen al concepto de media los estudiantes universitarios.
Investigadores ya han abordado este concepto y hallado algunos resultados importantes:
Strauss y Bichler (1988) en su investigación escolar concluyen que en el modo de enseñar
el concepto de media no se potencia en los estudiantes el trabajo de los aspectos estadístico,
abstracto y representativo que tiene este concepto. Observan que los estudiantes
desconocen cómo actuar en situaciones en las que aparecen valores atípicos. Estos valores
son muy comunes en la recolección de datos, por ello es importante que sepan qué hacer y
cómo influyen en la media. Batanero (2000) pone de manifiesto que los que los conceptos
estadísticos, incluso los más sencillos como la media, mediana y moda tienen un
significado complejo y necesitan ser tratados por un periodo dilatado a lo largo de la
enseñanza en sus distintos niveles para que se dé un progresivo acoplamiento de los
significados personales que construyen los estudiantes a los significados institucionales que
se pretende adquieran. Takeshi y De la Cruz (2007), por su parte, señalan que es
insuficiente la noción de media como promedio aritmético para resolver el estudiante
universitario situaciones de contexto aleatorio y que son de gran relevancia en ingeniería.
Metodología
En una universidad del Norte de México se analizó una muestra de 55 estudiantes de
ingeniería sobre sus concepciones acerca de la media después de haber llevado un curso de
Probabilidad y Estadística.
El objetivo de la investigación es hacer una valoración exploratoria del desempeño de los
estudiantes ante situaciones que demandan la comprensión del concepto de media en sus
distintos significados al finalizar su curso de probabilidad y estadística.
Los significados específicos de la media a explorar son:
 Media aritmética y sus propiedades
 Media comparada con la mediana
 Media ponderada
 Media como variable aleatoria
 La media como parámetro
El acercamiento fue a través de un instrumento de 10 preguntas abiertas.
Con respecto a la media aritmética y sus propiedades, las preguntas fueron:
1.
2.
3.
Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por ocho estudiantes de una clase,
obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6.2, 6.0, 6.0, 6.3, 6.1, 6.23, 6.15, 6.2 ¿Cuál
sería la mejor estimación del peso real del objeto?
Cuatro amigos se reúnen para preparar una cena. Cada uno de ellos trajo harina para hacer
la masa de las pizzas. Como querían hacer cuatro pizzas del mismo tamaño, los que habían
traído más harina regalaron a los que trajeron menos. Llamaremos X a la cantidad
resultante con que cada quien hizo su pizza.
a) ¿Con qué concepto estadístico está vinculado con X?
b) ¿Qué es mayor: las diferencias de las cantidades de harina de los que trajeron más con
respecto a X o las diferencias de las cantidades de harina de los que trajeron menos con
respecto a X? Justifique su respuesta.
Un periódico dice que el número promedio de hijos por familia en Nuevo León es de 2.3
hijos. ¿qué te parece esta frase? ¿es absurda o si tiene sentido qué puede significar? Explica
tu respuesta.
Respecto a la pregunta 1, Batanero (2000) menciona que la mayoría de los estudiantes
sumará las cantidades y las dividirá entre el número de ellas. En tanto que para la pregunta
2, Cobo (2003) analiza que el problema contiene únicamente elementos verbales y eso será
una dificultad para los estudiantes, más más acostumbrados a manejar situaciones
numéricas. En sus investigaciones encuentra que aproximadamente 3 de cada 10
estudiantes dan una respuesta correcta.
Con relación a la pregunta 3, planteada en Watson y Moritz (2000) y retomada por
Batanero, Godino y Navas (1997) comentan que aproximadamente sólo 1 de cada 3
estudiantes dará una respuesta correcta. Cobo (2003) menciona al respecto que es frecuente
respuestas de los estudiantes centradas en el algoritmo como “que han sumado y lo han
dividido y le han salido 2.3” o también que los estudiantes confundan la media con la
moda: “que han hecho la media y lo más frecuente es que esté entre 2 o 3 hijos”.
Con respecto a la media comparada con la mediana, la pregunta fue:
4.
El peso en Kg de 9 niños es 15, 25, 17, 19, 16, 26, 18, 19, 24. ¿Cuál es el peso de los niños
que corresponde a la mediana? Si incluimos el peso de otro niño de 43 Kg ¿quién sería
mejor representante de los datos: la media aritmética o la mediana? Razone y explique su
respuesta.
Batanero, Godino y Navas (1997) mencionan en su investigación que la mayoría de los
estudiantes tienen dificultad para distinguir entre las medidas de centralización. Cobo
(2003) llega a resultados similares.
Con relación a Media ponderada, las preguntas fueron:
5.
Una clase de estadística con 40 estudiantes realizó una prueba. 10 estudiantes obtuvieron
cuatro puntos, 12 lograron tres puntos, 8 alcanzaron dos puntos, 6 se beneficiaron con un
punto y 4 obtuvieron cero puntos. ¿Cuál es el promedio del grupo?
6.
Un ingeniero especializado en el tránsito sabe que en un período de 100 días, el número de
automóviles que pasan por un cierto crucero entre las 5:00 y 5:05 p.m. se distribuye de
acuerdo a la siguiente tabla:
Número de automóviles
0
1
2
3
4
5
Número de días
36
28
15
10
7
4
Si se toma un día al azar, ¿cuál será el valor esperado del número de automóviles que pasarán
por ese crucero en el mismo horario?
7.
Observa este diagrama de barras que muestra las ventas de bocadillos de la empresa
“Delicias” durante los 6 meses de año pasado. A continuación dibuja una línea recta que
señale el promedio de bocadillos en este periodo
Al respecto, Pollatsek, Lima y Well (1981) mencionan en su investigación que los
estudiantes tienen dificultades para identificar las situaciones donde se aplica la media
ponderada así como la elección adecuada de los correspondientes pesos.
Del Puerto y Seminara (2007) reportan en su estudio que un 30% de alumnos universitarios
tienen problemas para calcular la media ponderada cuando los datos están agrupados por
intervalos y frecuencias.
Con respecto a la media como variable aleatoria, las preguntas fueron:
8.
De una población de distribución normal con media 100 y desviación estándar 15 se toma
una muestra al azar:
a) Si se calcula el promedio de ésta muestra ¿qué valor esperaría que fuera?
b) Si se toma otra muestra al azar y se calcula su media, ¿qué valores posibles podría
tomar?
Al respecto, Albert, Ruiz y Colunga (2009) reportan que tienden los estudiantes, de manera
intuitiva, a acertar el valor esperado. Por otra parte, se esperaría que el dominio de la
variable lo identificaran en todo el conjunto de los números reales dado que ya conocen la
distribución normal.
Con relación a la media como parámetro, las preguntas fueron:
9.
Si se toman todas las muestras posibles de una población y se les calcula su media a cada
una y luego se promedian todos los valores de las medias. ¿Este nuevo promedio es
constante o varía?
Justifique su respuesta.
10. En un intervalo al 95% de confianza 10    15 , la media  es:
a) una variable.
b) una constante.
Vallecillos (1994) en su investigación muestra cómo los estudiantes tienen confusión, desde
el enfoque clásico de la estadística, para identificar a la media paramétrica como constante.
Olivo (2008) reporta que en estudiantes universitarios se presentaron dificultades entre
ejemplar (media) y tipo (media de la muestra, media de la población), así como la dificultad
en distinguir entre estadístico y parámetro.
Resultados
Con relación a la media aritmética y sus propiedades, se observó que:
Pregunta
1
2a
2b
3
Aciertos
55
43
32
7
% de aciertos
100%
78%
58%
13%
Aunque el 100% de los estudiantes contestaron que la mejor estimación era la media e
hicieron el cálculo correcto. También se puede decir que identifican algunas de sus
propiedades correctamente, pero, al estudiar más de cerca sus respuestas, se observó que,
aunque la gran mayoría concebía el valor promedio de 2.3 hijos como válido, no supieron
dar argumento legítimo en un contexto de la variable discreta como es el número de hijos.
Sobre la comparación entre media y mediana:
Pregunta
4
Frec. aciertos % de aciertos
18
33%
Aunque más del 50% pudo hacer los cálculos correctos de la media y la mediana en el
problema, muchos no daban argumento o lo daban equivocado sobre quién sería mejor
representante de los datos al añadírsele un dato más, atípico. Algunos argumentos a favor
de la media aritmética se centraban en “porque es más exacta”. Otros, en cambio,
argumentaban que la mediana porque “con un valor tan alto [el añadido] la media subiría
mucho su valor”. En cualquier caso, se ve la necesidad hacer más esfuerzos de
investigación y didácticos en esta faceta de las medidas de centralización.
Respecto a la media ponderada, los resultados fueron:
Pregunta
5
6
7
Frec. aciertos % de aciertos
51
93%
27
49%
43
78%
Como puede observarse, en dos de tres problemas de media ponderada tuvieron una
mayoría de aciertos. El caso de la pregunta 6, por la forma en que se acercaban a preguntar
en la implementación en el aula, pareciera que la redacción del problema no fue óptima y
pudo influir en el resultado.
Relativo a la media como variable aleatoria, los resultados fueron:
Pregunta
8a
8b
Frec. aciertos % de aciertos
33
60%
2
4%
Como lo muestran los aciertos de 8a, respecto al valor esperado de la media como variable
aleatoria, hubo una relativa mayoría, pero no así el inciso b. Un análisis más cercano de las
respuestas de los alumnos se pudo observar que el 65% de ellos contestaron que el dominio
de la variable estaba una desviación estándar alrededor de la media. Perecieran estar
preocupados porque la variable aleatoria estuviera cerca de la media. En sus palabras:
“valores cercanos a 100”; “entre 85 y 115”, “Cualquiera, pero se esperaría y hay mayor
posibilidad de que sea 100”.
Con relación a la media como parámetro, los resultados fueron:
Pregunta
9
10
Frec. aciertos % de aciertos
37
67%
27
49%
En la pregunta 9, una mayoría relativa respondió correctamente. Hicieron justificaciones
como la siguiente: “Constante ya que se tomaron todas las muestras posibles no se puede
obtener valores diferentes para promediar, siempre serían lo mismo y por tanto el mismo
promedio”. Sin embargo, no queda claro, si para ellos esto implica que esta media es el
parámetro de la distribución muestral. Por lo que habría que diseñar un instrumento que
permita observar esto con más detalle. Según la pregunta 10, los estudiantes tuvieron
algunas dificultades en identificar la media paramétrica como constante.
Discusión
Con respecto a la media aritmética y sus propiedades, se cumple lo que Batanero (2000)
menciona que harán los estudiantes de aplicar el algoritmo de la media. Por otra parte, los
resultados fueron mejores a los predichos por Cobo (2003) en el problema de la
distribución de harina. Esto es explicable por en nivel educativo diferente en que fueron
hechos los estudios.
Con respecto al problema de Watson y Moritz (2000), la pregunta 3, sobre la interpretación
de 2.3 hijos como promedio, los resultados obtenidos de que el 80% de los estudiantes
afirma que tiene sentido, sólo un 13% supo dar un argumento correcto. Esto nos muestra la
complejidad que es para ellos la interpretación del promedio, como continuo, cuando la
variable es discreta.
Con respecto a la media comparada con la mediana, la mayoría pudo calcular con éxito la
media y mediana, pero sus argumentaciones sobre cuál es conveniente usar aún muestran
las dificultades reportadas por Batanero, Godino y Navas (1997).
Con relación a Media ponderada, los estudiantes mostraron habilidad para el cálculo de su
valor en contextos no sólo numérico sino también geométrico. Resultados diferentes de los
ya reportados por Del Puerto y Seminara (2007) en estudiantes universitarios.
Respecto a la Media como variable aleatoria, se mantuvo la semejanza de resultados de
Albert, Ruiz y Colunga (2009) de que la mayoría de los estudiantes tienen intuiciones
acertadas acerca del valor esperado. Sorprendió, sin embargo, la dificultad que tuvieron
para identificar el dominio de una variable aleatoria normal. Mostraron preocupación
porque sus valores estuvieran cerca de la media paramétrica.
Aunque los resultados obtenidos a las preguntas sobre la media como parámetro fueron
medianamente favorables, pareciera conveniente buscar la manera de profundizar en las
concepciones de los estudiantes al respecto.
Conclusión
El concepto de media, en apariencia simple, guarda tras de sí mucha complejidad tanto del
concepto mismo como sus implicaciones en estadística inferencial.
Los resultados mostraron la apreciable habilidad de los estudiantes para resolver problemas
de la media y media ponderada donde se requiere de hacer uso de un algoritmo, pero
mostraron también la necesidad de una didáctica de la estadística que les permita
desarrollar razonamientos y argumentaciones adecuadas para situaciones de comparación
entre medidas de centralización y de interpretación de la media como una función continua.
Llamó la atención también que los estudiantes tuvieran problemas para identificar
adecuadamente el dominio de la media como variable aleatoria. Tal vez con el uso de
tecnología se podría familiarizar al estudiante a tener una visión más holística de su
distribución.
El estudio de las concepciones de la media en estadística inferencial es un área de
oportunidad importante en la investigación actual de didáctica de la estadística.
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