Problemas tema 3: Modulaciones angulares.

Tema 3. Modulaciones angulares
TEMA 3: MODULACIONES ANGULARES
PROBLEMA 1
La señal x (t ) = A m cos ω m t modula angularmente a la portadora p(t ) = A p cos ω p t .
Si se duplica la frecuencia del tono, se observa que las frecuencias instantáneas mínima y
máxima de la señal modulada no varían, pero si varia el ancho de banda de la señal modulada.
a. Razonar si se trata de modulación FM o PM.
b. En cuanto se modifica el ancho de banda de la señal modulada.
PROBLEMA 2
La desviación máxima de frecuencia de la señal FM, obtenida al modular la portadora
p(t ) = 2 cos(2π ⋅ 10 6 t ) mediante la señal x (t ) = 4sinc(4 ⋅ 10 4 t ) , es de 40 kHz.
a. Hallar el ancho de banda necesario para transmitir la señal FM.
Se sustituye la señal moduladora x(t) por un tono de 1 v. y 10 kHz. La señal FM obtenida se
aplica a un filtro paso-banda ideal de frecuencias de corte 985 y 1015 kHz. La salida del filtro se
aplica a un detector de envolvente.
b. Hallar la señal obtenida a la salida del detector.
NOTA: Si α ↓↓,
1 + α ≈ 1 + 12 α
PROBLEMA 3
Un tono sinusoidal de frecuencia f1, modula en FM a la portadora p(t ) = 2 cos(π10 6 t ) . Las
especificaciones del sistema de comunicación son las siguientes:
•
Desviación máxima de frecuencia ∆f = 6 kHz.
•
Se transmiten aquellas componentes cuya potencia media sea mayor que
potencia media de la portadora.
•
Ancho de banda del canal de transmisión: 17 kHz.
el 1 % de la
Razonar si se cumplen las condiciones exigidas para los dos casos siguientes:
a. f1 = 2 kHz.
b. f1 = 3 kHz.
Teoría de la comunicación
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PROBLEMA 4
Una señal sinusoidal de amplitud 100 mV, modula en FM, a una portadora de 90 MHz.
obteniendose la siguiente expresión: v 1 (t ) = 2 cos 2π ⋅ 90 ⋅ 10 6 t + 10 cos(2π ⋅ 10 4 t )
[
]
Si esta misma portadora es modulada por otra señal, se obtiene la expresión:
[
]
v 2 (t ) = 2 cos 2π ⋅ 90.01 ⋅ 10 6 t + f (t )
donde f(t) es la función de la figura 3.1. Hallar la forma y los valores de la tensión moduladora.
f(t)
10
1
2
t(msg)
-10
Figura 3.1
PROBLEMA 5
La señal x 1 (t ) = 12 cos(2π ⋅ 10 3 t ) modula en FM a la portadora p(t ) = 5 cos(2π ⋅ 10 7 t ) . La
señal resultante tiene un ancho de banda de 10 kHz. transmitiéndose aquellas componentes cuya
potencia media es mayor que el 4 % de la potencia media de la portadora. Determinar la máxima
desviación de fase de la señal FM.
Utilizando el mismo modulador, se modula la portadora p(t ) = 5 cos(2π ⋅ 9960 ⋅ 10 3 t )
mediante la señal moduladora x 2 (t ) = 10 cos(40π ⋅ 10 3 t ) + 12 cos(2π ⋅ 10 3 t ) . La señal modulada se
aplica a un filtro paso-banda ideal. Calcular la constante de amplitud y frecuencias de corte del filtro
para obtener a la salida una señal FM igual a la que obteníamos en la primera parte de este problema.
PROBLEMA 6
(
)
Al modular en FM la portadora p(t ) = 2 cos π10 6 t
mediante la señal
x (t ) = 0.2 + 2 cos π10 4 t se obtiene una desviación máxima de frecuencia ∆f = 22 KHz . Se pide:
(
)
a. Frecuencia mínima y máxima de la señal modulada.
b. Ecuación de la señal FM
c. Ancho de banda, aproximado, de la señal FM.
Si se quiere recuperar la señal x D (t ) = 2 cos(π10 4 t ) :
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d. Hallar la frecuencia a la que debería sintonizarse el demodulador FM
e. Hallar el valor de la constante kD del demodulador.
PROBLEMA 7
La señal x (t ) = A cos(2π ⋅ 10 4 t ) modula en FM a la portadora p(t ) = 4 cos(2π ⋅ 10 6 t ) . A través
del sistema deben transmitirse aquellas componentes cuya potencia sea mayor que el 3 % de la
potencia de la portadora sin modular. Para satisfacer estas condiciones, se transmite la señal FM a
través de un canal cuya banda de paso está situada entre 965 y 1035 kHz. Se pide:
a. Ecuación de la señal FM obtenida en el modulador.
b. Relación de potencias entre la señal FM obtenida en el modulador y la señal a la salida del
canal.
Si la señal transmitida se aplica a un demodulador síncrono, cuya frecuencia del oscilador es 1
MHz.
c. Hallar la ecuación de la señal a la salida del demodulador.
PROBLEMA 8
La
portadora
p(t ) = cos(ω p t )
es
modulada
en
FM
mediante
la
señal
x (t ) = 20 + 0.2 cos(2π ⋅ 10 4 t ) . La constante del modulador FM es fd = 105 Hz/V. La frecuencia
instantánea de la señal FM varía entre 51.980 y 52.020 kHz. Las condiciones del sistema exigen la
transmisión de las componentes cuya potencia media sea mayor o igual que el 10% de la potencia
media de la portadora. Hallar el ancho de banda de la señal obtenida así como las frecuencias de corte
del canal necesario para transmitir dichas señales.
PROBLEMA 9
Al modular en FM la portadora p(t ) = 3 cos ω p t con un pulso rectangular de amplitud 2
voltios y anchura τ = 5 µseg , la frecuencia instantánea de la señal modulada varia entre 1 MHz y
1,04 MHz.
Hallar:
a. La frecuencia de la portadora utilizada.
b. La constante de modulación ω d = 2π ⋅ f d .
Si la misma portadora es modulada por un tono x (t ) = cos 40π ⋅ 10 3 t y se desea transmitir
aquellas componentes cuya potencia sea mayor que el 2% de la potencia de la portadora, calcular en
este caso:
c. Frecuencia instantánea mínima y máxima de la señal modulada.
d. Ancho de banda mínimo del canal de transmisión.
e. Ecuación de la señal obtenida a la salida de un demodulador síncrono, sintonizado a la
frecuencia de la portadora.
Teoría de la comunicación
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PROBLEMA 10
[
]
A la salida de un modulador FM se obtiene la señal x FM1 (t ) = 4 cos π10 5 t + 2sen (π10 3 t ) .
Esta señal se desea convertir en una modulación FM, xFM2(t), de banda ancha con portadora 1 MHz.
Para transmitir la señal FM de banda ancha se dispone de un canal de 10 kHz,
transmitiéndose aquellos armónicos cuya potencia media sea superior al 4% de la potencia de la
portadora.
Se pide:
a. Obtener la potencia media de la señal xFM1(t).
b. Obtener la desviación máxima de fase de la señal xFM1(t).
c. Obtener el ancho de banda aproximado de la señal xFM1(t).
d. Dibujar el diagrama de bloques necesario para obtener la modulación en banda ancha, con
las condiciones del enunciado, indicando los valores más significativos de ese diagrama de
bloques.
e. Obtener la desviación máxima de frecuencia, frecuencia instantánea máxima y mínima de la
señal modulada en banda ancha.
PROBLEMA 11
En el circuito de la figura 3.2(a), si se aplica la señal x(t) de la figura 3.2(b) con el conmutador
en la posición 1 se obtiene una señal y(t) cuya frecuencia instantánea mínima es 96 kHz., frecuencia
instantánea máxima 102 kHz y potencia media de 4,5 vatios.
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(a)
Modulador
PM
x(t)
2
1000/jω
x(t)
4 10-3
3
(b)
9
t(msg)
-4 10-3
Figura 3.2
a. Hallar los parámetros fundamentales del modulador PM.
b. Valores entre los que varía la frecuencia instantánea de la señal y(t) si se aplica la señal x(t)
con el conmutador en la posición 2.
(
)
c. Si con el conmutador en la posición 2 se sustituye la señal x(t) por z(t ) = 0.01 cos π10 4 t ,
hallar el ancho de banda necesario para transmitir la señal y(t) obtenida.
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d. Si esta señal y(t) se aplica a la red de la figura 3.3, determinar la señal detectada yd(t).
f =92-108 kHz
k =1
Filtro paso
banda
Detector de
envolvente
c
y(t)
D
y (t)
d
Figura 3.3
PROBLEMA 12
La señal x(t ) = 20 cos(2π ⋅106 t ) + cos(2π ⋅ 999 ⋅103 t ) + 1.01cos(2π ⋅1001 ⋅103 t ) llega a tres
detectores, tal como se muestra en la figura 3.5:
Detector de envolvente
x(t)
Demodulador FM
Demodulador PM
Figura 3.5
Obtener:
a. Señal a la salida del detector del envolvente si kD=1.
b. Señal a la salida de detector FM, si kD=10-3 V./Hz y está sintonizado a 999,5 kHz
c. Señal a la salida del detector PM si kD=103 V./rad. y está sintonizado a 1 MHz.
Nota: Si α ↓↓
1+ α ≈1+
1
2
α ; tg(α ) ≈ α
PROBLEMA 13
La señal x(t) cuyo espectro se da en la figura 1, pasa por un filtro paso bajo (de frecuencia de
corte 20 kHz y constante de atenuación K) con el fin limitar la señal en banda y eliminar la
componente continua.
La señal obtenida a la salida del filtro modula en AM a una portadora de 4 V. y 1 MHz, con
un porcentaje de modulación del 100%.
La señal AM se multiplica con un tono normalizado de 500 kHz y se transmite por un canal
cuyas frecuencias de trabajo están localizadas entre 1 y 2 MHz.
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x(ω)
12π
8π
12π
8π
12π
8π
8π
ω(Krad/sg)
−100π −60π −20π
20π
60π
100π
Figura 1
Determinar:
a.- Valor de la constante K del filtro paso bajo.
b.- Potencia media de las señales obtenidas a la salida del modulador y del multiplicador.
c.- Si se aplica la señal obtenida a la salida del canal, a un demodulador de fase sintonizado a
1,5 MHz, hallar la expresión matemática de la señal obtenida a la salida del demodulador.
d.- Potencia media de la señal obtenida a la salida del demodulador.
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