UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” INDICE Líneas de influencia..................................................................................................................... 2 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ..................................................................... 6 EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ ........................................................................... 6 RELACIONES FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL .......................... 6 MÉTODO DE LA RIGIDEZ / MÉTODO DE EQUILIBRIO ................................................ 7 COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD ....................................................... 7 SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIÓN ...................................................... 8 RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES ......................................................................... 9 1 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Líneas de influencia Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio más complejo. Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle. La línea de influencia es un gráfico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella. La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición. La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la función específica simplemente multiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real. Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles. Determinación de la línea de influencia: La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la carga y después se grafica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y graficando. Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga: Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula R A. 2 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos: Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para R A. Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga. Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería: Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en A por el método de las secciones: En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia: Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0 tenemos: 3 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de la reacción en A Note que la línea de influencia se hacer para la convención positiva de los esfuerzos internos. Línea de influencia para la reacción en B: Línea de influencia para el momento en A: Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero. Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2 Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos: Para x<L/2 , se puede tomar la sección C-B y los cálculos se facilitan ya que en ella no está actuando la carga unitaria: , de donde Para x>L/2 se toma la sección A-C para equilibrio: 4 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Línea de influencia para el cortante en C: Momento en C: Aplicación del principio de los trabajos virtuales Si en una estructura isostática en equilibrio se elimina la ligadura que da lugar a la reacción (o el esfuerzo) cuya línea de influencia se desea hallar, la estructura se convierte en un mecanismo, con lo cual puede tener movimientos de sólido rígido que se producen sin que la se estructura se deforme y, por tanto, sin acumulación de energía elástica. De acuerdo con el P.T.V., al aplicar ahora un desplazamiento virtual y puesto que la estructura está en equilibrio, se cumple que el trabajo virtual de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura es nulo, al no acumularse energía elástica: Las fuerzas que actúan sobre la estructura transformada por ese procedimiento en mecanismo, son las siguientes: la fuerza unitaria móvil, 5 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” las reacciones en los apoyos, que no producen trabajo virtual, el esfuerzo (o reacción) cuya línea de influencia se desea hallar, y que llamaremos genéricamente LI. Si se aplica sobre la estructura un desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo o reacción LI cuya línea de influencia se busca, la estructura adopta una configuración deformada como sólido rígido. En esta configuración deformada se denomina δ LI al desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo buscado y δ 1 al desplazamiento en la dirección de la fuerza unitaria móvil. El trabajo virtual producido por ambas fuerzas es: Despejando el valor de la línea de influencia: Si se elige el desplazamiento virtual de tal manera que valga la unidad (δ LI= 1), se obtiene: Esta expresión indica que la línea de influencia de un esfuerzo (o reacción) cualquiera en una estructura isostática es igual a la deformada - cambiada de signo – que adopta la estructura considerada como rígida, cuando se aplica un desplazamiento unitario en la di reacción de ese esfuerzo (o reacción). Esta deducción es totalmente general, válida tanto para reacciones como esfuerzos de sección. Se expondrán a continuación varios ejemplos sencillos para ilustrar la aplicación de este Principio a la determinación de diversas líneas de influencia. CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Las bases en las que se fundamentan los métodos matriciales en su aplicación al análisis de estructuras. Tanto los Métodos de Compatibilidad como los de Equilibrio pueden plantearse para su resolución automática, dando lugar a los Métodos de Flexibilidad y de Rigidez, respectivamente. Sin embargo, debe señalarse que los segundos tienen como ventaja sobre los primeros el que su formulación es más sistemática. En la práctica, los programas modernos de Cálculo de Estructuras se basan, en casi su totalidad, en el Método de Rigidez. EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ RELACIONES FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL 1ª RF. LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección, nudo, barra, conjunto, y con las cargas exteriores. 6 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 2ª RF. LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE MOVIMIENTOS. Entre los elementos de la estructura y con las condiciones de contorno; así, por ejemplo; en uniones rígidas tendremos los ángulos y movimientos solidarios; en uniones articuladas tan solo los movimientos serán solidarios. 3ª RF. LA LEY DE COMPORTAMIENTO. Que relaciona las tensiones con las deformaciones (leyes de Hooke, ecuaciones de Lamé). MÉTODO DE LA RIGIDEZ / MÉTODO DE EQUILIBRIO = vector desplazamientos y giros de nudos. = vectores esfuerzos y deformación de barras. = vector cargas externas. = vector de ligaduras liberadas (internas y externas). COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD 7 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Si en [1] o [3] hacemos el alargamiento o giro, respectivamente, unidad: RIGIDEZ: Fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario Si en [2] o [4] hacemos la fuerza o momento, respectivamente, unidad: FLEXIBILIDAD: Alargamiento o giro producido por una fuerza o par unidad. El coeficiente de rigidez, krs, que relaciona las coordenadas “r” y “s”, es la fuerza que aparece en la coordenada “r” al dar un movimiento exclusivo y unitario en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (us=1; uj=0 para j ≠ s). El coeficiente de flexibilidad, ars, que relaciona las coordenadas“r” y “s”, es el movimiento que aparece en la coordenada “r” debido a una fuerza exclusiva y unitaria en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (Fs=1; Fj=0 para j ≠ s). SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIÓN SISTEMA DE REFERENCIA: Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc) 8 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” DISCRETIZACIÓN: Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos) Sistema local: En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra. Sistema global: Puesto que en el proceso de discretización de la estructura se ha supuesto ésta formada por un conjunto de elementos y nodos, será preciso definir un sistema único, global, que permita referir a él de forma única y para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos. Sistema nodal: A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso de un patín,) será conveniente definir un sistema nodal de coordenadas, distinto del global, operando conjuntamente con ambos. RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES 1.- BARRA DE CELOSÍA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS) LEY DE HOOCKE: Generalizando para ambos nudos. En forma matricial 9 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 2.- BARRA EN VOLADIZO Matricialmente: 3.- BARRA DE ESTRUCTURA PLANA (INEXTENSIBLE) Movimiento unitario vertical en nodo 1: Giro unitario en nodo 1: 10 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Finalmente: 4.- BARRA DE ESTRUCTURA PLANA (EXTENSIBLE) COMBINACIÓN DE LOS CASOS 1 Y 3.- Condensando las particiones: CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ RIGIDEZ • Un elemento kij, representa, la fuerza que aparece en la coordenada i cuando se comunica un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás. 11 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” • • • • La columna j (k1j,k2j,...knj), se genera, analizando las fuerzas que van apareciendo en todas las coordenadas (1,2,...n) al comunicar un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás. La fila i (ki1,ki2,...kin), se genera, analizando las fuerzas que aparecen en la coordenada i, al comunicar un movimiento unidad, sucesivamente, a las n coordenadas, manteniendo en cada caso nulos todos los demás. Los elementos de la diagonal principal no pueden ser negativos pues representan las fuerzas que aparecen en una coordenada al dar justamente movimiento unidad en ella misma. La matriz de rigidez es simétrica debido al principio de reciprocidad (kij=kji). 12 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 5.- ELEMENTO DE EMPARRILLADO 6.- ELEMENTO DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL 13 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Si designamos por ux', uy' los vectores unitarios que definen la posición de los ejes x'-y' respecto a los x-y: Los cosenos directores l1, l2, m1, m2, por columnas, de los nuevos vectores respecto de los antiguos, serán: 14 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Siendo: Por lo tanto, podemos escribir para los vectores (y lo mismo para los movimientos): Puede comprobarse que 𝐿𝑇 · L = I = matriz unidad; o sea, 𝐿𝑇 = 𝐿−1 ; con lo que resulta, pre multiplicando la anterior ecuación: ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 15 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Sumando y teniendo en cuenta las relaciones de compatibilidad: CONCLUSIONES Vector de fuerzas en coordenadas globales asociado al nudo 2 Vectores de movimientos en coordenadas globales asociados a los nudos 1, 2, 3, 5, que físicamente están ligados con el propio nudo 2. Elemento de la matriz de rigidez que relaciona fuerzas en el nudo 2 con ; es decir, es la fuerza que aparece en 2 con un movimiento unidad en 2, permaneciendo nulos todos los demás; y es la suma de las submatrices asociadas a ese nudo 2 de los distintos elementos que en él concurren ( ); a se la suele denominar "rigidez directa" del nudo 2. Fuerzas que aparecen en el nudo 2 con movimientos unitarios respectivos en 1, 3, 5, (ligados físicamente al 2) manteniendo nulos todos los demás; cada una relaciona las fuerzas en los nudos 1, 3, 5, con los respectivos movimientos GENERALIZACIÓN: Un "elemento" de la matriz de rigidez de la estructura se compone: Si se trata de un "elemento" de la diagonal ( el nudo asociado a la fila (o columna). ) de tantos sumandos como barras concurran en Los "elementos" que no pertenezcan a la diagonal principal se compondrán de un solo sumando, si existe unión física real entre los nodos asociados a la fila y columna de que se trate; y serán idénticamente nulos si no existe unión física. 16 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI – ING CIVIL “Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 17
