Grupos de Lie – Parcial 1

Grupos de Lie – Parcial 1
Septiembre 19 de 2007
1. Grupos de Lie Locales. Considere el conjunto L = {x ∈ R : | x |< 1}. Demuestre que las
operaciones
x
2xy − x − y
,
ι(x) =
µ(x, y) =
xy − 1
2x − 1
dan estructura de grupo de Lie local a L, pero que éste no es un grupo de Lie global. Muestre
que el álgebra de Lie de L (cuya dimensión es 1) está generada por el campo vectorial invariante
∂
a derecha a(x) ∂x
, donde
∂µ
(0, x) = (x − 1)2 .
a(x) =
∂x
Demuestre que la aplicación Φ : (−∞, 1) ⊂ R → Lo ⊂ L dada por
Φ(t) =
t
t−1
es un homomorfismo (local) de grupos de Lie y calcule la imagen bajo tal homomorfismo del
∂
campo vectorial (invariante a derecha) ∂t
sobre R.
2. Grupos de Lie Matriciales. Considere a Rn como álgebra de Lie, el grupo de Lie GL(n) y su
2
álgebra de Lie gl(n) = L(Rn , Rn ) ∼
= Rn .
(i) Sea ~a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn un vector constante. Muestre que la imagen bajo la aplicación
exponencial del campo vectorial constante
X~a =
n
X
ai
i,j=1
∂
,
∂xi
donde xi denotan las coordenadas en Rn , es la traslación en dirección de ~a:
exp(tX~a )(~x) = ~x + t~a.
(ii) Sean xij las coordenadas de un punto X ∈ GL(n) y considere el vector XA =
como vector tangente a la identidad I ∈ GL(n), es decir,
2
XA (I) =
n
X
i=1
aij
∂
|I .
∂xij
P
aij ∂x∂ij
Demuestre que el campo vectorial invariante a derecha asociado a XA en GL(n) está dado
por
n X
n
X
∂
,
(1)
XA (X) =
aik xkj
∂xij
i,j=1
k=1
donde xij denotan las coordenadas de la matriz X ∈ GL(n).
(iii) Demuestre que
[XA , XB ] = X[A,B] .
(iv) Muestre que la imagen bajo la aplicación exponencial del campo vectorial lineal (1), donde
A ∈ gl(n), es la exponencial usual:
exp(tXA )(~x) = etA (~x) = ~x + tA~x +
t2 2
A ~x + · · · .
2
3. El Toro. Considere el toro T 2 = S 1 × S 1 con multiplicación
(θ, ρ) · (θ0 , ρ0 ) = (θ + θ0 , ρ + ρ0 ) (mod 2π).
(i) Muestre que el álgebra de Lie de T 2 está generada por los campos vectoriales
que satisfacen
∂ ∂
,
= 0.
∂θ ∂ρ
n
∂
∂
∂θ , ∂ρ
o
(ii) Considere el campo vectorial
Xr =
∂
∂
+r ,
∂θ
∂ρ
con r ∈ R. Muestre que el subgrupo a un parámetro definido por el flujo de Xr es
Hr = exp(tXr )(0, 0) = (t, rt) (mod 2π).
(iii) Muestre que si r ∈ Q el subgrupo Hr es cerrado e isomorfo a S 1 .
(iv) Muestre que si r ∈
/ Q, el subgrupo Hr es denso e isomorfo a R.
4. Álgebras de Lie de campos vectoriales sobre R. Considere la recta real R, cuya única coordenada
será denotada x.
∂
(i) Sea a1 el álgebra de Lie sobre R generada por el campo vecrorial X1 = ∂x
. Muestre que
el grupo a un parámetro generado por tal campo vectorial actua sobre R por traslaciones:
x 7→ exp(tX1 )(x) = x + t.
2
∂
∂
(ii) Sea a2 el álgebra de Lie sobre R generada por los campos vecroriales X1 = ∂x
y X2 = x ∂x
.
Muestre que el grupo a un parámetro generado por X2 actua sobre R por dilataciones:
x 7→ exp(tX2 )(x) =
Muestre
que
a2 es isomorfa al álgebra de Lie de matrices
λ(t) x. 1 0
0 1
2 × 2 generada por
,
. Finalmente, muestre que tal álgebra de Lie
0 0
0 0
α β
genera el grupo de Lie de matrices triangulares superiores de la forma
, con
0 1
α > 0 y, por lo tanto, la consecuente acción sobre R –por aplicación exponencial– es el
grupo de transformaciones afines de la forma x 7→ αx + β.
∂
∂
, X2 = x ∂x
(iii) Sea a3 el álgebra de Lie sobre R generada por los campos vecroriales X1 = ∂x
∂
y X3 = x2 ∂x
. Muestre que el grupo a un parámetro generado por X3 actua sobre R por
x
inversiones: x 7→ exp(tX3 )(x) = 1−tx
, para | t |< x1 . Muestre que a3 es isomorfa al álgebra
de Lie sl(2) y, por lo tanto, existe una acción sobre R del grupo de transformaciones
proyectivas de la forma
αx + β
x 7→
,
γx + δ
α β
donde
∈ SL(2).
γ δ
Nota: S. Lie probó que, salvo difeomorfismos, las únicas tres álgebras de Lie (de dimensión
finita) de campos vectoriales sobre R son a1 , a2 y a3 .
5. Subgrupos no cerrados de GL(n). Sea r ∈
/ Q y considere la aplicación Φr : R → GL(4) dada
por


cos t − sin t
0
0

 sin t cos t
0
0
.
Φr (t) = 
 0
0
cos rt − sin rt 
0
0
sin rt cos rt
(i) Pruebe que Φr es un homomorfismo y que es una inmersión inyectiva, luego su imagen
es unh subgrupo de Lie Gr ⊂ GL(4).
(ii) Muestre que Gr ∼
= S 1 × S 1 y concluya que Gr no es cerrado.
6. Forma de Killing. Sea g un álgebra de Lie de dimensión finita. Considere la forma bilineal
k :g×g→R
definida por
k(ξ, η) = tr(adξ adη )
ξ, η ∈ g.
(i) Muestre que k es simétrica y que, si g = Lie(G), entonces es Ad-equivariante, es decir
k(Adg ξ, Adg η) = k(ξ, η)
3
∀g ∈ G, ξ, η ∈ g.
(ii) Muestre que, para ξ, η, ζ ∈ g,
k([ξ, η], ζ) = −k(η, [ξ, ζ]).
(iii) Si llamamos semisimple a un álgebra de Lie tal que k es no degenerada, pruebe que so(3)
es semisimple.
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