D e re ch o s re g istra d o s © E d ito ria l L o sa - C ristin a O

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Derechos registrados © Editorial Losa - Cristina Ochoviet y Fabián Vitabar
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Capítulo 1. LOS NÚMEROS
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MATEMÁTICA 1
Cristina Ochoviet / Fabián Vitabar
Capítulo 1. LOS NÚMEROS
capítulo 1
LOS NÚMEROS
Los números de las cavernas
La numeración escrita es probablemente tan antigua como la
propiedad privada; nació, indudablemente, del deseo del hombre de
llevar cuenta de sus rebaños y de sus otros bienes. Incisiones sobre
un palo o en un árbol, rayas en las piedras o en las rocas, marcas en
la arcilla; tales son las primeras formas de este ensayo de registrar
los números por medio de símbolos escritos. Las investigaciones
arqueológicas permiten verifican la existencia de estos registros desde
tiempo inmemorial; se los encuentra en las cavernas del hombre
prehistórico, tanto en Europa como en África y en Asia. La numeración
es por lo menos tan antigua como el lenguaje escrito, y hay muchas
razones para pensar que lo precedió.
Extraído de Número. El lenguaje de la ciencia de Tobias Dantzig
Los números y
las regularidades
s
Observa las regularidade
iones
presentes en las expres
es
nt
decimales de las siguie
última
fracciones y completa la
sin realizar cálculos:
1
7...
= 0,14285714285714285
7
2
4...
= 0,28571428571428571
7
3
1...
= 0,42857142857142857
7
4
8...
= 0,57142857142857142
7
5
5...
= 0,71428571428571428
7
6
=
7
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4
5
*
Datos numéricos curiosos
1 gramo de veneno de una
cobra puede matar a 150 pe
rsonas.
1 sola pila puede contamina
r 175 000 litros de agua.
3 bebés por segundo nacen
aproximadamente en el mu
ndo.
3,20 metros es la altura qu
e puede saltar un canguro.
8 ojos tienen las arañas.
9 días puede vivir una cucar
acha sin su cabeza.
69% de los hogares urugua
yos tiene al menos una comp
utadora.
9 gramos pesa un colibrí.
9 veces por minuto late el
corazón de una ballena.
42 dientes tiene un perro, mi
entras que el hombre solo 32
.
50 veces su propio peso es
lo que puede levantar una ho
rmiga.
El poema de un ingeniero
El ingeniero Frederic Massallé Guarné escribió en una tarde de verano este inspirado
poema:
Vas a leer, y jamás desprecia
3 1 4 1 5
9
el rimado ardid, muy fácil memorial,
2 6
5
3
5
8
indicando función diametral
9
7
9
que “pi” –del alfabeto- llamó Grecia
3 2
3
8
4
6
al darnos pura luz, que aparecía
2 6
4 3 3
8
con la fecunda Geometría.
3 2
7
9
Sala de pi del Palais de
la Découverte (París)
Si se hacen cuentas de las letras resulta 3,141592653589793238462643383279 lo cual
permite recordar muchos decimales de pi a través de los versos del poema. ¿Por qué
don Frederic se paró en este punto y dado que estaba de vacaciones no continuó con
los versos? Los siguientes decimales son 0288… y aquí surge el problema del cero,
que ni la poesía logra superar.
Extraído de El club de la hipotenusa de Claudi Alsina
?
¿Podrías inventar un poema que permita –al igual que este– obtener algunas cifras
decimales del número pi? (Ten en cuenta que este poema fue escrito antes de suprimir
la letra “LL” del alfabeto).
6
Capítulo 1. LOS NÚMEROS
LOS NÚMEROS NATURALES
a. Presta atención a las siguientes frases… ¿Observas alguna
particularidad?
Dábale arroz a la zorra el abad
¿Acaso hubo búhos acá?
Eva usaba rímel y le miraba suave
No traces en ese cartón
Yo dono rosas, oro no doy
Yo hago yoga hoy
b. Habrás observado que las frases anteriores se leen igual de
izquierda a derecha, que de derecha a izquierda. Reciben el nombre de
palíndromos.
También trabajaremos con números palíndromos, como por ejemplo:
4004
12321
121
666
9904774099
¿Puedes decir cuántos números palíndromos de dos cifras hay?
c. ¿Y de tres cifras?
d. Escribe un número palíndromo de quince cifras.
Ángel guarda sus billetes de $20 en los libros de la biblioteca. Su
biblioteca tiene siete estantes, en cada estante tiene veintiocho libros, y
en cada libro guarda nueve billetes.
•¿Cuántos billetes de $20 tiene Ángel?
• ¿Le alcanza para comprarse una computadora de última generación?
Considera el número 1 741 725. Eleva cada dígito a la séptima potencia y
suma los resultados.
• ¿Qué número obtienes?
• ¿Sucederá lo mismo con cualquier número de siete cifras?
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Palíndromo viene del griego
palindromos, palabra
formada por palin (de nuevo)
y dromos (pista de carrera),
esto es, carrera en círculos.
Los números naturales
Abre el applet 1.1.
Visualizarás tres números cuya suma es, en cada caso, constante.
También podrás ver el producto de esos tres números para cada caso.
¿Cómo ubicarías los puntos amarillos para que cada producto sea el
mayor posible?
En esta sección trabajamos con números que seguramente te hayan resultado
muy familiares. Son los números que habitualmente utilizamos para contar
objetos: los números naturales.
Para dar respuesta a las situaciones propuestas realizaste diferentes
operaciones con estos números, como por ejemplo la adición, la multiplicación
y la potenciación.
a. Representa en la recta numérica los siguientes números naturales:
2, 3, 4, 5, 13.
01
6
b. ¿Es posible asignarle a todo número natural un punto de la recta?
Explica tu respuesta.
c. ¿A todo punto de la recta le corresponde un número natural?
¿Por qué?
d. ¿Cuál es el menor número natural? ¿Y el mayor?
Como habrás visto a todo número natural le corresponde un punto de la recta
numérica pero hay puntos de dicha recta a los que no les corresponde ningún
número natural.
7
Un señor feudal estaba decidido
a matar a un cuervo que había
hecho su nido en la torre de
su castillo. Repetidas veces
había intentado sorprender al
pájaro, pero en vano: cuando
el hombre se aproximaba, el
cuervo abandonaba su nido,
se colocaba vigilante sobre un
árbol próximo y solo volvía a la
torre cuando el hombre la había
abandonado. Un día el señor
recurrió a una estratagema: dos
hombres entraron en la torre,
el uno quedó dentro y el otro
salió y se fue; pero el pájaro no
se dejó engañar y esperó hasta
que el segundo hubo salido a su
vez. El experimento fue repetido
los días siguientes con dos, tres
y cuatro hombres, pero siempre
sin éxito. Finalmente, cinco
hombres entraron en la torre
y salieron cuatro. Entonces el
pájaro perdió la cuenta, incapaz
de distinguir entre cuatro y
cinco, volvió prontamente a su
nido.
Extraído de Número. El lenguaje
de la ciencia de Tobias Dantzig
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Capítulo 1. LOS NÚMEROS
LOS NÚMEROS ENTEROS
Uruguay posee una base permanente en la Antártida, llamada Base
Científica Antártica Artigas, cuyo cometido es desarrollar diversos
proyectos de investigación científica.
Durante una semana de invierno se registraron las siguientes
temperaturas máximas y mínimas.
3
3
-3
-3
Vie
Sáb
4
4
4
-2
-2
-2
Dom
Lun
Mar
Mínima
3
3
0
1
Mié
Jue
• ¿Qué día se registraron una máxima y una mínima por encima de 0º?
• ¿Cuáles fueron esas temperaturas?
• ¿Qué días se registraron las temperaturas más bajas? ¿Cuáles fueron?
• ¿Y las más altas?
• ¿Hubo algún día en que no se registraron temperaturas por debajo de 0º?
¿Cuándo?
• Entre el sábado y el domingo, ¿se habrá registrado en algún instante
una temperatura de -1º? ¿Y de -5º?
El disco de Secchi se utiliza para medir la visibilidad hacia lo profundo
del mar. Este disco se sumerge con un peso que se le cuelga en el centro
de la cara inferior, y se observa desde la superficie a qué profundidad el
disco desaparece de la vista. Esta visibilidad depende de la altura del sol,
de la claridad del cielo y del color del agua, entre otros factores.
En una investigación realizada se observó que el disco de Secchi se
hacía invisible a -35 metros cuando el mar tenía color azul oscuro; a -27
metros para el color azul; -18 metros para el azul verdoso; -12 metros
para el verde azulado y -9 para el verde, y en aguas que presentaban una
coloración azul intensa, como es el caso de las del Mar de los Sargazos,
el disco se veía, en días transparentes, hasta -66 metros.
• Si esta experiencia se realizara en las costas de Rocha, ¿cuál te parece
que sería la profundidad a la que se dejaría de ver el disco?
• ¿A qué profundidad debería sumergirse un buzo profesional para
asegurarse de no ser visto desde la superficie?
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Máxima
Los números enteros
Abre el applet 1.2.
a. Visualizarás varios números enteros que pueden moverse arrastrando
el punto asociado a cada uno de ellos. Deberás ubicarlos correctamente
en la recta numérica. Recibirás una sorpresa una vez finalizada la tarea.
+3
+1
-8
+7
-5
-4
-1
b. Completa la siguiente tabla utilizando los números enteros que
representaste en la recta numérica.
Números enteros negativos
Números enteros positivos
c. ¿Existen números enteros menores que cero? ¿Cuántos?
d. En la recta numérica ya había algunos números naturales
representados, ¿con cuáles de los números enteros que representaste
coinciden?
En esta sección trabajamos con el conjunto de los números enteros. Estos son
útiles en diversos contextos, por ejemplo: para indicar temperaturas por encima
y por debajo de 0º, para distinguir alturas de profundidades, para expresar
ganancias y pérdidas.
A través de las diferentes actividades, habrás apreciado que podemos distinguir
los números enteros negativos, los números enteros positivos, y el cero (que no
es positivo ni negativo).
9
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Capítulo 1. LOS NÚMEROS
LOS NÚMEROS RACIONALES
En la pizzería “El lugareño” cada pizza al tacho rinde ocho porciones. Un
mozo que atiende el mostrador anota, al final de la jornada, el total de
las ventas para cerrar la caja.
3
8
a. ¿Cuántas porciones de muzzarella se vendieron esa jornada?
b. ¿Qué significa la anotación 15
3
?
8
6
Con aceitunas: 9 8
c. ¿Cuántas porciones en total se vendieron?
4
Pizza común: 10 8
d. Para ese día se habían preparado 40 tachos de prepizza. ¿Cuánto
sobró?
Es habitual que los caños de agua se identifiquen a través de su diámetro
expresado en pulgadas. Por ejemplo, para la instalación de agua de una
casa se utilizan caños de ½. Esto significa que el diámetro interior de
estos caños es de media pulgada.
A continuación te presentamos una regla graduada en pulgadas.
a. ¿Cuánto mide en pulgadas el segmento rojo?
b. En esta imagen puedes ver la sección de tres caños de PVC a tamaño
real. ¿Puedes indicar el diámetro de la sección de cada uno de ellos?
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Muzzarella: 15
Los números racionales
En un restaurante donde se vende comida al peso, se ajustó una
balanza digital para que al colocar sobre ella un plato vacío, indicara
0.000 en el visor.
Al retirar el plato, se observa lo que muestra la fotografía:
a. ¿Cómo interpretas ese número?
b. ¿Qué número aparecerá en el visor si colocamos dos platos
vacíos?
c. ¿Cómo harías para que en el visor apareciera el número -0,494?
Abre el applet 1.3.
Verás varios números racionales que pueden moverse arrastrando el
punto asociado a cada uno de ellos. Tendrás que ubicarlos correctamente
en la recta numérica.
50%
6
3
-0,75
7
4
-2,0
0,5
½
3
2
-1,25
En esta sección trabajamos con el conjunto de los números racionales.
Habrás visto que estos admiten diferentes representaciones (como las
fracciones, los números decimales, los números mixtos y los porcentajes);
la conveniencia de utilizar una u otra depende del contexto.
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Capítulo 1. LOS NÚMEROS
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los hombres de todos los tiempos se han interesado en el número hoy
conocido como pi.
En la Biblia, en el primer libro de los Reyes, se relata la construcción del
templo de Salomón. En un parte se explica cómo se construyó una pileta:
“De bronce fundido, hizo una gran pileta, conocida por el nombre de Mar,
completamente redonda, que tenía 10 codos de borde a borde, y 5 codos
de profundidad, un hilo de 30 codos medía su contorno.” (1Re. 7, 23)
• ¿De qué manera aparece una referencia al número pi en este relato?
El número pi continúa hoy en día siendo motivo de fascinación, incluso hasta
convertirse en el objetivo de científicos y caza récords. Sus infinitas cifras
decimales, que no presentan regularidades, han propiciado la competencia por
estos récords. Esta batalla consiste en presentar una lista con la mayor cantidad
posible de cifras decimales de pi.
Antiguo Egipto:
256
81
La Biblia:
30
10
Arquímedes:
22
7
Fibonacci:
864
274
S. Duchesne:
1521
484
A. Métius:
355
113
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592
30781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460
95505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549
30381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566
92346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488
15209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469
51941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074
46237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664
30860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846
74818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178
72146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212
90219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499
51059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261
93118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349
04287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130
019278766111959092164201989
El japonés Kondo pudo obtener este récord gracias a la potencia de las
computadoras. Las distintas civilizaciones a lo largo de la historia, han
utilizando herramientas matemáticas propias de su cultura, y se han interesado
por hallar aproximaciones racionales para el número pi. Al margen te
ofrecemos algunos ejemplos.
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El actual Récord Guiness de cantidad de cifras decimales de pi, lo tiene el japonés
Shigeru Kondo, que aportó un lista con cinco billones de cifras decimales.
A continuación te presentamos mil cifras decimales de pi:
Los números irracionales
a. Dividiendo numerador entre denominador de una fracción obtenemos
la expresión decimal de cada número racional. Por ejemplo, para hallar
256
la expresión decimal de
dividimos 256 entre 81:
81
256
= 3,1604938271604938271604...
81
Si observas con atención verás que la secuencia de números 160493827
se repite infinitas veces, y se llama período. Usualmente se escribe una
sola vez el período, y se coloca sobre él un arco para indicar que este es
el bloque de cifras que se repite.
256
= 3,160493827
81
En el caso de la aproximación bíblica, al dividir 30 entre 10 obtenemos 3,

30
que bien puede escribirse como = 3,0 , es decir, una expresión decimal
10
de período 0. Es así que todo número racional admite una expresión
decimal periódica; este período puede ser inclusive 0.
• ¿Cuántas cifras decimales correctas de pi nos permiten obtener las
fracciones de las aproximaciones bíblica y del antiguo Egipto?
b. Usando una computadora, halla la expresión decimal de cada una de
las restantes aproximaciones propuestas en la página anterior, e indica
en cada caso cuántas cifras decimales de pi aporta cada una.
c. ¿Cuál te parece que es la mejor aproximación?
d. Con la ayuda de una computadora muy potente, ¿será posible
encontrar una fracción que nos permita obtener las infinitas cifras
decimales de pi? ¿Por qué?
Como habrás visto, la expresión decimal de un número racional presenta
regularidades: es periódica. Mientras que la expresión decimal de pi no presenta
ninguna regularidad, no se trata de una expresión decimal periódica. Los
números que tienen esta última característica reciben el nombre de números
irracionales.
Investiga en internet acerca de otros números irracionales famosos.
• ¿A qué deben su fama?
13
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Capítulo 1. LOS NÚMEROS
LOS NÚMEROS REALES
En esta actividad trabajaremos con todos los números que conocemos, y que
hemos abordado en las secciones anteriores.
Se va a jugar el “Clásico de los números”, y para ello los números reales
se separan en dos cuadros: el de los números Racionales (Q) y el de
los números Irracionales (I). Todos los números son muy fanáticos y
pertenecen a uno u otro cuadro
Q
I
0,12345678910111213...
−8
−
1
4
3,14
¡Adiós,
tres catorce!
2
4
16
7
−
2
3
4
11
7

12,537
a. ¿Por qué
5
3
y 3,14 juegan en distinto cuadro?
b. ¿Por qué 0,12345678910111213… juega en el cuadro de los números
irracionales?
c. ¿En qué cuadro juegan
22
7
, − 9 y el número de oro?
d. Presenta tres nuevos ejemplos de números que jueguen en cada uno
de los cuadros.
e. ¿Cuántos números fanáticos tiene cada cuadro?
Al unir el conjunto de los números Racionales con el conjunto de los números
Irracionales, obtenemos el conjunto de los números Reales. De esta manera,
en el conjunto de los números Reales están todos los números que conocemos.
Los números Naturales y los números Enteros son números Racionales, y por
lo tanto, son también números Reales.
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− 3
Los números reales
Vemos en el siguiente diagrama una síntesis de cómo se relacionan los
conjuntos numéricos:
Conjunto de los Números REALES (R)
Conjunto de los
Números RACIONALES (Q)
Conjunto de los
Números IRRACIONALES (I)
Conjunto de los
Números ENTEROS (Z)
Conjunto de
los Números
NATURALES (N)
A continuación te presentamos los afiches de varias películas en las que se han
utilizado números para darles título. Investiga y explica qué relación guarda
cada número con el argumento de la película.
8 ½. Federico Fellini/ Cineriz
-Francinex
50/50. Jonathan Levine/Summit
Entertainment
300. Zack Zinder/Warner Bros.
Pictures
2012. Roland Emmerich/Columbia
Pictures
10000 BC. Roland Emmerich/arner
Bros. Pictures
1984. Michael Radford/MGM
. Darren Aronofsky/Harvest Film
Works Truth & Soul
127 horas. Danny Boyle/Fox
Searchlight Pictures
15
16
Capítulo 1. LOS NÚMEROS
DESAFÍOS
En una caja hay una bolita. Si, una vez por día,
coloco en la caja el mismo número de bolitas
que hay en ella, demoro veinte días para llenar
la caja. ¿Cuántos días me lleva llenar la caja
por la mitad?
En el depósito de un supermercado hay tres
cajas. Una solo tiene manzanas, otra solo peras,
y la restante tiene manzanas y peras. Ninguna
de las cajas está etiquetada correctamente.
¿Cuál es el menor número de frutas que
tendré que sacar de las cajas para poder
colocar las etiquetas correctamente?
En la figura se han separado los cuatro nombres
utilizando tres segmentos. ¿Puedes separar
los cuatro nombres usando solamente dos
segmentos de recta?
G
U
Z
M
A
N
M
A
N
U
E
L
M
A
R
C
E
L
C
E
L
I
N
A
Sin levantar el lápiz del papel, ¿puedes pasar
por todos los puntos dibujando solo cuatro
trazos rectos?
Capítulo 1. LOS NÚMEROS
17
ACTIVIDADES
Belle Époque
Durazno: water de US$ 700.000 y sillón con flores de oro
Belle Époque. Casa del doctor Emilio Penza
DURAZNO | VÍCTOR RODRÍGUEZ
En Durazno hay un inodoro valuado en US$
700.000. Fabricado en 1887 en Francia, el
médico Emilio Penza lo trajo a Uruguay. Al
finalizar sus estudios en Italia hizo construir una
majestuosa residencia estilo Belle Époque, a
fines del siglo XIX.
El anuncio de la existencia del inodoro lo hizo el
intendente de Durazno, Carmelo Vidalín, en los
actos centrales por la Jura de la Constitución en
el museo histórico Casa de Rivera.
Sólo hay tres inodoros en el mundo como el que
está en Durazno (los otros en Europa).
La pieza está ubicada desde hace 121 años
en el mismo lugar: el baño principal de la
residencia que perteneciera al médico, una
casa de enormes proporciones y finísimas
terminaciones, en pleno centro de la ciudad.
Años atrás, la casa fue adquirida por la
Intendencia de Durazno en US$ 80.000; una cifra
casi 10 veces menor que el valor del famoso
artefacto.
Pintado a mano, exhibe en su parte exterior
e interior finos diseños de color azul oscuro,
1. ¿Cuántos inodoros de la mejor calidad en
plaza pueden comprarse con el valor de este
famoso inodoro?
2. ¿Cuántos autos BMW convertibles se
podrían comprar?
3. ¿Qué comodidades tendría una casa en la
playa de ese monto?
coloreados con tinta china de calamar y
esmaltado con aceite de ballena, dijo a El País el
restaurador, Enrique Costa, que se encargó de la
investigación.
En un principio, la Intendencia manejó la
posibilidad de trasladarlo a otro sitio para
ponerlo a la vista pública, dijo la directora de
Cultura, Susana Flores. Sin embargo, pese a
haberse anunciado el alto valor de la tasación,
las autoridades mantendrán el inodoro en su
lugar de origen para que sea visitado por el
público una vez que se habilite la restauración
de la Casa de Penza.
LA TASACIÓN. Costa -oriundo de Punta del
Este- es un calificado profesional que, entre
otros trabajos, participó en la restauración del
Teatro Solís.
El restaurador aseguró que el valor asignado
al inodoro “no es un capricho o una evaluación
propia”. Ese precio surge de la bienal de París,
donde “en la comunidad de museos de Louvre
hay piezas que -si se consiguen - ya tienen
su precio. Está la foto del water y lo que sale
la pieza, está catalogado en 500.000 euros”,
resaltó.
Extraído de El País Digital (23/7/08)
4. ¿Cuántos televisores de plasma se podrían
comprar?
5. Si se mantiene el precio de este costoso
inodoro, ¿cuántos pesos deberías ahorrar por
día para poder comprarlo al cabo de diez años?