Unidad 9 Integración Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará las fórmulas básicas de integración. Aplicará el método de integración por sustitución. Aplicará el método de integración por partes. Aplicará la integración a la solución de problemas. 2 Matemáticas Introducción E l cálculo diferencial es útil al considerar la rapidez de cambio de diferentes variables y las pendientes de las tangentes en diversas funciones. En el cálculo diferencial, el problema de la tangente condujo a formular, en términos de límites, la idea de una derivada. Este concepto es aplicable en velocidades, tasas de cambio y en una diversidad de problemas prácticos. Una de l as preocupaciones importantes en el cálculo integral es l a si se tiene la derivada de una función desconocida, el cálculo integral puede proporcionar una forma de determinar a la función original. En otros términos, el proceso de integración es lo contrario al proceso de diferenciación en el sentido de que para realizar integraciones debe conocerse la diferencial de una función y en el momento en el cual se integra esa diferencial, se llega a obtener la función original. 9.1. Concepto de integral La integración es el proceso de hallar una función cuando se conoce su derivada. En otras palabras, integración es lo inverso a diferenciación. La función obtenida se denomina primitiva o antiderivada. Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I, si F (x) = f(x) para todo valor de x que esté incluido en el intervalo I. Si tenemos la diferencial de una función y luego se integra, la función manera un valor constante llamado constante de integración (C); de otra manera el resultado puede diferir de la función original, por un valor constante, porque en un momento dado se considera que al realizar esta transformación se pierde información. Por ejemplo, si se tiene la función f(x) = 400 + 25x +3x2, al diferenciarla [ df(x) = (25 + 6x) dx] se pierde la constante 400 y si esta función diferenciada se integra, no considerará ese valor, es en ese momento que se incluye el valor 400. 353 Unidad 9 Ejemplo 1 Si F F(x) = 4x3 + x2 + 3 entonces F (x) =12x2 + 2x, f (x) = 12x2 + 2x, f es la derivada de F y de modo que si f por tanto F es la antiderivada de f. G(x) = 4x3 + x2 + 8 entonces G también Si G es una antiderivada de f porque G (x) = 12x2 + 2x. Por ello, cualquier función de la forma 4x3 + x2 + C donde C es una constante, es una antiderivada de f. De aquí se desprende la necesidad de determinar un valor constante a ser empleado en la integral, por lo que: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está dada por F(x) + C Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse al asignar valores particulares a C. Si G es cualquier antiderivada de f en I, entonces G (x) = f(x) para toda x en I: Como F (x) = f(x) entonces F (x) = G (x) para toda x en I Por tanto, existe una constante C tal que G(x) =F(x) + C De donde toda antiderivada de f puede obtenerse a partir de F(x) + C, donde C es una constante arbitraria. De lo anterior se desprende que la antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función. El símbolo denota la operación de antiderivación y se escribe: 354 f ( x) dx F ( x) C 2 Matemáticas Donde F (x)=f(x) y d(F (x)) = f (x) dx El primer miembro se lee integral de f de x con respecto a x. El símbolo es el signo integral, f(x) es el integrando, F(x) es una integral particular, C es la constante de integración y F(x) + C es la función integrada. La diferencial dx juega un papel importante porque garantiza que se va a integrar sobre la base de una variable. Si F(x) + C es la integral de f(x), en la cual C es una constante arbitraria, puesto que la derivada de cualquier constante es cero se tiene: d F ( x) C dx dF ( x) dx dF ( x) dx = f(x) dC dx conoce, dado que contiene una constante. Ésta es la razón por la cual la función de f(x). f x dx se conoce como la La constante de integración C puede determinarse si se da información adicional. Por ejemplo, si sabemos que F(x) + C = 2 y F(x) = x2 con x = 1, entonces la constante es: x2 + C = 2 (1)2 + C = 2 1+ C = 2 C = 2–1 C=1 La constante de integración para la función x2 + C = 2 es C = 1. La información adicional que se presenta en el ejemplo anterior, se conoce como condición inicial, porque se requiere que en un momento dado se tenga la certeza de conocer a C, de manera que la integral sea una función conocida. A continuación se muestran las fórmulas de integración que se emplean con mayor frecuencia. 355 Unidad 9 1. Kdx K dx, en donde K es cualquier constante. 2. dx x C 3. ( f ( x) g ( x)) dx f ( x) dx g ( x) dx 4. af ( x) dx a f ( x) dx , donde a es cualquier constante 5. xn dx 6. xn 1 C n 1 1 dx x x 1dx ln x C Ejemplo 2 Determinemos la siguiente integral: 5dx Solución: l a i ntegral dada es de la forma 5dx 5 dx Como dx Kdx K dx por l o que x C , al sustituir tenemos: 1 5dx 5 dx 5( x C1 ) 5x 5C1 5x C En este caso puede apreciarse que 5C1 = C dado que el producto de dos constantes es otra constante. Ejemplo 3 356 Encontremos la integral (3x 5) dx Solución: (3x 5) dx (3x)dx 5dx 3 xdx 5 dx 2 Matemáticas Utilizamos xndx xn 1 C para 3 xdx con lo que tenemos: n 1 3 xdx 3 x2 2 C1 3 2 x 3C1 2 5 dx 5 ( x C2 ) 5x 5C2 Por otra parte (3x 5)dx 3 2 x2 5x (3C1 5C2 ) Como C1 y C2 son constantes arbitrarias, se pueden denotar por C, de modo que: 3 2 (3x 5) dx x 5x C 2 Ejemplo 4 Calculemos (5x4 8x3 9x2 2x 7) dx Solución: 5x4dx 8x3dx 9x2dx 2xdx 7dx Se aplica af ( x) dx a f ( x) dx 5 x4 dx 8 x3dx 9 x2 dx 2 xdx 7 dx Empleamos xn dx xn 1 + C para cada término: n 1 5 x4dx 5 x5 5 5 5 x 5 x5 C1 8 x3dx 8 x4 4 8 4 x 4 2x4 C2 9 x2dx 9 x3 3 9 3 x 3 3x3 C3 357 Unidad 9 2 xdx 2 x2 2 2 2 x 2 x2 C4 7 dx 7 x C5 Por lo tanto (5x4 8x3 9 x2 2x 7)dx x5 2x4 3x3 x2 7x C Ejemplo 5 x 1dx Calculemos Solución: se transforma la raíz en un exponente x 1 dx (x Se aplica xn dx 1 2 1 1) 2 x dx 1 dx xn 1 +C n 1 3 (x 1 2 1) dx 2x 3 2 x C Ejemplo 6 La función de costo marginal C de una compañía es C (x) = 3x2 + 8x + 4, donde C(x) es el costo total de producción de x unidades. a) Si el gasto general es de $6, determinemos la función de costo total correspondiente. b) Calculemos el costo total de producir 10 unidades. 358 Solución: a) Como C (x) = 3x2 + 8x + 4, entonces C( x) Empleando xndx xn 1 + C tenemos: n 1 (3x2 8x 4)dx 2 Matemáticas 3 x2 dx 3 8 xdx 8 x3 3 x2 2 3 3 x 3 8 2 x 2 x3 C1 4x2 C2 y utilizando kdx k dx , tenemos: 4 dx 4x C3 Por ello C(x) = x3+ 4x2+ 4x+ C4 C(0) = 6 de donde C4 = 6, por lo que la función de costo total es: C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6 b) Se quiere conocer el costo de producir x = 10 unidades y al sustituir en la fórmula de costo total tenemos: C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6 C(10) = (10)3 + 4(10)2 + 4(10) + 6 = 1 446 El costo que se tiene al producir 10 unidades es de $ 1 446. Ejemplo 7 Una compañía determinó que la función de costo marginal para la producción 1 2 de cierta mercancía es C (x) = 125 10x x , donde C(x) es el costo total de 9 producción de x unidades de mercancía. Si los gastos generales son de $250, ¿cuál es el costo de producción de 15 unidades? Solución: dado que C '( x) 125 10x C( x) 125 10x 1 2 x dx 9 125 dx 10 xdx 1 2 x, 9 125dx 1 2 x dx 9 359 10xdx 1 2 x dx 9 Unidad 9 empleando kdx k dx , tenemos: 125 dx 125x C1 10 xdx 10 1 2 x dx 9 xn 1 + C tenemos: n 1 xndx al emplear x2 2 10 2 x 2 1 x3 9 3 5x2 C2 1 3 x C3 27 Con ello C( x) 125x 5x2 1 3 x C4 27 comportamiento del nivel de producción, entonces C4 = 250 y la función de costo total es: C( x) 125x 5x2 1 3 x 27 250 Se quiere conocer el costo de producción de 15 unidades, por lo que: C(15) (125)(15) (5)(15)2 1 (15)3 27 250 1 3 375 (3 375) 250 1 875 1125 250 27 27 1 875 1125 125 250 C(15) = 3 375 1 875 (5)(225) Se incurrirá en un costo de $3 375 al producir 15 unidades. 360 Ejercicio 1 1. Calcula 3x4 dx 2. Obtén (8x4 3. Determina 4x3 6x2 x ( x 1) dx 4x 5) dx 2 Matemáticas 4. Lafunción de costo marginal deunaempresaestádadapor C (x) =1.064 – 0.005x. x unidades. 5. El costo marginal de una compañía es una función de las unidades producidas (x) y está dado por C (x) = 2 + 60x – 5x2 determina: b) El costo de producir una unidad. 6. Para un artícul o, l a f unci ón de i ngreso margi nal está dada por I (x) = 15 – 4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p dólares, determina la función de ingreso total. Determina las siguientes integrales: 7. 1 dx x4 5 8. 5 x 4 dx 9. 7 x5 10. x 2 10x 5 dx x3 2 3 1 x x 5 4 dx 11. 6t 4dt 9.2. Integral definida También puede definirse la integración como el proceso de encontrar el valor límite de una suma de términos cuando el número de éstos crece en este caso en el que se interpreta la integración como la determinación del área bajo una curva. El cálculo integral fue desarrollado con el propósito de evaluar áreas, que se El símbolo integral proviene de la forma de una s alargada, que se empleó originalmente para indicar tal suma. uso de fórmulas. Por ejemplo, el área (A) de un rectángulo es igual al producto 361 Unidad 9 de su base (b) por su altura (h), o A = bh. Sin embargo, el área comprendida entre curvas debe obtenerse con el cálculo integral, ya que no existe fórmula geométrica f(x) y = f(x) f(xn) (x3, f(x3)) f(x3) (x1, f(x1)) f(x2) f(x1) x2 x1 0 x1 x2 x3 x3 n x4... xn a xn+1 x b Figura 9.1. Área bajo la curva. Supongamos que se quiere conocer el área comprendida entre a y b. En la n rectángulos donde: xi = Base (ancho) del rectángulo. xi = Punto en el eje de las x que denota la división de los rectángulos x1= a, x2= a + x1, x3= x2+ x2, x4= x3+ x3 y así sucesivamente. f(xi ) = Valor de la altura del rectángulo. La suma de las áreas de los rectángulos es: Suma = f(x1) x1+ f(x2) x2+...+ f(xn) xn n f ( xi ) xi i 1 362 n ) y la base de éstos se acerca a cero ( x 0), el área bajo la curva entre x = a y x = b es el límite de la suma de los rectángulos, cuando existe el límite: n Área = lim n f xi xi i 1 a xi b i 1,..., n 2 Matemáticas y c y = f(x) d a x b Figura 9.2. Área bajo una curva. Sea f a,b]. Si n Área lim n f ( xi ) xi i 1 entonces, si el límite existe a medida que x n escribe: b a 0 y el número de intervalos f de a a b y se n f ( x) dx lim n f ( xi ) xi i 1 El número a indica el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración. Al emplear el símbolo de la integral, el límite puede calcularse con: A b a f ( x) dx De esta manera, si quiere hallarse la integral de f(x Si A = F(x) + C Para x = a, el área A = 0 y por tanto F(a) + C = 0 de donde C = –F(a) Así, A = F(x) + C = F(x) + (–F(a)) = F(x) – F(a) f ( x) dx A 363 Unidad 9 Para encontrar el área abcd (figura 9.2) bajo la curva f(x), haci endo x = b, tenemos A = F(b) – F(a). De esta manera: Área = b a f ( x) dx F ( x) b F (b) F (a) a Este resultado se conoce como teorema fundamental del cálculo integral. La constante de integración C no está contenida en la solución para A. Así, la b a f(x) de a a b. f ( x) dx se llama la integral Ejemplo 8 Evalúa la integral: 3 1 8dx Solucion : el limite inferior es a 1, el limite supe erior es 3 y la funcion dada es f (x) 8. b 3 3 Al integrar la f uncion se tiene: 8dx 8x 1 1 8(3) 8(1) 24 8 16 Ejemplo 9 Evalúa la integral 3 2 364 5x2 dx Solución: los límites son a = 2 y b = 3 con una función f(x) = 5x2, al integrar la función se tiene: 3 2 2 5x dx 5x3 3 3 2 2 Matemáticas 5(3)3 5(1)3 3 3 5(27) 5 3 3 130 43.33 3 Ejemplo 10 Calcula el área de la región limitada por la curva y = x2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 3. Solución: Al integrar la función tenemos: A 3 1 x2dx x3 3 3 1 (3)3 (1)3 27 1 3 3 3 3 26 2 u 3 u2 = unidades cuadradas, ya que estamos calculando áreas. 365 9 Unidad Ejemplo 11 Calcula el área de la región limitada por la curva y eje x. x3 x2 6x , y el Solución: A1 A2 De la gráfica podemos observar que resultan dos áreas, es decir, las intersecciones con el eje son (–3,0) y (2,0), como una limitante del área es el eje x, entonces, el área quedará determinada por: A= A1 A2 0 A= 3 ( x3 x2 6x) dx 2 0 ( x3 x2 6x)dx se encuentra debajo del eje x, donde y, la 2 altura del rectángulo es negativo; por lo que el área resultante es el negativo . Por ello, para el cálculo del área neta 2 consideramos un signo menos antes de la función de la segunda integral. 366 x4 4 A1 = (0) 4 4 (0) 3 x3 3 3 x2 6 2 6(0) 2 2 0 3 ( 3) 4 4 ( 3)3 3 6 ( 3)2 2 2 Matemáticas 81 27 4 3 (0) 54 2 243 108 324 12 189 12 189 12 x4 4 A2 = ( 2) 4 4 x3 3 2 6x2 2 (2) 3 3 0 6(2) 2 2 (0)4 4 (0)3 3 6(0) 2 16 8 24 4 3 2 48 32 144 12 64 12 64 12 A= 189 64 12 12 253 2 u 12 Ejemplo 12 Calcula el área de la región limitada por la curva y las rectas x = 1 y x = 2. x 2 , el eje x y x 367 9 Unidad Solución: A 2 1 2 )dx x (x 2 x2 2 2 ln x 1 (2) 2 2 (1) 2 2 2 ln 2 [ 2 2 ln 2 ] 1 2 2 ln 1 2.88 u2 Ejercicio 2 Evalúa las siguientes integrales: 1. 2. 368 3. 4. 5 6dx 2 4 ( x2 1 5) dx 3 1 12x3dx 2 1 (3x2 2x 5) dx 2 Matemáticas Calcula el área de la región límitada por la curva, el eje x y las rectas indicadas: 5. y x2 6x 3 6. y 12x las rectas x 1y x 1 7. y x2 10x 25 las rectas x = –3 y x = –2 8. y 4 las rectas x = 5 y x = 2 x 9. y x2 5 las rectas x = 5 y x =3 10. y x4 8x2 las rectas x = 0 y x = 2 deben describir algunas técnicas para efectuar la integración de funciones, como se muestra en los puntos siguientes. 9.3. Integración por sustitución El método de sustitución que se emplea con mayor frecuencia en la integración de una función de la forma f ( x) dx requiere de tres pasos a seguir: En el primer paso, si se tiene una función f(x), por ejemplo, f(x) = (x + 1)2 y 2 queremos encontrar ( x 1) dx, se debe sustituir el valor (x + 1) por una nueva variable denominada u. Así: u = (x + 1) u2 = (x + 1)2 El segundo paso consiste en encontrar la diferencial de la nueva variable (du) y posteriormente sustituirla. En este caso, tenemos: du = d(x + 1) = (1)dx 369 Unidad 9 Como puede observarse, du = dx, y con ello en g (u)du. f ( x) dx ahora se convierte Al quedar la nueva función en términos de u, se integra con respecto a esa variable. En el tercer paso se sustituye el valor de u en el resultado de la integral g (u)du y se encontrará el valor de la integral f ( x) dx. Con estos tres pasos se facilita la integración de una función que no es posible integrar directamente con las fórmulas proporcionadas. Ejemplo 13 2 3 Determinemos ( x 1) xdx 2 3 Solución: f ( x) ( x 1) x Paso 1. Se sustituye la función (x2 + 1) por la variable u. u = x2 + 1 Paso 2. Se calcula la diferencial du, se despeja xdx y se sustituye el resultado en la integral. Como u = x2 + 1 du d ( x2 1) (2x) dx du = 2xdx, por lo que xdx du 2 Sustituimos u y du e integramos 370 ( x2 1)3 xdx 1 u3 du 2 1 u4 2 4 1 4 u C 8 1 3 u du 2 C 2 Matemáticas u4 8 C Paso 3. Volviendo a sustituir u = x2 + 1 en el resultado de la integral, se tiene: ( x2 1)3 xdx ( x2 1)3 xdx u4 8 C ( x2 1) 4 8 C ( x2 1) 4 8 C Ejemplo 14 6x2 dx ( x3 5) Determinemos la integral Solución: se sustituye (x3 + 5) por u, por lo cual tenemos: du d ( x3 5) du (3x2 ) dx De donde: 6x2dx = 2du Sustituyendo u y du tenemos: 6 x2 dx ( x3 5) 2 du u 1 du u =2 ln u + C =2 ln x3+5 + C 2 371 Unidad 9 Ejemplo 15 El cambio en la producción P de una empresa cuando aumenta el consumo de los artículos que produce está dada por la función P (x) = (x2 + 1)4x. Obtengamos la función de la producción total para la empresa. Solución: P (x) = (x2 + 1)4x para encontrar la función de producción debemos integrar ( x2 1) 4 xdx u = (x2 + 1) u4 =(x2 + 1)4 du d ( x2 1) ( 2x)dx De donde: du 2 Al sustituir u y du tenemos: xdx ( x2 1) 4 xdx u4 du 2 1 4 u du 2 1 u5 2 5 C 1 5 u C 10 1 2 ( x 1)5 C 10 La función que se obtuvo representa la producción total de un artículo cuando se consumen x unidades de un artículo. 372 Ejercicio 3 1. Calcula 6x2 ( x3 5) 2dx 2. Determina 2x( x2 5) 1dx 2 Matemáticas 3. Obtén 2x(3x2 5) dx 3x2 4 x3 dx 2x3 2x4 x5 5. dx ( x6 1) 2 4. 6. ( x5 5x7 7. 5x) 10 ( x4 7 x6 1)dx 1 dy ( 2 y 1) 8. x2 2x3 7dx 9. la demanda de sus productos. Si la función V(x) = 30x2(5x3 – 2) muestra ese cambio, calcula 30x2 (5x3 2) dx para obtener la función de las ventas totales. 10. producción de una empresa dedicada a la fabricación de utensilios de cocina es U(x) = 2x2(6x3 – 3), calcula 2x2 (6x3 3) dx para obtener la función de utilidades totales. 11. Una compañía encuentra que su f unci ón de costo margi nal es C (x) = 5x3(x4 – 3), determi na 5x3 ( x4 3) 2dx a f i n de encontrar l a f unci ón de costo total . 9.4. Integración por partes Cuando una expresión que incluye productos o logaritmos no puede evaluarse directamente por medio de las fórmulas o por sustitución, una de las técnicas más útiles para transformarla en una forma estándar es el método de integración por partes, que se obtiene de la fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Si f y g son funciones diferenciables, entonces: d[ f ( x) g ( x)] [ f ( x) g' ( x) g ( x) f '( x)] dx f x g' x dx d[ f ( x) g( x)] g ( x) f ' ( x)dx 373 Unidad 9 Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene: f x g' x dx d f x g x dx f ( x) g ' ( x) dx f ( x) g ( x) g x f ' x dx g( x) f ' ( x) dx Donde: u = f(x) y v = g(x) Entonces: du = f (x)dx y dv =g (x)dx Con ello: udv uv vdu Ésta es la fórmula de integración por partes. Su utilidad depende de la elección apropiada de u y dv, de manera que las integrales udv y vdu puedan evaluarse. No hay una regla general para separar una expresión propuesta en dos factores u y dv debe observarse que: 1. dx siempre forma parte de dv. 2. dv tiene que ser fácilmente integrable. 3. Cuando la expresión que se va a integrar es el producto de dos funciones, suele convenir la elección del elemento máscomplicado y que pueda integrarse, como parte de dv vdu lo más fácilmente posible. Normalmente, al trabajar la integración por partes se emplean funciones exponenciales y logarítmicas, siendo las siguientes fórmulas de integración las empleadas: 374 1. dx x 2. a x dx 3. ex dx ex C ln x C ax C donde a > 0 y a 1 ln a 2 Matemáticas Ejemplo 16 Determinemos la integral xlnxdx Solución: en primer lugar se determinan las sustituciones u, v, du y dv. Por conveniencia, se elige como v al elemento que sea fácilmente integrable. Sea: xlnxdx (lnx) xdx Tomemos: 1 dx x du dlnx u = ln x dv = xdx Para encontrar v es necesario integrar dv v dv x2 2 xdx C x2 2 v Sustituyendo en la fórmula udv uv x lnx dx x2lnx 2 vdu tenemos: x dx 2 x2lnx 2 x2 4 C Ejemplo 17 Calculemos xex dx Solución: al efectuar las sustituciones: u= x 375 du = dx dv = ex dx v dv ex dx xex ex dx ex Con ello: xex dx xex ex C ex ( x 1) C Ejemplo Unidad 9 18 La función del crecimiento que hay en la producción de un artículo es f(x) = ln x. La empresa desea conocer una función que exprese la producción total a fin de poder determinar en cualquier momento el nivel total de producción que puede ser requerido en el mercado. Para ello evaluemos lnxdx. Solución: para facilitar el cálculo tomemos: u = ln x du 1 dx x dv = dx v dv dx x Empleando la fórmula dada, la función que proporciona las bases para determinar la producción total es: 1 lnxdx xlnx x dx xlnx dx x ln x x C x(ln x 1) C x Ejemplo 19 Determina la integral ex ( x 1) 2 dx Tomemos u = (x + 1)2 du = 2(x + 1)dx dv = exdx v = ex Sustituyendo en la fórmula udv uv ex ( x 1)2 dx ex ( x 1)2 376 vdu tenemos 2 ex ( x 1)dx En este caso, para resolver la integral ex ( x 1)dx tenemos que aplicar el método de nuevo haciendo u = (x + 1) dv = exdx de donde du = dx v = ex por tanto 2 Matemáticas ex ( x 1) 2 dx ex ( x 1)2 2 ex ( x 1) ex dx integrando tenemos ex ( x 1) 2 dx ex ( x 1)2 2[ ex ( x 1) ex ] C ex ( x 1) 2 2ex ( x 1) 2ex C Ejercicio 4 Calcula las siguientes integrales: 1. x2ex dx 2. x2lnxdx 3. t lnt dt 4. ( x 1) ln xdx 5. x ln xdx 6. x( x 6) 4 dx 7. xex 3dx 8. La función del crecimiento de la demanda de un artículo determinado f(x) = (2x + 3)ln x. Una empresa desea conocer una función que garantice que es posible obtener la demanda total del artículo en cuestión. Para ello calcula 2x 3 lnxdx. Ejercicios resueltos 1. Calculemos ( x5 5x4 377 4x3 3x2 2x) dx Solución: la integral a obtener es de la forma: ( f ( x)) ( g'( x))dx f ( x) dx g( x) dx. Unidad 9 Con ello: ( x5 5x4 4 x3 3x2 x5dx 2x) dx x6 6 5 x6 6 x5 5x4dx x5 5 4 x4 4x3dx x4 4 x3 3 x2 3x2 dx x3 3 2 x2 2 2xdx C C 2. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal está dada por I (x) = 12 – 3x. Si x unidades son demandadas, calculemos la función de ingreso total. Solución: I (x) = 12 – 3x I '( x)dx (12 3x)dx 12dx 12 dx 3 xdx 12x 12 3x dx 12x 3. Determinemos 3x2 2 3x2 2 C C 20x2 ( 4x3 3) dx por el método de sustitución. Solución: f(x) = 20x2(4x3 – 3) u = (4x3 – 3) 378 3xdx du 12x2 dx du = 12x2 dx dx du 12x2 2 Matemáticas Por sustitución: 20x2 ( 4x3 3) dx 5 5 u du udu 3 3 5 u2 5 (4x3 3) 2 C 3 2 3 2 5( 4x3 3) 2 6 C 5 4. 2 Solución: 5 2 (4x3 3x2 C ( 4x3 3x2 5 2x) dx 2 4 4 x4 2x) dx 5 4x3dx 5 2 2 5 x3dx 3 x4 4 5 2 5 3 2 x3 5 2 54 24 5 3x2dx 2 2xdx x2dx 2 x3 3 x2 2 5 2 2 x2 2 5 2 xdx 5 2 5 2 53 23 52 22 = (625 – 16) – (125 – 8) + (25 – 4) = 609 – 117 + 21 = 513 5. Calculemos (ln x) x3dx empleando la integración por partes. Solución: (ln x) x3dx u = ln x du 1 dx x dv = x3dx v dv x4 ln x 4 x4 1 dx 4 x x3dx x4ln x 4 379 x4 4 x3 dx 4 Unidad 9 x4ln x 4 1 3 x dx 4 x4 ln x x4 C 4 16 x4ln x 4 1 x4 4 4 x4 1 ln x 4 4 C C 6. Calcula el área de la región limitada por la curva y x = 2 y x = 4 y el eje x. 1 las rectas x Solución A 4 2 1 dx x 4 ln x 2 ln 4 ln 2 1.3862 0.6931 0.6930u2 380 Ejercicios propuestos 1. Calcula ( 4x3 3) dx 2. La función de costo marginal está determinada por C (x) = 6x, donde C(x) es el número de cientos de dólares del costo total de producción de x unidades de cierta mercancía. Determina: 2 Matemáticas b) El costo de producir 200 unidades. 3. Calcula 5x4 dx por el método de sustitución. x5 3 3 4. (8x3 3x2 2) dx. 0 5. Calcula x4 ln xdx empleando la integración por partes. 6. Calcula el área de la región limitada por la curva y eje x y la recta x = 2. x3 3x2 4x el Autoevaluación 1. El resultado de 2 3/ 2 x 3 2 52 b) x 5 2 32 c) x 3 2 52 d) x 5 a) 2. Al resolverse x x 1 dx es: x 2x C 1 2x 1 2x 2 C 2 C 2x C 2x(3x2 5) dx por el método de sustitución se tiene: (3x2 5) 2 C 6 (3x 5) 2 b) C 6 a) c) (3x2 5) C 6 d) (3x2 5) 2 3 C 381 Unidad 9 3. Una compañía dedicada a realizar estudios publicitarios para diferentes empresas, quiere determinar la demanda total de un artículo después de que ha transcurrido cierto tiempo de que se realizó una campaña de promoción. Si la compañía encontró la función de demanda f(x) = 2x(3x2 + 5) y quiere calcular la demanda que hay al transcurrir entre uno y cinco días de que inició la campaña, 5 1 resultado: 2x(3x2 5) dx, ésta tiene como a)1 000 b)1 100 c)1 056 d)1 036 4. El resultado de x2 ln xdx es: a) x3 ln x 3 x3 3 C b) x3 ln x 3 x3 9 C x3 9 c) x3 ln x d) x3 ln x 3 C x3 2 C 5. Resuelve (5x4 8x3 9x2 2x 7) dx. (5x2 7) 7. Determina x 382 8. Evalúa 2 1 9. Calcula 10. Calcula 1 dx x x2 x 6. Calcula 4 3 dx (5 2x) dx x2 x3 1 dx (lnx) 2 dx 11. Determina ln5xdx 2 Matemáticas Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. 3 5 x C 5 2. 8 5 x 5 3. 2 52 x 5 x4 2x3 2 32 x 3 2x2 5x C C 4. C(x) = 1.064x – 0.0025x2 + 16.3 5. a) C( x) 2x 30x2 5 3 x 65 3 b) 95.3333 6. I(x) = 15x – 2x2 + C 7. 1 3x3 C 9 25x5 8. 9 9. 7 4x4 10. 3x 3 5 C 1 x2 5 11. 2 t3 2 x 5x2 5x C 4 x C 1 4 C 383 Unidad 9 Ejercicio 2 1. –18 2. 36 3. 240 4. 9 5. A = 36u2 6. A= 6 u2 384 2 Matemáticas 7. A= 19/3u2 8. A= 3.66u2 9. A = 68/3u2 385 Unidad 9 10. A = 224 2 u 15 Ejercicio 3 1. 2( x3 5) 3 3 C 2. ln x2 + 5 + C 3. 386 (3x2 5) 2 6 C 1 4. ln 2x3 2x4 C 2 1 5. C 6 6( x 1) 1 6. 5 45( x 5x7 5x)9 1 7. ln 2 y 1 C 2 8. ( 2x3 7) 9 3 2 C C 2 Matemáticas 9. (5x3 – 2)2 + C 1 (6x3 3) 2 C 18 5 4 ( x 3)3 C 11. 12 10. Ejercicio 4 1. ex ( x2 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2x 2) C x3 1 3 x C ln x 3 9 1 2 t2 t ln t C 2 4 x2 ln x x2 x ln x x C 2 4 2 32 4 32 x ln x x C 3 9 x( x 6)5 ( x 6) 6 C 5 30 ex 3 ( x 1) C 8. ln x ( x2 3x) x2 3x C 2 Respuestas a los ejercicios propuestos 1. x4 – 3x + C 2. a) C(x) = 3x2 + 8 b) El costo de producir 200 unidades es de $12 000 800 3. ln (x5 – 3) + C 387 Unidad 9 4. 303 5. x5 x5 C ln x 5 25 u2 6. Respuestas a la autoevaluación 1. b) 2. a) 3. c) 4. b) 5. x5 –2x4 + 3x3 – x2 + 7x + C 388 6. x3 3 7. 15 53 x 5 x C 21 x 1 3 C 2 Matemáticas 8. 12 9. 1 ln( x3 1) C 3 10. x(lnx)2 – 2x ln x + 2x + C 11. x ln 5x – x + C 389