Estructuras Algebraicas

Matemáticas Discretas
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Estructuras Algebraicas
Estructuras Algebraicas
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
V Estructuras algebraicas
5.1 Matrices
5.2 Estructuras algebraicas
5.3 Álgebra Booleana
Conocer, estableces y manejar matrices
Conocer y aprender los tipos de matrices
• Renglón / Columna
• Cuadrada
• Diagonal / Triangular
• Transpuesta / Simétrica
Conocer, aprender y aplicar las operaciones de matrices
• Suma / Multiplicación
• Transposición
• Determinantes
• Obtención de
o Matriz de Cofactores
o Matriz Adjunta
o Matriz Inversa
Entender, conocer y aplicar las diferentes estructuras algebraicas:
• Grupos
• Anillos
• Cuerpos (campos)
• Subgrupos, semigrupos y monoides
• Látices
Entender, conocer y aplicar
• Las leyes del álgebra booleana
• Las operaciones del álgebra booleana
A partir de una función booleana generar la forma normal
conjuntiva y disyuntiva.
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5.1 Matrices
Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas
⎡a1,1
⎢
⎢a 2,1
⎢a
A = ⎢ 3,1
⎢.
⎢
⎢.
⎢⎣a m ,1
Nombre de la
matriz
se representa con
letras mayúsculas
ai , j
⎤
⎥
a 2, 2 a 2,3 ......a 2,n ⎥
a3, 2 a3,3 ......a3,n ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
a m , 2 a m ,3 ......a m ,n ⎥⎦ mxn
a1, 2 a1,3 ......a1,n
Orden de la matriz
Número de renglones por
número de columnas.
m número de renglones
n número de columnas
Elemento: puede ser real,
complejo, función, objeto,
etc.
columna
renglón
Tipos de matrices
•
Matrices iguales: dos matrices son iguales si y sólo si todos sus elementos
son iguales. ai , j = bi , j ∀ i, j (cada elemento debe tener la misma posición.
⎡2 3 5⎤
A=⎢
⎥
⎣4 1 6 ⎦
A=B
B=A
A≠C
⎡ 2 3 5⎤
B=⎢
⎥
⎣4 1 6 ⎦
B≠C
•
Matriz renglón: uno solo renglón. A = [1 2 3]1x 3
•
⎡1 ⎤
Matriz Columna: una sola columna. A = ⎢⎢2⎥⎥
⎢⎣3 ⎥⎦ 3 x1
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⎡4 1 6 ⎤
C=⎢
⎥
⎣ 2 3 5⎦
Vectores
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•
Matriz cuadrada: cuando el número de renglones es igual al número de
columnas.
•
⎡a1,1 a1, 2 a1,3
⎢
A = ⎢a 2,1 a 2, 2 a 2,3
⎢a a a
⎣ 3,1 3, 2 3,3
Diagonal principal: en una matriz cuadrada, son los elementos
cuando i = j.
•
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ 3x3
⎡a1,1 a1, 2 a1,3
⎢
A = ⎢a 2,1 a 2, 2 a 2,3
⎢a a a
⎣ 3,1 3, 2 3,3
ai , j
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ 3x3
Matríz diagonal: cuando todos los elementos son cero a escepción de la
⎡a1,1 0 0 ⎤ i = j → ai , j ≠ 0
diagonal princiapal.
⎢
⎥
A = ⎢0 a 2 , 2 0 ⎥ i ≠ j → a = 0
i, j
⎢0 0 a
⎥
3, 3 ⎦ 3 x 3
⎣
•
Matriz identidad: cuando los elementos de la diagonal principal son unos
y los elementos restantes son cero.
•
⎡1 0 0 ⎤
I = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ 3 x 3
Matríz tringular superior: Todos los elementos a partir de la diagonal
⎡a1,1 a1, 2 a1,3
⎢
U = ⎢0 a 2 , 2 a 2 , 3
⎢0 0
a 3, 3
⎣
principal y hacia arriba son diferente de cero.
•
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ 3x3
Matríz triangular inferior: Todos los elementos a partir de la diagonal
principal y hacia abajo son diferente de cero.
⎡a1,1
⎢
L = ⎢a 2,1
⎢a
⎣ 3,1
0
0
a 2, 2
0
a 3, 2
a 3, 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ 3 x3
•
Matríz transpuesta: cuando los renglones pasan a ser columnas.
⎡1 3 ⎤
⎡1 2 ⎤
A = ⎢ ⎥ At = ⎢ ⎥
⎣2 4⎦
⎣3 4⎦
•
Matríz simétrica: cuando la transpuesta es igual a la original. A = At
Ejemplo:
•
⎡1 0 0 ⎤
I = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ 3 x 3
Matríz de Menores: el ij-ésimo Menor M i , j de una matriz A n x n es de la
matriz (n-1) x (n-1) que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j de
A.
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Operaciones con matrices
C = A+ B
• Suma de matrices:
donde A y B son del mismo orden m x n
ci , j = ai , j + bi , j
B = cA
• Multiplicación de escalar por matriz:
bi , j = cai , j
•
Propiedades de la adición
⎡0 0 0 ⎤
0 = matriz cero 0 = ⎢⎢0 0 0⎥⎥
⎢⎣0 0 0⎥⎦
•
Identidad aditiva: A + 0 = A
•
Conmutativa : A + B = B + A
•
Asociativa: A + (B + C ) = ( A + B ) + C
c( A + B ) = cA + cB
•
Distributiva: (c + d )A = cA + dA donde c y d son escalares
cdA = c(dA)
•
Multiplicativa:
•
Propiedades de la transpuesta
•
1A = A
0A = 0
(A ) = A
t t
•
(cA)t = cAt
( A + B )t = At + B t
•
Multiplicación de matrices:
•
Si
A = [1 2 3]
Amxr Brxn = Cmxn
⎡ 4⎤
AB = [1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6]
y B = ⎢⎢5 ⎥⎥ entonces
AB = [32]
⎢⎣6 ⎥⎦
En general: A mxr
B rxn
r
AB = Cmxn donde
Ci , j = ∑ ai , k bk , j
∀i = 1, m
j = 1, n
k =1
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Ejemplo:
⎡4 − 1⎤
A=⎢
⎥
⎣0 5 ⎦ 2 x 2
⎡1 8 0⎤
B=⎢
⎥
⎣6 − 2 3 ⎦ 2 x 3
⎡(4)(1) + (−1)(6)
AB = ⎢
⎣(0)(1) + (5)(6)
(4)(8) + (− 1)(− 2) (4)(0) + (− 1)(3)⎤
(6)(8) + (5)(− 2) (0)(0) + (5)(3) ⎥⎦
⎡− 2 34 − 3⎤
AB = ⎢
⎥
⎣30 − 10 15 ⎦
•
⎡a b ⎤
Determinantes: A = ⎢
⎥
⎣c d ⎦
⎡a1,1 a1, 2 a1,3
⎢
A = ⎢a2,1 a2, 2 a2,3
⎢a a a
⎣ 3,1 3, 2 3,3
det( A) = ad − bc
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ 3 x3
det( A) = a1,1a2, 2 a3,3 + a1, 2 a2,3a3,1 + a1,3a2,1a3, 2 − a1,3a2, 2 a3,1 − a2,3a3, 2 a1,1 − a3,3a2,1a1, 2
En general:
Si A =a i , j es de n × n
n > 1 entonces
det ( A) = a1,1 det( M 1,1 ) − a 2,1 det( M 2,1 ) + .... + (−1) j +1 a j ,1 det( M j ,1 ) + .... + (−1) n +1 a n ,1 det( M n ,1 )
[
]
•
Matriz de cofactores: cof ( A) = (− 1) det( M ) en donde M es la matriz
que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j de la matriz A y genera
la matriz de menores (M).
•
Matriz adjunta: es la matriz transpuesta de la matriz de cofactores:
adj ( A) = (cof ( A))t
•
INVERSA DE UNA MATRIZ:
ƒ B es inversa de A si AB = BA = I
ƒ B = A-1 inversa.
ƒ AA-1 =I
ƒ propiedad: (AB)-1= B-1 A-1
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