Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Maestrı́a en Bioinformática Probabilidad y Estadı́stica: Clase 3 Gustavo Guerberoff gguerber@fing.edu.uy Facultad de Ingenierı́a Universidad de la República Abril de 2010 Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Contenidos 1 Variables aleatorias discretas Distribución de Poisson 1 Vectores aleatorios Distribución Multinomial 2 Independencia de variables aleatorias 2 Valor esperado Propiedades del valor esperado Ejemplos de valor esperado 2 Varianza Propiedades de la varianza Valor esperado Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Distribución de Poisson Definición Una variable de Poisson de parámetro α, donde α > 0, es una variable aleatoria cuyos valores posibles son {0, 1, 2, 3, . . .}, con αk −α e , para k = 0, 1, 2, 3, . . . . P(X = k) = k! Observación: La distribución de Poisson se obtiene como lı́mite de la distribución Binomial, cuando n → ∞ y p → 0 con np = α. Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Histograma de probabilidad de una variable Poisson de parámetro α = 10. dpois(x, 10) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Varianza 0 10 20 x 30 40 50 Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Vectores aleatorios Consideremos k variables aleatorias, X1 , X2 , . . . , Xk , definidas sobre Ω. Esas variables pueden agruparse en un vector de k componentes X = (X1 , X2 , . . . , Xk ). Definición Un vector aleatorio es una función X : Ω → Rk . Observación: Los vectores aleatorios discretos (es decir, aquellos formados por variables discretas) quedan caracterizados por los valores posibles y por sus respectivas probabilidades conjuntas: P(X1 = a1 , X2 = a2 , . . . , Xk = ak ), donde (a1 , a2 , . . . , ak ) es un vector de valores posibles. Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Varianza Ejemplo: Consideremos una partición de Ω en k sucesos o categorı́as, {C1 , C2 , . . . , Ck }, con P(Ci ) = pi , para cada i = 1, 2, . . . , k . Obviamente p1 + p2 + . . . + pk = 1. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en tomar un elemento al azar de Ω y ver a qué categorı́a pertenece. Repetimos n veces de manera independiente ese experimento y denotamos: X1 = Cantidad de resultados en C1 X2 = Cantidad de resultados en C2 ... Xk ... = Cantidad de resultados en Ck Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Varianza Distribución Multinomial El conjunto de valores posibles para cada una de las variables es {0, 1, 2, P . . . , n}. Sin embargo las variables deben cumplir la condición: ki=1 Xi = n. Si (m1 , m2 , . . . , mk ) es un vector P tal que mi ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, para cada i = 1, 2, . . . , k, y ki=1 mi = n, entonces: P(X1 = m1 , X2 = m2 , . . . , Xk = mk ) = n! pm1 pm2 . . . pkmk . m1 !m2 ! . . . mk ! 1 2 Definición Decimos en tal caso que el vector aleatorio X = (X1 , X2 , . . . , Xk ) tiene distribución Multinomial de parámetros n y p1 , p2 , . . . , pk . Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Independencia de variables aleatorias Consideremos dos variables aleatorias, X e Y , caracterizadas por los valores posibles {a1 , a2 , . . . , am }, {b1 , b2 , . . . , bn }, y por sus respectivas probabilidades. Definición Decimos que las variables X e Y son independientes si se cumple: P(X = ai , Y = bj ) = P(X = ai )P(Y = bj ) para cada i = 1, 2, . . . m, j = 1, 2, . . . , n. A la probabilidad que aparece del lado izquierdo se le llama probabilidad conjunta y a las que aparecen del lado derecho probabilidades marginales. Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Varianza Valor esperado Notemos que las marginales se pueden calcular a partir de la conjunta; por ejemplo: P(X = a) = n X P(X = a, Y = bj ). j=1 A continuación introducimos el concepto de Valor Esperado de una variable aleatoria. Consideremos una variable aleatoria discreta X con valores posibles {a1 , a2 , . . . , ar }. Definición El Valor Esperado de X se define de la siguiente manera: E(X ) = r X i=1 ai P(X = ai ). Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Varianza Propiedades del valor esperado Observación: En el caso de que haya infinitos valores posibles para la variable X es necesario pedir que la suma sea convergente para que E(X ) esté definido. Propiedades del valor esperado: 1) Si X es una variable aleatoria y α ∈ R entonces: E(αX ) = αE(X ). 2) Si X e Y son variables aleatorias entonces: E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). 3) Si X es una variable aleatoria con valores posibles {a1 , a2 , . . . ,P ar } y g : R → R entonces E(g(X )) = ri=1 g(ai )P(X = ai ). 4) Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces: E(XY ) = E(X )E(Y ). Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Demostración de 4): Si los valores posibles de X y de Y son, respectivamente, {a1 , a2 , . . . , am } y {b1 , b2 , . . . , bn }, entonces está claro que los valores posibles de XY son de la forma ai bj y además: E(XY ) = m X n X ai bj P(X = ai , Y = bj ). i=1 j=1 Usando independencia de las variables X e Y se tiene: E(XY ) = m X n X ai bj P(X = ai )P(Y = bj ) i=1 j=1 = m X ai P(X = ai ) i=1 = E(X )E(Y ) n X j=1 bj P(Y = bj ) Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Ejemplos de valor esperado A continuación se dan los valores esperados de cada una de las variables aleatorias discretas que consideramos anteriormente. Ejemplos Si X ∼ Ber (p) entonces E(X ) = p. Si X ∼ Bin(n, p) entonces E(X ) = np. Si X ∼ Geo(p) entonces E(X ) = p1 . Si X ∼ Poisson(α) entonces E(X ) = α. Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Varianza Definición La Varianza de una variable aleatoria X se define de la siguiente manera: var (X ) = E(X − E(X ))2 . La varianza es un número positivo que mide la dispersión de una variable aleatoria alrededor de su valor esperado. Observación: (X − E(X ))2 = X 2 + E2 (X ) − 2X E(X ). Usando propiedades del valor esperado se obtiene: var (X ) = E(X 2 ) − E2 (X ). Varianza Variables aleatorias discretas Vectores aleatorios Independencia de variables aleatorias Valor esperado Propiedades Propiedades de la varianza: 1) Si X es una variable aleatoria y α ∈ R entonces: var (αX ) = α2 var (X ). 2) Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces: var (X + Y ) = var (X ) + var (Y ). Varianza