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Revista
de
Matematicas
VOLUMEN
Elementales
III.
FASCICULO
Tar ifa Postal Reducida.
SOBRE
-
Licericia
NO 1993 del Ministcr io de Corrcos
LOS CRITERIOS
DE DIVISIBILIDAD
y
5
Telegrafos.
1.
Por CARLO FEDERICI CASA
>
0) Sean a y b dos (rnimeros)
naturales (Nt) y tales que a
b.
Para establecer la verdad de la proposicion
"a es divisible por b"
basta ejecutar la division de a por b: si la division indicada tiene
residuo nulo la proposicion
es verdadera,
de otra manera es falsa.
Se dijo "basta ejecutar la division
afirmado que esto se necesite.
de a por b", pero
no se ha
Ahora bien, pueden presentarse casos en que ejecutar la division
se presente como una fatiga inutil, por ejemplo, cuando 10 que interesa es la verdad 0 falsedad de dicha proposicion
y no el conocimiento del cuociente de la division de a por b, y entonces se buscara
todo medio para evitar sernejante fatiga. Se debera, entonces, buscar
condiciones necesarias y suficientes que permitan
establecer la verdad 0 falsedad de la proposicion "a es divisible por b" sin tener que
ejecutar la division y, naturalrnente,
con la mayor sencillez.
Los enunciados de estas condiciones
(i necesarias
se llaman "criterios 0 caractcres de divisibilidad".
y suficientes!)
1) Se puede afirmar que el mas antiguo criterio
conocido por nosotros, es el citado en el Talmud.
de divisibilidad,
Pero
hacerse
pueden
gue con
una busqueda verdadera y arnplia de criterios solo puede
remontar
a PASCAL, quien enuncia un criterio al cual se
reducir muchos de uso mas cornun, y esta busqueda prosi.
D'ALEMBERT, GERGONNE,...
Mas quien ojee una lista de criterios no deja de extraiiarse al
advertir el hecho de que ellos, si bien enunciados
por autores dife-
75
rentes y en diferentes epocas pero con un fin comun, se presentan
desligados y esto no obstante se sepa que todos se apoyan sobre una
base (mica, aunque demasiado
amplia para que pueda evidenciar,
si es posible, los ligamenes comunes.
Ademas
uno se sorprende de que exista un verdadero
florecimiento de criterios de divisibilidad,
mas 0 menos generales, cuando
en la practica
solo se conocen
los muy particulares
relativos a
b = 2d, 5c, 3,9,11 que se deducen del criterio de PASCAL ya nombrado.
Es bastante natural, entonces, que se quiera encontrar
un criterio al cual puedan reducirse todos los dernas como simples casos
particulates, criterio que si podra llamarse general y que servira
para poner en evidencia los nexos muy estrechos que existen entre
criterio y criterio.
2) Para desarrollar
esta busqueda es conveniente
introducir
el
concepto de "congruencia"
que se encuentra,
por primera vez, en
la monumental
obra del mate matico aleman C. F. GAUSS (17771855) "Disquisitiones
Arithmeticae", Leipzig, 180l.
"Dos (numeros)
enteros (Et) a.b se Haman congruentes
entre
si y con respecto al modulo m, siendo m un Et diferente de cero, si
la diferencia a-b es un multiple de m, es decir, si el modulo (0 valor
absoluto) de a-b es divisible par el modulo de m". Para indicar que
"a es congruente a b, modulo m" seria conveniente
ernplear la esm
critura
,
"a = b", llamando
(aritmetica)
tipograficas,
-
toda escritura
de ese tipo una congruencia
pero, teniendo en cuenta las inevitables
adoptaremos
la escritura "a
b md m",
dificultades
=
Tenemos par 10 tanto la definicion fundamental
2.0) "Si a,b,m son Et y m :::;t. 0, entonces, decir : a
b md m, es 10
mismo que dccir : existe un k tal que k, es Et, et, a - b = k. m",
(Usaremos en este articulo 13.palabra "et" en vez de "y" por ser costumbre en la logica maternatica
y para evitar posibles confusiones).
De la definicion
siguientes teoremas
2.1)
2.2)
2.3) "a
76
2.0 de congruencia
se deducen
facilmente
"a = a md m"
"a - b md m, implica
que, b
a md rn"
b md rn, et, b _ c md m.; implica que, a
c md m"
los
que muestran
que la congruencia
goza
flexividad, simetricidad
y transitividad.
de las propiedades
de re-
Por cumplir estas tres condiciones la "congruencia
con respecto
a un deterrninado
modulo"
pertenece a la clase de las relaciones
ecualiformes
0 equivalencias,
clase de relaciones fundamental
tanto
en maternatica
como en Iisica y, en general, en teoria del conocimiento.
Veamos
las demostraciones.
En primer lugar sabemos
sulta a = a md m.
En segundo
que a -
a
= O.
m de manera
de a = b md m, se deduce
lugar
tal que a - b = k. m y por
que b _ a md m.
En tercer lugar de a
que re-
k
que existe un
k).
10 tanto que b - a = (-
mas!
b md m, et, b -- c md m se deduce que
existen k y k' tales que a - b = k. m, et, b - c = k'. m, de donde
sumando miembro a miernbro se deduce que a - c = (k
k'). m,
es decir, que a _ c md m.
+
Es igualmente
faci! dernostrar
que
(b
+ b')
En de eta, de a = b md rn, et, a' = b' md m se deduce
que
0) "a
bmd m, et, a'
b'md
moo implica que; a
+ a'
md m".
existen k y k' tales que a- b = k. m, et, a' - b' = k'. m de donde
sumando miembro a miembro se deduce que (a + a') - (b + b')
= (k
k')· m es decir que a
a' _ b
b' md m.
+
+
De este teorerna
se deduce que
"a"a
1)
y de la propiedad
b md m, implica que, a
b md m, et, a'
a -
En
existen
efecto, de
k y k'
+
{lI _
a' = b -
reflex iva de la congruencia
+c
b
+ c md
b' md moo implica
b'md
m"
que
m",
b md m, et, a' _ b' md m se deduce
tales que a -
b
= k. m,
et, a' -
b'
= k'. m, de
que
donde,
77
restando miembro a miembro, se deduce que (a - a') = Ck - k')· m es decir que a - a'
b - b' md m.
De este teorema y de la propiedad
b') =
(b -
reflexiva de la congruencia
se deduce que
b me,I m, Imp
'
liica que, a -
"a
2)
"a
--
b
m d m,
et, a ' := b'
b -
c
m d rn ";
e m d" m
Imp I'rca que,
aa' = bb' md m".
En efecto, de a
b md m, et, a'
existen k y 1(' tales que a - b =
que a = k. m
b, et, a' = k'.
miembro a miembro, se deduce
m
bb' 0 tarnbien que aa' - bb'
que aa'
bb' md rn,
b' md m se deduce
que
k. m, et, a' - b' = k'. m es decir
m
b' de donde, multiplicando
que aa'= (kb'
k'b
mkk')
= (kb'
k'b
mkk')m es decir
+
+
+
+
+
+
De este tear em a y de la propiedad
+
reflexiva de la congruencia
se deduce que
"a
=
b
rn d m,
'
l'ica que,
Imp
a. e ---
b.
e m d" m.
Como ejercicio dernuestre el lector: "a = b rnd rn, et,
irnplica que, a. e
3) "a
b. c md m. e".
b md m, et, a'
et, drn (a', m)
=
b' md m, et, a
dm (b', rn)
=
= ° md
a', et, b
C ':j::
0"
0 md b',
I" implica que a/a' _ bib' md m,
en c1ande dm (x, y) designa el maximo cornun divisor de x e y".
En efecto, de a
0 md a', et, b =--= 0 md b' se deduce que exis-
.ten a " y b" ta 1es que a = a ", . a ,et, b = b" . b' ,yea d
se deduce que existe k tal que a - b =
a". a' - b". b' = k. m, Adernas de a'
b md m
k.
m y, por 10 tanto, que
b' rnd m se deduce que
+
existe k' tal que a' - b' = k'. m es decir que a' = b'
k' m y
por 10 tanto se tiene que a" (b'
k'm) - b", b' = k. m de donde
se deduce que (a" - b"). b' = (k - a" k'). m es decir que a"b" = (k - a" k'). m/b' y como dm (b', m) = 1 se deduce que
1( - a" k'
0 md b' aSl que a" - b" = [(k - a" k') / b']. m es
+
decir que a"
b" md m de donde recordando
a" y b" se deduce por fin que a/a'
78
el significado de
b/ b' md m.
De este teorema y de la propiedacl reflexiva de la congruencia
se deduce que
"a
bmdm,et,a--Omde,et,b
Omde,et,dm
impliea que, af c
(e,m)
= I"
b/e md m",
Vamos a demostrar tarnbien que
"a.c -- b.e md m, et, d = dm (,e, m)" implica que,
a-
b md (m/d)".
En efeeto, de ae = be md m se deduce que cxiste k tal que
ae - be = k. rn es decir que a - b = k. m/e 0 tam bien por ser d
igual al dm (e, m) se deduce que a- b = k (m/d)/(e/d)
y como
mid y cf d son primos entre S1 se deduce que a - b= [k/(c/d)].
(m/d) es decir que a _ b md (m/d).
Resulta tarnbien obvio que
"a
b md m, et, m
0 md
11"
implica que, a
b md
11".
Dejamos al lector la demostraci6n.
4) "a
b md m, implica que, aP
_
bP md m" (en donde p es un
Et no negativo).
En efecto, de a
b md m se deduce que existc un
k
tal que
+
b = k. m 0 tarnbien gue a = b
k. m y par 10 tanto que
= (b
k.m)P de donde, recordando 1a formula [Hamada erroneamente de NEWTON y que se encuentra en CHU SHI KI (1303),
STIFEL (1544), TARTAGLIA (1556) ... ]
a all
+
(a
+ b)p
= aP
+ p ap-
1
b
+b
+ ... + p a b
P1
-
P
se deduce que
es decir que
+ ... +
ai' - b" = (pbP-1
pbkP-2
P
y por 10 tanto que a = b" md m.
m"-2+
k
P1
-
mP-1)
k.m
79
y mas precisamente
De los teorernas que preceden,
se deduce con facilidad que
"Si c,d, ... son Et., et" p,q,
fn x = c x
P
entonces
fn a-
son Et no negativos.,
+dx +
, et,
Q
Par fin queremos
cornun
dernostrar
b meI' m, et, a -- b
plica que, a
multiple
a
et,
b md m.;
fn b md m".
Dejamos al lector la demostraci6n
"a
de 0) y 2)
117
detallada.
que
d m,"t e " m = MM ('m ,m ") "lm.
b md m" en donde MM (x, y) designa
el minimo
de x e y.
En efecto, de m = MM (m', m") se deduce que existen d' y d"
tales que m = m'd', et, m
m" d", et, 1
dm (d', d") y en virtud
de esta ultima relaci6n existen 8' y 8" tales que (Vease Revista de
Maternaticas Elementa1es Vol. 1, Fs. 4-5, pp. 76-77: Ntcmeros Primos,
por J. HORVATH) d' 8'
d" 8" = 1. Adernas, de a
b md m', et,
=
=
+
a
b md m" se deduce que existen
=
k' y k"
tales que a- b = k'· m',
=
=
et, a - b
k". m" es decir que (a - b) d' k' m' d' k'. m,
er, (a - b) d"
k" m" d" k" m de donde, multiplicando la
primera por 8' y la segunda por 8" y surnando ordenadamente
se
deduce que (a - b) (d' 8'
d" 8") = (k' 8'
k" 8") m; recordando que d' 8'
d" 8" = 1 se deduce que a - b = (k' 8'
k" 8") m y por fin que a b md m.
+
80
=
+
=
+
+
+