En matemáticas

Leroy silva navarro
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una
ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por
ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación
donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es
algebraica es denominada una función trascendente.
Función racional
Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:
dominio
El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y
sólo un elemento de un conjunto Y.
Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina
también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable
independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.
El conjunto Y recibe el nombre de Contra dominio o Rango de la función y son los
valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se
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grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y =
f (x)
Resulta sumamente práctico tener siempre en cuenta la definición de función, los
conceptos de valores de entrada y de salida
Contradominio de una función: El conjunto de todos los valores resultantes de la
variable dependiente “y”. Otros nombres para éste son: recorrido (poco empleado
en cálculo); ámbito (termino muy reciente para este concepto); imagen (muy
utilizado en álgebra y teoría de conjuntos); y rango (muy empleado en cálculo).
Tabulacion y Graficacion de funciones
Los conceptos matemáticos son ideas intangibles que solamente existen en la
mente humana,
no pueden ser captadas por los sentidos, por lo que deben ser representadas de
alguna forma. En
particular, una función puede ser representada con una simbología algebraica.
Ambas representaciones, la algebraica y la gráfica, son la misma cosa, definen la
misma idea
aunque visualmente parezcan diferentes. Lo importante es que de cualquiera de
las dos maneras la idea puede ser captada por el sentido de la vista lo que
inicialmente era intangible. Por ejemplo, en , relaciona con .
2.- yx x =+ + 11 30 x = − 4 y = 2
Desde la simbología algebraica lo que se hace es
2
yx x =+ + 11 30
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() () 2
y =− + − + 4 11 4 30
y =−+ 16 44 30
y=2
Desde la simbología gráfica basta ubicar en el eje de las x el valor de , trasladarse
x=−4
verticalmente hasta la gráfica y ver qué valor le corresponde a la variable y. En la
figura 4.1 se
ve que para corresponde . x = − 4 y = 2
Estudiar las gráficas en matemáticas es aprender a interpretar otro modo de
representación de
las funciones que, se supone, en la representación algebraica ya se comprenden.
GRAFICACIÓN POR TABULACIÓN
El método general para graficar cualquier función es el de tabulación. Consiste en
dar valores
arbitrarios a la variable x y con ellos calcular los correspondientes a la variable y,
los cuales se van anotando en una tabla.
Después se localiza en el plano cartesiano cada punto tabulado
así y se unen para obtener la forma de la gráfica buscada.
Por ejemplo, para graficar , dando valores a la y x = − 2 1
x de - 2, - 1, 0, 1, 2 y 3 se construye la siguiente tabla:
x-2-10123
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y-5-3-1135
Función racional
Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos
polinomios. Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: fórmula |
matematicasVisuales
Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es
un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En
estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones
racionales cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0.
Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las
funciones polinómicas y que vamos a revisar en estas páginas:
- Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto
es debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y
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no podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan
un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos
valores decimos que la función no está definida para esos valores de x.
También decimos que esos puntos no pertenecen al dominio de la función. El
dominiio de una función racional está determinado por las restricciones impuestas
por el denominador: dividir entre 0 es imposible.
El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está
definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los
números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar
el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del
denominador.
A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta
la función cerca de esos puntos.
- Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que
hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x
para los que f(x)=0.
- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su
dominio puede no ser todos los números reales).
- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de
la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo
o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta
(horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota
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horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de
una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.
Empezamos nuestro estudio con las funciones racionales lineales. Una función
racional lineal es una función racional cuyo numerador es un número o un
polinomio de grado 1 y que tiene por denominador un polinomio de grado 1.
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: fórmula función racional
lineal | matematicasVisuales La más simple de las funciones racionales es
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: fórmula de la hipérbola
equilátera, proporcionalidad inversa | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hyperbola |
matematicasVisuales
Al dibujar su gráfica obtenemos una hipérbola equilátera.
Cuando x=0 no podemos calcular el valor de la función porque no podemos dividir
entre 0 (abusando del lenguaje, a veces se dice que 'el cociente se hace infinito').
La función no está definida en x=0. Es decir, el dominio de la función es:
Para x = 1 resulta y = 1. Para x > 1 el numerador es más pequeño que el
denominador y el cociente resulta menor que 1.
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola, numerador y
denominador, comportamiento asintótico | matematicasVisuales
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Veamos con más detalle el comportamiento de la función cuando x se hace más y
más grande. Conforme aumenta x la fracción 1/x disminuye. Por lo tanto, si nos
movemos desde el 0 hacia la derecha, el valor de y=1/x es cada vez menor y la
curva se aproxima al eje de abcisas tanto como queramos. Es decir, la función se
comporta como una recta horizontal. A esta recta la llamamos asíntota horizontal.
La recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) si f(x) se aproxima a b
conforme x aumenta o disminuye sin cota.
En este primer caso, la asíntota horizontal es el eje de abcisas:
Cuando nos aproximamos a 0 por el lado del 1 (valores positivos), el denominador
se está aproximando a 0 mientras que el numerador es igual a 1. La función
aumenta cuanto queramos, aumenta sin límite y obtenemos una rama que se 'va
hacia el infinito'.
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola, asíntota vertical
en x=0 | matematicasVisuales
Si nos aproximamos a 0 por la izquierda (valores negativos) entonces la gráfica de
la función se 'va hacia el infinito' pero negativo.
Decimos que la función tiene una asíntota vertical. La gráfica de esta función está
dividida en dos 'ramas'.
La recta x=b es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) si f(x) crece o decrece sin
cota conforme x se acerca a b por la derecha o por la izquierda.
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Una función racional tendrá asíntotas verticales en los ceros del denominador
(pero tendremos que comprobar el comportamiento de la función en los casos en
que un cero del denominador también sea cero del numerador).
En el caso de la hipérbola equilátera, la asíntota vertical es:
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola con sus dos
asíntotas, vertical y horizontal | matematicasVisuales
Si añadimos un número al denominador, el resultado es una traslación de la
hipérbola a lo largo del eje de abcisas:
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: traslación de la hipérbola a
lo largo del eje de abcisas | matematicasVisuales