Aplicación de Valores y Vectores Propios a la

Aplicación de Valores y Vectores Propios
a la Geometrı́a Analı́tica
Aplicación de Valores y Vectores Propios
a las Cuádricas
La ecuación general de una cuádrica es de la forma:
ax2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0
(1)
donde a, b, · · · , i son números reales, y por lo menos uno de los coeficientes a, b,
c, d, e o f es diferente de cero. Una ecuación de esta forma se denomina ecuación
cuadrática en x, y, z.
La expresión
ax2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz
(2)
se llama forma cuadrática asociada con la ecuación (1)
La ecuación (1) se puede expresar en forma matricial como figura en 1 y 2.

  
 
a
d
e
x
x
x y z ·  d b f  ·  y  + g h i ·  y  + [j] = [0]
(1)
e f c
z
z
XT · A · X + K · X + F = θ


 
a d e
x



donde A = d b f , X = y  , K = g h i
y
e f c
z
(2)
F = [j].
La matriz A se llama matriz de la forma cuadrática.
A es una matriz simétrica, es decir AT = A, este hecho es de gran importancia
para el trabajo de reducción que luego se llevará a cabo.
Los conjuntos de soluciones de las ecuaciones cuadráticas en IR3 si no son vacı́os,
son en general cuádricas de ecuaciones no canónicas. Los ejes de simetrı́a de estas
cuádricas no coinciden con los ejes del sistema de coordenadas determinado por
la base canónica, y el centro de simetrı́a, cuando existe, no siempre coincide con
el origen de coordenadas. Por esta razón no resulta fácil identificar qué cuádrica
representa una ecuación cuadrática determinada.
La presencia de términos que contienen los productos x · y , x · z o y · z en la
ecuación cuadrática, indica que hay rotación con respecto al sistema de coordenadas
determinado por la base canónica.
Además, si en la ecuación aparecen a la vez un término cuadrático y un término lineal en cualquiera de las tres variables (x2, x ó y 2, y o z 2 , z), la cuádrica
está trasladada.
Una técnica para reconocer geométricamente una cuádrica de ecuación no canónica
consiste en construir un nuevo sistema de coordenadas, en el que la ecuación de la
cuádrica está en su forma canónica.
Para la rotación se empleará el concepto de matriz de cambio de base como se
vió en el capı́tulo de Espacios Vectoriales. Para la traslación del origen, cuando
exista se definirá una traslación como se vio en el capı́tulo de Transformaciones
Lineales.
Ejemplo 2
Encontrar la forma canónica de la ecuación de la cuádrica:
J = {(x, y, z) | 2x2 + 2y 2 − 4yz + 2z 2 − y − z = 0}
El procedimiento para obtener la ecuación canónica de la superficie es similar
al seguido para las cónicas.
A continuación se presenta el prodediemiento a seguir.
1. Expresamos la cuádrica en forma matricial:



  
 
2
0
0
x
x








2 −2 · y + 0 −1 −1 · y = [0]
J = (x, y, z) | x y z · 0


0 −2
2
z
z


2
0
0
2 −2  es la matriz de la forma cuadrática
A= 0
0 −2
2
2. Encontramos la matriz P que diagonaliza ortogonalmete a la matriz A.
La matriz A tiene por valores propios a t1 = 2, t2 = 0, y t3 = 4
y los respectivos subespacios propios son:






 




 1 


St1 = SG  0  = SG[β1 ] , St2 = SG 





0








0








1 
√ 
= SG[β2]
2 





1 


√
2


0

















1 


 −√ 
y St3 = SG 
= SG[β3]
2 












 1 






√
2
β = β1 ∪ β2 ∪ β3 es una base ortonormal de M2×1 ,


1 0
0




1
1


√
√
0
−


la matriz que diagonaliza
luego se puede construir P = 
2
2 





1
1 
√
0 √
2
2
ortogonalmente la matriz A.
3. Definimos la rotación de coordenadas
La matriz P hallada es tal que det(P ) = 1, lo que implica que P es una matriz
de rotación.
1 1
1 1
base
Ahora si consideramos α = (1, 0, 0), 0, √ , √ , 0, − √ , √
2 2
2 2
ortonormal de IR3 , se verifica que P es la matriz de cambio de la base α a la
base canónica C de IR3 .
¿Esto qué quiere decir?
 
 0 
x
x
0



Si X = y = [(x, y, z)]C y X = y 0  = [(x0, y 0, z 0 )]α , entonces
z
z0
[(x, y, z)]C = P · [(x0, y 0, z 0)]α, esto es
X = P · X0
Además la base α determina el nuevo sistema de ejes x0 , y 0 , z 0
4. Formulamos la matriz D diagonal semenjante a la matriz A.
La matriz diagonal semejante a la matriz A que se corresponde con la matriz
P anterior es :


2 0 0
D= 0 0 0 
0 0 4
5. Hallamos la expresión de L en el sistema de ejes x0, y 0 , z 0
J =
=
=
=
J =
(P X 0 )T · A · (P X 0 ) + K · (P X 0 ) = θ}
X 0 T · (P T · A · P ) · X 0 + (KP ) · X 0 = θ}
0
X 0T · D · X 0 + K

 = θ}   0 
 0 
2 0 0
x
x

0 0 0 √
0 
0 




x y z · 0 0 0 · y
+ 0 − 2 0 · y
= [0]

z0
0 0 4
z0
√
{(x0, y 0) / 2x0 2 + 4z 02 − 2y 0 = 0}
{(x0, y 0, z 0 ) /
{(x0, y 0, z 0 ) /
0 0 0
{(x
 ,y ,z ) /

(x0, y 0 , z 0)|

Ası́ podemos decir que J es un paraboloide elı́ptico de ecuación canónica
en el sistema de coordenadas cuyos ejes son x0 , y 0 , z 0.
Ingresa a la Figura 3 para apreciar gráficamente lo hallado analı́ticamente.