UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR UNIDAD DE ESTUDIOS BASICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS AREA DE MATEMATICAS Profesor: Cristian Castillo. Elaborador por: Bolívar Yunary C.I 16.648.098 Medeiros Nuralis C.I 20.772.185 Oriana Osorio C.I 19.077.727 Ciudad Bolívar, Marzo del 2010 Trayectorias Ortogonales Se dice que dos curvas son ortogonales si se interceptan y en los puntos de corte sus rectas tangentes son perpendiculares entre sí. Si todas las curvas de una familia de curvas , son ortogonales a todas las curvas de otra familia , entonces se dice que las familias son cada una, trayectorias ortogonales de la otra. Es una familia de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre sí, o de otra manera son las curvas que se interceptan formando ángulos rectos. Si una familia de curvas tiene la ecuación: La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma: Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma: Y como: Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones Suponga que nos dan una familia de curvas como en la Figura 3.16 (líneas Gruesas). Podemos pensar en otra familia de curvas (líneas puxiteadas). Tal que cada miembro de esta familia corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos. Por ejemplo, la curva AB se encuentra con varios Miembros de la familia punteada en ángulos rectos en los puntos L, M, N, O, P. Decimos que las ‘familias son mutuamente ortogonales, o que una familia Forma un conjunto trayectorias ortogonales de la otra familia. Figura 3.16 Considere la familia de todos los círculos con centro en el origen; Unos cuantos círculos aparecen en, la Figura 3.17. Las trayectorias ortogonales Para esta familia de círculos podrían ser miembros de la familia de las líneas rectas (líneas punteadas). Similarmente las trayectorias ortogonales de la familia de líneas rectas que pasan por el origen son los círculos con centro en el origen. Figura 3.17 Como una situación más complicada, considere la familia de elipses Figura 3.18 y la familia de curvas ortogonales a ellas. Las curvas de una familia Son las trayectorias ortogonales de la otra familia. Las aplicaciones de Trayectorias ortogonales son numerosas en física e ingeniería. Figura 3.18 Como una aplicación muy elemental, considere la Figura 3.19. Aquí NS representa una barra Magnética, siendo N su polo norte, y S su polo sur. Si sus limaduras de hierro se esparcen alrededor del magneto encontramos que ellas se ordenan así mismas Como las curvas punteadas de la Figura 3.19. Estas curvas se llaman Líneas de fuerza.* Las curvas perpendiculares a estas (líneas gruesas) se llaman líneas equipotenciales, o curvas de igual potencial. Aquí, también los miembros de una familia constituyen las trayectorias ortogonales de la otra familia. Figura 3.19 Como otro ejemplo de física considere la Figura 3.20, la cual representa Un mapa del clima tan familiar en muchos de nuestros periódicos diarios. Las curvas representan isobaras, las cuales son curvas que conectan todas Las ciudades que reportan la misma presión barométrica a la oficina metereológica. Las trayectorias ortogonales de la familia de isobaras podrían indicar La dirección general del viento desde áreas de alta a baja presión. En vez de Isobaras, la Figura 3.20 podría representar curvas isotérmicas las cuales son Curvas que conectan puntos que tienen la misma temperatura. Figura 3.20 Ejemplos: 1.) Encontrar las trayectorias de familias de parábolas Solución: de la ecuación de la familia dada se sigue que: Sustituyendo Obtenemos Luego las trayectorias ortogonales deben cumplir Resolviendo la ecuación diferencial encontramos Así las trayectorias ortogonales de las parábolas con vértice en el origen y cuyo eje es el eje y, son elipses con centro en el origen y eje mayor en el eje x. 2.) Obtener la familia de curvas ortogonales a Derivamos: Pendiente Se cumple: Aplicando doble c Integrando Aplicando exponencial Se eliminan los exponenciales con los logaritmos naturales y queda: Ò Familia de curvas ortogonales. 3.) Halle las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas De obtenemos: Y como despejado Nos queda que: Buscamos Integramos Ò