EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS 1. En un ABC, se prolongan AB y AC hasta M y N tal que BM=AB, y CN=AC; se traza MN . Probar que M=B y N=C. 8. Se considera un paralelogramo ABCD tal que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto medio M de CD . Demostrar que el AMB es recto. 2. En un paralelogramo ABCD se prolongan 9. Demostrar que la mediana de un triángulo está comprendida entre la semisuma y la semidiferencia de los lados trazados desde el mismo vértice. AB en BE=BC y AD en DF=DC. a. b. Probar que DCF=BCE. Demostrar que los puntos F, C y E están alineados. 3. En un paralelogramo ABCD se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en O. Demostrar que OAB=OCD. 4. En un paralelogramo, el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos tiene por punto medio al punto de corte de las diagonales. 5. Sobre los lados de un 6. 7. XOY dado, se toman los puntos A sobre OX y B sobre OY tales que OA+OB=k (k longitud dada), y se construye el paralelogramo OACB. ¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C del paralelogramo ?. Probar que en un triángulo isósceles la suma de las distancias desde un punto P de la base a los lados iguales es constante. Usar esta propiedad para hallar el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos rectas secantes dadas, sea igual a una medida constante dada. Probar que en un triángulo isósceles la diferencia de las distancias desde un punto P sobre las prolongaciones de la base a los dos lados iguales es constante. Utilizar esta propiedad para hallar el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos rectas secantes dadas, sea igual a una medida constante dada. NOTAS DE GEOMETRÍA 10. En un cuadrado ABCD se prolongan sus lados opuestos en su longitud y en sentidos opuestos: BM=AB, DN=CD, CP=BC, AQ=DA. Se trazan MN y PQ . Demostrar que MN=PQ. 11. En un cuadrado ABCD se unen los puntos medios M, N, P y Q de los lados consecutivos. Probar que el cuadrilátero obtenido es un cuadrado. 12. En un cuadrado ABCD se toman M sobre AM=DN. AD y N sobre DC con Demostrar que AN BM . 13. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en A, sobre los lados AB y AC se construyen los cuadrados ABDE y ACFG. FF' DD' y Luego se trazan perpendiculares a BC . Probar que: a. DD’+FF’=BC b. D, A y F son colineales c. Las rectas DE y FG concurren sobre la prolongación de la altura AH . 14. Sobre los lados AB , BC , CD y DA de un cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’, C’ y D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la cuarta parte del lado del cuadrado y se unen dichos puntos. Demostrar que A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos cuadrados tienen el mismo punto de concurso de las diagonales. C.A.V.A 2 EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS 15. Demostrar que si dos paralelas son cortadas por una secante, entonces las bisectrices de los ángulos interiores forman un rectángulo. 16. Sobre los lados de un cuadrado y hacia el exterior se construyen cuatro triángulos equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA. Probar que E, F, G y H son los vértices de un cuadrado. 17. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un paralelogramo forman un rectángulo. Examinar los casos en los que el paralelogramo sea rectángulo, rombo. 18. En un rombo ABCD se traza BM AD y DN BC . Demostrar que BMDN es un rectángulo. 19. Dado un rombo ABCD, desde los vértices B y D se trazan las perpendiculares BM , BN , DP y DQ a los lados opuestos. Estas perpendiculares se cortan en E y F. Demostrar que el cuadrilátero BFDE es un rombo y que sus ángulos son iguales a los del rombo ABCD. 20. Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio isósceles el cuadrilátero que se forma es un rombo. 21. En un ABC, se toman los puntos medios M, N y P de los lados AB , AC y BC . se traza la altura AH y los segmentos MN , NP y MH . Demostrar que MNPH es un trapecio isósceles. 22. Por el punto medio M del lado AB de un ABC se traza la perpendicular MN a dicho lado. Demostrar que si N es el punto medio del lado BC entonces el ABC es rectángulo. 23. Por el punto medio M del lado AB de un ABC, se traza una recta XY cualquiera que corta a AC en N. Se toma P tal que P–M–N con PM=MN. Demostrar que PB AC . NOTAS DE GEOMETRÍA 24. En un ABC, se trazan las medianas AM y BN , por N se traza una paralela a BC y por C una paralela a BN ; estas dos paralelas se cortan en P. Sea D el punto medio de PN , demostrar que CD MN . 25. En un ABC se traza la mediana AD relativa al lado BC . Se traza la recta BEF con E punto medio de AD y F sobre AC . Probar que AF=AC/3. 26. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de CD y AB respectivamente. Probar que AC resulta dividida en tres segmentos iguales. 27. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de AD y BC respectivamente. Probar que AC resulta dividida en tres segmentos iguales. 28. En un ABC cualquiera se traza la bisectriz AF del A, con B–F–C. Se trazan FE AB , y ED BC , con E sobre AC y D sobre AB . Probar que AE=BD. 29. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC) se trazan las diagonales AC y BD , las bisectrices de los ángulos DAB y DBA que se cortan en F y las bisectrices de los ángulos CBA y CAB que se cortan en G. Demostrar que FG AB . 30. Se considera un trapecio ABCD tal que la base menor CD sea igual a la suma de los lados no paralelos AD y BC . Probar que las bisectrices de los ángulos A y B concurren sobre la recta DC . 31. Se prolongan los lados no paralelos de un trapecio ABCD hasta que se corten en E. Se unen los puntos medios M y N de AE y BE y los puntos medios P y Q de las diagonales AC y BD . MNPQ es un trapecio. Demostrar que C.A.V.A