Tarea I. Matemáticas II, Biologı́a 2019-2
Profesor:Manuel Dı́az Dı́az
Ayudante:Francisco Páez Pérez
Ayudante:Karla Genoveva Bassols Bello
Parte 1: Sucesiones.
1. Escriba los primeros 5 términos de la sucesión (a) y los primeros 10 términos de la (b).
(a) xn = 4n! (2n − 1)−1
x1 = 3
(b) x2 = 3
xn+2 = xn+1 − 3, Para n ≥ 1 y n + 2 par.
xn+2 = xn + 3, Para n ≥ 1 y n + 2 impar.
2. Determinar la monotonı́a de las siguientes sucesiones:
(a) xn = √
n
n2 + 1
(b) xn =
8n
n!
3. a) Fibonacci planteó el siguiente Problema: Suponga que los conejos viven una
vida muy pero muy larga, que cada mes todas las parejas tienen un nuevo par de conejitos, los cuales empiezan a ser productivos a la edad de dos meses. Si empieza con
una pareja de recién nacidos, ¿Cuántas parejas de conejos tendrá en el n-ésimo mes?
Diga por que la respuesta es fn , donde {fn } es la sucesión de Fibonacci definida en clase.
1
fn+1
, verificar que an−1 = 1 +
. Suponiendo que {an } es convergente,
fn
an−2
determinar su lı́mite.
b) Sea an =
4. Calcula los lı́mites de las siguientes sucesiones, si es que existen:
2n + (−1)n (n + 2)
7n + 3
1
(e) fn = [ln(1 + π n )]
n
(n2 + 1)cos(n)
(a) an =
n3
p
√
√
(b) bn = n2 + n4 + 1 − 2n
nπ n + sen
2
(c) dn =
2n + 1
(d) en =
1
Parte 2: Funciones.
5. Justificando tu respuesta, calcula o muestra que no existen los siguientes lı́mites:
1
1
x2 − 16 + |x − 4|
√
−
(a) lim
(d) lim
y→0
x→4
y 1+y y
x−4
p
1 − cos(x)
4t
(e) lim+
(b) lim
x→0
x
t→0 sen(3t)
2
x −1
si x < 1.
x−1
2
x2 +2x+1
x + 2x + 2
(f) lim f (x) = 2x
(c) lim
si x = 1
x→1
h→∞ x2 + 2x + 1
3
x +1
si x > 1.
6. Obtenga si existe, el valor de α en R+ de modo que la función g definida como:
x
si x > 0
sen(2x)
1
si x = 0
g(x) =
2
√
√
α + x − α si x < 0,
2x
sea continua en x = 0
7. La población (en miles) de una colonia de bacterias
( t minutos después de la introducción
t2 + 7
si 0 ≤ t < 5.
de una toxina está dada por la función: P (t) =
−8t + 72 si t ≥ 5.
(a) ¿Cuál es la población pasado dos minutos.?
(b) ¿Cuándo muere la población?
(c) ¿Es continua la función P (t)? Justifique.
8. Suponga que un organismo reacciona a un estı́mulo sólo cuando dicho estı́mulo supera
cierto umbral. Suponga que el estı́mulo es una función del tiempo t y que su expresión es
s(t) = sen(πt), t ≥ 0. El organismo reacciona al estı́mulo y muestra una cierta reacción
cuando s(t) ≥ 21 . Defina una función g(t) tal que g(t) = 0 cuando el organismo no
muestre reacción en el instante t y g(t) = 1 cuando el organismo muestre reacción.
(a) Grafique s(y) y g(t)
(b) ¿Es s(t) continua ?
(c) ¿Es g(t) continua ?
2
at
para t ≥ 0,
k+t
siendo a y k constantes positivas. Suponga que el tamaño lı́mite de la población es
9. Suponga que el tamaño de la población en el instante t es N (t) =
lim N (t) = 1.24 × 106
t→∞
y que en el instante t = 5, el tamaño de la población es la mitad del tamaño lı́mite.
Utilizar la información anterior para calcular el valor de las constantes a y k.
10. La siguiente función expresa la atura de un árbol en función de su edad f (x) = 132e−20/x
para x ≥ 0. Calcule lim f (x) e interprete el resultado.
x→∞
11. La intensidad de la luz en los lagos disminuye con la profundidad. Si se indica por I(z)
la intensidad de la luz a profundidad z, siendo z = 0 la superficie , tenemos que
1
I(z) = Io e− 15 ln(10)z
¿Qué sucede con I cuando la profundidad es muy pero muy grande?
12. Duarte y Agustı́ (1998) investigaron el equilibrio de CO2 en los ecosistemas acuáticos.
Relacionaron las velocidades de respiración de la comunidad, R, con las velocidades
brutas de producción primaria, P, de los ecosistemas acuáticos. Hicieron la siguiente
proposición:
Nuestros resultados confirman que la relación entre la velocidad de respiración de la
comunidad y la producción bruta no es lineal. La respiración de la comunidad es aproximadamente proporcional a la potencia de dos tercios de la producción bruta.
(a) Utilice la proposición anterior para explicar porqué R = aP b se puede utilizar
para describir la relación entre R y P. ¿Qué valor asignarı́a a b basándose en la
proposición anterior?
R
(b) La razón de un ecosistema es importante para evaluar la disponibilidad global de
P
CO2 . Si la respiración supera a la producción, esto es, R > P, el ecosistema actúa
como una fuente de dióxido de carbono, mientras que si la producción supera a la
respiración, P > R, el ecosistema actúa como un sumidero de dióxido de carbono.
2
R
Suponga que b = . Verificar que la razón
como función de P es continua para
3
P
P > 0. Además probar que:
lim+
P →0
Grafique
R
=∞ y
P
R
=0
P →∞ P
lim
R
. ¿Cómo afecta a la gráfica el valor de a?
P
Los ejercicios 13 y 14 son extras y opcionales los equipos que los resuelvan
correctamente tendrán (+0.15 sobre la calificación FINAL.)
3
13. La sucesión de Fibonacci:
a) Supongamos que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es fértil al mes si comenzamos con una pareja de recién
nacidos y an representa el número de parejas nacidas en el n-ésimo mes argumentar
por que a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 si n ≥ 3 (esta sucesión es una sucesión recursiva)
b) Verificar que el término general de la sucesión de Fibonacci es:
√ !n
√ !n
1+ 5
1− 5
1
1
an = √
−√
2
2
5
5
y comprobar que esta expresión satisface la sucesión recursiva dada en a).
14. En una circunferencia de radio 4, l(d) y L(d) son las longitudes de las cuerdas a dis1
tancias d y (4 + d) del centro respectivamente donde, 0 < d < 4.
2
l(d)
Hallar lim
d→4 L(d).
Indicaciones:
F Justificar detalladamente cada uno de los ejercicios, es decir mencionar los resultados de
teorı́a que utilizaron para llegar a las soluciones correspondientes.
F La tarea es en parejas.
4
