2ª Parte

PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO.
2o Cuatrimestre. Temas XIV y XV de la Unidad Didáctica IV
PROBLEMA 1.- En una guía rectangular de dieléctrico aire y dimensiones a = 10 cm y b = 5 cm, se tranmite una onda TMmn . Se observa que
la distancia entre dos ceros consecutivos es 10 cm.
a) Determinar el modo de la onda que se transmite. La frecuencia de
trabajo es f = 4, 5 · 109 Hz.
b) A partir de
Ez = Eo sen
nπy
mπx
sen
exp j(ωt − βz)
a
b
o por otro método, determine las expresiones de las otras componentes de
los campos eléctrico y magnético en dicha guía, con los valores numéricos
pertinentes.
Figura 2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 2. Una cavidad paralelepípeda de dimensiones a = c =
2b, opera en modo TE101 y contiene aire. Halle la frecuencia de resonancia si
a = 4 cm. Manteniendo la misma relación a = c = 2b y la misma frecuencia
de resonancia, se desea una cavidad llena de teflón cuya constante dieléctrica
es ε0 = 2, 1. Halle las dimensiones de la cavidad.
En una cavidad cilíndrica el modo de resonancia TM010 corresponde al
modo TM01 de la guía circular operando al corte. Las únicas componentes de
1
campo que quedan son Ez = Eo Jo (kc , r) y Hϕ = jEo J1 (kc , r)/Zo . Halle el
radio a del cilindro para que tenga la misma frecuencia de resonancia que la
cavidad paralelepípeda anterior. Recuerde que Jo (2, 405) = 0. Halle la altura
d del cilindro para que ambas cavidades tengan el mismo volumen. ¿Puede
estimar, sin cálculo alguno, cuál de las dos cavidades tiene una Q mayor?
Figura 2a
Figura 2b
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 3
Identifique los modos de una guía de ondas rectangular que corresponden
a las configuraciones que siguen, en las que el campo eléctrico está representado por líneas contínuas y el magnético por líneas discontinuas. Es
indispensable que justifique sus respuestas.
Figura 3a
Figura 3b
2
Figura 3c
Figura 3d
Figura 3e
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 4
En una guía cuadrada de dieléctrico aire y dimensiones 5cm × 5cm. se
transmite un modo a la frecuencia de 6GHz. Se observa que el flujo de
corriente en las caras es solamente longitudinal y que la distancia entre dos
mínimos sucesivos de campo eléctrico transversal es la mitad de la longitud
de onda de corte de la guía de dicho modo. Hallar el modo que se propaga
por la guía. De dicho modo se sabe que
Ez = Eo sen kxx · sen ky y
Halle las componentes transversales de los campos. Halle la expresión de la
potencia transmitida PT
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 5
En una cavidad rectangular resonante los modos TEmnp tienen por expresión
ky
Ex = Eo cos kxx sen Ky y sen Kz z ejωt
ko
kz
Ey = Eo sen kx x cos Ky y sen Kz z ejωt
ko
Ez = 0
jkx kz
Hx =
Eo sen kx x cos Ky y cos Kz z ejωt
Zo ko2
3
Hy =
Hz = −
jky kz
Eo cos kx x sen Ky y cos Kz z ejωt
Zo ko2
j(kx2 + ky2 )
Eo cos kx x cos Ky y sen Kz z ejωt
Zo ko2
con la condiciones
kx = mπ/a
ky = mπ/b
kz = mπ/c
q
√
donde ko = ω µε y Zo = µ/ε
√
a) ¿Qué significado físico implica que el factor j = −1 aparezca en la
expresión del campo magnético y no en la del eléctrico?
Considere una cavidad de dimensiones a = 2 cm, b = 1 cm y c = 3 cm,
trabajando en el modo TE011
b) Halle la frecuencia de resonancia. Note que es degenerado. ¿Qué otro
modo TE resuena a la misma frecuencia?
c) En figuras como la “caja” de abajo, represente las líneas del campo
magnético H en el interior en los instantes t = 0 y un cuarto de periodo
después, t = T /4.
d) Represente las gráficas de la variación con la posición de la densidad
de energía eléctrica y densidad de energía magnética a lo largo del eje de la
cavidad (recta paralela al eje z que pasa por el centro de la misma) entre
z = 0 y z = c en cada uno de los instantes Halle la expresión de la densidad
superficial de carga eléctrica ρs en cada una de las paredes de la cavidad en
los mismos instantes t = 0 y t = T /4. ¿Se puede dar así una interpretación
al término “resonante”?
Figura 5
4
PROBLEMA 6
La línea biplaca es una línea de transmisión formada por dos placas conductoras paralelas de anchura a y separación b, siendo b ¿ a. Nos limitamos
a considerar los modos TM
a) Demuestre que Ez = A sen kc y + B sen kc y donde kc2 = k 2 − β 2 siendo
k el número de onda y β la constante de propagación.
b) A partir de ello determine las expresiones de los campos transversales
y dibuje un diagrama para las líneas del campo eléctrico en el instante t = 0.
c) Halle la expresión de la frecuencia de corte y de las velocidades de fase
y de grupo.
d) Obtenga la potencia transmitida.
Figura 6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 7
Para λ = 0, 1 m se desea una guía rectangular ordinaria (dieléctrico aire)
de manera que el modo TE10 se propague con un factor de seguridad del
30% (f = 1, 3fc ). Al mismo tiempo la frecuencia de corte del modo superior
inmediatamente próximo debe ser un 30% mayor que la de la onda. Se pide
hallar las dimensiones a y b de la guía con estas condiciones.
Si se deseara construir la guía llena completamente con un material dieléctrico de ε = 4εo en vez de aire y manteniendo las mismas condiciones, ¿cuáles
serían las dimensiones a’ y b’ ?¿Cuál sería la frecuencia de propagación?
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
5
PROBLEMA 8
Los modos que pueden propagarse en una guía circular de radio a son:
Modos TMnm :
Ez = Eo Jn (kρ) cos(nϕ) exp [j(ωt − βz)]
Eρ = −Eo
Eϕ = Eo
Ã
Ã
!
jβ
Jn0 (kρ) cos(nϕ) exp [j(ωt − βz)]
k
!
jβ n
Jn (kρ) sen(nϕ) exp [j(ωt − βz)]
k2ρ
Hz = 0
Ã
!
Eϕ
Hρ = − ωε
exp [j(ωt − βz)]
β
Ã
!
Eρ
Hϕ = ωε
exp [j(ωt − βz)]
β
Modos TEnm
Hz = Ho Jn (kρ) cos(nϕ) exp [j(ωt − βz)]
Hρ = −Ho
Hϕ = Ho
Ã
Ã
!
jβ
Jn0 (kρ) cos(nϕ) exp [j(ωt − βz)]
k
!
jβ n
Jn (kρ) sen(nϕ) exp [j(ωt − βz)]
k2ρ
Ez = 0
Ã
!
Hϕ
Eρ = − ωε
exp [j(ωt − βz)]
β
Ã
!
Hρ
Eϕ = ωε
exp [j(ωt − βz)]
β
que se designan por dos subíndices: el primero n es el orden y el segundo,
m, es el número del cero p nm de la función de Bessel de primera especie Jn
en el caso de los modos TM o de su derivada Jn0 si son los modos TE (p0nm ).
a) Explique porqué en un caso la condición de contorno se refleja en la
función de Bessel y en otro en su derivada.
b) Dé la fórmula general que permite obtener las componentes transversales de los modos TM y TE a partir de Ez y Hz respectivamente. Compruébelo en las expresiones dadas.
c) Identifique, dando alguna explicación, los modos de propagación esquematizados en las figuras a y b.
d) Dibuje las líneas del campo eléctrico y magnético en una sección
6
transversal de la guía cilíndrica en el modo TM01.
Figura 8a
Figura 8a
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 9
Se dispone de una guía de ondas rectangular, llena de aire, de dimensiones
a = 2, 29 cm y b = 1, 02 cm. Escriba las expresiones de los campos en el
modo dominante TE10 sabiendo que en él
Hz = Ho cos(πx/a) exp [j(ωt − βz)]
en función de los parámetros H y Zo , y determine las longitudes de onda en
el vacío, en la guía y la longitud de onda de corte. Represente los campos
transversales en los planos x = a/2, y = b/2 y z = cte, lo más exactamente
7
que pueda. Defina y calcule la longitud de onda en la guía cuando transmite
a la frecuencia de 8GHz y también la impedancia del moso T10
b) Determine la constante de atenuación α, en neper/m y en dB/m, si se
alimenta la guía de ondas con un generador de 6GHz.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 10
Una guía de ondas rectangular, con dieléctrico aire, tiene dimensiones
a = 5, 08 cm t b = 10, 16 cm.
a) Determine la frecuencia de corte del modo TM11
b) En este modo de propagación calcule la longitud de onda de la guía
y su impedancia característica ZT M11 , suponiendo que está operando en una
frecuencia 30% veces superior a la frecuencia de corte.
c) Dado el valor máximo Eo de la componente Ez del campo eléctrico,
halle los valores máximos de Etransversal y Htransversal
d) Represente las líneas de los campos magnético y eléctrico del modo
TM11 en una sección transversal de la guía.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 11
En una guía rectangular de dieléctrico aire y dimensiones 10 × 5 cm, se
transmite una onda TMmn . Se observa que la distancia entre dos ceros consecutivos es de 10 cm cuando la frecuencia de trabajo es 4,5 GHz. Determinar
el modo de la onda que se transmite.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 12
Una guía rectangular con dieléctrico aire y dimensiones 7, 62 × 3, 81 cm
opera en el modo TE10 . Se mide la distancia entre mínimos sucesivos del
perfil de onda estacionaria y se encuentra que vale 0,1 cm.
a) Halle la frecuencia a la que está trabajando la guía de ondas.
b) Determine la impedancia de la onda transmitida.
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c) Si la amplitud máxima del campo eléctrico es 1000 V/m, la potencia
total media que transmite la guía.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 13
Se tiene una guía de ondas de cobre de dimensiones a = 2, 0 cm y b =
1, 0 cm. La expresión general de la componente Hz en los modos TE para
frecuencias mayores que la de corte es
µ
¶
µ
¶
mπx
nπy
Hz = Ho cos
cos
exp [j(ωt − βz)]
a
ab
a) Halle la expresión de ésta y de las otras componentes en el caso del
modo TE10 . Use el parámetro k2c = ω 2 εµ − β 2
b) Calcule la frecuencia de corte para este modo, la longitud de onda en
la guía y la impedancia del modo.
c) Se cierra la guía con dos paredes del mismo metal en z = 0 y en
z = c = 2cm., con lo que se tiene una cavidad resonante. Se opera en el
modo TE101 . Calcule la frecuencia de resonancia cuando contiene sólo aire y
cuando se llena de un dieléctrico de constante dieléctrica relativa 2,5.
d) Dibuje esquemáticamente los campos E y H en los planos z = 1 cm.
e y = 0, 5 cm.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 14
Una guía rectangular con dieléctrico aire y dimensiones 7, 62 × 3, 81cm.
a) Determine el intervalo de frecuencias en el que la guía transmite únicamente el modo TE10
b) La guía está operando con una frecuencia de 2,45 GHz. ¿Qué modo
se propaga?. ¿Qué distancia separa dos mínimos consecutivos de las ondas
estacionarias que se porducen en la guía? ¿Cuál es la impedancia del modo?
c) En esta situación, la componente según la dirección de propagación es
h
i
Hz = Ho cos 41, 23y exp j(1, 54 · 1010 t − 30, 5z)
Justifique los valores numéricos que en ella figuran. Escriba las expresiones
para las otras componentes del campo electromagnético que se propaga en
la guía.
9
PROBLEMA 15
Una guía de ondas rectangular, con dieléctrico aire, tiene dimensiones
a = 2, 29 cm y b = 1, 02 cm.
a) Determine la frecuencia de corte del modo TM de orden más bajo.
b) Halle la constante de propagación (compleja) γ, la longitud de onda
en la guía, la velocidad de fase y la impedancia de onda característica correspondiente a dicho modo cuando la guía opera a una frecuencia doble de la
frecuencia de corte.
c) Halle las mismas magnitudes en el caso de una frecuencia f = fc /2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 16
Una guía de ondas rectangular, con dieléctrico aire, tiene dimensiones
a = 2, 29 cm t b = 1, 02 cm. y transmite una onda progresiva TE10 con una
frecuencia de 9GHz
a) Determine la constante de fase β, la longitud de onda en la guía, la
velocidad de fase y la impedancia de onda característica asociada a dicho
modo.
b) Si el valor máximo del campo eléctrico es Eo = 104 V/m, halle los
valores máximos de las tres componentes cartesianas del campo magnético.
c) Halle la potencia transmitida por la guía de onda en este modo y
frecuencia.
Para el modo TE10 :
E(r, t) = Eo sen
µ
¶
πx
exp [j(ωt − βz)] uy
a
∇×E =−
∂B
∂t
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 17
Se construye una cavidad resonante al cerrar una línea o cable coaxial
mediante dos discos metálicos tal como indica la figura. En cada punto
M(ρ, θ, z) del resonador, el campo eléctrico complejo viene dado por
E(r, t) =
Ã
!
−jA
sen (kz) exp jωt uρ
ρ ln(b/a)
10
a)¿Puede atribuir algún significado a la constante A?
b) Escriba las condiciones que debe cumplir el campo eléctrico en las
paredes de la cavidad y deduzca la expresión de la frecuencia fn del modo
resonante de orden n en función de la longitud de la cavidad, l y de la
velocidad v de propagación del modo dominante TEM en la guía coaxial. Si
l = 0, 1 m. calcule las tres frecuencias resonantes más bajas.
c) Determine la expresión de la energía W almacenada en la cavidad.
d) Halle las componentes de campo magnético complejo H a partir de la
ecuación
∂B
∇×E =−
∂t
e) Determine la expresión de la potencia disipada en las paredes conductoras de la √
cavidad cuya resistencia superficial Rs (efecto pelicular) es
proporcional a f
f) Suponiendo que las pérdidas en los extremos y las debidas al dieléctrico
son despreciables, compruebe que el factor de calidad es proporcional a fnα ,
siendo α un exponente a determinar.
Figura 17
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 18
Se tiene una guía de ondas rectangular de dimensiones interiores 7,62×3, 81
cm. Halle la frecuencia y la longitud de onda de corte para el modo TE10 .
Derive la expresión del campo longitudinal si se propaga una onda de frecuencia 2,45 GHz en dicho modo y suponiendo una amplitud Ho . Obtenga las
expresiones de las componentes transversales del campo electromagnético.
11
PROBLEMA 19
En una guía de ondas rectangular las líneas de campo de un cierto modo
tienen el aspecto que se representa en la figura. a) ¿De qué modo se trata?
Justifíquelo.b) Si la guía tiene dimensiones 1 × 2 cm. y está llena de aire,
halle la frecuencia de corte para el modo TE22
c) Dibuje en el instante t = 0 las líneas de campo correspondientes a
modo TE22 porpagándose en la dirección uz , en dos gráficos: uno para E en
el plano z = 0 y otro para H en el plano x = a.
Figura 19a
Figura 19b
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 20
En una cavidad rectangular resonante los modos TEmnp tienen por expresión
Ex =
ky
Eo cos kx x sen Ky y sen Kz z ejωt
ko
Hx =
jkx kz
Eo sen kx x cos Ky y cos Kz z ejωt
Zo ko2
Ex =
kz
Eo sen kxx cos Ky y sen Kz z ejωt
ko
Hy =
jky kz
Eo cos kx x sen Ky y cos Kz z ejωt
Zo ko2
Ez = 0
Hz = −
con la condiciones
12
j(kx2 + ky2 )
Eo cos kx x cos Ky y sen Kz z ejωt
Zo ko2
kx = mπ/a
ky = mπ/b
kz = mπ/c
q
√
donde ko = ω µε y Zo = µ/ε
a) ¿Cómo se denominan los parámetros ko y Zo ?¿Cómo se justifican las
tres condiciones últimas?
Considere una cavidad de dimensiones a = 2 cm, b = 1 cm y c = 3 cm,
trabajando en el modo TE101
b) Halle la frecuencia de resonancia
c) En figuras como la “caja” de abajo, represente las líneas del campo
eléctrico E en el interior en los instantes t = 0 y un cuarto de periodo después,
t = T /4.
d) Halle la expresión de la densidad superficial de carga eléctrica ρs en
cada una de las paredes de la cavidad en los mismos instantes. Represente
esquemáticamente mediante los signos + y − estas distribuciones de carga.
Figura 20
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 21
Identifique, razonándolo, el modo de propagación en una guía de ondas
rectangular representado en los esquemas de la figura 21.
La expresión general del campo eléctrico de los modos TM en una guía
rectangular es la siguiente:
Ex = −
jβ mπ
mπ
nπ j(ωt−βz)
Eo
cos
x sen
ye
2
kc
a
a
b
13
mπ
nπ j(ωt−βz)
jβ nπ
Eo
sen
x cos
ye
2
kc
b
a
b
nπ j(ωt−βz)
mπ
Ez = Eo sen
x sen
ye
a
b
Ey = −
Halle las componentes del campo magnético. Represente gráficamente, al
estilo de la figura 21 la configuración de los campos electromagnéticos del
modo TM11
Figura 21a
Figura 21b
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 22
El campo axial de una onda que se propaga en una guía de ondas rectangular, con dieléctrico aire, es puramente eléctrico y tiene por expresión (en
V/ m y s)
Ez (r, t) = 10000 sen 20πx sen 40πy cos(18π × 109 t − 40πz + π/6)
a) ¿Puede determinar el modo de propagación? Halle la constante de
propagación, la frecuencia de la onda, la frecuencia de corte y la longitud de
onda en la guía λg .
b) Halle la expresión de Hx (r, t) y el valor de su amplitud en el punto de
coordenadas (0,01; 0,01; 2,00) y en el instante t = 0.
Recuerde que:
14
Ht =
Et =
1
[jωc∇t × Ez − γ∇t Hz ]
kc2
1
[−jωµ∇t × Hz − γ∇t Ez ]
kc2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 23
Una línea biplaca es una línea de transmisión formada por dos placas conductoras paralelas de anchura a y separación b, siendo b ¿ a. Para los modos
TMn la componente del campo eléctrico en la dirección +Z de propagación
tiene por expresión general
Ez (r, t) = Eo sen kcn y exp(jωt − γ n z)
q
2 − k 2 = α + jβ
siendo λcn = 2π/kcm la longitud de onda de corte, γ n = kcn
la constante de propagación, k = ω/c en el espacio libre y β = 2π/λg . Tómese
b = 1 cm.
a) ¿A qué frecuencias pueden propagarse los modos TMo , TM1 y TM2 .
b) Considérese que se propaga una onda TM1 con la frecuencia f =
20 GHz. Halle las velocidades de fase y de grupo. ¿Qué ocurre para una
frecuencia de 15 GHz?
c) Para una onda TM1 con f = 25 GHz, Exprese Ez (r, t) en forma real
con los valores numéricos que correspondan. Halle las otras componentes
eléctricas y magnéticas.
d) Represente las líneas de campo eléctrico y magnético en los instantes
t = 0 y t = T /4
Recuerde que:
Ht =
Et =
1
[jωc∇t × Ez − γ∇t Hz ]
kc2
1
[−jωµ∇t × Hz − γ∇t Ez ]
kc2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
15
PROBLEMA 24
En la figura 24 se representan las posiciones de modos y frecuencias de
corte en una guía de ondas rectangular, llena de aire, que se usa en la llamada
“banda X” en una escala de frecuencias.
a) Halle las dimensiones interiores de la guía.
b) Represente con el mismo tipo de diagrama, los modos que se pueden
propagar entre 0 y 15 GHz, en una guía de onda cuadrada de lado a = 2 cm,
llena de un dieléctrico de permitividad relativa εr = 4.
c) En dicha guía cuadrada se coloca una lámina de cobre de 1cm de ancho
y de espesor despreciable, tal como indica la figura 24b. A continuación se
conecta a un generador de microondas de frecuencia 9GHz, ¿Qué modos de
entre los reseñados en el apartado b pueden propagarse en la guía?. Razone
su respuesta. Represente en la forma habitual las gráficas de las líneas de los
campos E y H de estos modos.
Figura 24a
Figura 24b
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 26
En una guía de ondas llena de un material de constante dieléctrica ε = 4εo ,
la frecuencia de corte del modo TE10 es de 10 GHz y la del modo TE03 es de
60 GHz.
a) Calcule la dimensiones de la guía.
b) Dibuje la gráfica representando la impedancia de onda ZT M en función
de la frecuencia de operación para el modo TM11 .
c) Se tiene la misma guía pero llena de aire. ¿Cuál es ahora la frecuencia
de corte del modo TE10 ? ¿Qué modos estarán presentes si se transmite a la
frecuencia de 65 GHz?
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
16
PROBLEMA 27
Una guía de ondas rectangular de dimensiones a = 5 cm y b = 2, 5
cm, llena de aire, tiene 80 cm de longitud y suministra 1,2kW a una carga
adaptada a 4,5 GHz. Suponga que la constante de atenuación es α = 5, 75 ×
10−3 neper/m.
a)¿Qué modos se propagan en la guía?¿Cuánto es α en dB/m? Calcule
la potencia disipada en las paredes de la guía.
b) En el modo TE10 se tiene
Hz = Ho cos(πx/a) cos(ωt − β 10 z)
Halle Ey y Hx
c) Demuestre que
Pentrada =
Eo2
v
u
ab u
t
4Zo
Ã
fc
1−
f
!2
siendo Eqo la amplitud máxima del campo eléctrico, fc la frecuencia de corte
y Zo = µo /εo = 120π la impedancia característica del vacío.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 28
Una onda TE10 de frecuencia 10 GHz se propaga en una guía de ondas
rectangular de dimensiones internas a = 1, 5 cm y b = 0, 6 cm, rellena con
polietileno (εr = 2, 25 µr = 1). Determine la constante de fase, la longitud
de onda en la guía, la velocidad de fase y la impedancia de la onda.
Si la frecuencia de operación es de 19GHz, ¿Qué modos TM y TE pueden
propagarse en esta guía? ¿Cuáles son sus frecuencias de corte?
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 29
Considere una guía de ondas rectangular que transmite el modo TE10 en la
dirección +Z. Comente si las siguientes expresiones para el campo magnético
longitudinal son equivalentes. Halle mediante las ecuaciones de Maxwell las
componentes del campo eléctrico.
Hz = Ho cos(πx/a) cos jβ 10 z
17
Hz = Ho cos(πx/a) cos(ωt − β 10 z)
A partir del teorema de Poynting, el texto de Ortega demuestra que la
potencia transmitida en una guía de ondas viene dada por la expresión:
PT =
1
Re
2
·Z
S
¸
c∗ · ds
Ebt × H
t
Demuestre que dicha potencia se obtiene también a partir de
PT =
1 Z
|Et |2 ds
2ZT E S
Si la guía tiene dimensiones a = 7, 62 cm y b = 4 cm, opera a la frecuencia
de 2,56 GHz y transmite 1,2 W. Halle el valor máximo de la componente Hz
del campo magnético.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 30
Una guía de ondas rectangular conduce una onda progresiva TE10 con
una frecuencia de 9 GHz. Se sabe que la longitud de onda en la guía es
λg = 4, 88 cm y que la velocidad de fase es vf = 4, 39 · 108 m/s.
a) ¿Puede deducir las dimensiones de la guía? Halle también la impedancia de onda intrínseca en la guía asociada a este modo y a la frecuencia
indicada.
b)Las componentes Hx y Hy tiene valores máximos 18,1 A/m y 19,3 A/m
respectivamente. Halle la amplitud del campo eléctrico. ¿Cuál es el desfase
de éstas componentes del campo magnético respecto al campo eléctrico?
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 31
En una guía de ondas rectangular con dieléctrio aire y dimensión mayor
a = 2, 29 cm, tiene una frecuencia de corte de 16,1 GHz y se propaga el modo
TM de orden más bajo.
a) Halle para dicho modo los valores de la constante de propagación compleja γ, la longitud de onda en la guía λg , la velocidad de fase vf , y la
18
impedancia de onda intrínseca ZT M , cuando la guía opera a una frecuencia
doble de la frecuencia de corte.
b) Lo mismo si la frecuencia es la mitad.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 32
Una línea biplaca es una guía de ondas formada por dos placas conductoras paralelas de anchura a y separación b, siendo b ¿ a, pudiendo considerarse de extensión infinita. En la dirección Z, aparte de las ondas TEM, se
propagan dos familias de soluciones: los modos TMn y los TEn . Demuestre
que las expresiones respectivas de estos modos son:
Ez = A sen
nπy
b
Hz = B cos
nπy
b
Dé las expresiones completas reales de los campos para el modo TE1 .
Represente gráficamente las líneas del campo eléctrico y del magnético en el
plano X = cte., en el instante t = 0.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
19
PROBLEMA 33
Por una guía de ondas rectangular de dimensiones a = 2, 50cm y b =
1, 25cm, cuyas paredes son conductores perfectos y está llena de un material
por el que la luz viaja a la décima parte de su velocidad en el vacío, se propaga
una onda electromagnética progresiva en el modo fundamental. Se pide hallar
la longitud de onda, velocidad de fase y velocidad de grupo asociadas con
este modo a la frecuencia f = 4 GHz
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PROBLEMA 34
Para una guía de ondas rectangular de 3 cm de ancho, operando en el
modo fundamental, ¿Cuál debe ser la longitud de onda de la radiación en el
espacio libre si se quiere que en 1µs la energía cruce una guía de 100 m de
largo? ¿Cuál es la velocidad de fase bajo estas circunstancias?
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PROBLEMA 35
Demostrar que la impedancia para una onda TM en una guía rectangular
es
ZT M
v
Ã
!2 Ã
!2
u
u
mλo
nλo
t
= Zo 1 −
−
2a
2b
donde Zo es la impedancia intrínseca y λo la longitud de onda en un
medio sin confinar idéntico al dieléctrico de la guía. ¿Cuál será el valor de
la impedancia ZT M para una frecuencia de 4GHz, unas dimensiones de a =
10cm, b = 6cm, en el modo T M11 , cuando el dieléctrico de la guía tiene una
permitividad de ε = 4εo
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