X. Movimiento rectilíneo. Cinética.........237

X. MOVIMIENTO RECTILÍNEO.
CINÉTICA
Ilustraremos los aspectos más relevantes de la Cinética de la partícula
con este ejemplo.
Ejemplo. Un tren viaja por una vía
recta, cuya pendiente es del dos por ciento, con velocidad constante de 72 km/h.
La locomotora pesa 80 ton, el conjunto de
los carros, 1000. Determine todas las
fuerzas externas que actúan sobre la locomotora.
72 km/h
100
2
Éste es un problema estático, puesto que si el tren se mueve en línea
recta con velocidad constante, está en equilibrio. Comenzaremos dibujando el diagrama de cuerpo libre de la locomotora, elegiremos un sistema
de referencia y emplearemos las ecuaciones de equilibrio.
Movimiento rectilíneo. Cinética
∑ 𝐹𝑥 = 0
2
𝐹𝑟 − 80 (
)−𝑇 =0
100
𝐹𝑟 = 1.6 + 𝑇 … (1)
y
x
T
80
α
100
100
α
N
Fr
∑ 𝐹𝑦 = 0
2 α = 1.15°
𝑁𝑟 − 80 = 0: 𝑁 = 80 𝑡𝑜𝑛
88.9°
Como es imposible determinar la tercera incógnita con sólo dos ecuaciones, estudiaremos los carros. Dibujaremos su diagrama de cuerpo libre,
escogeremos un sistema de referencia y plantearemos una ecuación de
equilibrio.
∑ 𝐹𝑥 = 0
2
𝑇 − 1000 (
)=0
100
T
1000
α
N1
y
𝑇 = 20 ton
1.15°
Llevando este resultado a (1)
x
𝐹𝑟 = 1.6 + 20:
𝐹𝑟 = 21.6 ton
1.15°
Ahora ya conocemos todas las fuerzas externas que actúan sobre la
locomotora. Y convertiremos el caso en un problema cinético, de la siguiente manera.
Ejemplo. En cierto instante, se rompe el enganche de la locomotora del problema anterior. a) Diga qué aceleración
tendrá la locomotora y cuál, los carros. b)
¿Qué tiempo emplearán los carros en volver a la posición de la ruptura? c) ¿Qué
distancia recorrerán en ese lapso?
224
72 km/h
100
2
Movimiento rectilíneo. Cinética
Ahora tanto la locomotora como los carros dejaron de estar en equilibrio y sufren una aceleración en dirección de la vía. Para determinarla, el
procedimiento será muy semejante al del problema anterior. Lo primero
será dibujar el diagrama de cuerpo libre de la locomotora y elegir el sistema
de referencia, que, será el mismo de antes. Y como la aceleración tiene la
dirección del eje de las equis, la ecuación que emplearemos es la siguiente.
y
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
2
80
21.6 − 80 (
)=
𝑎
100
9.81
x
80
α
N
Fr
𝑎=
20(9.81)
: 𝑎 = 2.45 m⁄s2
80
1.15°
Ahora dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de los carros, con el
mismo sistema de referencia y la misma ecuación cinética.
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
2
1000
−1000 (
)=
𝑎
100
9.81
20(9.81)
𝑎=−
= −0.1962
1000
T
1000 α
N1
y
x
𝑎 = 0.1962 m⁄s 2
1.15°
Una vez conocida la aceleración constante de los carros, podemos
escribir las ecuaciones del movimiento, que son
𝑎 = −0.1962
𝑣 = 20 − 0.1962 𝑡
𝑥 = 20𝑡 − 0.0981 𝑡 2
La última ecuación se ha escrito tomando como origen la posición de
la ruptura del enganche. El tiempo que tarda en volver es
225
Movimiento rectilíneo. Cinética
0 = 20𝑡 − 0.0981 𝑡 2
0 = 20 − 0.0981 𝑡
𝑡 = 204 s
Los carros se detienen cuando 𝑣 = 0
0 = 20 − 0.1962 𝑡
𝑡 = 101.9
Y la distancia que recorre en un sentido es
𝑥 = 20(101.9) − 0.0981 (101.9)2 = 1019
En el lapso de 204 s recorrerá el doble
𝐷 = 2040 m
Segunda ley de Newton
No está de más repetir aquí algunas de las implicaciones centrales de
la segunda ley de Newton, que ahora será necesaria para el estudio del movimiento de los cuerpos, atendiendo a sus causas.
El enunciado, como recordaremos, es: El cambio del movimiento es
directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre en la misma
dirección en que dicha fuerza se imprime.
En el capítulo II de este curso le asignamos la siguiente expresión
matemática:
𝑑(𝑚𝑣)
𝑑𝑣̅
𝐹̅ = 𝑘
= 𝑘𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐹̅ = 𝑘𝑚𝑎̅
E hicimos que la constante de proporcionalidad k tuviera el valor de 1,
escogiendo una unidad de fuerza tal, que produjera la unidad de aceleración
a la unidad de masa. Para ello, es necesario emplear sistemas consistentes
de unidades que cumplan con esa condición. Actualmente se distinguen dos
tipos de sistemas de unidades, los absolutos y los gravitacionales. Aquellos
adoptan como unidades fundamentales (arbitrariamente elegidas) las de
longitud, masa y tiempo; éstas, las de longitud, fuerza y tiempo.
226
Movimiento rectilíneo. Cinética
Gravitacionales
Absolutos
Desde hace mucho años se ha intentado que haya un sistema único y
universal de unidades, pero eso parece un ideal imposible. La invención del
metro poco después de la revolución francesa, como una unidad de longitud
igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, y del
kilogramo masa como unidad de masa, correspondiente a un decímetro
cúbico de agua, tuvieron tal ideal como objetivo. Pero los sistemas que más
se utilizan en la actualidad son los que se muestran en la siguiente tabla.
MKS
CGS
FPS
MKS
CGS
FPS
Unidades fundamentales
L
M
T
m
kg
s
cm
gr
s
ft
lb
s
L
F
T
m
kg
s
cm
gr
s
ft
lb
s
Unidades derivadas
a
F
2
2
m/s
kg  m/ s = 1 newton
cm/s2 gr  cm/ s2 = 1 dina
ft/s2 lb  ft/ s2 = 1 poundal
a
M
2
2
m/s
kg  s /m = 1 geokilo
cm/s2 gr  s2/cm
ft/s2 lb  s2/ft = 1 slug
El sistema MKS absoluto se llama sistema internacional de unidades
(SI) y se emplea, aunque no exclusivamente, en todo el mundo, menos en
los EE. UU., Liberia y Myanmar (antes Birmania).
El gravitacional inglés, FPS, recibe el nombre de United States customary system (USCS).
Sabiendo que un litro de agua contiene 1 kg de masa, y que pesa 1 kg,
es fácil ver que, puesto que la aceleración de la gravedad es g = 9.81 m/s2,
9.81 N es una fuerza equivalente a 1 kg, que 1 geokilo equivale a 9.81 kg
de masa y que 1 slug es la masa equivalente a 32.2 lb.
Problemas de fuerzas constantes
Los problemas de Cinética son esencialmente de dos tipos. El más
común es aquel en que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conocidas y se trata de investigar las características del movimiento. El otro tipo,
es de aquellos cuyo movimiento se conoce y se desea determinar las
227
Movimiento rectilíneo. Cinética
características de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Pero como
siempre es necesario establecer la relación entre las causas y los efectos, es
decir entre las fuerzas y el movimiento, siempre es necesario dibujar un
diagrama de cuerpo libre, correcto y claro, que es el principal instrumento
de trabajo.
Ejemplo. Un cuerpo de 40 lb de peso
se lanza hacia arriba de un plano inclinado 20° con una rapidez de 60 ft/s y su
movimiento ascendente dura tres segúndos. Calcule: a) la aceleración del cuerpo; b) la distancia que recorre, c) el coeficiente de fricción cinética entre el cuerpo y la superficie.
40 #
vo = 60 ft/s
20°
Con la información que se nos proporciona, podemos calcular la aceleración del cuerpo durante su movimiento ascendente.
𝑎 = constante (en sentido contrario de 𝑣)
𝑣 = 60 − 𝑎𝑡
1
𝑥 = 60𝑡 − 𝑎𝑡 2
2
a) Si 𝑡 = 3, 𝑣 = 0
0 = 60 − 3𝑎: 𝑎 = 20 ft⁄s 2
20°
1
𝑏) 𝑥 = 60(3) − (20)32 = 180 − 90
2
𝑥 = 90 𝑓𝑡
c) Ahora dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que represente
cualquier instante del movimiento. Incluiremos en él toda la información de que disponemos.
∑ 𝐹𝑦 = 0 (puesto que la aceleración
228
Movimiento rectilíneo. Cinética
𝜇kN
N
40
y
tiene la dirección del eje de las equis)
𝑁 − 40 cos 20° = 0
𝑁 = −40 cos 20°
x
20°
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
40
(−20)
32.2
−40 sen 20° − 40𝜇𝑘 cos 20°
40
(−20)
=
32.2
20
𝜇𝑘 cos 20° =
− sen 20°
32.2
20
𝜇𝑘 =
− tan 20°
32.2 cos 20°
𝜇𝑘 = 0.297
−40 sen 20° − 𝜇𝑘 𝑁 =
Ejemplo. Calcule el tiempo que tarda
en volver a su posición inicial el cuerpo
del problema anterior y diga cuál es su
velocidad en ese instante.
40 #
vo = 60 ft/s
20°
Ahora sabemos que el cuerpo debe deslizarse 90 𝑓𝑡 y que el
coeficiente de fricción cinética es 𝜇𝑘 = 0.297. Elegimos un eje de las
equis en dirección de la velocidad.
0.297N
∑ 𝐹𝑦 = 0
y
40
20°
𝑁 − 40 cos 20° = 0
𝑁 = −40 cos 20°
N
x
229
Movimiento rectilíneo. Cinética
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
40 sen 20° − 0.297(40 cos 20°) =
40
𝑎
32.2
𝑎 = 32.2 (sen 20° − 0.297 cos 20°) = 2.026
Las ecuaciones de movimiento son
𝑎 = 2.026
𝑣 = 2.026𝑡
𝑥 = 1.013𝑡 2 (tomando como origen la posicion que se detuvo)
𝑥 = 90
90 = 1.013𝑡 2
𝑡 = ±9.42
Como la raíz negativa no tiene significado físico,
𝑡 = 9.42 𝑠
𝑣 = 2.026(9.42)
𝑣 = 19.08 ft⁄s
Ejemplo. Los cuerpos de la figura
están inicialmente en reposo. El cuerpo A
pesa 80 kg, el B, 60. Los coeficientes de
fricción estática y cinética entre el cuerpo A y el plano inclinado son 0.25 y 0.2,
respectivamente. Calcule la tensión de la
cuerda y la velocidad de cada uno de los
cuerpos un segundo después de haber comenzado el movimiento.
20°
A
3
4
B
Si B estuviera en equilibrio, la tensión de la cuerda sería de 30 kg, y
no podría mantener en reposo al cuerpo A. Por tanto A desciende sobre el
plano, mientras B sube verticalmente.
230
Movimiento rectilíneo. Cinética
∑ 𝐹𝑦 = 0
4
𝑁 − 80 ( ) = 0
5
𝑁 = 64
Cuerpo A
T
0.2N
y
α
80
5
N
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
3
80
80 ( ) − 0.2(64) − 𝑇 =
𝑎
5
9.81 𝐴
x
α
3
4
𝑇 = 48 − 12.8 −
Cuerpo B
T
𝑇 = 35.2 −
T
y
60
𝑇 = 30 −
80
𝑎
9.81 𝐴
80
𝑎 … (1)
9.81 𝐴
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎
60
2𝑇 − 60 =
𝑎
9.81 𝐵
30
𝑎 … (2)
9.81 𝐵
Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas. Establecemos la relación
cinemática entre las aceleraciones de los cuerpos.
𝑎𝐴 = 2𝑎𝐵 … (3)
Llevando este resultado a (1) e igualando con (2)
35.2 −
(
80
30
(2𝑎𝐵 ) = 30 +
𝑎
9.81
9.81 𝐵
30
160
+
) 𝑎 = 35.2 − 30
9.81 9.81 𝐵
231
Movimiento rectilíneo. Cinética
𝑎𝐵 = (
9.81
) (5.2) = 0.268
190
y 𝑣𝐵 = 0.268 𝑡
Por tanto 𝑎𝐵 = 0.537 y 𝑣𝐴 = 0.537 𝑡
y 𝑇 = 30.8 kg
Las velocidades de los cuerpos cuando y 𝑡 = 1 son:
𝑣𝐴 = 0.537 m⁄s
36.9°
𝑣𝐵 = 0.268 ft⁄s ↑
En los problemas anteriores, las aceleraciones de los cuerpos han sido
constantes, puesto que las fuerzas también lo han sido. A continuación
estudiaremos algunos casos en que las fuerzas sean variables, ya en función del tiempo, ya de la velocidad, bien de la posición.
Problemas de fuerzas variables
Cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo varíen en función del
tiempo, de la velocidad o de la posición del cuerpo mismo, retomaremos la
recomendación que dimos en el capítulo de Cinemática. Disponemos de
dos expresiones para la aceleración:
a = dv/dt y a = v dv/ds
Si las fuerzas se conocen en función del tiempo, es forzoso emplear la
primera; si en función de la posición, la tercera; cuando se da en función
de la velocidad, se puede utilizar cualquiera de las dos, eligiendo según
queramos obtener un tiempo o una posición (1).
(1) Todos los problemas que proponemos a continuación y los que se
presentan en la serie requieren de la solución de una ecuación diferencial
que puede resolverse mediante separación de variables, pues el alumno, a
este nivel de la carrera, no tiene por qué ser una experto en ecuaciones diferenciales.
232
Movimiento rectilíneo. Cinética
Conviene que es este tipo de problemas, en la medida de lo posible,
uno de los ejes tenga la dirección de la velocidad: elegirlo en sentido contrario puede acarrear muchas dificultades en la solución.
Ejemplo. Al oprimir el acelerador, el
conductor de un tranvía de 6 ton consigue que se aplique sobre éste una fuerza
directamente proporcional al tiempo, de
modo que aumenta 120 kg por cada segundo. Sabiendo que la resistencia global
al movimiento del tranvía es constante y
de 120 kg, determine: a) en qué tiempo R = 120 kg
comienza a moverse el tranvía; b) la
ecuación del la posición del tranvía en
función del tiempo, tomando como origen la posición inicial.
6 ton
F
El diagrama de cuerpo libre es el que se muestra.
Estará a punto de moverse cuando
∑ 𝐹𝑥 = 0
120
120 𝑡 − 120 = 0
𝑡 = 1s
A partir de ese instante
120 T
6000
N
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
y
120 𝑡 − 120 =
x
6000
∫ 𝑑𝑣
9.81
6000
60 𝑡 2 − 120 𝑡 =
𝑣 + 𝐶1
9.81
∫(120 𝑡 − 120) 𝑑𝑡 =
233
6000 𝑑𝑣
9.81 𝑑𝑡
Movimiento rectilíneo. Cinética
Si 𝑡 = 1, 𝑣 = 0
60 − 120 = 𝐶1 ∴ 𝐶1 = −60
Dividiendo entre 60 y ordenando
𝑡 2 − 2𝑡 =
𝑣=
Sustituyendo 𝑣 por
Si 𝑡 = 1, 𝑥 = 0
𝑑𝑥
100
𝑣−1
9.81
9.81 2
(𝑡 − 2𝑡 + 1)
100
𝑑𝑡
𝑑𝑥 9.81 2
(𝑡 − 2𝑡 + 1)
=
𝑑𝑡
100
9.81
∫ 𝑑𝑥 =
∫(𝑡 2 − 2𝑡 + 1)𝑑𝑡
100
9.81 1 3
𝑥=
( 𝑡 − 𝑡 2 + 𝑡) + 𝐶2
100 3
0=
9.81 1
( − 1 + 1) + 𝐶2
100 3
9.81 1
𝐶2 = −
( )
100 3
La ecuación buscada es
9.81 1 3
1
( 𝑡 − 𝑡2 + 𝑡 − )
100 3
3
9.81 3
(𝑡 − 3𝑡 2 + 3𝑡 − 1)
𝑥=
300
𝑥=
𝑥 = 0.0372 (𝑡 3 − 3𝑡 2 + 3𝑡 − 1)
234
Movimiento rectilíneo. Cinética
Ejemplo. Inmediatamente después de
aterrizar a 180 km/h, un avión de 120 ton
frena por la acción de sus turbinas, que
ejercen una fuerza constante de 15 ton, y
por la resistencia del aire que, en ton, es
de 5(10-3) v2, si v se da en m/s. Diga qué
distancia requiere el avión para que su
rapidez se reduzca a 90 km/h.
120 ton
15 ton
R = 5(10-3) v2
Como las fuerzas están en función de la rapidez y deseamos conocer
un desplazamiento, emplearemos la expresión 𝑎 = 𝑣 𝑑𝑣⁄𝑑𝑥
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
120
120 𝑑𝑣
𝑣
𝑔 𝑑𝑥
Multiplicando por −1000/5
24000 𝑑𝑣
3000 + 𝑣 2 = −
𝑣
𝑔
𝑑𝑥
Separando variables
24000
𝑣 𝑑𝑣
∫ 𝑑𝑥 =
∫
𝑔
3000 + 𝑣 2
−15 − 5(10−3 )𝑣 2 =
15
5(10-3) v2
120
y
x
12000
ln(3000 + 𝑣 2 ) + 𝐶
𝑔
Si 𝑥 = 0, 𝑣 = 180 𝑘𝑚/ℎ = 50 𝑚/𝑠
12000
0=−
ln(5500) + 𝐶
𝑔
Por tanto
12000
12000
𝑥=−
ln(3000 + 𝑣 2 ) +
ln(5500)
𝑔
𝑔
Por la propiedad de los logaritmos y factorizando
12000
5500
𝑥=
ln(
)
𝑔
3000 + 𝑣 2
𝑥=−
235
Movimiento rectilíneo. Cinética
Para 𝑣 = 90 𝑘𝑚/ℎ = 25 𝑚/𝑠
12000
5500
𝑥=
ln(
)
9.81
3625
𝑥 = 510 m
Ejemplo. Desde la punta de una torre
de 1500 ft de altura se suelta un objeto de
16.1 lb. El aire ejerce sobre él una resistencia que se puede expresar como
R=2(10-3)v, donde si v se da en ft/s, R 1500 ft
resulta en lb ¿Cuál será su velocidad a los
cinco segundos? ¿Cuánto descenderá en
ese lapso?
16.1
y
2(10-3) v
16.1#
R = 2(10)-3v
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre y
elegimos un eje de referencia en dirección
de la velocidad.
Como deseamos conocer su rapidez en
un cierto tiempo, emplearemos la expresión 𝑎 = 𝑑𝑣⁄𝑑𝑡
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎
16.1 𝑑𝑣
32.2 𝑑𝑡
1
𝑑𝑣
∫ 𝑑𝑡 = ∫
2 16.1 − 2(10−3 )𝑣
16.1 − 2(10−3 )𝑣 =
1
ln(16.1 − 2[10−3 ]𝑣) + 𝐶
2(2)10−3
1
𝑡=−
ln(16.1 − 2[10−3 ]𝑣) + 𝐶
250
𝑡=−
Si 𝑡 = 0, 𝑣 = 0
𝐶 = 250 ln 16.1
Utilizando las propiedades de los logaritmos
236
Movimiento rectilíneo. Cinética
16.1
(16.1 − 2[10−3 ]𝑣)
16.1
𝑡
𝑒 ⁄250 =
(16.1 − 2[10−3 ]𝑣)
𝑡
16.1 − 2[10−3 ]𝑣 = 16.1𝑒 − ⁄250
𝑡
𝑣 = 500(16.1) (1 − 𝑒 − ⁄250 )
𝑡 = 250 ln
Para 𝑡 = 5
𝑣 = 8050 (1 − 𝑒 −
𝑣 = 159.4
1⁄
50 )
𝑓𝑡⁄
𝑠 ↓
𝑑𝑦
𝑡
= 8050 (1 − 𝑒 − ⁄250 )
𝑑𝑡
𝑡
∫ 𝑑𝑦 = 8050 ∫ (1 − 𝑒 − ⁄250 ) 𝑑𝑡
𝑡
𝑦 = 8050 (𝑡 + 2000𝑒 − ⁄250 ) + 𝐶1
Si 𝑡 = 0, 𝑦 = 0
𝐶1 = −8050(250)
𝑡
𝑦 = 8050 (𝑡 + 250 [𝑒 − ⁄2000 − 1])
Para 𝑡 = 5
𝑦 = 400 ft
Ejemplo. Un carro de ferrocarril que pesa 9220 kg y que originalmente está en reposo, comienza a moverse sobre un tramo horizontal de vía, por la acción del viento que sopla en dirección de la
vía. La fuerza del viento se puede expresar como F = 0.72 u2, donde
u es la velocidad relativa del viento con respecto al vagón. La
velocidad absoluta del viento es de 12 m/s. Sabiendo que la resistenv = 12 m/s
cia global al movimiento del carro es de
1/200 de su peso, calcule: a) la velocidad
máxima que puede alcanzar el carro; b) la
distancia que se requiere para que alcance
R = P/200
F = 0.72 u2
una rapidez de 3 m/s.
La velocidad absoluta del carro más su velocidad relativa con respecto
al viento es igual a la velocidad absoluta del viento.
237
Movimiento rectilíneo. Cinética
𝑣 + 𝑢 = 12
𝑢 = 12 − 𝑣
El diagrama de cuerpo libre del carro es
en donde 𝐹 = 0.72 u2
𝐹 = 0.72 (12 − 𝑣)2
9220
y 𝑅=
= 46.1
16.1
F
200
R
Para encontrar la máxima velocidad del
carro, basta igualar con cero la aceleración
N
∑𝐹 = 0
x
0.72 (12 − 𝑣)2 − 46.1 = 0
46.1
(12 − 𝑣)2 =
0.72
12 − 𝑣 = √
𝑣 = 12 − √
46.1
0.72
46.1
0.72
𝑣 = 4 𝑚 ⁄𝑠 →
Calculamos la distancia que requiere para alcanzar los 3 𝑚⁄𝑠, sustituyendo 𝑎 por 𝑑𝑣⁄𝑑𝑥
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎
9220 𝑑𝑣
𝑣
9.81 𝑑𝑥
𝑑𝑣
(12 − 𝑣)2 − 64 = 1305𝑣
𝑑𝑥
𝑣 𝑑𝑣
∫ 𝑑𝑥 = 1305 ∫
(12 − 𝑣)2 − 64
1305
3
4−𝑣
𝑥=
ln[(12 − 𝑣)2 − 64] − (1305) ln (
)+ 𝐶
2
4
20 − 𝑣
Si 𝑥 = 0, 𝑣 = 0 → 𝐶 = 2000 ln 16.1
Para 𝑣 = 3
0.72 (12 − 𝑣)2 − 46.1 =
𝑥 = 186.8 m
238
Movimiento rectilíneo. Cinética
Ejemplo. Un cuerpo de masa m pende de un resorte de constante de rigidez k.
El cuerpo se levanta una altura yo de su
posición de equilibrio y se suelta. Escriba
las ecuaciones del movimiento.
1)
2)
k
k
yo
Como la fuerza es función de la posición necesariamente hemos de
emplear la expresión 𝑎 = 𝑣 𝑑𝑣⁄𝑑𝑦 .
Cuando el cuerpo está en reposo, el resorte ejerce sobre él una fuerza
igual al peso, y en esa posición colocaremos el origen del sistema de referencia.
Cuando y > 0, el resorte está comprimido y la fuerza que ejerce es
igual al peso menos la correspondiente a su deformación. Cuando y sea
negativa, cambiará el sentido de la acción del resorte.
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎
𝑚𝑔 − 𝑘𝑦 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑣
mg - ky
−𝑘𝑦 = 𝑚𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑘
∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
𝑚
𝑘 2 1 2
−
𝑦 = 𝑣 +𝐶
2𝑚
2
Si 𝑦 = 𝑦0 ,𝑣 = 0, que son las condiciones iniciales
𝑘
𝐶=−
𝑦 2
2𝑚 0
𝑘
𝑣 2 = (𝑦0 2 − 𝑦 2 )
𝑚
y
−
mg
𝑘
𝑣 = √ √𝑦0 2 − 𝑦 2
𝑚
239
Movimiento rectilíneo. Cinética
𝑘
Haciendo 𝑝 = √𝑚
𝑣 = 𝑝√𝑦0 2 − 𝑦 2
Volvemos a integrar con respecto al tiempo
𝑑𝑦
= 𝑝√𝑦0 2 − 𝑦 2
𝑑𝑡
𝑑𝑦
∫
= 𝑝 ∫ 𝑑𝑡
√𝑦0 2 − 𝑦 2
𝑦
á𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛
= 𝑝𝑡 + 𝐶2
𝑦0
Si 𝑡 = 0, 𝑦 = 𝑦0
𝜋
á𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛 1 = 𝐶2 =
2
𝑦
𝜋
á𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛 = 𝑝𝑡 +
𝑦0
2
𝑦
𝜋
= sen (𝑝𝑡 + )
𝑦0
2
𝜋
Como 𝑝𝑡 y 𝑝𝑡 + 2 son complementarios
𝜋
sen (𝑝𝑡 + ) = cos 𝑝𝑡
2
𝑦
Por tanto: 𝑦 = cos 𝑝𝑡
0
𝑦 = 𝑦0 cos 𝑝𝑡
Derivando con respecto al tiempo
𝑣 = −𝑝𝑦0 sen 𝑝𝑡
𝑎 = −𝑝2 𝑦0 cos 𝑝𝑡
𝑎 = −𝑝2 𝑦
La corrección de estos resultados se puede comprobar volviendo al
diagrama de cuerpo libre y escribiendo
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎
−𝑘𝑦 = 𝑚𝑎
𝑘
− 𝑦=𝑎
𝑚
−𝑝2 𝑦 = 𝑎
240
Movimiento rectilíneo. Cinética
Las gráficas de este movimiento son las siguientes
El movimiento del ejemplo anterior se llama movimiento armónico
simple. Es un movimiento oscilatorio propio del sonido del musical,
especialmente y de las vibraciones mecánicas libres sin amortiguamiento. Sin pretender agotar el tema, señalaremos algunas de sus características.
Movimiento armónico simple
La definición del movimiento armónico simple es la siguiente: es el
movimiento rectilíneo de la partícula, cuya aceleración es directamente
proporcional a su distancia a la posición de equilibrio, y siempre se dirige
hacia ella.
Simbólicamente, la definición anterior se puede expresar así:
𝑎 = −𝑝2 𝑥
241
Movimiento rectilíneo. Cinética
Amplitud. Es la distancia máxima que la partícula se aleja del origen.
En el caso del ejemplo es yo.
Período (T). Es el tiempo que dura una oscilación completa. O sea, el
tiempo que tarda en volver a su posición inicial. Por tanto,
𝑝𝑇 = 2
2
𝑇=
𝑝
Frecuencia (f). Es el número de oscilaciones por unidad de tiempo.
1
𝑝
𝑓= =
𝑇 2
Ejemplo. Un cuerpo de 4 kg está colgado de un resorte cuya constante de rigidez
es de 80 kg/m. Si el cuerpo se jala hacia
abajo 0.2 m de su posición de equilibrio,
calcule: a) la amplitud del movimiento; b)
su período; c) su frecuencia natural; d) la
velocidad y aceleración máximas que alcanza el cuerpo; e) su posición, a los dos segúndos de haber comenzado el movimiento; f)
la distancia que recorre durante los dos
primeros segundos.
1)
k
2)
k
y = 0.2m
Como se trata de movimiento armónico simple, basta que regresemos
a la expresión que obtuvimos en el ejemplo anterior para contestar la
pregunta.
a) La amplitud es 𝑦0 = 0.2 m
𝑘
b) 𝑝 = √𝑚
Como la constante de rigidez se da en 𝑘𝑔/𝑚, el 𝑘𝑔 es unida de fuerza y la
masa es
𝑚
𝑚=
9.81
80(9.81)
𝑝=√
= 14.01
4
242
Movimiento rectilíneo. Cinética
2
2
=
; 𝑇 = 0.449 s
𝑝
14.01
𝑝
1
c) 𝑓 = 2 = 0.449 ; 𝑓 = 2.23 Hertz
(1 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 = 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜/𝑠)
𝑇=
d) La velocidad y la aceleración máxima corresponde al máximo valor de la función trigonométrica conforme la cual varía, es decir,
1.
𝑣 = 𝑝𝑦0 sen 𝑝𝑡
𝑣𝑚á𝑥 = 𝑝𝑦0 = 14.01 (0.2)
𝑣𝑚á𝑥 = 2.8 m/s ↑↓
𝑎 = −𝑝2 𝑦0 cos 𝑝𝑡
𝑎𝑚á𝑥 = 𝑝2 𝑦0 = (14.012 )0.2
𝑎𝑚á𝑥 = 39.2 m/s2 ↑↓
La velocidad máxima la alcanza en su posición de equilibrio, en donde
la aceleración es nula.
La aceleración máxima corresponde a la máxima deformación del
resorte, en los extremos de la trayectoria.
e) En 𝑡 = 2 , 𝑦 = 0.2 cos[14.01 (2)]
El argumento del ángulo está en radianes y el argumento en grados
sexagesimales es de 165.1
𝑦 = −0.1933
es decir, 𝑦 = 0.1933 m 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜.
f) Como el número de ciclos que ha recorrido en dos segundos es
2𝑓 = 2(2.23) = 4.46
y en cada ciclo recorre 0.2 (4) m, entonces 𝐷 = 4.46(0.8)
𝐷 = 3.57 m
243
Movimiento rectilíneo. Cinética
Conclusión
Antes de terminar este capítulo, insistiremos en el procedimiento para
la resolución de problemas de Cinética de la partícula. En primero lugar,
conviene identificar si el problema comienza por la Cinemática y, mediante las ecuaciones del movimiento, determinar la aceleración de la
partícula en estudio. Una vez conocida la aceleración, o conocidas de
antemano las fuerzas se dibuja un diagrama de cuerpo libre dibujo del
cuerpo aislado y de las fuerzas externas que contenga la información del
problema y sirva como instrumento de trabajo; luego se elige un sistema de
referencia, con un eje en dirección de la velocidad, si no hay razones claras
que aconsejen otra dirección; se escriben las ecuaciones a utilizar, y se le
dan los valores correspondientes. Lo que resta de la solución es un proceso
matemático generalmente sencillo.
Serie de Dinámica
MOVIMIENTO RECTILÍNEO. CINÉTICA
1. En un ascensor en movimiento, se
pesa un cuerpo de 5 kg con una balanza
de resorte. La balanza indica 5.1 kg. Halle la aceleración del ascensor.
(Sol. a=0.1962 m/s2 ↑)
5 kg
2. Los pesos de la polea y de la cuerda
de la figura son despreciables. Sabiendo
que la cuerda es flexible e inextensible y
que no hay ninguna fricción en la polea,
calcule la aceleración del cuerpo B.
(Sol. a = 6.44 ft/s2 ↓)
3. En vez del cuerpo A del problema anterior, se aplica una fuerza de
10 lb en el extremo izquierdo de la cuerda. ¿Cuál será la aceleración del
cuerpo B?
(Sol. a = 10.73 ft/s2 ↓)
244
Movimiento rectilíneo. Cinética
4. Un cuerpo de 20 kg se lanza hacia arriba de un plano inclinado 20º
respecto a la horizontal. Si los coeficientes de fricción estática y cinética
entre el cuerpo y el plano son 0.2 y 0.1, respectivamente, y el cuerpo sube
3 m sobre el plano inclinado antes de detenerse, ¿con qué rapidez original
se lanza?
(Sol. v = 5.07 m/s)
5. El cuerpo del problema anterior, inmediatamente después de detenerse, comienza a bajar. Determine el tiempo que le toma subir y bajar y la
rapidez con que llega al punto de partida.
(Sol. t = 2.75 s; v =3.82 m/s)
6. Los cuerpos A, B y C de la figura
pesan, respectivamente, 50, 30 y 10 kg.
Suponiendo ideales las cuerdas y la polea, determine las tensiones de los tramos
AB y BC de la cuerda.
(Sol. TAB= 37.7 kg; TBC= 9.43kg)
7. Un cuerpo de 10 ton se baja en un
montacargas que aumenta uniformemente su rapidez a razón de 4 m/s2. Determine la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el
montacargas durante el movimiento. Exprese el resultado en kN.
(Sol. F = 58.1 kN ↓ )
8. Una piedra lanzada verticalmente hacia arriba desde una torre de 50
ft de altura tarda 5 s en llegar al suelo. Sabiendo que una vez lanzada, la
piedra queda sujeta a la sola acción de su peso, diga: a) con qué velocidad
fue lanzada; b) qué altura máxima alcanza sobre el suelo; c) con qué
velocidad cae en el suelo.
(Sol. a) 70.5 ft/s ↑; b) 127.2 ft; c) 90.5 ft/s ↓ )
245
Movimiento rectilíneo. Cinética
9. Un camión de 6 ton entra en un
transbordador con una velocidad de 21.6
km/h. El camión se detiene 10 m después
de haber comenzado a frenar. Suponiendo
que el movimiento del camión es uniformemente desacelerado, hallar la tensión
en cada uno de los dos cables que sujetan
el transbordador al muelle.
(Sol. T = 550 kg)
10.aLos coeficientes de fricción estática y cinética entre un contenedor y una
plataforma del ferrocarril son 0.3 y 0.2,
respectivamente. Determine la distancia
mínima que puede emplear el tren en detenerse completamente, si viaja a 72 km/h
y si el contenedor no debe deslizarse. Suponga que es una desaceleración constante.
(Sol. d = 68.0 m)
11. Una vagoneta cargada, que pesa
700 kg, desciende por un funicular inclinado 15º respecto a la horizontal con
una velocidad de 1.6 m/s. Determine la
tensión del cable que lo mueve, tanto durante el movimiento uniforme como durante la parada de la vagoneta, si el
tiempo de frenado es de 4 s, el coeficiente global de resistencia al movimiento es
0.015 del peso, y sabiendo que el movimiento es uniformemente acelerado.
(Sol. 170.7 kg ; 199.2 kg)
246
1.6 m/s
Movimiento rectilíneo. Cinética
12. Un tren sin locomotora pesa 200 ton y, desplazándose con aceleración uniforme sobre una vía horizontal, emplea 60 s en alcanzar 54 km/h,
partiendo del reposo. Determine la tensión del enganchamiento entre la
locomotora y el tren durante ese movimiento, si la resistencia al rodamiento es 0.5 % del peso del tren.
(Sol. T = 6.10 ton)
13. Cierto cuerpo, a causa del impulso que recibe, recorre 24.5 m sobre un plano horizontal rugoso en 5 s y se detiene. ¿Cuál es el coeficiente
de fricción cinética entre el cuerpo y el plano?
(Sol. µk = 0.1998)
14. Una partícula de 1 slug se mueve por la acción de una fuerza
constante F = 3i + 10j – 5k [lb]. La partícula parte del reposo en el punto
(3, 5, –4) [ft]. a) ¿Cuáles serán la posición y la velocidad de la partícula
cuando t = 8 s? b) ¿Cuál será su posición cuando su rapidez sea de 20 ft/s?
(Sol. a) r = 99 i + 325 j – 164 k [ft]; v = 24 i + 80 j – 40 k [ft/s];
b) r = 7.48 i + 19.93 j – 11.46 k [ft])
15. El eje trasero de un automóvil de
carreras puede producir un par de 400
lb·ft. Suponiendo que ese par se mantiene constante, ¿en cuánto tiempo recorrerá el automóvil un cuarto de milla?
¿Con qué velocidad llegará al final de ese
tramo? El automóvil parte del reposo y su
peso, incluido el conductor, es de 1600 lb.
El diámetro de la llanta trasera es de 3 ft.
(Sol. t = 22.2 seg; v = 119.0 ft/s)
16. Se aplica una fuerza Q de 400 N
a una de las cuerdas, como se muestra en
la figura. Despreciando la masa de las
poleas y de las cuerdas, calcule la aceleración del cuerpo de 80 kg. Los coeficientes de fricción estática y cinética son
0.5 y 0.4, respectivamente, entre todas las
superficies en contacto.
(Sol. a = 0.376 m/s2)
247
Movimiento rectilíneo. Cinética
17. El motor de la figura pesa 300 N
y el cuerpo que levanta tiene una aceleración, dirigida hacia arriba, de 2.5 m/s2.
Determine la tensión de la cuerda que jala
al cuerpo de 80 kg y la fuerza de compresión que resiste la barra BC. Desprecie el
peso propio de las barras.
(Sol. T = 985 N; BC = 1960 N)
18. Una fuerza cuya magnitud varía
según la gráfica de la figura, actúa sobre
un cuerpo que pesa un kilogramo. Si el
cuerpo parte del reposo, ¿cuáles serán su
velocidad y su posición a los 30 s de haber comenzado a aplicarse la fuerza?
(Sol. v = 122.6 m/s; s = 3000 m)
F
1 kg
lisa
19. Una pequeña esfera de fierro se
suelta sobre la superficie de un recipiente de aceite. Si la resistencia al movimiento es R = 0.005 v, donde R está expresada
en N y v en m/s, determine la profundidad
h que debe alcanzar la esfera para que su
rapidez sea de 2 m/s. La masa de la esfera
es de 0.5 kg.
(Sol. h = 20.2 cm)
20. Para velocidades pequeñas, la resistencia al movimiento de un tren,
en kg, se determina por la fórmula empírica R = (2.5 + 0.05 v)P, donde P
es el peso del tren expresado en ton y v su velocidad en m/s. Hallar el
tiempo y la distancia que empleará un tren de mina para alcanzar, partiendo
del reposo, una velocidad de 12 km/h sobre un tramo horizontal de vía, si
el peso del tren, incluida la locomotora eléctrica, es de 40 ton y la fuerza
de tracción de la locomotora es de 200 kg. Determine también la fuerza de
tracción de la locomotora durante el movimiento uniforme ulterior.
(Sol. t = 140.7 s; s = 237 m; F = 106.7 kg)
248
Movimiento rectilíneo. Cinética
21. Un barco de 10 000 ton de desplazamiento navega con una velocidad de 16 m/s. La resistencia del agua es directamente proporcional al
cuadrado de la rapidez, y para 1 m/s es igual a 30 ton. ¿Qué distancia recorrerá el barco hasta que su velocidad se reduzca a 4 m/s? ¿Qué tiempo
empleará en ello?
(Sol. s = 47.1 m; t = 6.38 s)
22. Un esquiador desciende a alta
velocidad por un declive de 45º sin empujarse con los bastones. El coeficiente de
rozamiento cinético entre los esquíes y la
nieve es 0.1 y la resistencia del aire al
avance del esquiador es R = kv2, en donde
k es una constante y v es la rapidez del esquiador. Para una velocidad de 1 m/seg la
resistencia del aire equivale a 0.0635 kg.
Calcule el tiempo que se requiere para que
la rapidez del esquiador aumente de 36 a
72 km/h, si su peso propio con los esquíes
es de 90 kg. Diga también cuál será la
velocidad máxima que puede alcanzar el
esquiador, tanto en estas condiciones como si utiliza una cera que reduzca el rozamiento a la mitad.
(Sol. T=2.20 seg; v1= 108.1 km/h;
v2=111.1 km/h)
23. Una cadena de longitud L y de
peso unitario p reposa en el borde de una
superficie rugosa. Mediante una fuerza F
de magnitud constante se jala a otra superficie, lisa, contigua a la anterior. Determine la velocidad con que la cadena
termina de pasar completamente a la superficie lisa.
(Sol. 𝑣 = √2𝑔𝐹/𝑝 − 𝜇𝑔𝐿 )
249
Movimiento rectilíneo. Cinética
24. Dos cargas, P = 0.5 y Q = 0.8 kg
penden de un resorte de 2 kg/m de rigidez. Escriba la ecuación de la posición de
la carga P, en función del tiempo; calcule
la frecuencia del movimiento, su período,
y su frecuencia circular, si se retira súbitamente la carga Q. Para la ecuación, utilice
como origen la posición de equilibrio de
la carga P sola.
(Sol. x = 40 cos 6.26 t [cm];f = 0.997
hertz; T = 1.003 s; ω = 6.26 s-1)
25. Calcule la constante de rigidez de
un resorte equivalente, para cada una de
las configuraciones mostradas en la figura.
[Sol. k = k1 + k2;
k = k1(k2 + k3)/(k1 + k2 + k3)]
26. Una partícula está animada con movimiento armónico simple de 3
hertz de frecuencia y 10 cm de amplitud. Escriba las ecuaciones de su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
(Sol. x = 10 cos 6πt [cm]; v = – 60 π sen 6πt [cm/s];
a = – 360 𝜋 2 cos 6πt [cm/s2] )
27. Un cuerpo que pende de un resorte oscila verticalmente con una
amplitud de 15 in. Si en un segundo recorre cuatro oscilaciones completas, ¿cuáles son su velocidad y aceleración máximas?
(Sol. v max= 377 in/s ; a max =790 ft/s2)
250