337 M de R Prueba Integral 1/5 Lapso 2015-2 SEM 11 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA : Ingeniería MODELO DE RESPUESTA ASIGNATURA: Simulación de Sistemas MOMENTO: Prueba Integral FECHA DE APLICACIÓN: 12/03/16 CÓDIGO: 337 VERSIÓN: 1 MODULO I. UNIDAD I. OBJ 1 solución No.1. Solución Los estados del sistema están definidos de la siguiente forma: x1 (t ) = y (t ) x2 (t ) = y& (t ) x3 (t ) = &y&(t ) Por ser una ecuación diferencial de tercer orden, solo se necesitan tres estados para identificar completamente su dinámica. Las ecuaciones del sistema son entonces las siguientes: x&1 (t ) = x2 (t ) x&2 (t ) = x3 (t ) x&3 (t ) = −6 x1 (t ) − 11x2 (t ) − 6 x3 (t ) + n(t ) Criterio de corrección Para lograr el objetivo el estudiante debe presentar un resultado equivalente al modelo. Especialista: Javier Torrealba Ingeniería de Sistemas 337 M de R Prueba Integral 2/5 Lapso 2015-2 SEM 11 MODULO I. UNIDAD 2. OBJ 2 No.2 Solución solución yk+2 - yk+1 = 0, y0 =1 Se asumen soluciones de la forma yn = Bn y se sustituye en la ecuación: Bn+1 + Bn = 0 Bn ( B+1) = 0 Lo que implica que B = -1 De ahí que la solución sea entonces y 0 = C (−1) 0 = C = 1 El valor de C se obtuvo ajustando la condición inicial y la solución homogénea es dada entonces por: y n = (−1) n Criterio de corrección Para lograr el objetivo el estudiante debe presentar un resultado equivalente al modelo. MODULO II. UNIDAD 3. OBJ 3 No.3 Solución La solución del problema de valor inicial utilizando un paso h de 0,1 : dy = y 2 − 4 ty + 4 t 2 y − 4 y + 8t − 3 con y ( 0 ) = 1 dt y n +1 = y 0 + hf ( x 0 , y 0 ) Especialista: Javier Torrealba Ingeniería de Sistemas solución 337 M de R Prueba Integral 3/5 Lapso 2015-2 SEM 11 y1 = 1 + 0,1 ((−1) 2 − 4(−1× 0) + 4(0 2 × (−1)) − 4(−1) + 8(0) − 3 y1 = −0,8 y2 = −0,8+0,1((−0,8)2 −4(−0,8×0,1) + 4((0,1)2 ×(−0,8))−4(−0,8) +8(0,1) −3 y 2 = −0,6072 Resumiendo los resultados en la siguiente tabla: n xn yn 0 0 -1,0000 1 0,1 -0,8000 2 0,2 -0,6072 3 0,3 -0,4286 4 0,4 -0,2628 5 0,5 -0,1050 6 0,6 0,0483 7 0,7 0,2046 8 0,8 0,3698 9 0,9 0,5519 10 1 0,7617 La Solución aproximada para el problema de valor inicial propuesto con un paso 0,1 es: y (1) = 0,7617 Criterio de corrección Para lograr el objetivo el estudiante debe presentar un resultado equivalente al del modelo. MODULO III. UNIDAD 5. OBJ 5 No.4 Solución solución a) Empleando las fórmulas del método Predictor-Corrector con h=0.1, y0=0 y Especialista: Javier Torrealba Ingeniería de Sistemas 337 M de R Prueba Integral 4/5 Lapso 2015-2 SEM 11 y' = 3x 2 x3 + y +1 tendremos: ⎛ 3 × 12 ⎞ ⎟⎟ = 0.15 y1, p = y 0 + hf ( x 0 , y 0 ) = 0 + 0.1× ⎜⎜ 3 ⎝1 + 0 +1⎠ y1,c ⎞⎤ h 0.10 ⎡⎛ 3 × 12 ⎞ ⎛ 3 × (1.1) 2 ⎟⎥ = 0.148156 ⎟⎟ + ⎜⎜ = y 0 + ( f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y1, p ) = 0 + ⎢⎜⎜ 3 2 ⎣⎢⎝ 1 + 0 + 1 ⎠ ⎝ (1.1) 3 + 0.15 + 1 ⎟⎠⎦⎥ 2 Ahora calcularemos la segunda iteración: ⎞ ⎛ 3 × (1.1) 2 ⎟⎟ = 0.294577 y 2, p = y1,c + hf ( x1 , y1,c ) = 0.148156 + 0.1× ⎜⎜ 3 ⎝ (1.1) + 0.148156 + 1 ⎠ ⎞ ⎛ ⎞⎤ h 0.10 ⎡⎛ 3 × (1.1)2 3 × (1.2)2 ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 0.292829 + y2,c = y1 + ( f ( x1, y,c1) + f ( x2 , y1. p ) = 0.148156+ ⎢⎜⎜ 2 2 ⎣⎝ (1.1)3 + 0.148156+ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ (1.2)3 + 0.294577+ 1 ⎟⎠⎦ Así, sucesivamente, tendremos la siguiente tabla de aproximaciones: Valor de x Valor aproximado Valor aproximado predictor de y corrector de y 1.1 0.15 0.148156 1.2 0.294577 0.292829 1.3 0.435836 0.434113 1.4 0.573740 0.572017 1.5 0.708254 0.706530 b) Para calcular el error absoluto tenemos: ε = y (1.5) − 0.706530 = 0.706666 − 0.706530 = 0.000136 Criterio de corrección Para lograr el objetivo el estudiante debe presentar un resultado equivalente al del modelo. MODULO III. UNIDAD 6. OBJ 6 solución No.5 Solución Especialista: Javier Torrealba Ingeniería de Sistemas 337 M de R Prueba Integral 5/5 Lapso 2015-2 SEM 11 Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson: -λ P( x = k ) = e × λk k! Sustituyendo 63 P ( x = 3) = e × 3! -6 Se obtiene como resultado que P(x = 3) = 0.0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%. Criterio de corrección Para lograr el objetivo el estudiante debe presentar un resultado equivalente al del modelo. “FIN DE MODELO” Especialista: Javier Torrealba Ingeniería de Sistemas