Clase 3 - Pedeciba

Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Maestrı́a en Bioinformática
Probabilidad y Estadı́stica: Clase 3
Gustavo Guerberoff
gguerber@fing.edu.uy
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de la República
Abril de 2010
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Contenidos
1
Variables aleatorias discretas
Distribución de Poisson
1
Vectores aleatorios
Distribución Multinomial
2
Independencia de variables aleatorias
2
Valor esperado
Propiedades del valor esperado
Ejemplos de valor esperado
2
Varianza
Propiedades de la varianza
Valor esperado
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Distribución de Poisson
Definición
Una variable de Poisson de parámetro α, donde α > 0, es una
variable aleatoria cuyos valores posibles son {0, 1, 2, 3, . . .},
con
αk −α
e
, para k = 0, 1, 2, 3, . . . .
P(X = k) =
k!
Observación: La distribución de Poisson se obtiene como
lı́mite de la distribución Binomial, cuando n → ∞ y p → 0 con
np = α.
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Histograma de probabilidad de una variable Poisson de
parámetro α = 10.
dpois(x, 10)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Varianza
0
10
20
x
30
40
50
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Vectores aleatorios
Consideremos k variables aleatorias, X1 , X2 , . . . , Xk , definidas
sobre Ω. Esas variables pueden agruparse en un vector de k
componentes
X = (X1 , X2 , . . . , Xk ).
Definición
Un vector aleatorio es una función X : Ω → Rk .
Observación: Los vectores aleatorios discretos (es decir,
aquellos formados por variables discretas) quedan
caracterizados por los valores posibles y por sus respectivas
probabilidades conjuntas:
P(X1 = a1 , X2 = a2 , . . . , Xk = ak ),
donde (a1 , a2 , . . . , ak ) es un vector de valores posibles.
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Varianza
Ejemplo: Consideremos una partición de Ω en k sucesos o
categorı́as, {C1 , C2 , . . . , Ck }, con P(Ci ) = pi , para cada
i = 1, 2, . . . , k . Obviamente p1 + p2 + . . . + pk = 1.
Consideremos el experimento aleatorio que consiste en tomar
un elemento al azar de Ω y ver a qué categorı́a pertenece.
Repetimos n veces de manera independiente ese experimento
y denotamos:
X1 = Cantidad de resultados en C1
X2 = Cantidad de resultados en C2
...
Xk
...
= Cantidad de resultados en Ck
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Varianza
Distribución Multinomial
El conjunto de valores posibles para cada una de las variables
es {0, 1, 2, P
. . . , n}. Sin embargo las variables deben cumplir la
condición: ki=1 Xi = n.
Si (m1 , m2 , . . . , mk ) es un vector
P tal que mi ∈ {0, 1, 2, . . . , n},
para cada i = 1, 2, . . . , k, y ki=1 mi = n, entonces:
P(X1 = m1 , X2 = m2 , . . . , Xk = mk ) =
n!
pm1 pm2 . . . pkmk .
m1 !m2 ! . . . mk ! 1 2
Definición
Decimos en tal caso que el vector aleatorio X = (X1 , X2 , . . . , Xk )
tiene distribución Multinomial de parámetros n y p1 , p2 , . . . , pk .
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Independencia de variables aleatorias
Consideremos dos variables aleatorias, X e Y , caracterizadas
por los valores posibles {a1 , a2 , . . . , am }, {b1 , b2 , . . . , bn }, y por
sus respectivas probabilidades.
Definición
Decimos que las variables X e Y son independientes si se
cumple:
P(X = ai , Y = bj ) = P(X = ai )P(Y = bj )
para cada i = 1, 2, . . . m, j = 1, 2, . . . , n.
A la probabilidad que aparece del lado izquierdo se le llama
probabilidad conjunta y a las que aparecen del lado derecho
probabilidades marginales.
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Varianza
Valor esperado
Notemos que las marginales se pueden calcular a partir de la
conjunta; por ejemplo:
P(X = a) =
n
X
P(X = a, Y = bj ).
j=1
A continuación introducimos el concepto de Valor Esperado de
una variable aleatoria. Consideremos una variable aleatoria
discreta X con valores posibles {a1 , a2 , . . . , ar }.
Definición
El Valor Esperado de X se define de la siguiente manera:
E(X ) =
r
X
i=1
ai P(X = ai ).
Variables aleatorias discretas
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Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Varianza
Propiedades del valor esperado
Observación: En el caso de que haya infinitos valores posibles
para la variable X es necesario pedir que la suma sea
convergente para que E(X ) esté definido.
Propiedades del valor esperado:
1) Si X es una variable aleatoria y α ∈ R entonces:
E(αX ) = αE(X ).
2) Si X e Y son variables aleatorias entonces:
E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).
3) Si X es una variable aleatoria con valores posibles
{a1 , a2 , . . . ,P
ar } y g : R → R entonces
E(g(X )) = ri=1 g(ai )P(X = ai ).
4) Si X e Y son variables aleatorias independientes
entonces: E(XY ) = E(X )E(Y ).
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Demostración de 4): Si los valores posibles de X y de Y son,
respectivamente, {a1 , a2 , . . . , am } y {b1 , b2 , . . . , bn }, entonces
está claro que los valores posibles de XY son de la forma ai bj
y además:
E(XY ) =
m X
n
X
ai bj P(X = ai , Y = bj ).
i=1 j=1
Usando independencia de las variables X e Y se tiene:
E(XY ) =
m X
n
X
ai bj P(X = ai )P(Y = bj )
i=1 j=1
=
m
X
ai P(X = ai )
i=1
= E(X )E(Y )
n
X
j=1
bj P(Y = bj )
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Ejemplos de valor esperado
A continuación se dan los valores esperados de cada una de
las variables aleatorias discretas que consideramos
anteriormente.
Ejemplos
Si X ∼ Ber (p) entonces E(X ) = p.
Si X ∼ Bin(n, p) entonces E(X ) = np.
Si X ∼ Geo(p) entonces E(X ) = p1 .
Si X ∼ Poisson(α) entonces E(X ) = α.
Varianza
Variables aleatorias discretas
Vectores aleatorios
Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Varianza
Definición
La Varianza de una variable aleatoria X se define de la
siguiente manera:
var (X ) = E(X − E(X ))2 .
La varianza es un número positivo que mide la dispersión de
una variable aleatoria alrededor de su valor esperado.
Observación: (X − E(X ))2 = X 2 + E2 (X ) − 2X E(X ). Usando
propiedades del valor esperado se obtiene:
var (X ) = E(X 2 ) − E2 (X ).
Varianza
Variables aleatorias discretas
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Independencia de variables aleatorias
Valor esperado
Propiedades
Propiedades de la varianza:
1) Si X es una variable aleatoria y α ∈ R entonces:
var (αX ) = α2 var (X ).
2) Si X e Y son variables aleatorias independientes
entonces: var (X + Y ) = var (X ) + var (Y ).
Varianza