Ecuación Álgebra T EMA Nº 0 1 : T EORÍA DE E XPONENTES- ECUACIONES Segundo Año I.E.P.CorpusChristi EXPONENCIALES Capacidades: Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones. Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial. Desarrollo del Tema: CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes. La operación que da origen al exponente es la potenciación. POTENCIACIÓN: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia. Representación: An Base AxAxAx.......xA "n" veces Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 34 3 x 3 x 3 x 3 81 4 veces 26 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 6 veces nn n xn xn x n.......x n n veces 1 2 5 1 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 2 7 3 x 3 x 3 x 3x 3 x 3 x 3 5 veces 5. 3 7 veces LEYES FUNDAMENTALES 1. Producto de Potencias de Igual Base xa . xb = xa+b Ejemplos: 1. 23 . 24 = 23+4 = 27 Ecuación 2. Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2 2. Cociente de Potencias de Igual Base x9a xb xa b x 0 Ejemplos: 1. 28 24 = 28–4 = 24 2. 26 2 5 = 2–6–(–5) = 2–1 3. Producto de Potencias de Diferente Base xa . ya = (x . y)a Ejemplos: 1. 23 . 43 = (2 . 4)3 2. 3 . 6 = (3 . 5) 4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes xa ya a x y y 0 Ejemplos: 1. 43 23 4 3 3 2. 83 23 8 2 3 5. Potencia de Potencia xa b c x a .b .c OBSERVACIÓN: (X ) = (X ) = X A B B A A . B 6. Exponente Negativo x a 1 xa Ejemplos: P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z 3 x y a y x a x 0 y 0 Ecuación 1. 2 1 2 1 2 3 2. Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra 2 2 3 2 32 22 7. Exponente Nulo o Cero x0 = 1 x 0 Ejemplos: 1. 3xy 0 0 3y 5 2x 2. 1 1 8. Exponente Fraccionario a xb b b xa Ejemplos: 2 1. x 3 5 2. x 3 3 x2 3 x5 9. Producto de Radicales Homogéneos a Ejemplos: 1. 3 4 . 3 5 2. 5 1 5 5 . 2 3 3 5 4.5 3 1 5 . 2 3 x .a y a x .y 20 5 5 6 10. Potencia de un Radical a xb c a x b .c 11. Raíz de Raíz a b c a .b .c x OBSERVACIÓN: a b Ejemplos: x b a x x 0 Ecuación 1. 3 4 2. 4 3 10 x 24 3 4 x 12 10 10 12. Casos Especiales 1. n A m n A m n A m . . . . . . 2. B n 3. a a n aa B n B rad . n 1 AM rad n 1 B ...... . . . aa . a 4. nn 1 nn 1 nn 1 ...... 5. nn 1 nn 1 nn 1 6. 7. 8. xx a . . . x . b Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra ba x n . . . ab . n rad . ...... rad n 1 n n b x x x...... 2n x x2 n 1 ECUACIONESEXPONENCIALES Definición: Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores. 1. Bases Iguales Si: Nx = Ny x=y OBSERVACIÓN: N>0 Ejemplo: Resolver: 9x – 1 = 27x – 2 Buscamos bases iguales: Luego: 2x – 2 = 3x – 6 32x – 2 = 3x – 6 4=x 2. Formas Análogas P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z 5 N 1 Ecuación Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra Si: MM = MN M=N OBSERVACIÓN: M 1 2 M 1 4 Ejemplo: 1. Resolver: x 5x 5 36 3 Resolución Buscando formas análogas: x5 x5 x5 3 62 x5 66 x5 6 x 5 6 Nota: Si: a1(x) = b1(x) 2. f(x) = 0 Resolver: 3x–7 = 5x–7 Resolución x–7=0 x=7 PR OB L EM ASPA R ALACL AS E 1. Reducir: 5. Simplificar: ab aaaa .......a "b " factores bbbb .......b 2x E 3x y x y "a " factores 2. Calcular el valor de: E 4 1210 185 1 85 54 6 0,5 m 2n m 4 mn 2 15 .3 . 3 2m 1 3 m 4 .5 . 3 mn 2 M 9a 2 2 y x y + 3 ; a = R , reducir: 1 3a 2a 2 2 7. Si: xx = 2; hallar el valor de: A x 1 x 2x 1 x 8. Si: 5x = 0,125; calcular:: x 64 4. Simplificar: a2 1 2 3 5 .3a 7 . a a 42 10 .3a 3. Simplificar: 2n 6. Si: a 2y 6.3 x 3 2a 90 a 2 1 2 2 9. Si se cumple: a 5 3 5 3 ....... b 3 5 3 5 ....... , Hallar el valor que toma: ab Ecuación 10. Si: 18. Si: A 5 1 2 1 ; 1 3 23 5 3 22 1 30 19 N Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra ; calcular A + N A 11. Reducir: 2.2.2. 2 2.2.2 2 2.2.2 2 6 veces 6 veces 6 veces ; 2 B 5 3n 3 n 33 14 6 2 4 1 12. Reducir: 7x 7x E 7x 7x 2 7x 7x 2 4 0,5 Calcular años el 2 0,5 4 4 3 64 2 2 . Entonces dentro de 2 años dichas edades sumaran 19. Si tenemos la expresión S definida como: 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 10 2 x 10 2 x 9 2 x 8 2 x S Calcular: 32 S x 5x (2n 3)veces x.x.x x x6 x x.x.x x 20. Si 1 x 15. Si : P es: E 2n 2n 90 91 3 3n 21. Si: , entonces P.E 4 5 6 13 0;1 2 x1 xx x 4 37 x 37 x 4 3 37 x 37 x 3 5.2 x 23. Simplificar: 2x 5 24. Efectuar: 25. Si: x 2x 7 , 5x de P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z 2 22. Simplificar: 37 x 37 x x 1 . x 2 . x 3 x 10 ; x el valor 17. Si: k 5 3 5 k 3 ; 5 M 3x3x3 x3x3 k es k 3 1 factores 5x 2 , calcular el valor de: xx E 16. Proporcionar el exponente final de x11 en la expresión: E P( x) calcular: P(10) 1 3.3 n 1 2 n 91 2 n 92 5x 1 n 2 (4n - 2 )veces 3n Bn 7 22 A de: donde: N = 1x2x3x4x5x6x7 14. Reducir: 3n 6 valor 4 13. La edad de José es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si Carlos tiene en 3 xx x E 2 2 2 37 x 37 x 1 1 37 x 37 x 2 x 4 6.2 x 1 15.2 x 2.2 x 3 24.14 3.15 6 30 2 .35 3.6 4 10 2 , calcular el valor de: xx 1 x x xx xx 1 x xx x 1 Ecuación 26. Si: 5 , reducir : xx x5 x x 38. A partir de: x xx x 4 el valor de: x2 2 x2 x x x 1 .8 x x 2 xx indique: x 30. Resolver: 12 240 9 6 3 x 9 32. Resolver: 5x 5x 1 2; e x 2 33. Resolver: x 6 22 xx 0,5 35. Resolver: 25 8 xx 37. Calcular “x” si: 2 2x 1 x 1 48 4 2 1 2 x 1 x 8x 1 4 3 x 25 y dar 4x x 42. Resolver: 2 9 2 1 8 x x 7 0,2 x 2 33 27 9 43.Calcular “x” si: 3 3875 x x 33 39 44.Calcular ”x” si: 16 x 8 27 45.Resolver: 81 34. Resolver: 36. Resolver: 5x 81 41. Resolver: 5 2 x y 3 40. Resolver: 31. Resolver : 59 5 x 5x 53 x 16 3y x como respuesta el valor de 3 2x 3 4 2.4 x .8 x 29. Calcular “x” en: si: 3 28. Si se cumple que: x 2 0 . Calcular x x x x 39. Calcular “x – y ” x ... x2 x 22 x M 1 27. Calcular “x” , Si: 2x .4 x Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra 46.Resolver: x 99 1 4 2 2x 1 2 xx x 4 3 1 x 1 27. 27 8 5 47.Calcular el valor numérico: 2 48. Calcular “x”, si: R x 9 3 4 2.3 4 2 x9 x 1 1 1 . . x x x 49. Calcular el valor de “x” en: 3 xx xx 27 Ecuación Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra T AREA D OMIC I LIA RIA 1. Simplificar: 2 3 27 1 2 1 1 1 4 27 3 1 1 125 2 2 81 5 3 1 27 9 0,2 1 2 16 81 2 1 2 1 16 4 81 y y .x 2x y .x y 2; 1 x x x x x 3 x x 2 25 64 2 1 36 0,5 0,50 1,5 0,25 0,125 1 n 1 1 n n n .. .... . 1 n B) n 1 n 1 1 n .. .... . n "n " veces C) n2 D) nn–1 1 1 n 1 4 c D) –27 1 Y n E) –9 coloque x C) 5 b1 c P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z 3 B) 3 4 2 3 D) 4 E) 1 1 12 2 C) 3 4 4 D) 3 3 .. .... . E) n–n 9. Resolver la exponencial: 9 como 8x 3 3 3 3 3 3 3 a) 3 d) 3 a b .a b .a 1 1 3 2 4 E) 16.Simplificar: 8. Efectuar: bc 1 3 4 x 15. Hallar “x” en: x 1 0,125 3 "n " veces A) nn 1 x A) 3 B) 2 7. Simplificar: 1 327 0, 25 0,5 A) 1 n xx 1 como respuesta el valor de (n + 3) +7 6. Hallar el valor de: 0, 25 xx 14. Si: x R+ - {1}; halle el valor de “n” que verifica la igualdad: 5. Calcular “x” a partir de: x 23 x 22 x 21 x 2 x 112,5 81 x 3 27 9 1 0,5 0,5 x 2x x 13. Resolver la exponencial: x x 3 1 xx respuesta el valor de: x x A) –8 B) 16 C) 1 1 1 1 x y x y 2 . 3 12. Calcular “x” a partir de: 2 xn xn 41 x 0 Dando 2x 4. Simplificar: x y 3 ; hallar el valor de: x S x y x .y 2y x .y x y x xx 1 3. Si: x, y Z+, tal que: y- x hallar el valor más simple de: x y 18 x 12 6x y 3 1 1 27 16 x 3 2 11. Si: 0,2 243 8x 3 327 10. Reducir: 1 2 2. Hallar el valor de: 1 x 3 3 3 3 3 n " n " r a d i c a le s b) 9 c) 27 3 3 e) " ", 17. Hallar el valor de exponente final de "x" en : si el 3 1 2 Ecuación 3 x Segundo Año I.E.P.CorpusChristi Álgebra x 5 x es la unidad. Además: 3 24. Hallar "x", de : a) d) 5 a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) 20 3 1 3 6 25.18. 18.Hallar el exponente final de: b) e) x x x ...... x x a) 25 d) 50 1 00 rad ic ale s a) 3 90 2 d) 2 2 99 b) 1 1 00 1 00 2 99 2100 1 31 00 1 e) 1 c) 1 4 .8 x 1 3 xx 1 3 x x13 37 2 b) 20 e) 1 a) d) 3x 2 32 x 5 5 5 5 2 2 . b) 2 e) 5 5 x7 8 3 2 3x p q . a) 7 d) 1 ( )7 7 5 5 c) 2 7 240 b) 3 e) 6 c) 0,5 b) 1 2 e) 7 e) x 5 5 4 2 77 1 7 c) 7 . 96 x . 27 1 0 b) 5 e) 8 x 81 4 c) 6 32 x 27 4 b) 4 e) 8 2x c) 1/2 30.Resolver: 4x 22. Calcular "x", si: a) -3 b) 4 25 29.Resolver : a) 2 d) 1/4 32 x 3 5 c) 1 ( ) ( )7 7 81 21. Resolver : a) 2 d) 3 x 28.Resolver : a) 4 d) 7 x b) 1 e) 4 2 x 1 20.Resolver : 9x x c) 13 1 x 27. Resolver : 4 2x 34 a) 0 d) 3 x c) 4/5 Se obtiene la fracción irreductible : Indique: p + q. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 4x 1 26.Resolver : 3 .1 6 3 21 00 1 b) 2/3 e) 4/3 19. Al resolver: 1 6 x 1 00 2x 1 3 9 x a) 1/3 d) 5/3 d) c) 2 3 11. Hallar "x”: x 1 3 . 9 Resolver : x 399 xx 2 2x g 7 7 x x 9 c) 2 1 4 a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 31.Resolver: 23. Resolver: x E x 4 a) 12 d) 9 x x 72 6 ; e indicar : a) 1 d) 4 b) 15 e) 18 c) 10 4x b) 2 e) 5 1 48 22x c) 3 32. Calcular el valor numérico de: 3 x Segundo Año Ecuación E a b6 Q 32 32 : 32 32 : 32 32 a 6b a 6b 33.Calcular el valor reducido de la expresión siguiente: Q x 2 x .3 x 2 . x 3 43. Calcular el valor de “T”: 34. Calcular el valor de R: R x n : m x n : m x n m Q 2 2 2 .3 3 3 3 3 3 44. Calcular x 2 x 2 x xx 5 37. Calcular el valor de R: 38 el valor x de “x” en: 4 45. Calcular “R”: 15.3 15.3 15 3 38 38 36. Calcular ”x” 4 4 4 T 35. Calcular el valor de “Q”: R 3 R 3 24 24 3 24 3 38. Simplificar: R n n 3n 46. Calcular el valor de “R”: 3 an 1. an 1 n3 1 a : a n n3 1 R : 39. Calcular el valor de W , en: W x4 x2 x4 x2 R 40. Calcular el valor de R , en: R a2 a a2 a a2 a 41. Calcular el valor numérico de: Q 44 44 1 4 4 2 2 42. Simplificar: P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z 1111 x x2 x2 x x2 48. Resolver: 3x x x2 x x2 x x2 x x 1 x2 3x 2 x 3x x2 39 3 49. Calcular el valor de “x”, en: 5 2x . 3 3 3 2 x2 3 47. Calcular el valor de “R”: x4 x2 x .3 x . x3 125 6 5x 1 50. Calcular la suma de los valores de “x”, en: 9 x 81 10 3x 1 51. Resolver: 2x 1 2x 1 2 2 2 x