Mecánica Analıtica Curso 2010 Práctico 12: Medios Continuos 1. (a

Mecánica Analı́tica
Curso 2010
Práctico 12: Medios Continuos
1. (a) Las vibraciones transversales de una cuerda estirada pueden ser aproximadas por un
sistema discreto consistente en masas equidistantes localizadas en un hilo de masa despreciable. La energı́a potencial se puede calcular a partir trabajo realizado por la tensión
al estirar la cuerda. Muestre que si la distancia entre las masas tiende a cero, el Lagrangiano tiende a
2 #
Z "
∂η
1
2
dx
µη̇ − T
L=
2
∂x
donde T es la tensión aplicada. ¿Cuál es la ecuación de movimiento si la densidad µ
depende de la posición?
(b) Obtenga el Lagrangiano para la cuerda contı́nua a partir de la energı́a cinética y potencial correspondiente al movimiento transversal (sin hacer el lı́mite discreto).
2. Muestre que si ψ y ψ ∗ son consideradas variables escalares independientes, la densidad Lagrangiana
h
h2
∇ψ · ∇ψ ∗ + V ψψ ∗ +
(ψ ∗ ψ̇ − ψ ψ̇ ∗ )
L=
8π 2 m
4πi
conduce a la ecuación de Schrödinger
−
h2
ih ∂ψ
∇2 ψ + V ψ =
2
8π m
2π ∂t
y a su compleja conjugada. ¿Cuáles son los momentos canónicos? Obtenga la densidad
Hamiltoniana H correspondiente a L.
3. Supongamos que la densidad Lagrangiana en el principio de Hamilton es una función de
derivadas de mayor orden de las variables ηρ
L = L(ηρ , ηρ,µ , ηρ,µν , xλ ).
Asumiendo que las variaciones se anulan en los extremos, obtenga las ecuaciones de movimiento correspondientes.
4. Muestre que la ecuación Korteweg–de Vries (KdV)
∂φ
∂φ
∂3φ
+ αφ
+ν 3 =0
∂t
∂x
∂x
se puede obtener partiendo de un campo escalar ψ con densidad Lagrangiana
L=
1
α
ν 2
ψx ψt + ψx3 − ψxx
,
2
6
2
donde los subı́ndices indican derivadas respecto a la variable correspondiente con la condición
que la variable ψ sea un potencial de φ
φ=
1
∂ψ
.
∂x