ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES I ) DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN: Es el conjunto de puntos donde tiene sentido realizar las operaciones indicadas en el criterio de definición de la función. Los casos más típicos: • Dominios de funciones en las que aparecen cocientes : No están definidas en los valores que anulan el denominador. • Dominios de funciones en las que aparecen raíces : No están definidas las raíces pares de radicandos negativos. • Dominios de funciones en las que aparecen logaritmos : No están definidos los logaritmos de números negativos ni de cero. • Dominios de funciones en las que aparecen tangentes : No están definidas las tangentes en los π valores + kπ (k ∈ ] ) 2 • Las funciones polinómicas, la exponencial y el seno y coseno están definidas en toda la recta real. II ) PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. • • Corte con OX : Se hace y = 0 y calculamos los correspondientes valores de x. Corte con OY : Se hace x = 0 y calculamos los correspondientes valores de y. III ) SIMETRÍAS. Si f es función par, f (x) = f (−x), entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY. Si f es función impar, f (x) = − f (−x), entonces su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Nos permite dibujar la gráfica de una función en un segmento del dominio y reproducir el resto por simetría. • • IV ) PERIODICIDAD. f es periódica de período P, se existe un número real P > 0 tal que f (x + P) = f (x) para todo x. Nos permite dibujar la gráfica de la función en un intervalo [a, a + P) y reproducir el resto por translación. Es interesante cuando la función viene definida por medio de funciones trigonométricas, como por ejemplo y = f (x) = sen x, que es periódica de período 2π. V ) MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Creciente estrictamente creciente f (x) es Decreciente estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualquier par de puntos del intervalo, x1 < x2 se verifica f (x1) ≤ f (x2) f (x1) < f (x2) f (x1) ≥ f (x2) f (x1) > f (x2) creciente estrictamente creciente f (x) es decreciente estrictamente decreciente En un punto x0 si existe un entorno de x0 ,(x0 − δ, x0 + δ) con δ > 0, en el que f (x) es creciente estrictamente creciente decreciente estrictamente decreciente DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE MONOTONÍA: Teorema: Si f es una función derivable en un intervalo y f ‘ > 0 en ese intervalo entonces f es estrictamente creciente en el intervalo. Teorema: Si f es una función derivable en un intervalo y f ‘ < 0 en ese intervalo entonces f es estrictamente decreciente en el intervalo. Estos resultados nos permiten determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. VI ) EXTREMOS RELATIVOS (MÁXIMOS Y MÍNIMOS): f (x) tiene un máximo relativo (local) en x0 si existe un entorno de x0, (x0 − δ, x0 + δ), tal que ∀ x ≠ x0 del entorno se verifica f (x) < f (x0). f (x) tiene un mínimo relativo (local) en x0 si existe un entorno de x0, (x0 − δ, x0 + δ), tal que ∀ x ≠ x0 del entorno se verifica f (x) > f (x0). DETERMINACIÓN DE LOS EXTREMOS RELATIVOS: Teorema: Si una función f tiene en un punto x0 un extremo relativo, y es derivable en ese punto entonces f ‘ (x0) = 0. Este teorema nos permiten determinar los puntos donde puede haber máximos o mínimos, pero es una condición necesaria pero no es suficiente ya que por ejemplo f (x) = x3; f ‘ (x) = 3x2 se anula en x = 0, pero x = 0 no es ni mínimo ni máximo sino que será un punto de inflexión. El punto de partida será, entonces localizar los puntos donde se anula la derivada primera (puntos críticos) y usar uno de los cuatro criterios siguientes para decidir si alguno de esos puntos son máximo o mínimo • Criterio 1: Variación de la función. Si x0 es un punto crítico y f ( x 0 ± h) < f ( x 0 ) para un h lo suficientemente pequeño, entonces f tiene un máximo relativo en x0. Si x0 es un punto crítico y f ( x 0 ± h) > f ( x 0 ) para un h lo suficientemente pequeño, entonces f tiene un mínimo relativo en x0. • Criterio 2: Variación de la derivada primera. Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada f ’ es positiva y en los puntos mayores que x0 es negativa, entonces f tiene un máximo relativo en x0. Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada f ‘ es negativa y en los puntos mayores que x0 es positiva, entonces f tiene un mínimo relativo en x0. • Criterio 3: Derivada segunda. f ′′ (x0 ) < 0 Si f (x) tiene derivada segunda en un entorno de un punto x0 y f ‘ (x0) = 0 y f ′′ (x0 ) > 0 máximo entonces f tiene un relativo en x0. mínimo El criterio 3 basta para la mayoría de los ejercicios. Si f ‘’(x0) = 0 entonces hay que usar alguno de los anteriores o el Criterio General de Taylor enunciado más adelante. VII ) CURVATURA: INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. • Una función es convexa en un intervalo I si para cualquier par de puntos a, b de ese intervalo, el segmento rectilíneo que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) queda por encima de la gráfica de f (x). Una función es cóncava si el segmento queda por debajo de la gráfica de f (x). O sea, la gráfica de y = f(x) = x2 es convexa. (Es la definición más habitual) • Una función derivable en un intervalo es convexa (cóncava) en un punto a del intervalo si la gráfica de la función queda por encima (debajo) de la recta tangente en ese punto. DETERMINACIÓN: Teorema: Sea f dos veces derivable en un intervalo; si f ‘’(x) > 0 en un intervalo entonces f es convexa en ese intervalo. si f ‘’ (x) < 0 en un intervalo entonces f es cóncava en ese intervalo. VIII ) PUNTOS DE INFLEXIÓN • Se llama punto de inflexión de una función a el punto en el que cambia el carácter de cóncavo a convexo o de convexo a cóncavo. Si la función es derivable, la recta tangente en el punto de inflexión corta a la gráfica. DETERMINACIÓN: Si una función tiene un punto de inflexión en x0 y existe f ‘’(x0) entonces f ‘’(x0) = 0. La condición es necesaria pero no suficiente ya que por ejemplo f (x) = x4 cumple que f ‘’(0) = 0 tiene un mínimo y la función es convexa. El punto de partida será, entonces localizar los puntos donde se anula la derivada segunda y usar un de los criterios siguientes para decidir si son puntos de inflexión. • Criterio 1: Variación de la derivada segunda. Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada segunda f ‘’ es positiva y en los puntos mayores que x0 es negativa, entonces f tiene un punto de inflexión convexo-cóncavo en x0. Si en un entorno de x0, en los puntos menores que x0 la derivada segunda f ‘’ es negativa y en los puntos mayores que x0 es positiva, entonces f tiene un punto de inflexión cóncavo-convexo en x0. • Criterio 2: Derivada tercera. f ′′′ (x0 ) < 0 entonces f Si f tiene derivada tercera en un entorno de un punto x0 y f ‘’(x0) = 0 y f ′′′ (x0 ) > 0 convexo - cóncavo tiene en x0 un punto de inflexión cóncavo - convexo Si f ‘’’(x0) = 0 hay que usar el criterio 1. IX ) ASÍNTOTAS • Asíntotas horizontales. La recta y = k es asíntota horizontal de la función y = f (x) si existe alguno de los límites: Lim f ( x) = k o Lim f ( x) = k x→ − ∞ x →+ ∞ Como mucho la función tendrá dos asíntotas horizontales. La gráfica puede cortar a la asíntota horizontal pero en la mayoría de los casos a partir de un punto permanece por encima o por debajo de ella. Conviene estudiar si la gráfica de la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo, mirando los valores que toma la función para x grandes. • Asíntotas verticales. La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f (x) si en el punto x = a la función tiene una discontinuidad infinita o de salto infinito, o sea, se verifican alguno de los siguientes límites: Lim f ( x) = ±∞ o Lim+ f ( x) = ±∞ Lim− f ( x) = ±∞ o x→ a x→ a x→ a Puede haber infinitas asíntotas verticales. En los cocientes de funciones las asíntotas verticales están en los ceros del denominador que no anulan el numerador. • Asíntotas oblicuas. La recta y = m x +n , con m ≠ 0, es una asíntota oblicua de y = f (x) siendo f ( x) y n = Lim[ f ( x) − mx ] m = Lim x→ ∞ x→ ∞ x Las asíntotas existirán si existen estos límites y son números reales. Si una función tiene asíntotas oblicuas en +∞ o –∞ entonces no puede tener horizontales y recíprocamente. La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua. Conviene estudiar si la gráfica de la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo observando el signo de [f (x) – (mx + n)]. Una función racional tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Criterio General de Taylor. (Para máximos, mínimos y puntos de inflexión con tangente horizontal) Sea f (x) una función con derivada de orden n continua en un entorno de un punto x0 y tal que: f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) = f ′′′( x 0 ) = ... = f ( n −1) ( x 0 ) = 0 pero f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 ENTONCES máximo si f ( n ) ( x 0 ) < 0 Si n es par, f tiene en x0 un máximo o un mínimo relativos mínimo si f ( n ) ( x 0 ) > 0 Si n es impar, f tiene en x0 un punto de inflexión con tangente horizontal convexo-cóncavo si f ( n ) ( x 0 ) < 0 cóncavo-convexo si f ( n ) ( x 0 ) > 0 Para rematar: • Si la función presenta discontinuidades, deben ser analizadas. (Las asíntotas verticales son discontinuidades infinitas). • Si en el criterio de definición de la función aparece el valor absoluto, debe redefinirse la función en dos partes. • Debe hacerse una pequeña tabla de valores para una buena representación.