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Reglas de derivación
Título: Reglas de derivación. Target: Profesores de Matemáticas. Alumnos que estudian Bachillerato de Ciencias.
Alumnos de primeros cursos de Grados relacionados con las Ciencias (Física, Química, Ingenierías...). Asignatura:
Matemáticas. Autor: Emiliana Oliván Calzada, Licenciada en Matemáticas, Profesora de Matemáticas en Educación
Secundaria.
1. CONCEPTO DE DERIVADA Y FUNCIÓN DERIVADA
Definición: Sea I un intervalo de R no reducido a un punto y a  I . Sea f una función de I en R.
f a  h   f a 
Si el cociente:
, con a  h  I , tiene límite real cuando h  0 , se dice que f es
h
derivable en a .Se denota ese límite por f a  y leeremos derivada de f en a . Es decir,
f a  h   f a 
.
f a   lim
h 0
h
Si f es derivable en todo a  I , diremos que f es derivable en I. En este caso, la función x  f x 
definida en I, recibe el nombre de función derivable de f, y la representaremos por f  .
2. DEMOSTRACIONES DE LAS FÓRMULAS O REGLAS DE DERIVACIÓN
1.- Derivada de la función constante: f x   k con k cte  f x   0
f x  h   f x 
k k 0
f x   lim
 lim
 0
h 0
h

0
h
h
h
2.- Derivada de la función identidad: f x   x  f x   1
f x  h   f x 
xhx h
f x   lim
 lim
 1
h 0
h 0
h
h
h
3.- Derivada de una constante por x: f x   k  x  f x   k
f x  h   f x 
k  x  h   k  x
k h
f x   lim
 lim
 lim
k
h 0
h

0
h

0
h
h
h
4.- Derivada de una cte por una función: yx   k  f x   y x   k  f x 
yx  h   y x 
k  f x  h   k  f x 
k   f x  h   f x 
 lim
 lim

h 0
h 0
h
h
h
f x  h   f x 
 k  lim
 k  f x 
h 0
h
y x   lim
h 0
5.- Derivada de la suma algebraica de dos funciones: yx   f x   g x   y x   f x   g x 
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 f x  h  g x  h   f x   g x  
yx  h   yx 
 lim
h

0
h
h

f x  h   f x   g x  h   g x 
f
x
 h   f x  g x  h   g x 

 lim
 lim 


h 0
h 0
h
h
h


f x  h   f x 
g x  h   g x 
 lim
 lim
 f x   g x 
h 0
h 0
h
h
y x   lim
h 0
Nota: Esto también es válido para una suma de n funciones.
6.- Derivada de un producto de funciones:
a) Producto de dos funciones: y  f x   g x  y   f x   g x   g x   f x 
yx  h   yx 
f x  h   g x  h   f x   g x 
 lim

h 0
h 0
h
h
f x  h   g x  h   f x  h   g x   f x  h   g x   f x   g x 
 lim

h 0
h
f  x  h   g  x  h   g  x   g  x    f  x  h   f  x 
 lim

h 0
h
f  x  h   g  x  h   g  x 
g  x    f  x  h   f  x 
 lim
 lim

h 0
h 0
h
h
g x  h   g x 
f x  h   f x 
 lim f  x  h   lim
 lim g  x   lim

h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
 f  x   g  x   g  x   f  x 
y  x   lim
Otra forma: Utilizando la derivada del logaritmo neperiano y la regla de la función compuesta:
yx   f x   g x  .
Tomando logaritmos neperianos: ln  f  g   ln f  ln g .
Derivando ambos lados de la igualdad:
 f  g 
f g
b)

 f  g 
f  g

   f  g   f  g      f   g  f  g 
f
g
g
 f
Producto de tres funciones: y  f x   g x   hx   y   f x   g x  hx 
y   f x  g x  hx   g x   f x   hx   hx  f x   g x 
y    f x   g x   hx    f x   g x   hx  
  f x   g x   g x   f x   hx    f x   g x   hx  
 f x   g x   hx   g x   f x   hx   hx   f x   g x 
7.- Derivada de un cociente: yx  
f x 
f x   g x   g x   f x 
 y x  
g x 
g x 2
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f x  h  f x 
f x  h   g x   g x  h   f x 

yx  h   yx 
g x  h  g x 
g x  h   g x 
y   lim
 lim
 lim

h 0
h 0
h 0
h
h
h
f x  h   g x   f x   g x   f x   g x   g x  h   f x 
h
 lim

h 0
g x  h   g x 
g  x    f x  h   f  x   f  x   g  x  h   g  x 
h
 lim

h 0
g x  h   g x 
f x  h   f x 
f x  h   f x 
g  x   lim
 f  x   lim
g  x   f  x   f x   g x 
h 0
h 0
h
h


2
g x 
g x 2
k
 k  f x 
 y x  
f x 
 f x 2
f x 
f x 
Si el denominador es constante: yx  
 y x  
k
k
Si el numerador es constante: y x  
8.- Derivada de una potencia: f x   x n  f x   n  x n1
x  h   x n 
f x  h   f x 
 lim
h 0
h 0
h
h
n
n
n
  n   n 1
 
n
   x     x  h     x n  2  h 2       h n  x n
0
1
 2
n
n
f x   lim
 lim
h 0
h

 n 

n
n
h     x n 1     x n  2  h       h n 1 
1
 2
n
   n   x n 1  n  x n 1
 lim 
1
h 0
h
 
9.- Derivada de la raíz n-ésima: f x   n x  x
1
n
 f x  
1
1

n
n x n1
x  h  n  x n 
f x  h   f x 
f x   lim
 f x   lim
h 0
h 0
h
h
1  1
 1  1n  1   1n 1
 n   h n  x 1n
 n  x   n  x

h



 0 
 1 
1 
 
 
 n
 lim

h 0
h
 1   1 1
 1   1 1 
h   n   x n     n   h n 
1 
 1 
 1  1
 n
   n   x  n 1  1  1  1  1
 lim 
 1 
h 0
h
n nn1 n n x n 1
 
x
1
1
Otra forma: y  f x   n x  y n  x
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f
1

o f x   f
1
 f x  

 n x n   x  n 


 
f
 x  x
1 n
n
n
x 
derivando
 x    x   1   x  
n
n 1
n
1
n
10.- Derivada de la función logarítmica:
1
f x   log a x  f x   log a e
x
n
 x
n 1
n
f x   ln x  f x  
xh
log a
log a  x  h   log a x
f x  h   f x 
x 
f x   lim
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h




1
xh
1
h
1
1

 lim  log a
 lim  log a 1    lim  log a 1   
h 0 h
h 0 h
x

h
x  h 0 h



h


1
x
x



h




1 x
1
1
1
1
 lim   log a 1    lim  log a 1     log a e
h 0 x h
x  h 0 x
x


x




h
h


11.- Derivada de la función seno: f x   senx  f x   cos x
sen  x  h   senx
f x  h   f x 
 lim

h

0
h
h
senx  cosh  cos x  senh  senx
senx  cosh  1  cos x  senh
 lim
 lim

h 0
h 0
h
h
cosh  1  cos x  senh   senx  lim cosh  1  cos x  lim senh 

 lim  senx 
h 0
h 0
h 0
h
h 
h
h

 h2
 aplicando equivalenc ias   senx  lim 2  cos x  1 
h 0
h
h
 senx  lim
 cos x  senx  0  cos x  cos x
h 0 2
f  x   lim
h 0
Otra forma: Utilizando otra fórmula trigonométrica:
h

h
2  cos x    sen 
f x  h   f x 
senx  h   senx
2

2 
f x   lim
 lim
 lim
h 0
h

0
h

0
h
h
h
h

h
cos x    sen 
2

 2   lim cos x  h   1  cos x
 lim


h 0
h 0
h
2

2
12.- Derivada de la función coseno: f x   cos x  f x   senx
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f x  h   f x 
cos x  h   cos x
 lim

h

0
h
h
cos x  cosh  senx  senh  cos x
cos x  cosh  1
senx  senh
 lim
 lim
 lim

h 0
h

0
h

0
h
h
h
2
 h2
cosh  1
senh
 cos x  lim
 senx  lim
 cos x  lim 2  senx  1 
h 0
h 0
h 0
h
h
h
 cos x  0  senx   senx
f x   lim
h 0
Otra forma: Utilizando otra fórmula trigonométrica:
h

h
 2  sen x    sen 
f x  h   f x 
cos x  h   cos x
2

2 
f x   lim
 lim
 lim
h 0
h

0
h

0
h
h
h
h

h
 sen x    sen 
2

 2    lim sen x  h    senx
 lim


h 0
h 0
h
2

2
Otra forma: Utilizando la derivada de la función compuesta:
f x   cos x  1  sen 2 x 
f x  
1
2  1  sen x
2
 0  2  senx  cos x  
 2  senx  cos x
  senx
2  cos x
13.- Derivada de la función tangente: f x   tagx 
senx
1
 f x  
 1  tag 2 x
2
cos x
cos x
Derivando un cociente:
cos x  cos x  senx   senx  cos 2 x  sen 2 x
1
f x  


 1  tag 2 x
2
2
2
cos x
cos x
cos x
14.- Derivada de la función inversa:  f
1
  y  

 f x   1


f x 
f  f  y 
1
1
 f
1
f x  h   f x 
y
.
 lim
h 0
x 0 x
h
 y x 
y x

 1 si x, y  0  lim     lim 1  1
Ahora bien:
x 0 x y
x y

 x0
y
x
1
 lim
 1  y x  xy  1  y x 
Entonces: lim
x 0 x x 0 y
xy
y   lim
15.- Derivada de la función exponencial:
f x   a x  f x   a x  ln a f x   e x  f x   e x
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f x   a x

tomando
log aritmos

x   log a a x
x  log a y  log a a x 
derivando
  1  a
x


1
 a x  a x  a x  ln a
 ln a
 
 
Otra forma: f x   y  a x . Tomando logaritmos: log a y  log a a x  x log a a  x . Luego:
x  log a y  xy 
1
 log a e .
y
Aplicando la expresión de la derivada de la función inversa, tenemos:
y x 
1
1
y
y
y




 y  ln a  a x  ln a
1
ln e
1
x y
log a e cambio
de base
 log a e
y
ln a ln a
16.- Derivada de la función arco seno: f x   arcsenx  f x  
y  f x   arcsenx  x  seny
xy  cos y  1  sen 2 y  1  x 2  y  
1
1 x2
1
1 x2
17.- Derivada de la función arco coseno: f x   arccos x  f x  
y  f x   arccos x  x  cos y
x y   seny   1  cos 2 y   1  x 2  y   
1 x2
1
1 x2
18.- Derivada de la función arco tangente: f x   arctagx  f x  
y  f x   arctagx  x  tagy
xy  1  tag 2 y  1  x 2  y  
1
1
1 x2
1
1 x2
19.- Derivada de x elevado a x: f x   x x  f x   x x  1 ln x 
f x   x x . Tomando logaritmos a ambos lados:
ln  f x   ln x x   x  ln x . Ahora derivamos en ambos lados:
1
1
1

 f x   1  ln x  x   f x   f x   1  ln x  x    x x  ln x  1
f x 
x
x

20.- Derivada del seno hiperbólico: f x   shx  f x   chx
f x   shx 
e x  ex 1 x
1
e x  ex
  e  e  x   f x    e x  e  x   1 
 chx
2
2
2
2
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21.- Derivada del coseno hiperbólico: f x   chx  f x   shx
e x  ex 1 x
1
e x  ex
  e  e  x  f x    e x  e  x   1 
 shx
2
2
2
2
shx
22.- Derivada de la tangente hiperbólica: f x   tghx 
 f x   sec h 2 x
chx

f x   chx 



2
 e x  e x   e x  ex

  
2
2
chx  chx  shx  shx ch 2 x  sh 2 x 
 
f x  


2
2
2
ch x
ch x
 e x  e x 


2


e

2x
 
 2  e 2 x  e 2 x  2  e 2 x
e
x

2
 e x

e
2
4
x
2


 
 ex

2
2
1


 x
 2  sec h 2 x
x 
ch x
e e 
23.- Derivada de la cotangente hiperbólica: f x   ctghx  chx  f x    cos ech 2 x
shx
2
 e  e   e x  ex

 
2  
2
shx  shx  chx  chx sh 2 x  ch 2 x 
f x  


2
2
2
sh x
sh x
 e x  ex 


2 

x

e
2x
 
 2  e 2 x  e 2 x  2  e 2 x
e
x
 e x

2

e
4
x
 ex
x
2


 
2

2
2 
1

  x
  2   cos ech 2 x
x 
sh x
e e 
24.- Derivada de la función compuesta: y  f g x 
Si en vez de x tenemos una función, a la que llamamos u, entonces:
y x  yu  u  , es decir f x   f u   u x 
yx  h   yx 
f g x  h   f g x 
 lim

h

0
h
h
f g x  h   f g x  g x  h   g x  
 

g x  h   g x 
h

y   lim
h 0

 lim 
h 0 
f g x  h   f g x 
g x  h   g x 
 lim
 lim
 f g x   g x 
h 0
h 0
g x  h   g x 
h
3. CONCLUSIÓN
Estas demostraciones son interesantes para alumnos o alumnas de 1º Bachillerato cuando se inician
en el conocimiento de la función derivada y en el cálculo de derivadas de diferentes funciones. Así,
cuando los alumnos o alumnas aprenden las conocidas reglas de derivación, son capaces de comprender
la procedencia de todas ellas. ●
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Bibliografía
ANTON, H. Calculus.
GUZMAN, M. y otros. Matemáticas de 3º BUP y Matemáticas I de COU
GAUGHAN, E. Introducción al Análisis.
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