Curso de Matematicas financieras MEH

Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras
2ª parte: Matemáticas Financieras
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN
SIMPLE
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Índice de contenidos
Página
CAPÍTULO 1
CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3
1.1
CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES
1.1.1
Concepto
1.1.2
Cálculo del interés total
1.1.3
Cálculo del capital final
1.1.4
Cálculo del capital inicial
1.1.5
Cálculo del tanto de interés
1.1.6
Cálculo del tiempo
3
3
3
4
5
5
6
1.2
TANTOS DE INTERES
1.2.1
Tantos equivalentes
1.2.2
Interés anticipado (Tanto de descuento)
7
7
8
1.3
EL DESCUENTO
1.3.1
El descuento racional
1.3.2
El descuento comercial
1.3.3
El descuento de las letras de cambio
9
10
11
12
1.4
EQUIVALENCIA DE CAPITALES
1.4.1
Principio de equivalencia de capitales
1.4.2
El capital común
1.4.3
El vencimiento común
1.4.4
El vencimiento medio
18
18
18
22
24
1.5
LAS CUENTAS CORRIENTES
1.5.1
Concepto
1.5.2
Liquidación de las cuentas corrientes
25
25
26
1.6
29
OTROS ACTIVOS FINANCIEROS
2
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Capítulo 1 CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1 CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES
1.1.1 Concepto
Se denomina capitalización al cálculo de unos capitales generadores de intereses
en un momento posterior a la inversión de estos.
En el régimen de capitalización simple, el capital productor de intereses siempre
es el mismo a lo largo de la duración de la operación, ya que los intereses que se
van produciendo en cada período no se acumulan al capital inicial, con lo que no
afectan al cálculo de los intereses de los períodos posteriores. Como
consecuencia de esto, los intereses que se van generando en cada uno de los
distintos períodos han de ser iguales.
Las leyes basadas en el interés simple suelen utilizarse en operaciones
financieras con duración igual o menor al año.
1.1.2 Cálculo del interés total
Como ya se ha comentado anteriormente, los intereses que se producen en cada
período han de ser iguales, y su importe será el resultado de multiplicar el capital
inicial por el tipo de interés. Por tanto tendremos:
1er período: I1 = C0
2do período: I2 = C0
3er período: I3 = C0
.
.
.
.
n período : In = C0
×i
×i
×i
×i
El valor del interés total será la suma de los intereses de todos y cada uno de los
períodos.
I = I1 + I2 + I3 + ….. + In
Si sustituimos los valores de los intereses de cada período por su expresión en
función del capital inicial y del tipo de interés obtendremos:
I = C0 × i + C0 × i + C 0 × i + … + C0 × i
Como C0 × i se repite n veces, tenemos que el interés total será:
I = C0 × i × n
3
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Se tiene un capital de 1.000 €, el cuál se quiere invertir durante 10 años a un
tanto del 10 % anual en una operación a interés simple. ¿Calcular los intereses
totales que se obtendrán cuando transcurra dicho plazo?
C0 = 1.000 €
n = 10
i = 0,10
Aplicando la formula del interés total:
I = C0 × i × n = 1.000 × 0,10 × 10 = 1.000 €
1.1.3 Cálculo del capital final
Denominamos capital final o montante a la suma del capital inicial y de los
intereses totales.
Cn = C0 + I
Vamos a sustituir en la expresión del capital final el interés total, poniéndolo en
función del capital inicial, del tanto de interés y de la duración de la operación.
Cn = C0 + C0 × i × n
Sacando factor común C0 tendremos:
Cn = C0 + C0 × i × n = C0 × ( 1 + ( i × n ))
Cn = C0 × ( 1 + ( i × n ))
Ejemplo:
Se tiene un capital de 1.000 €, el cuál se quiere invertir durante 10 años a un
tipo de interés del 10 %. ¿Calcular el capital final que se obtendrá cuando
transcurra dicho plazo?
C0 = 1.000 €
n = 10
i = 0,10
Aplicando la formula del capital final:
Cn = C0 × ( 1 + ( i × n )) = 1.000 × ( 1+ ( 0,10 × 10 )) = 2.000 €
4
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1.4 Cálculo del capital inicial
Se puede calcular el capital inicial despejando C0 en la fórmula del capital final o
bien en la del interés total.
™ En el primer caso tendremos:
Cn = C0 × ( 1 + ( i × n ))
C0 =
Cn
1 + (i × n)
™ Si despejamos C0 en la fórmula del interés total obtendremos:
I = C0 × i × n
C0 =
I
i×n
Ejemplo:
Transcurridos 10 años y a un tipo de interés del 10% obtenemos un capital
final de 3.000 € ¿Cuál fue el capital invertido inicialmente?
Aplicando la fórmula del capital inicial tenemos:
C0 =
Cn
3.000
=
= 1.500 €
1 + (i × n)
1 + (0,10 ×10)
1.1.5 Cálculo del tanto de interés
Al igual que en el caso anterior, se puede calcular el tanto de interés despejando
“i” bien en la fórmula del capital final o bien en la del interés total.
™ En el primer caso tendremos:
Cn = C0 × ( 1 + ( i × n )) =C0 + C0 × i × n
Cn - C0 = C0 × i × n
i=
Cn − C0
C0 × n
5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
™ Si despejamos “i” en la fórmula del interés total obtendremos:
I = C0 × i × n
i=
I
C0 × n
Ejemplo:
Se invierten 1.000 € hoy y al cabo de 10 años se obtienen 2.500 € ¿Cuál es el
tanto de interés aplicado en esta operación?
i=
Cn − C0
2.500 − 1.000
=
= 0,15 = 15%
1000 × 10
C0 × n
1.1.6 Cálculo del tiempo
Para calcular el tiempo también vamos a partir de las dos fórmulas anteriores y
de aquí y despejando la variable tiempo obtendremos que:
™ Si partimos de la fórmula del capital final:
Cn = C0 × ( 1 + ( i × n ))
n=
Cn − C0
C0 × i
™ Si partimos de la fórmula del interés total:
I = C0 × i × n
n=
I
C0 × i
Ejemplo:
Invirtiendo un capital de 1.000 € al 15% de interés obtenemos 2.500 €
¿Cuánto tiempo estuvo impuesto dicho capital?
n=
2.500 − 1.000
C n − C0
=
= 10 años
C0 × i
1.000 × 0,15
6
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.2 TANTOS DE INTERES
1.2.1 Tantos equivalentes
La capitalización simple se emplea en aquellas operaciones financieras que son a
corto plazo, es decir, con duración igual o inferior al año. Por ello los períodos
suelen estar referidos a fracciones de año, mientras que los tantos suelen
expresarse con referencia anual, siendo necesario en este caso, adaptar la
unidad temporal de la duración o del tanto para que estén expresadas en la
misma unidad de tiempo.
Para adaptar el tanto o tipo de interés, debemos utilizar el concepto de tanto
equivalente. Definiremos los tantos equivalentes como “Aquellos que referidos a
distinta unidad de tiempo, producen los mismos intereses cuando se aplican al
mismo capital por igual período de tiempo. O bien, diremos que dos o más tantos
de interés son equivalentes, cuando al aplicarlos a un mismo capital durante un
mismo período de tiempo obtenemos el mismo capital final.”
Por tanto serán equivalentes un tanto anual i y otro referido a una fracción de
año ik si aplicados al mismo capital y por igual período de tiempo (expresado en
años para el primero de los casos y en fracciones para el segundo) producen el
mismo interés total.
El interés total producido por la inversión de un capital C0 durante un año a un
tanto de interés anual i, es igual a:
I = C0 × i × n = C0 × i × 1
Si el interés se paga en una fracción de año k, el interés total producido en un
año será:
I = C0 × ik × k × n = C0 × ik × k × 1
Igualando ambas fórmulas obtenemos:
C0 × i × 1 = C0 × ik × k × 1
De donde:
ik =
i = ik × k
i
k
Tomando como referencia un año k adoptará los siguientes valores:
K=
2
3
4
12
365
cuando
cuando
cuando
cuando
cuando
se
se
se
se
se
refiera
refiera
refiera
refiera
refiera
a
a
a
a
a
semestres
cuatrimestres
trimestres
meses
días
7
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Calcular los
del 12%:
•
•
•
•
siguientes tantos equivalentes correspondientes a un tipo anual
mensual
trimestral
cuatrimestral
semestral
1º Tipo de interés mensual:
i = 0,12
k = 12
ik =
0,12
i
= i12 =
= 0,01 = 1%
k
12
2º Tipo de interés trimestral:
k=4
i4 =
0,12
= 0,03 = 3%
4
3º Tipo de interés cuatrimestral:
k=3
i3 =
0,12
= 0,04 = 4%
3
4º Tipo de interés semestral:
k=2
i2 =
0,12
= 0,06 = 6%
2
1.2.2 Interés anticipado (Tanto de descuento)
En determinadas ocasiones el prestamista cobra los intereses por adelantado, en
el momento en el que se produce la operación. Por tanto el prestatario recibirá el
capital prestado menos los intereses debidos a esta anticipación. La cantidad
efectiva recibida por este será:
C 0 = C n – Cn × d × n
8
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0 = Cn × ( 1 – d × n )
Ahora y para tratar de buscar la relación existente entre los intereses anticipados
y el tanto de interés por vencido, vamos a sustituir el valor que acabamos de
obtener de C0 en la fórmula del montante o capital final:
Cn = C 0 × ( 1 + i × n )
Cn = Cn × ( 1 – d × n ) × ( 1 + i × n )
Despejando d tenemos:
d=
i
1 + (i × n)
Y de aquí obtenemos también el valor de i:
i=
d
1 − (d × n)
Ejemplo:
¿Cuál será el tanto de interés anticipado equivalente a un tanto de interés por
vencido del 12%?
d=
i
0,12
=
= 0,107142857
1 + (i × n)
1 + 0,12
1.3 EL DESCUENTO
En la capitalización obtenemos el capital futuro producido por la inversión de un
capital presente, mientras que en el descuento sustituimos ese capital futuro por
otro con vencimiento presente. El descuento es por tanto la operación inversa a
la capitalización.
Existen dos tipos de descuento, el racional y el comercial. Estos se diferencian en
que en el primer caso utilizamos el tipo de interés y en el segundo un tipo
pactado, que es el tipo de descuento.
9
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.3.1 El descuento racional
Para calcular el descuento racional, diferencia entre el capital a cobrar al final del
período pactado y el importe que realmente recibimos si se anticipa el cobro,
utilizamos el tanto de interés. Este descuento hace que la operación financiera
sea reversible, esto es, que si el importe recibido o efectivo se impone a igual
tanto de interés y por igual plazo obtendremos el mismo capital final, y por el
contrario, si descontásemos ese capital final al mismo tanto de interés e igual
plazo obtendríamos el efectivo.
El descuento racional será la diferencia entre el valor final o nominal y el valor
descontado o actual:
Dr = Cn - C0 = C0 × ( 1 + i × n ) - C0
Deshaciendo el factor común:
Dr = C0 + C0 × i × n - C0
Simplificando, obtendremos la expresión del descuento racional o matemático:
Dr = C0 × i × n
Al tratarse del descuento, el valor conocido es el del capital final. Por tanto será
más útil expresar el descuento como:
Dr = C n -
Cn
1 + (i × n)
Operando, obtendremos la expresión del descuento racional en función del
capital final o nominal:
Dr =
Cn + Cn ×i × n − Cn
1 + (i × n)
Dr =
Cn × i × n
1 + (i × n)
10
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Se desea anticipar el pago de una deuda que vence dentro de 5 años y que
importa 30.000 €. Si el pago se quiere realizar en el momento actual. ¿Qué
cantidad tendrá que abonarse sabiendo que el tanto de interés al que se
concierta la operación es del 10% anual? ¿Cuál será el importe del descuento?
Cn = 30.000 €
n = 5 años
i= 0,10
1º Vamos a calcular el efectivo que habrá de satisfacerse a día de hoy.
C0 =
Cn
30.000
=
= 20.000 €
1 + (0,10 × 5)
1 + (i × n)
2º Cálculo del descuento racional
Dr = Cn – C0 = 30.000 – 20.000 = 10.000 €
1.3.2 El descuento comercial
En el descuento comercial se pacta un tanto de descuento es decir, se fija el
importe que deberá deducirse para cada unidad de capital por anticipar su pago
en una unidad de tiempo.
El descuento comercial será igual al importe del capital que se anticipa por el
tanto de descuento que se ha fijado y por el plazo de tiempo que se anticipa.
Dc = C n × d × n
Y el importe efectivo que percibimos será el capital final que se iba a percibir ó
nominal menos el descuento debido a la disponibilidad anticipada del capital.
E = C n - Dc = C n - C n × d × n = Cn ( 1 - d × n )
C0 = Cn ( 1 - d × n )
11
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Se desea anticipar el pago de una deuda que vence dentro de 5 años y que
importa 30.000 €. Si el pago se quiere realizar en el momento actual. ¿ Qué
cantidad tendrá que abonarse si el tipo de descuento fijado es del 10% anual?
¿ Cuál será el importe del descuento?
Cn = 30.000 €
n = 5 años
d = 0,10
1º Vamos a calcular el efectivo que habrá de satisfacerse a día de hoy.
C0 = Cn ( 1 - d × n ) = 30.000 × ( 1 - 0,10 × 5 ) = 15.000 €
2º Cálculo del descuento comercial
Dr = Cn – C0 = 30.000 – 15.000 = 15.000 €
1.3.3 El descuento de las letras de cambio
En la práctica comercial, las operaciones de descuento se llevan a cabo mediante
la presentación de letras de cambio en entidades de crédito.
La letra de cambio es un documento por el cuál una de las partes (librador)
ordena a otro (librado) que pague una determinada cantidad a un tercero
(tenedor) en una fecha determinada.
Si un comerciante vende algo o presta un servicio y el cobro lo realiza en su
totalidad o en parte aplazado mediante la aceptación de letras de cambio, tiene
dos posibilidades:
™ Esperar al vencimiento del efecto y presentarlo al cobro
™ Presentar al descuento el efecto antes de su vencimiento en una
Entidad de Crédito.
El importe que percibirá en este segundo caso (efectivo), será el importe nominal
de la letra menos los intereses del descuento, las comisiones y los gastos fijos
que cobre la Entidad.
•
Los intereses se hallan sobre el valor nominal y son igual a :
Dc =
N×d×n
k
12
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Siendo:
N = Nominal del efecto
d = Tanto de descuento
n = Plazo que existe entre la fecha de descuento del efecto y la de su
vencimiento
k = Su valor variará dependiendo de cómo se exprese el tiempo.
n
años
semestres
trimestres
meses
días
k
1
2
4
12
360
Es importante para el cálculo del descuento saber cual es la fecha del
vencimiento de la letra. Las letras de cambio se libran de alguna de
estas formas según establece el art. 38 y ss. de la Ley 19/1985
Cambiaria y del Cheque:
o
o
o
o
A fecha fija: Estas deben pagarse el día indicado en la letra.
A un plazo desde la fecha: Estas vencen cuando a
transcurrido este plazo el cuál empieza a computarse desde
el día siguiente al de la fecha de expedición.
A la vista: Esta es pagadera a su presentación. Debe
presentarse al pago en el año siguiente a su fecha.
A un plazo contado desde la vista: Aquí el plazo comienza a
computarse a partir del día siguiente a la fecha de
aceptación.
•
La comisión es el importe que va a cobrar la Entidad de Crédito por
negociar dicho efecto y que va a ser un porcentaje sobre el nominal.
•
Los gastos fijos son cuantías que cobran las Entidades en concepto de
correo, suplidos, timbres, etc… y que se van a descontar del nominal.
En resumen, la cantidad que se percibe es:
Efectivo = Nominal – Descuento – Comisiones – Gastos fijos
13
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
El día 31 de julio se desea descontar una letra que vencerá el día 10 de
diciembre. ¿Cuál será el efectivo abonado por la Entidad sabiendo que el tipo
de descuento aplicado es del 10%, que se cobra una comisión del 2 por 1000,
existiendo una comisión mínima por efecto de 5 €, y sabiendo también que los
gastos fijos ascienden a 3 €?
Nominal Vencimiento Fecha de expedición Fecha de aceptación
3.000
10-12
15-07
20-07
Nominal: 3.000 €
Días desde la fecha de negociación hasta la fecha de vencimiento: 132 días
Tipo de descuento: 0,10
Comisión: 2 por 1000 con un mínimo de 5 €
Gastos fijos: 3 €
k = 360 (ya que trabajamos en días)
•
Cálculo de los intereses:
Dc =
•
3.000 × 0,10 ×132
N×d×n
= Dc =
= 110 €
360
k
Cálculo de la comisión:
Las comisiones salvo que se establezca otra cosa se calculan sobre el valor
nominal.
Comisión = 0,002 × 3.000 = 6 € > 5 € importe de la comisión mínima que
cobrará la Entidad.
•
Cálculo de los gastos fijos:
Gastos fijos = 3 €
•
Cálculo del efectivo a abonar por la Entidad:
Efectivo = Nominal – Descuento – Comisiones – Gastos fijos
Efectivo = 3.000 – 110 – 6 – 3 = 2.881 €
™
Facturas de descuento
En la práctica comercial lo normal es que los efectos comerciales no se envían
uno a uno sino agrupados en remesas para su descuento. La liquidación
efectuada por la Entidad sobre esta remesa recibe el nombre de factura de
negociación.
14
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Se envía a una Entidad de Crédito una remesa de 3 efectos para su descuento.
¿Cuál será el efectivo producido por estos el día 1 de mayo fecha de
negociación de la remesa sabiendo, que el tipo de descuento aplicado es del
10%, que se cobra una comisión del 2 por 1000, existiendo una comisión
mínima por efecto de 5 €, y sabiendo también que los gastos fijos por el
descuento de los efectos ascienden a 10 €?
Nominal
Vencimiento
Fecha de expedición Fecha de aceptación
3.000
10-07
15-04
20-04
2.000
30 días desde la fecha
20-04
25-04
4.000
60 días desde la vista
15-04
20-04
•
Cálculo del número de días que van desde la fecha de descuento 01-05 hasta la
fecha de vencimiento de cada una de las letras
Nominal
3.000
2.000
4.000
Fecha descuento
01-05
01-05
01-05
Fecha vencimiento Días
10-07
70
20-05 (1)
19
19-06 (2)
49
(1) Al tratarse de días desde la fecha para conocer su fecha de vencimiento el plazo
comienza a computarse desde la fecha de expedición.
(2) Al tratarse de días vista el plazo comienza a computarse desde la fecha de
aceptación.
•
Cálculo de los intereses a pagar por cada letra
Nominal Días
d
Importe del descuento
3.000
70 0,10
58,33
2.000
19 0,10
10,56
4.000
49 0,10
54,44
El calculo del descuento se hará para cada letra aplicando la siguiente fórmula:
Dc =
•
N×d×n
k
Cálculo de la comisión a pagar por cada letra
Nominal
3.000
2.000
4.000
Comisión del 2 por
1000 sobre el nominal
6
4
8
Comisión mínima
5
5
5
Importe de la
comisión a aplicar
6
5
8
15
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
•
Cálculo del importe efectivo entregado por la Entidad
Nominal Importe del descuento Comisión Gastos fijos
3.000
58,33
6
2.000
10,56
5
4.000
54,44
8
9.000
123,33
19
10
Efectivo = Nominal – Descuento – Comisiones – Gastos fijos
Efectivo = 9.000 – 123,33 – 19 – 10 = 8.847,67 €
™
Devolución de efectos impagados
En el momento del vencimiento de la letra esta puede ser:
•
•
Pagada por el librado
Impagada por el librado
En este último caso la Entidad de Crédito restituye la letra descontada al cliente
cargándole en su cuenta el importe de la letra no atendida más los gastos,
incluidos los de protesto y las comunicaciones.
Ejemplo:
El día 10 de diciembre la Entidad de Crédito nos comunica que la letra que
descontamos el día 1 de mayo de nominal 3.000 € y fecha de vencimiento 10
de julio ha sido impagada. Si la Entidad cobra una comisión de devolución del
1%, unos gastos de correo de 0,50 € y además existen unos gastos de protesto
de 10 € ¿Cuál será el importe de la liquidación?
Vamos a calcular el importe de la liquidación efectuado por la Entidad.
El importe de la liquidación será igual al importe de la letra no atendida más los gastos.
Nominal del efecto: ............................................ 3.000,00
Comisión de devolución: 0,01×3.000 = 30 €
Gastos de protesto: 10 €
Gastos de correo: 0,50 €
Total gastos: .......................................................
Importe del adeudo en C/C: ...............................
40,50
3.040,50 €
16
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
™
La letra de resaca
Es aquella letra que tiene por objeto recuperar el importe y los gastos de la letra
que ha sido devuelta. El nominal de esta nueva letra estará formado por (art. 62
de la Ley Cambiaria y del Cheque):
•
•
•
•
•
El importe de la letra no pagada
Los intereses de la cantidad anterior desde la fecha del vencimiento (al
tipo del interés legal del dinero incrementado en dos puntos)
Los gastos ocasionados por la falta de pago (protesto, comunicaciones,
etc…)
Comisión sobre el nominal de los efectos protestados
El importe del timbre de la letra
Ejemplo:
Se llega a un acuerdo con el librado por el que se decide emitir una nueva
letra con objeto de recuperar el importe y los gastos de la letra impagada
del ejemplo anterior. ¿Cuál será el nominal de la letra de resaca emitida si
se establece que vencerá 30 días después a un tipo de descuento del 12%,
cobrándose una comisión sobre el nominal del 0,5% y suponiendo que el
timbre de la letra sea de 5 €?
Vamos a calcular el importe de la liquidación efectuado por la Entidad.
Prescindiendo de los intereses de la cantidad anterior desde su fecha de
vencimiento, el nominal de la letra de resaca será igual a:
Nominal de la letra de resaca (N)
Nominal de la letra impagada: 3.000,00 €
Gastos por falta de pago:
40,50 €
Comisión (0,5%):
0,005×N €
Timbre:
5,00 €
N × 0,12 × 30
Descuento:
€
360
N = 3.000 + 40,50 + 0,005×N + 5 + 0,01×N
0,985N = 3.045,50 €
N = 3.091,88 €
17
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.4 EQUIVALENCIA DE CAPITALES
1.4.1 Principio de equivalencia de capitales
Decimos que dos capitales son equivalentes en un momento determinado del
tiempo, cuando sus valores financieros en ese momento son iguales.
Si se tienen varios capitales C1, C2, C3,..., Ck que van a vencer en distintos
momentos t1, t2, t3,..., tk estos van a ser equivalentes a otros capitales Ck+1, Ck+2,
Ck+3, ..., Cn que van a vencer respectivamente en tk+1, tk+2, tk+3, tn , dado un
tanto de valoración, si se cumple la siguiente ecuación de equivalencia:
™ En el descuento racional:
Decíamos que C0 =
Cn
1+ i × n
Por tanto y para que exista equivalencia financiera la suma de los capitales C1,
C2, C3 ,... , Ck en el momento 0 a de ser igual a la suma de los valores de los
capitales Ck+1, Ck+2, Ck+3, ..., Cn también valorados en el momento 0
De donde:
C k +1
C3
Ck
C k +2
C k +3
Cn
C1
C2
+
+
+....+
=
+
+
+....+
1 + i × t1
1+ i ×t2
1 + i × t3
1+ i ×tk
1 + i × t k +1 1 + i × t k + 2
1 + i × t k +3
1+ i ×tn
™ En el descuento comercial:
En el descuento comercial C0 = Cn × ( 1 – d × n )
De donde:
C1 × ( 1 – d × t1 ) + C2 × ( 1 – d × t2 ) + C3 × ( 1 – d × t3 ) +...+ Ck × ( 1 – d × tk ) = Ck+1 × ( 1 – d × tk+1 ) +
Ck+2 × ( 1 – d × tk+2 ) + Ck+3 × ( 1 – d × tk+3 ) +...+ Cn × ( 1 – d × tn )
1.4.2 El capital común
El capital común es aquel capital Ct que venciendo en el momento t sustituye a
varios capitales C1, C2, C3,..., Cn que vencen respectivamente en t1, t2, t3,..., tn .
0
t1
t2
t3
t
tn
C1
C2
C3
Ct
Cn
18
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
La ecuación de equivalencia será:
™
En el descuento racional:
Ct
C3
Cn
C1
C2
=
+
+
+....+
1 + i × t 1 + i × t1
1+ i ×t2
1 + i × t3
1+ i ×tn
De donde si despejamos Ct, obtenemos:
Ct
C3
Cn
C1
C2
+
+
+....+
) x (1 + i × t)
1 + i × t1 1 + i × t 2
1 + i × t3
1+ i × tn
=(
n
Ct =
Cj
∑ (1 + i × t
j =1
™
j)
× (1 + i × t )
En el descuento comercial:
Ct × ( 1 – d × t ) = C1 × ( 1 – d × t1 ) + C2 × ( 1 – d × t2 ) + C3 × ( 1 – d × t3 ) +...+ Cn × ( 1 – d × tn )
Si despejamos Ct de la fórmula anterior tenemos que:
Ct=
C1 × (1 − d × t1 ) + C 2 × (1 − d × t 2 ) + C3 × (1 − d × t 3 ) + ... + C n × (1 − d × t n )
(1 − d × t )
De donde y si seguimos operando, tendremos:
n
∑C
Ct=
j =1
n
j
−d
∑C t
j j
j =1
1− t × d
El tanto de descuento que nos den va a ser normalmente anual, pero
nosotros podemos estar trabajando en meses, días...
19
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
o
Si trabajamos en días la expresión se formularía como:
n
∑
Ct =
d
360
Cj −
j =1
1− t ×
n
∑C t
j j
j =1
d
360
Si ahora multiplicamos y dividimos la expresión por
Ct =
o
360
d
n
∑
360
nos queda:
d
n
Cj −
j =1
∑C t
j j
j =1
360
−t
d
Si trabajamos en meses:
n
∑
Ct =
Cj −
j =1
d
12
1− t ×
n
∑C t
j j
j =1
d
12
Si ahora multiplicamos y dividimos la expresión por
Ct =
12
d
n
∑
12
nos queda:
d
n
Cj −
j =1
∑C t
j j
j =1
12
−t
d
Llamaremos divisor fijo y lo designaremos como D a la expresión
k
cuyo
d
valor será:
360
d
12
Si trabajamos en meses
d
Si trabajamos en días
De donde, el capital único quedará expresado como:
n
D
Ct=
∑
j =1
n
Cj −
∑C t
j j
j =1
D−t
20
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Se desea conocer el importe del capital único que venciendo dentro de 60
días, sustituirá a tres deudas de 1.000, 2.000 y 3.000€ euros que venzan
respectivamente en el plazo de 30, 40 y 90 días. Siendo el tanto de descuento
del 10%.
Solución:
1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el momento 0
1.000 2.000
0
10
C × (1 - 0,10 ×
60
360
20
30
40
)= 1.000 × (1 - 0,10 ×
30
360
C
50
3.000
60
70
) + 2.000 × (1 - 0,10 ×
40
360
80
90
) + 3.000× (1 - 0,10×
90
360
) = 5.994,35 €
2º Si calculamos la equivalencia de capitales en función de la fórmula del capital único
n
D
Ct=
∑
j =1
n
Cj −
∑C t
j j
j =1
D−t
Cj
1.000
2.000
3.000
j =1
C j × tj
30.000
80.000
270.000
n
n
∑
tj
30
40
90
Cj
6.000
∑C t
j =1
j j
380.000
360
6.000 − 380.000
0,10
= 5.994,35€
Ct=
360
− 60
0,10
21
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.4.3 El vencimiento común
En este caso se conoce el capital único Ct que sustituye a varios capitales C1, C2,
C3,..., Cn que vencen respectivamente en t1, t2, t3,..., tn , y hemos de calcular el
momento t en el cuál vence ese capital único Ct .
Por tanto diremos que el vencimiento común es el momento t en el cuál vence
un capital Ct que sustituye a varios capitales C1, C2, C3,..., Cn que vencen
respectivamente en t1, t2, t3,..., tn.
™ En el descuento racional
Ct
C3
Cn
C1
C2
=
+
+
+....+
1 + i × t 1 + i × t1 1 + i × t 2
1 + i × t3
1+ i × tn
Si despejamos t nos queda:
n
t=
Ct
Cj
∑ (1 + i × t
j =1
−1
j)
i
™ En el descuento comercial:
Obtendremos el vencimiento común partiendo de la fórmula del capital
común y despejando de esta “t”:
n
D
Ct=
∑
n
∑C t
Cj −
j j
j =1
j =1
D−t
Operando tendremos:
n
∑
C t × ( D − t ) = D·
n
Cj −
j =1
n
D(C t −
t=
∑
∑
C j t j = Ct × t = D × Ct − D
j =1
n
∑
j =1
n
Cj +
∑C t
j j
j =1
n
Cj)+
j =1
∑C t
j j
j =1
Ct
22
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Se desea conocer el momento en el cuál vencerá un capital único de importe
3.100 € que sustituirá a tres deudas de 1.000 € cada una que venzan
respectivamente en el plazo de 30, 60 y 90 días. Siendo el tanto de
descuento del 10%.
Solución:
1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el momento 0
3.100 × (1 - 0,10 ×
t
360
30
360
) = 1.000 × (1 - 0,10 ×
) + 1.000 × (1 - 0,10 ×
60
360
) + 1.000× (1 - 0,10×
90
360
)=174 días
2º Si calculamos la equivalencia de capitales en función de la fórmula del capital
único
n
D(C t −
t=
∑
n
Cj)+
j =1
∑C t
j j
j =1
Ct
360
(3.100 − 3.000) + 180.000
0,10
=
= 174 días
3.100
Cj
1.000
1.000
1.000
j =1
C j × tj
30.000
60.000
90.000
n
n
∑
tj
30
60
90
Cj
3.000
∑C t
j =1
j j
180.000
23
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.4.4 El vencimiento medio
El vencimiento medio es un caso particular del vencimiento común, que se
produce cuando la suma de los capitales que vamos a sustituir es igual al
importe del capital único que los sustituye, es decir, Ct =
n
∑C
j
j =1
Si sustituimos en la fórmula del vencimiento común el valor de Ct por el de
n
∑C
j
j =1
nos queda:
n
∑C t
j j
t=
j =1
n
∑C
j
j =1
Ejemplo:
Se desea conocer el momento en el cuál vencerá un capital único de importe
6.000 € que sustituirá a tres deudas de 1.000, 2.000 y 3.000€ que venzan
respectivamente en el plazo de 10, 25 y 40 días. Siendo el tanto de descuento
del 10%.
Solución:
1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el momento 0
6.000 × (1 - 0,10 ×
t
360
10
360
) = 1.000 × (1 - 0,10 ×
) + 2.000 × (1 - 0,10 ×
25
360
) + 3.000× (1 - 0,10×
40
360
) = 30 días
2º Si calculamos la equivalencia de capitales en función de la fórmula del capital único
n
∑C t
j j
t=
j =1
=
n
∑C
180.000
= 30 días
6.000
j
j =1
Cj
1.000
2.000
3.000
j =1
C j × tj
10.000
50.000
120.000
n
n
∑
tj
10
25
40
Cj
6.000
∑C t
j =1
j j
180.000
24
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.5 LAS CUENTAS CORRIENTES
1.5.1 Concepto
La cuenta corriente es un contrato que se efectúa entre dos personas o entidades
y en el que se establece que las operaciones que entre ellos se realizan y de las
que se derivan créditos y débitos, se salden a una determinada fecha, a un
determinado tipo de interés y con el método de valoración que en él se
establezca.
Normalmente este contrato se produce entre un banco y una persona,
comprometiéndose la persona a depositar dinero en la cuenta y el banco por su
parte a cumplir sus órdenes de pago. La firma del contrato en estos casos se
realiza en un formulario prerredactado y estandarizado que establece las
condiciones generales de la cuenta corriente.
Por tanto una cuenta corriente es una operación financiera, valorada en
capitalización simple y con liquidación periódica de intereses.
Estos intereses pueden ser:
™ Recíprocos: se establece igual tipo de interés para los saldos deudores
que para los acreedores.
™ No recíprocos: en los cuáles el tipo de interés variará según se trate de
saldos deudores o acreedores.
Los elementos que aparecen en los modelos de liquidación de las cuentas
corrientes son:
Fecha
operación
concepto
Debe
Haber
Saldo
Saldo
Fecha
Números
Números
Días
Deudor Acreedor valor
Deudores Acreedores
Saldo anterior
01-10
12-10
Entrega
efectivo
Comisión
mantenimiento
422,20
39,74
801,18
0,00
01-10
422,20
01-10
7
2.955
382,46
08-10
11
4.207
19-10
1
581,28
20-10
5
2.906
358,33
25-10
1
358
19-10
Tesoro Público
19-10
Entrega en
efectivo
418,72
02-11
Tarjeta Crédito
222,95
27-10
Telefónica
486,07
127,74
26-10
4
511
30-10
Tesoro Público
206,92
334,66
30-10
3
1.004
30-10
Entrega en
efectivo
206,92 127,74
02-11
4
511
12-11
Proveedores
253,23
06-11
6
1.519
11-11
Entrega en
efectivo
246,77
12-11
6
1.481
245,33
18-11
2
491
1202,33
20-11
4
4.809
1.000,00
125,49
500,00
18-11
Comisión
18-11
Ingreso
cheque
25-11
Telefónica
271,79
930,54
24-11
1
931
02-12
Tarjeta Crédito
269,16
661,38
25-11
8
5.291
04-12
Proveedores
125,49
535,89
03-12
21
11.254
25-12
Telefónica
289,41
246,48
24-12
8
1.972
Totales
1,44
419
957,00
92
3.964
36.655
25
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Fecha operación: Es la fecha en que se produce la operación
Concepto: Es la descripción del apunte efectuado
Movimientos: Los movimientos pueden ser al debe o al haber dependiendo de
que se trate de un cargo o un abono.
Saldo: Es la variación acumulativa de los movimientos
Fecha valor: Es el día en que se realiza la contrapartida de la operación
Días: Es el número de días que transcurren desde el día siguiente a la primera
fecha de valor hasta la siguiente fecha de valor, esta incluida.
Números: Los números son iguales al saldo por los días
1.5.2 Liquidación de las cuentas corrientes
Existen tres métodos diferentes de liquidación de las cuentas corrientes. Estos
son:
™ Método directo: El método directo es aquel
capital deudor o acreedor devenga intereses
desde el vencimiento a la fecha de cierre de
poder utilizar este método debemos conocer
liquidación.
que considera que cada
durante los días que van
la cuenta. Por tanto para
de antemano la fecha de
™ Método indirecto: En este método los días se cuentan desde cada
vencimiento hasta una fecha fija establecida. Lo que se produce es un
cálculo de números que no corresponden a los que realmente producen
intereses.
™ Método hamburgués: En este último método los días se cuentan de
vencimiento a vencimiento.
De los tres el método más empleado para la liquidación de las cuentas corrientes
es el hamburgués.
Las operaciones a realizar en la liquidación por el método hamburgués de la
cuenta corriente son las siguientes:
1. Cálculo de los números
Números = Saldo × Días (1)
(1) Los días son los que median entre dos fechas de valor consecutivas
2. Cálculo de los intereses
Intereses = Suma de los números comerciales / (días naturales/ tipo de interés expresado en tanto por uno)
26
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo:
Liquidar la siguiente cuenta corriente cerrada a 31 de marzo por el método
hamburgués sabiendo que, los intereses son del 15% para los saldos deudores
y del 0,1% para los saldos acreedores y que presenta los siguientes
movimientos:
Fecha
operación
01-10
12-10
19-10
19-10
02-11
27-10
30-10
30-10
12-11
11-11
18-11
18-11
25-11
02-12
04-12
25-12
concepto
Saldo anterior
Entrega en
efectivo
Comisión
mantenimiento
Tesoro Público
Entrega en
efectivo
Tarjeta Crédito
Telefónica
Tesoro Público
Entrega en
efectivo
Proveedores
Entrega en
efectivo
Comisión
Ingreso
cheque
Telefónica
Tarjeta Crédito
Proveedores
Telefónica
Debe
Haber
Saldo
Saldo
Fecha
Deudor Acreedor valor
0,00
01-10
422,20
39,74
801,18
01-10
382,46
08-10
418,72
1.000,00
19-10
581,28
20-10
358,33
127,74
334,66
25-10
26-10
30-10
206,92 127,74
02-11
253,23
06-11
222,95
486,07
206,92
125,49
500,00
1,44
957,00
271,79
269,16
125,49
289,41
422,20
246,77
12-11
245,33
18-11
1202,33
20-11
930,54
661,38
535,89
246,48
24-11
25-11
03-12
24-12
27
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Solución:
Fecha
operación
concepto
Debe
Haber
Saldo
Deudor
Saldo anterior
422,20
Saldo
Acreedor
Fecha
valor
Días
(1)
Números
Números
Deudores Acreedores
0,00
01-10
422,20
01-10
7
2.955
382,46
08-10
11
4.207
19-10
1
581,28
20-10
5
358,33
01-10
Entrega en efectivo
12-10
Comisión
mantenimiento
19-10
Tesoro Público
19-10
Entrega en efectivo
02-11
Tarjeta Crédito
222,95
25-10
1
27-10
Telefónica
486,07
127,74
26-10
4
511
30-10
Tesoro Público
206,92
334,66
30-10
3
1.004
30-10
Entrega en efectivo
206,92 127,74
02-11
4
511
12-11
Proveedores
253,23
06-11
6
1.519
11-11
Entrega en efectivo
246,77
12-11
6
18-11
Comisión
245,33
18-11
2
491
18-11
Ingreso cheque
1202,33
20-11
4
4.809
25-11
Telefónica
271,79
930,54
24-11
1
931
02-12
Tarjeta Crédito
269,16
661,38
25-11
8
5.291
04-12
Proveedores
125,49
535,89
03-12
21
11.254
25-12
Telefónica
289,41
246,48
24-12
8
1.972
39,74
801,18
418,72
1.000,00
125,49
500,00
1,44
957,00
Totales
92
419
2.906
358
1.481
3.964
36.655
(1)Los días son los que median entre dos fechas de valor consecutivas.
El apunte que realizará el Banco será:
Intereses a su favor =
36.655
= 0,10 €
365
0,001
Intereses a nuestro favor =
3.964
= 1,63 €
365
0,15
28
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.6 OTROS ACTIVOS FINANCIEROS
Los activos financieros son títulos emitidos por las empresas, entidades
financieras, el Estado con el fin de obtener financiación. Si esta financiación se
quiere obtener en el corto plazo estamos ante activos financieros a corto plazo.
Los activos financieros pueden ser emitidos por:
™ El Tesoro Público: Entre los títulos de Deuda Pública emitidos por el
Tesoro encontramos:
•
Letras del Tesoro:
Son valores de renta fija a corto plazo emitidos por el Tesoro Español.
Las Letras se emiten mediante subasta. El importe mínimo de cada
petición ha de ser de 1.000 € y las peticiones de importe superior han
de ser múltiplos de 1.000 €.
Son valores emitidos al descuento, debido a esto su precio de
adquisición es inferior al importe que el inversor recibirá a la fecha de
vencimiento de la Letra. La diferencia entre el precio de adquisición y el
valor de reembolso será el rendimiento generado por la Letra.
Sus rendimientos están exentos de retención a cuenta tanto en el
ámbito del IRPF como del Impuesto de Sociedades.
En la actualidad el Tesoro emite letras a 3, 6, 12 y 18 meses, teniendo
en cuenta que es posible su venta antes de su vencimiento.
•
Pagarés del Tesoro:
Son títulos emitidos por el Tesoro Español al descuento, por lo que el
rendimiento se obtiene por diferencia entre el precio pagado por el
título y el valor de reembolso.
Sus rendimientos están exentos de retención a cuenta tanto en el
ámbito del IRPF como del Impuesto de Sociedades.
™ Por emisores particulares:
•
Pagarés de empresa:
Son títulos emitidos por las empresas, generalmente se suele tratar de
grandes empresas y lo hacen para diversificar sus fuentes de
financiación.
•
Pagarés financieros:
En este caso, estos títulos son emitidos por entidades de depósito tales
como Bancos y Cajas de ahorro.
29
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Cálculo de rentabilidades de descuento para letras del tesoro, pagarés del tesoro
y pagarés de empresa.
Cálculo del efectivo a partir del
tipo de descuento
Cálculo de la rentabilidad a partir
del efectivo
d
⎞
⎛
E = N ⎜1 −
× n⎟
⎝ 360 ⎠
r=
N − E 360× 100
×
E
n
Cálculo de la rentabilidad a partir Cálculo del tipo de descuento a
del tipo de descuento
partir del efectivo
r=
360 × 100 × d
360 × 100 − d × n
d=
N − E 360 × 100
×
N
n
E = Efectivo de compra, N = Nominal, r = Rentabilidad anual. d = Tipo de descuento anual. n =
Número de días entre fecha de compra y fecha de vencimiento.
Ejemplo:
Se adquiere una Letra del Tesoro de 1.000 € de valor nominal y descontada
al 10% anual, con fecha de vencimiento 12 meses.
Calcular:
• El efectivo que se paga por la compra de la Letra del Tesoro
• Si cuando faltan 180 días para su vencimiento se vende en el
mercado secundario a un tanto de descuento del 9,75%. Calcular el
importe que habrá de pagar el segundo comprador
• Calcular la rentabilidad obtenida por el primer comprador
• Calcular la rentabilidad obtenida por el segundo comprador
1º Vamos a calcular el importe pagado por la adquisición de la Letra del Tesoro.
N
1.000
0
E = N( 1- d × n ) = 1.000 ( 1 – 0,10 ) = 900 €
1
2º Precio de venta de la Letra del Tesoro
900
0
E
2
t
180 días
1.000
1
180
E2 = N( 1- d2 × n ) = 1.000 ( 1 – 0,0975 ×
) = 951,25 €
360
30
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3º Calcular la rentabilidad obtenida por el primer comprador
Podemos calcular de las siguientes formas:
900
185 días
r
0
951,25
180 días
t
1.000
1
185
E2 = E1( 1+ r × n ); 951,25= 900 ( 1 + r ×
) = 0,1108108 = 11,08%
360
r=
N − E 360 ×100 951,25 − 900 360 ×100
×
=
×
= 11,08%
E
n
900
185
4º Calcular la rentabilidad obtenida por el segundo comprador
Podemos calcular de las siguientes formas:
900
185 días
r
0
951,25
180 días
t
1.000
1
N = E2( 1+ r ×( n – t) )
1.000 = 951,25 ( 1 + r ×
r=
180
) = 0,102496714 = 10,25%
360
N − E 360 ×100 1.000 − 951,25 360 ×100
×
=
×
= 10,25%
951,25
180
E
n
31
Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras
2ª parte: Matemáticas Financieras
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN
COMPUESTA
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Índice de contenidos
Página
CAPÍTULO 2
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
3
2.1
CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES
2.1.1
Concepto
2.1.2
Características
2.1.3
Cálculo del capital final
2.1.4
Cálculo del capital inicial
2.1.5
Cálculo del tanto de interés
2.1.6
Cálculo del tiempo
2.1.7
El interés total
3
3
3
3
5
5
6
7
2.2
TANTOS DE INTERÉS
2.2.1
Tantos equivalentes
2.2.2
Tanto nominal
8
8
9
2.3
CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS
2.3.1
Capitalización por tiempos fraccionados: convenio lineal y convenio exponencial
11
11
2.4
EL DESCUENTO COMPUESTO
2.4.1
Descuento racional
2.4.2
Descuento comercial
2.4.3
Equivalencia entre tanto de interés y tanto de descuento.
12
13
14
15
2.5
EQUIVALENCIA DE CAPITALES
2.5.1
Equivalencia de capitales en capitalización compuesta
2.5.2
El capital común
2.5.3
Vencimiento común
2.5.4
Vencimiento medio
2.5.4.1
Caso particular: capitales de la prestación iguales entre sí
17
17
17
19
20
22
2
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Capítulo 2 CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.1 CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES
2.1.1 Concepto
Las operaciones en capitalización compuesta se caracterizan porque, a diferencia
de lo que ocurre en capitalización simple, el capital que sirve de base para
calcular los intereses cambia al inicio de cada período, y es igual al capital más
los intereses del período anterior.
Se puede definir la capitalización compuesta como aquella operación financiera
que trata de sustituir un capital por otro, que es equivalente pero con
vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización
compuesta.
2.1.2 Características
La capitalización compuesta se caracteriza por:
1. El capital que sirve de base para el cálculo de los intereses va variando
de período a período y es igual al capital más los intereses del período
anterior.
Matemáticamente se expresa, como:
Cn = Cn –1 + Cn –1× i
2. Los intereses son distintos en cada período, y además al acumularse al
capital van a producir nuevos intereses en el período siguiente.
Matemáticamente se expresa, como:
In = Cn –1× i
2.1.3 Cálculo del capital final
Si C0 es el capital inicial e, i es el tanto por uno al que se calculan los intereses
de cada período, se verificará que:
3
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0
0
C1
C2
1
2
C3
3
i
Cn-1
Cn
n-1
n
Período 0: C0
Período 1: C1= C0 + C0 × i = C0 × ( 1 + i )
Período 2: C2 = C1 + C1 × i = C1 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i ) × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i )2
Período 3: C3 = C2 + C2 × i = C2 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i )2 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1 + i )3
Período n: Cn = Cn-1 + Cn-1 × i = Cn-1 × ( 1 + i ) = C0 × ( 1+ i )n
Por tanto, el capital final o montante será:
Cn = C0 × ( 1+ i )n
Esta fórmula es aplicable siempre que el tipo de interés no varíe, y siempre y
cuando el tanto y el tiempo se refieran al mismo período, es decir, que si
tenemos un tanto semestral, el tiempo debe expresarse en semestres.
Ejemplo:
Se tiene un capital de 1.000 €, que se va a invertir durante 10 años a un tipo
de interés del 10% ¿Qué montante se obtendrá cuando transcurra dicho
plazo?
Aplicando la fórmula del capital final:
Cn = C0 × ( 1+ i )n = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 = 2.593,74 €
Si el tanto hubiese sido del 8% para los cinco primeros años y del 10% para
los cinco restantes. ¿Cuál sería el capital final obtenido?
En este caso no podemos aplicar la fórmula del capital final, ya que al variar el tanto de
interés debemos trabajar con el tanto vigente en cada período.
1000
0
Cn
i=8%
5
i=10%
10
Cn = C0 × ( 1+ i1 )5 × ( 1+ i2 )5 = 1000 × ( 1+ 0,08 )5× ( 1+ 0,10 )5 = 2.366,37€
4
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.1.4 Cálculo del capital inicial
Partiendo de la fórmula del capital final y con las variables tiempo, tanto de
interés y montante conocidas, despejando, obtendremos el valor del capital
inicial:
C n = C 0 × ( 1 + i )n
Si pasamos ( 1+ i )n al otro miembro de la igualdad dividiendo, nos queda:
C0 =
Cn
(1 + i) n
Ejemplo:
Transcurridos 10 años y a un tipo de interés del 10% se obtiene un capital
final de 3.000 € ¿Cuál fue el capital inicial invertido?
C0
3.000
0
i = 10%
10
Aplicando la fórmula del capital inicial tenemos:
C0 =
Cn
3.000
= 1.156,63 €
=
n
(1 + i )
(1 + 0,10)10
2.1.5 Cálculo del tanto de interés
Al igual que en el caso anterior, partiendo de la fórmula del montante o capital
final y con las variables capital inicial, final y tiempo conocidas, despejando,
obtendremos el tanto de interés:
C n = C 0 × ( 1 + i )n
1º Pasamos C0 al otro miembro de la igualdad dividiendo
Cn
—⎯ = ( 1 + i )n
C0
5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2º Quitamos la potencia, hallando la raíz n-ésima en ambos miembros de la
igualdad
n
Cn
Co
=
n
(1 + i) n
Î
n
Cn
= (1 + i)
Co
3º Despejamos el tanto de interés
i=n
Cn
Co
1
⎛C ⎞n
− 1 = ⎜⎜ n ⎟⎟ - 1
⎝ Co ⎠
Ejemplo:
Si se invierten 1.000 € y al cabo de 10 años se obtienen 2.500€ ¿Cuál será el
tanto de interés aplicado en esta operación?
i=n
Cn
− 1 = 10
Co
2.500
− 1 = 0,095958226 ≈ 0,096 = 9,6%
1.000
2.1.6 Cálculo del tiempo
Para calcular el tiempo o la duración de la operación, procederemos de igual
manera que en los apartados anteriores, es decir, despejaremos la variable
deseada, (n) en este caso, de la fórmula de la capitalización.
Cn = C0 × ( 1 + i )n
Paso 1º: Pasamos C0 al otro miembro de la ecuación
Cn
⎯⎯ = ( 1 + i )n
C0
Paso 2º: Se despeja n, utilizando logaritmos
Cn
Log —⎯ = log ( 1 + i )n = log Cn – log C0 = n × log ( 1 + i )
C0
Propiedades de los logaritmos aplicadas:
a) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor
b) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base
6
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Paso 3º: Despejando obtenemos:
log Cn – log C0
n = —⎯⎯——⎯⎯—⎯
log ( 1 + i )
Ejemplo:
Invirtiendo un capital de 1.000 € al 9,6% de interés obtenemos 2.500 €
¿Cuánto tiempo estuvo impuesto dicho capital?
log Cn – log C0
log 2.500 – log 1.000
n = —⎯⎯—⎯—⎯⎯ = —⎯⎯—⎯⎯—⎯—⎯⎯— = 10 años
log ( 1 + i )
log ( 1 + 0.096 )
2.1.7 El interés total
El interés total, es la diferencia que existe entre el capital inicial invertido y el
montante o capital final obtenido; es decir:
I = C n – C0
Si sustituimos Cn, por la fórmula del valor final obtenemos que:
I = C0 × ( 1 + i )n – C0 = C0 ×[( 1 + i )n - 1]
Ejemplo:
¿Qué intereses producirán 1.000 € invertidos 10 años al 10%?
1.000
C10
0
10
C10 = C0 × ( 1+ i )n = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 = 2.593,74 €
I = Cn – C0 = 2.593,74 – 1.000 = 1.593,74 €
I = Cn – C0 = C0 ×[( 1 + i )n – 1] = 1.000 ×[( 1 + 0,10 )10 – 1] = 1.593,74 €
7
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.2 TANTOS DE INTERÉS
2.2.1 Tantos equivalentes
Decimos que dos o más tantos de interés son equivalentes, cuando al aplicarlos a
un mismo capital durante un mismo período de tiempo se obtiene el mismo
capital final.
Una vez definidos los tantos equivalentes, vamos a definir la frecuencia de
capitalización. La frecuencia es el número de veces que durante un período de
tiempo se capitalizan los intereses producidos.
Si tomamos como referencia un año diremos que la frecuencia ( k ) adopta los
siguientes valores:
™ Si se capitalizan semestralmente: k = 2
™ Si la capitalización es trimestral : k = 4
™ Si se capitalizan mensualmente : k = 12
En la capitalización compuesta para que dos tantos sean
que por definición cumplir la siguiente relación:
equivalentes tienen,
( 1 + ik )k = 1 + i
Despejamos i obtenemos:
i = ( 1 + ik )k – 1
Despejando ik:
ik =
k
(1 + i)
-1
ik = ( 1 + i )1/k – 1
Donde i recibe la denominación de tanto efectivo anual e ik es el tanto
equivalente k-esimal
8
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Calcular los siguientes tantos equivalentes correspondientes a un tanto
efectivo anual del 10%:
™
™
™
™
mensual
trimestral
cuatrimestral
semestral
1º Tanto de interés mensual:
i = 0,10
k = 12
i12 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )1/12 – 1 = 0,0079741404
2º Tanto de interés trimestral:
k=4
i4 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )1/4 – 1 = 0,024113689
3º Tanto de interés cuatrimestral:
k=3
i3 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )1/3 – 1 = 0,032280115
4º Tanto de interés semestral:
k=2
i2 = ( 1 + i )1/k – 1 = ( 1 + 0,10 )1/2 – 1 = 0,048808848
2.2.2 Tanto nominal
El tanto nominal se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización por el
tanto de interés k-esimal. Por tanto:
Jk = k × ik
9
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
O de otra forma:
ik =
Jk
k
Es decir el tanto k-esimal se obtiene dividiendo el tanto nominal entre la
frecuencia de capitalización.
Dicha relación nos permite obtener fácilmente el tanto efectivo k-esimal una vez
que conocemos su correspondiente tanto nominal anual capitalizable por késimos o viceversa.
En el siguiente esquema se observan las relaciones que existen entre los
distintos tantos:
•
•
Dado i tendremos que:
Dado ik tendremos que:
ik = ( 1 + i )1/k – 1
Jk = [ ( 1 + i )1/k – 1 ] × k
i = ( 1 + ik )k – 1
Jk = k × ik
i=(1+
•
Jk
k
)k – 1
Dado Jk tendremos que:
ik =
Jk
k
Donde:
(i): Tanto de interés efectivo anual T.A.E.
(ik): Tanto efectivo k-esimal
(Jk): Tanto nominal anual capitalizable por k-ésimos
Ejemplo:
Dado un tanto de interés nominal capitalizable por trimestres del 12% ¿Cuál
será el tanto efectivo anual correspondiente?
k=4 Î J4= 0,12 Î i4= J4 /4=0,12 /4=0,03Î i = (1+i4)4 – 1=(1,03)4 – 1=0,12550881
10
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.3 CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS
2.3.1 Capitalización por tiempos fraccionados: convenio lineal y
convenio exponencial
Cn = C0 × ( 1+ i )n, n no
p
represente un número entero de años, sino que sea igual a n = h +
, donde
k
Puede ocurrir que en la fórmula de la capitalización
h sea un número entero de años y
p
k sea una fracción de año.
En este caso la fórmula del capital final será:
Cn = C0 × ( 1+ i )h + (p/k) = C0 × ( 1+ i )h × ( 1+ i ) (p/k)
Ante esta situación existen dos posibles formas de calcular el capital final:
™ Convenio lineal: consiste en capitalizar en régimen de capitalización
compuesta el número entero de años y en régimen de capitalización
simple la fracción del año.
Cn = C0 × ( 1+ i )h × ( 1 + i
p
)
k
™ Convenio exponencial: en el convenio exponencial la capitalización se
realiza en régimen de compuesta tanto por el período entero como por
el fraccionado.
Cn = C0 × ( 1+ i )h × ( 1 + ik )p
Siendo ik el tanto k-esimal equivalente al anual. También se podría
calcular el capital final en función únicamente del tanto de interés anual
i, o bien del tanto de interés k-esimal ik, en cuyo caso tendríamos
respectivamente que:
p
Cn = C0 × ( 1+ i )h + k
Cn = C0 × ( 1+ ik )kh + p
11
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Calcular el capital final que producirán 1.000 € impuestos al 10% durante 10
años y 8 meses utilizando ambos convenios:
1º Convenio lineal:
i = 0,10
Cn = C0 × ( 1+ i )h × ( 1 + i
8
p
) = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 × ( 1 + 0,10
) = 2.766,66€
12
k
2º Convenio exponencial:
i = 0,10
i12 = ( 1+ i )1/12 = ( 1 + 0,10 ) 1/12 = 0,0079741404
Cn = C0 × (1+ i)h × (1 + ik)p = 1.000 × (1+ 0,10)10 × (1 + 0,00797414)8 = 2.763,89 €
También podemos hallar el capital final:
™ En función del tipo de interés k-esimal, únicamente
Cn = C0 × ( 1 + ik )kh+p = 1.000 × ( 1 + 0,00797414 )(10 × 12) + 8 = 2.763, 89 €
™ En función del tanto de interés anual
p
8
Cn = C0 × ( 1+ i )h + k = 1.000 × ( 1+ 0,10 )10 + 12 = 2.763, 89 €
2.4 EL DESCUENTO COMPUESTO
El descuento compuesto es aquella operación financiera que tiene por objeto la
sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento en el presente,
mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es decir, es
una operación financiera que resulta de aplicar un tanto de descuento a un
capital Cn ó nominal con vencimiento futuro, para obtener el valor del capital
actual Co llamado efectivo, de disponibilidad inmediata.
En definitiva, es la operación inversa a la capitalización. En la capitalización
obtenemos el capital futuro producido por la inversión de un capital presente,
mientras que en el descuento sustituimos ese capital futuro por otro con
vencimiento presente. Siendo el descuento el importe que se percibe por
anticipar la disponibilidad de un capital.
12
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
El descuento se calcula restando del capital final al vencimiento o nominal el
capital que se obtiene en el presente o efectivo. ( D=Cn-Co )
C0
Cn
0
1
2
n
Existen dos clases diferentes de descuento compuesto según el capital que
tengamos en cuenta para el cálculo de los intereses.
2.4.1 Descuento racional
El descuento racional es el interés que produce un capital inicial durante el
período que va entre el vencimiento del capital final o montante y el del capital
inicial. Es decir se considera generador de intereses el capital al inicio de dicho
período.
C0
0
C1
C2
1
2
Cn-1 Cn
i
n-1
n
Vamos a realizar el cálculo del capital para los distintos momentos del tiempo:
Momento n: Cn
Momento n-1: Cn-1= Cn – In= Cn – Cn-1 × i; Cn-1 + Cn-1 × i=Cn ; Cn-1 × ( 1 + i )=Cn ; Cn-1 =
Momento n-2: Cn-2=Cn-1–In-1=Cn-1–Cn-2 × i; Cn-2 + Cn-2 × i=Cn-1; Cn-2 × (1 + i)=Cn-1; Cn-2=
Momento 0: C0=C1 – I1 =C1 – C0 × i; C0 + C0 × i = C1; C0 × ( 1 + i ) = C1; C0 =
Cn
(1 + i)
Cn
(1 + i) 2
C1
Cn
=
(1 + i)
(1 + i) n
Partiendo de las fórmulas del capital final Cn = C0 × ( 1 + i )n y del capital inicial
C0 = Cn × ( 1 + i )-n , y sustituyendo en la fórmula del descuento racional
Dr = Cn – C0 tendremos:
™ Si sustituimos C0, obtendremos el importe del descuento en función del
nominal
Dr = Cn - Cn × ( 1 + i )-n = Cn × [ 1 - ( 1 + i )-n]
™ Si sustituimos Cn, obtendremos el importe del descuento en función del
efectivo
Dr = C0 × ( 1 + i )n – C0 = C0 × [ ( 1 + i )n - 1]
13
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Se desea anticipar el
importa 30.000 €. Si
cantidad tendrá que
operación es del 10%
pago de una deuda que vence dentro de 5 años y que
el pago se quiere realizar en el momento actual ¿Qué
abonarse si el tipo de interés al que se concierta la
anual? ¿Cuál será el importe del descuento?
C0
0
30.000
i=0,10
5
Cn = 30.000 €
n = 5 años
i= 0,10
1º Vamos a calcular el efectivo o capital inicial que habría de satisfacer a día de hoy.
C0 = Cn × ( 1 + i )-n = 30.000 × ( 1 + 0,10 )-5 = 18.627,64€
2º Cálculo del descuento racional
Dr = Cn – C0 = 30.000 – 18.627, 64 = 11.372,36€
2.4.2 Descuento comercial
El descuento comercial resulta de la aplicación de un tanto de descuento d al
nominal durante el período de tiempo a considerar. En este caso y a efectos del
cálculo de los intereses de un período, tomamos el capital al final de dicho
período, y el tanto d que se establezca para la operación.
Vamos a realizar el cálculo del capital para los distintos momentos del tiempo:
Momento n: Cn
Momento n-1: Cn-1 = Cn – Cn × d = Cn × ( 1 – d )
Momento n-2: Cn-2 = Cn-1 – Cn-1 × d = Cn-1 × ( 1 – d ) = Cn × ( 1 – d )2
Momento n-3: Cn-3 = Cn-2 – Cn-2 × d = Cn-2 × ( 1 – d ) = Cn × ( 1 – d )3
Momento 0: C0 = Cn × ( 1 – d )n
14
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
La fórmula que permite obtener el efectivo ( Co ) aplicando el tanto de descuento
( d ) al valor nominal ( Cn ) es:
C0 = Cn × ( 1 - d )n
Si partimos del valor que acabamos de obtener para el capital inicial, y lo
sustituimos en la fórmula del descuento comercial Dc = Cn – C0 tendremos:
Dr = Cn - Cn × ( 1 - d ) n = Cn × [ 1 - ( 1 - d )n]
Quedando expresado el descuento en función del nominal.
Ejemplo:
Se desea anticipar el pago de una deuda que vence dentro de 5 años y que
importa 30.000 €. Si el pago se quiere realizar en el momento actual ¿Qué
cantidad tendrá que abonarse si el tipo de descuento fijado es del 10% anual?
¿Cuál será el importe del descuento?
C0
0
30.000
d =0,10
5
Cn = 30.000 €
n = 5 años
d = 0,10
1º Vamos a calcular el efectivo o capital inicial que habría de satisfacer a día de hoy.
C0 = Cn × ( 1 - d )n = 30.000 × ( 1 - 0,10 ) 5 = 17.714,7 €
2º Cálculo del descuento comercial
Dr = Cn – C0 = 30.000 – 17.714,7 = 12.285,3€
2.4.3 Equivalencia entre tanto de interés y tanto de descuento.
Una vez que se han visto los dos modelos de descuento existentes, y teniendo en
cuenta que descontando el mismo capital, por igual período y al mismo tanto, los
resultados que obtenemos van a ser diferentes según que utilicemos uno u otro,
vamos a tratar de encontrar la relación que existe entre ambos tantos para que
el resultado sea el mismo utilizando cualquiera de los dos procedimientos.
15
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Para que exista equivalencia entre el tanto de interés y el de descuento, el valor
actual obtenido al descontar un capital final o nominal a un tipo de interés y por
un período determinado, ha de ser el mismo, que si descontásemos ese mismo
nominal a un tanto de descuento y por igual período de tiempo.
Es decir:
Cn× ( 1 + i )-n = Cn × ( 1 - d )n
Si simplificamos Cn en ambos miembros de la ecuación, queda:
( 1 + i )-n = ( 1 - d )n
Si ahora elevamos a la potencia 1/n ambos miembros de la igualdad tenemos:
(1 − d)
Simplificando:
n
1
n
= (1 + i)
-n
1
n
( 1 – d ) = ( 1 + i )-1
A partir de esta ecuación ya podemos relacionar el tanto de descuento y el de
interés:
1 − (1 − d)
d
1
™ Despejando i: i = ( 1 – d )-1 – 1 =
-1=
=
(1 − d)
(1 − d)
(1 − d )
™ Despejando d:
d =1-
i
1
1 + i −1
=
=
(1+ i)
(1 + i)
(1+ i)
Ejemplo:
¿Un tipo de descuento del 10% a qué tipo de interés es equivalente?
i =
0,10
d
=
= 0,111111...
(1 − d) (1 − 0,10)
¿Y un tipo de interés del 10% a qué tipo de descuento es equivalente?
d =
i
0,10
=
= 0,90909091
(1 + i)
(1 + 0,10)
16
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.5 EQUIVALENCIA DE CAPITALES
2.5.1 Equivalencia de capitales en capitalización compuesta
Se dice que varios capitales C1, C2, C3, ..., Ck que vencen respectivamente en t1,
t2,t3,..., tk son equivalentes a otros capitales Ck+1, Ck+2, Ck+3, ..., Cn que vencen
en tk+1, tk+2, tk+3, tn, cuando, la suma de sus valores sea igual, para un momento
t cualquiera en que se comparen.
Si valoramos en el momento actual, para que sean equivalentes, debe cumplirse
que:
C1 × (1+i) −t1 + C2 × (1+i) −t 2 + C3 × (1+i) −t3 +...+Ck× (1+i) −t k = Ck+1 × (1+i) −t k +1 +Ck+2 ×
(1+i) −t k + 2 + Ck+3 × (1+i) −t k + 3 + Cn × ( 1 + i ) −t n
En la equivalencia entre capitales, es indiferente cual sea el momento en que
realice la valoración, si dos capitales son equivalentes van a serlo, sea cual sea el
momento en que se valoren.
2.5.2 El capital común
Es el capital único y equivalente Ct que vence en un momento t y que sustituye a
varios capitales C1, C2, C3,…, Cn con vencimientos en t1, t2, t3,…, tn
respectivamente, siendo todos ellos conocidos.
1º Partiendo de la ecuación de equivalencia:
Ct × ( 1 + i )-t = C1 × ( 1 + i )
−t
+ Cn × ( 1 + i ) n
C t (1 + i ) − t
−t1
+ C2 × ( 1 + i )
−t2
+ C3 × ( 1 + i )
− t3
+ ...
n
= ∑ C j (1 + i ) − t j
j =1
2º Pasando ( 1 + i )-t al otro miembro de la ecuación:
n
Ct
=
∑ C j (1+ i )− t j
j =1
(1+ i )− t
17
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Se desea conocer el importe del capital único que venciendo dentro de 5 años,
sustituiría a tres deudas de 1.000 €, 2.000 € y 3.000€ que venciesen en el
plazo de 2, 4 y 6 años respectivamente. La operación se realiza a un tanto de
interés del 10%.
Solución:
1º Si calculamos la equivalencia de capitales en el año 5.
1.000
0
1
2
2.000
3
4
C5
5
3.000
6
C5 = 1.000 × (1 + 0,10)3 + 2.000 × (1 + 0,10) + 3.000 × (1 + 0,10)-1 = 6.258,27 €
2º Si calculamos la equivalencia de capitales en el año 0
1.000
0
1
2
2.000
3
4
C5
5
3.000
6
C5 × (1+0,10)-5 = 1.000 × (1+0,10)-2 + 2.000 × (1+0,10)-4 + 3.000 × (1+0,10)-6 = 6.258,27 €
3º Si utilizamos la fórmula del capital común
n
Ct =
∑C
j =1
j
(1 + i )
(1 + i )
−t j
=
−t
3.885,894982
= 6.258,27€
(1,10) −5
1.000 × (1,10)-2 = 826,446281
2.000 × (1,10)-4 = 1.366,026911
3.000 × (1,10)–6= 1.693,42179
n
∑ C (1 + i)
j
−t j
= 3.885,894982
j =1
18
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.5.3 Vencimiento común
Es el momento del tiempo t en el que vence el capital único Ct que va a sustituir
a varios capitales (C1, C2, C3, …, Cn) cuyas fechas de vencimiento son (t1, t2, t3,
…, tn), siendo todos los datos, excepto t, conocidos.
Matemáticamente, el vencimiento común será el momento t en el cual se cumple
que:
Ct × (1 + i)-t=C1 × (1 + i)
−t1
−t2
+ C2 × (1 + i)
+ C3 × (1 + i)
− t3
+ ... + Cn × (1 + i)
− tn
Siendo: Ct ≠ C1 + C2 + C3 + … + Cn
La anterior ecuación la podemos expresar como:
C
t
(1 + i ) −
t = ∑n C
j =1
j
(1 + i ) −
t
j
Aplicando las propiedades de los logaritmos podemos despejar t:
log C t − log ∑ C j (1+ i )−t j
n
t=
j =1
log(1 + i)
Propiedades de los logaritmos aplicadas:
a) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor
b) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base.
19
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Se deben pagar tres deudas de 2.000 €, 5.000 € y 7.000 € con vencimientos
respectivos a los 2, 4 y 6 años. El importe de las deudas, se desea sustituir por
un pago único de 10.000 €. La operación se realiza a un tanto de interés del
12%. ¿Cuándo habrá de efectuarse el pago?
Solución:
2.000 × (1,12)-2 = 1.594,38776
5.000 × (1,12)-4 = 3.177,59039
7.000 × (1,12)–6= 3.546,41785
n
∑ C (1 + i)
j
−t j
= 8.318,40 €
j =1
t=
log(10.000) − log(8.318,40)
= 1,62461
log(1,12)
t = 1 año 7 meses y 14 días
2.5.4 Vencimiento medio
Es un caso particular del vencimiento común en el que:
C1 + C2 + C3 + … + Cn = Ct; es decir Ct =
n
∑C
j
j=1
Si sustituimos el valor de Ct por el de
n
∑C
j
en la fórmula de vencimiento común
j=1
obtenemos:
tm =
log
n
∑ C
j =1
j
− log
n
∑ C
j =1
j
(1 + i ) − t
j
log( 1 + i )
20
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Se deben pagar tres deudas de 2.000 €, 5.000 € y 7.000 € con vencimientos
respectivos a los 2, 4 y 6 años. El importe de las deudas, se desea sustituir por
un pago único de 14.000 €. La operación se realiza a un tanto de interés anual
del 12%
¿Cuándo habrá de efectuarse el pago?
Solución:
2.000 × (1,12)-2 = 1.594,38776
5.000 × (1,12)-4 = 3.177,59039
7.000 × (1,12)–6= 3.546,41785
n
∑ C (1 + i)
j
−t j
= 8.318,40 €
j =1
t=
log(14.000) − log(8.318,40)
= 4,593607
log(1,12)
t = 4 años 7 meses y 3 días
21
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.5.4.1
Caso particular: capitales de la prestación iguales entre sí
Este es un caso particular del vencimiento medio, en el que todos los capitales
son iguales entre sí y además el importe del capital único que los sustituye es
igual a la suma de dichos capitales.
De donde:
C1 = C2 = C3 = … = Cn
C1 + C2 + C3 + … + Cn = Ct = n × C
1º Si partimos de la ecuación de equivalencia y sustituimos en ella los valores
tenemos:
−t1
Ct (1 + i)-t = C1 (1 + i)
n × C (1 + i)-t = C (1 + i)
+ C2 (1 + i)
−t1
−t2
+ C (1 + i)
+ C3 (1 + i)
−t2
− t3
+ C (1 + i)
+ ... + Cn (1 + i)
− t3
−tn
+ ... + C ( 1 + i)
−tn
2º Si sacamos factor común C:
n × C (1 + i)-t = C × [(1 + i)
−t1
+ (1 + i)
− t2
+ (1 + i)
− t3
+ ... + (1 + i)
− tn
]
3º Simplificando y pasando n al otro miembro de la ecuación:
n
∑ C (1 + i)
j
(1+i ) −t m
=
−t j
j =1
n
4º Aplicando las propiedades de los logaritmos:
log n − log ∑ (1 + i ) − t j
n
tm
=
j =1
log( 1 + i )
22
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo:
Se deben pagar tres deudas de 2.000 € cada una con vencimientos respectivos
a los 2, 4 y 6 años. El importe de las deudas, se desea sustituir por un pago
único de 6.000 €. La operación se realiza a un tanto de interés anual del 12%
¿Cuándo habrá de efectuarse el pago?
Solución:
(1,12)-2 = 0,79719388
(1,12)-4 = 0,63551808
(1,12)–6= 0,50663112
n
∑ (1 + i)
−t j
= 1,93934308
j =1
t=
log( 3 ) − log( 1, 93934308
log( 1,12 )
)
= 3,849537214
t = 3 años 10 meses y 5 días
23
Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras
2ª parte: Matemáticas Financieras
Capítulo 3. RENTAS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Índice de contenidos
Página
CAPÍTULO 3
RENTAS
3.1
CONCEPTO Y CLASES
3.1.1
Concepto
3.1.2
Clasificación
3
3
3
3
3.2
RENTAS CONSTANTES
3.2.1
Renta constante, pospagable y temporal
3.2.2
Renta constante, pospagable y perpetua
3.2.3
Renta constante, prepagable y temporal
3.2.4
Renta constante, prepagable y perpetua
5
5
13
16
21
3.3
RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
3.3.1
Rentas variables en progresión geométrica, pospagables y temporales
3.3.2
Rentas variables en progresión geométrica, pospagables y perpetuas
3.3.3
Rentas variables en progresión geométrica, prepagables y temporales
3.3.4
Rentas variables en progresión geométrica, prepagables y perpetuas
22
23
29
30
33
3.4
RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
3.4.1
Rentas variables en progresión aritmética, pospagables y temporales
3.4.2
Rentas variables en progresión aritmética, pospagables y perpetuas
3.4.3
Rentas variables en progresión aritmética, prepagables y temporales
3.4.4
Rentas variables en progresión aritmética, prepagables y perpetuas
35
36
40
42
45
3.5
RENTAS FRACCIONADAS
3.5.1
Rentas constantes
3.5.1.1
Rentas pospagables
3.5.1.2
Rentas prepagables
3.5.2
Rentas fraccionadas variables en progresión geométrica
3.5.2.1
Rentas pospagables
3.5.2.2
Rentas prepagables
3.5.3
Rentas fraccionadas variables en progresión aritmética
3.5.3.1
Rentas pospagables
3.5.3.2
Rentas prepagables
47
47
47
50
50
51
53
54
54
56
3.6
57
RENTAS CONTINUAS
3.7
RENTAS CONSTANTES DE PERÍODO UNIFORME SUPERIOR AL AÑO
3.7.1
Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadas en función del
tanto de interés anual “i”
3.7.2
Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadas en función del
tanto de interés equivalente ip
60
60
62
2
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Capítulo 3 RENTAS
3.1 CONCEPTO Y CLASES
3.1.1 Concepto
Una renta es
determinados.
una
sucesión
de
capitales
disponibles
en
vencimientos
En el estudio de las rentas llamaremos:
™ Término de la renta: A los capitales que forman dicha renta
™ Período: Al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos
™ Origen de la renta: Es el momento donde comienza la renta
™ Fin de la renta: Momento donde finaliza la renta
™ Duración: tiempo que transcurre entre el comienzo y fin de la renta
™ Vencimiento del término: El término de la renta puede vencer bien al
comienzo o al final de cada período. Dos ejemplos típicos son:
o
o
Los sueldos: Estos normalmente se pagan al final del mes, aunque
se comienzan a generar el primer día.
Los alquileres: Estos vencen el primer día del mes, es decir se
pagan el primer día, aunque se generen a lo largo de todo el mes.
3.1.2 Clasificación
Las rentas pueden clasificarse de muy diversas formas. Según el criterio al que
atendamos, tendremos:
1. Atendiendo a la naturaleza del término:
Si atendemos a la naturaleza de los términos de la renta, estas pueden
ser:
™ Constantes: Todos los términos de la renta son iguales entre sí. Es
decir,
C1 = C2 = C3 = .... = Cn-1 = Cn
™ Variables: Si los términos de la renta difieren entre sí. Es decir,
C1 ≠ C2 ≠ C3 ≠ .... ≠ Cn-1 ≠ Cn
3
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
2. Atendiendo a la duración de la renta
Si atendemos a la duración de las rentas estas pueden ser:
™ Temporales: Cuando la renta tiene un número finito de términos.
™ Perpetuas: Cuando la renta tiene infinitos términos.
3. Atendiendo al momento de vencimiento del término:
Los términos de la renta pueden vencer al principio o al final del
período. Teniendo en cuenta este hecho, las rentas se pueden clasificar
en:
™ Pospagables: Si el término de la renta se cobra o paga al final de
cada período.
™ Prepagables: Si el término de la renta se cobra o paga al inicio de
cada período.
4. Atendiendo al momento en que se realice la valoración de la renta:
Dependiendo del momento en que se efectué la valoración las rentas
pueden ser:
™ Inmediatas: Cuando el punto de valoración coincide con el inicio o el
final de la renta.
™ Diferidas: Cuando el punto de valoración es anterior al origen de la
renta.
™ Anticipadas: Cuando el punto de valoración es posterior al de
finalización de la renta.
5. Atendiendo al fraccionamiento de la renta:
™ Enteras: El período sobre el que se aplica el tanto de interés
coincide con el período del término de la renta.
™ Fraccionadas: Cuando el período del término de la renta no coincide
con el período del tanto de interés o bien no coincide con el período
de capitalización del tanto.
6. Atendiendo a la amplitud de los intervalos:
Según la amplitud de los intervalos, las rentas pueden ser:
™ Discretas: Cuando los intervalos son de dimensión finita.
™ Continuas: Cuando la amplitud de los intervalos es de dimensión
infinitesimal.
Una vez definidos los principales elementos de las rentas y realizada su
clasificación, vamos a pasar a su estudio.
4
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.2 RENTAS CONSTANTES
Las rentas constantes son aquellas en las que todos sus términos son iguales
entre sí. Dependiendo de sus características podemos encontrarnos con las
siguientes clases de rentas constantes:
3.2.1 Renta constante, pospagable y temporal
Las rentas constantes, pospagables y temporales presentan las siguientes
características:
™
™
™
Todos sus términos son iguales entre sí.
Los términos vencen al final de cada período.
Están compuestas por un número finito de términos.
Dependiendo de cuál sea el momento de valoración de estas rentas, tendremos:
1. Inmediatas
Son inmediatas cuando su punto de valoración coincide con el origen o
el final de la renta.
5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Valor actual
El valor actual de una renta es igual al valor actual de todos y cada uno
de sus términos.
El valor actual de una renta constante, inmediata, pospagable y
temporal se representa gráficamente del siguiente modo:
0
C
C
C
C
C
×
×
×
×
×
(1+i)-1
(1+i)-2
(1+i)-3
(1+i)-(n-1)
(1+i)-n
1
C
2
3
n-1
n
C
C
C
C
Matemáticamente se expresará como:
V0 = C × (1+i)-1 + C × (1+i)-2+ C × (1+i)-3+ ... + C × (1+i)-n
Si sacamos factor común a C, nos queda:
V0 = C × [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-n ]
Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:
V0 = [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-n ]
Donde [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-n ] es una progresión
geométrica de razón (1+i)-1 < 1, y por tanto, decreciente.
La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente es
igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
a1 = Primer término de la progresión
an = Último término de la progresión
r = Razón
Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:
S=
(1 + i)-1 − (1 + i) − n × (1 + i) −1
1 − (1 + i) −1
6
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
S=
S=
(1 + i) -1 − (1 + i) − n × (1 + i) −1 (1 + i ) × (1 + i ) −1 − (1 + i ) − n × (1 + i ) × (1 + i ) −1
=
(1 + i) - 1
(1 + i ) − 1
(1 + i)
1 − (1 + i) − n
i
Por tanto, el valor actual de una renta constante, unitaria, pospagable,
temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, que
representaremos como an┐i, será igual a:
an┐i =
1 − (1 + i) − n
i
El valor actual de una renta constante, temporal, pospagable e
inmediata de términos de cuantía C será:
V0 = C ×
1 − (1 + i) − n
i
™ Valor final
El valor final de una renta es igual a la suma de todos y cada uno de
sus términos valorados en el momento n.
El valor final de una renta constante, inmediata, pospagable y
temporal se representa gráficamente del siguiente modo:
0
1
2
3
n-1
C
C
C
C
n
C
C
C
C
C
C
×
×
×
×
(1+i)
(1+i)n-3
(1+i)n-2
(1+i)n-1
Matemáticamente se expresará como:
Vn = C + C × (1+i) + C × (1+i)2+ C × (1+i)3+ ... + C × (1+i)n-1
7
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Si sacamos factor común a C, nos queda:
Vn = C × [ 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n-1 ]
Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:
Vn = [1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n-1 ]
Donde [ 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n-1 ] es una progresión
geométrica de razón (1+i) > 1, y por tanto, creciente.
La suma de los términos de una progresión geométrica creciente es
igual a:
S=
a n × r − a1
r −1
a1 = Primer término de la progresión
an = Último término de la progresión
r = Razón
Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:
S=
(1 + i) n -1 × (1 + i) − 1 (1 + i) n − 1
=
(1 + i) - 1
i
S=
(1 + i) n − 1
i
Por tanto, el valor final de una renta constante, unitaria, pospagable,
temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, que
representaremos como Sn┐i, será igual a:
Sn ┐ i =
(1 + i) n − 1
i
El valor final de una renta constante, temporal, pospagable e
inmediata de términos de cuantía C será:
Vn = C ×
(1 + i) n − 1
i
8
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Relación entre el valor actual y el valor final
El valor final es igual al valor actual de la renta capitalizado al
momento n. Gráficamente lo representaremos como:
0
1
2
3
n-1
n
V0=C× an┐i
(1+i)n
Vn=V0× (1+i)n
Matemáticamente se expresará como Vn=V0×(1+i)n , si desarrollamos
esta expresión nos queda:
Vn = C ×
1 − (1 + i) − n
(1 + i) n − 1
× (1 + i) n = C ×
i
i
Por tanto el valor final de la renta será igual al valor actual multiplicado
por (1+i)n.
2. Diferidas
Las rentas son diferidas cuando su punto de valoración es anterior al
origen de la renta. La representación gráfica de estas rentas es:
d
C
C
C
C
×
×
×
×
0
(1+i)-1
(1+i)-2
(1+i)-(n-1)
(1+i)-n
1
2
n-1
C
C
C
n
C
(1+i)-d
El valor actual de una renta constante, temporal, pospagable y diferida
d períodos será igual a:
d / V0 = C ×
1 − (1 + i) − n
× (1 + i) −d
i
9
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3. Anticipadas
Las rentas son anticipadas cuando su punto de valoración es posterior
a la finalización de la renta. Gráficamente las representaremos como:
0
1
2
C
C
3
C
n-1
n
C
C
h
C
C
C
C
C
×
×
×
×
(1+i)
(1+i)n-3
(1+i)n-2
(1+i)n-1
(1+i)h
El valor final de una renta constante, temporal, pospagable y
anticipada h períodos será igual a:
h / Vn = C ×
(1 + i) n - 1
× (1 + i) h
i
Ejemplo:
Dada una renta constante, temporal y pospagable de términos de cuantía
10.000€, de duración 10 años y valorada a un tipo de interés del 10%.
Calcular:
1. El valor actual y final de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
3. El valor final de la renta si se valora 2 años después de su
finalización
Solución:
1. Cálculo del valor actual y final de la renta constante, temporal y pospagable.
™ Valor actual
V0 = C ×
1 − (1 + i) − n
i
V0 = 10.000 ×
1 − (1,10) −10
= 61.445,67€
0,10
10
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Valor final
Vn = C ×
(1 + i) n − 1
i
Vn = 10.000 ×
(1,10)10 − 1
= 159.374,25€
0,10
También podríamos haber calculado el valor final como:
Vn = V0 × (1 + i ) n
Vn = 61.445,67 × (1,10)10 = 159.374,25€
2. Cálculo del valor actual para un diferimiento de 2años
d /V0 = C ×
1 − (1 + i) − n
× (1 + i) −d
i
2 / V0 = = 10.000 ×
1 − (1,10) −10
× (1,10) − 2 = 50.781,55€
0,10
3. Cálculo del valor final si la valoración se efectúa 2 años después de la
finalización de la renta
h / Vn = C ×
(1 + i) n - 1
× (1 + i) h
i
2 / Vn = 10.000 ×
(1,10)10 - 1
× (1,10) 2 = 192.842,84€
0,10
11
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Ejemplo:
El valor actual de una renta constante, temporal y pospagable, de duración
10 años es de 92.168,51€. ¿Cuál será el importe de los términos de dicha
renta, sabiendo que el tipo de interés empleado en su valoración es del
10%?
Solución:
™ Cálculo del importe de los términos de la renta.
0
1
2
3
C
C
C
9
C
10
C
V0= 92.168,51€
V0 = C ×
1 − (1 + i) − n
i
92.168,51€ = C ×
C=
1 − (1,10) −10
0,10
92.168,51
= 15.000€
1 − (1,10) −10
0,10
Ejemplo:
El valor final de una renta constante de términos de cuantía 12.550€,
temporal y pospagable, es de 200.014,68€. ¿Cuál será la duración de dicha
renta si el tipo de interés empleado en su valoración es del 10%?
Solución:
™ Cálculo de la duración de la renta.
Vn = C ×
(1 + i) n − 1
i
200.014,68 = 12.550 ×
(1,10) n − 1
0,10
12
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
200.014,68 (1,10) n − 1
=
12.550
0,10
200.014,68
× 0,10 = (1,10) n − 1
12.550
⎛ 200.014,68
⎞
× 0,10 ⎟ + 1
(1,10) n = ⎜
12
.
550
⎝
⎠
(1,10) n = 2,59374247
Si aplicamos logaritmos nos queda:
n=
log(2,59374247)
= 10años
log(1,10)
Ejemplo:
Dada una renta constante, temporal y pospagable, de términos de cuantía
10.000€, de duración 5 años y cuyo valor actual es igual a 38.000€. ¿Cuál
será el tipo de interés empleado en la valoración de dicha renta?
Información adicional:
n/i
5
0,095
3,83970879
0,10
0,105
3,79078697 3,74285822
Solución:
™ Cálculo del tipo de interés.
V0 = C ×
1 − (1 + i) − n
i
38.000 = 10.000 ×
1 − (1 + i ) −5
i
38.000 1 − (1 + i ) −5
=
= 3,8
i
10.000
Si buscamos en la tabla, vemos que el tipo de interés tiene que estar entre el 9,5%
y el 10%. Por tanto y para poder calcular el tipo de interés tendremos que
interpolar
13
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
a5┐0,095 = 3,83970879
a5┐0,10 = 3,79078697
a5┐i
= 3,8
i = 0,095
i = 0,10
i
X1
X2
X
Y1
Y2
Y
X − X1 X1 − X 2
=
Y − Y1
Y1 − Y2
3,8 − 3,83970879
Y − 0,095
=
3,83970879 − 3,79078697
0,095 − 0,10
Y = 0,0990583925
Por tanto i = 9,9 %
3.2.2 Renta constante, pospagable y perpetua
Las rentas constantes, pospagables y perpetuas presentan las siguientes
características:
™ Todos sus términos son iguales entre sí.
™ Los términos vencen al final de cada período.
™ Están compuestas por un número infinito de términos.
Dependiendo de cuál sea el momento de valoración de estas rentas tendremos:
1. Inmediatas
El valor actual de la renta constante, pospagable, inmediata y perpetua
será igual al valor actual de la renta constante, pospagable, inmediata
y temporal cuando el número de términos tiende a ∞ .
Por tanto, el valor actual de la renta unitaria, constante, pospagable,
inmediata y perpetua que representaremos como a ∞ ┐i será:
Lím
a ∞ ┐i = n →
∞ a n┐i =
Lím
n →∞
1 − (1 + i ) − n 1
=
i
i
a ∞ ┐i =
1
i
14
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
El valor actual de la renta constante, pospagable, inmediata y perpetua
de términos de cuantía C será:
V 0 = C a ∞ ┐i = C ×
1
i
2. Diferidas
La renta es diferida cuando su punto de valoración es anterior en d
períodos al origen de la renta. Su representación gráfica será:
d
0
1
2
3
C
C
C
∞
C
C
(1+i)-d
El valor actual de una renta constante, perpetua, pospagable y diferida
d períodos será igual a:
1
d / V0 = C a ∞ ┐i × (1 + i ) − d = C × × (1 + i ) − d
i
Ejemplo:
Dada una renta constante, pospagable y perpetua de términos de cuantía
10.000€. Calcular:
1.
2.
El valor actual de dicha renta
El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
Sabiendo que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
Solución:
1. Cálculo del valor actual de la renta constante, pospagable y perpetua.
V0 = C ×
1
i
V0 = 10.000 ×
1
= 100.000€
0,10
15
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
2. Cálculo del valor actual para un diferimiento de 2años
1
d / V0 = C × × (1 + i) −d
i
2 / V0 = = 10.000 ×
1
× (1,10) − 2 = 82.644,63€
0,10
3.2.3 Renta constante, prepagable y temporal
Las rentas constantes, prepagables y temporales presentan las siguientes
características:
™
™
™
Todos sus términos son iguales entre sí.
Los términos vencen al principio de cada período.
Están compuestas por un número finito de términos.
Dependiendo cuál sea el punto de valoración de estas rentas tendremos:
1. Inmediatas
Son inmediatas cuando su punto de valoración coincide con el origen o
el final de la renta.
™ Valor actual
El valor actual de una renta constante, inmediata, prepagable y
temporal se representa gráficamente del siguiente modo:
0
C
C
C
C
C
×
×
×
×
C
(1+i)-1
(1+i)-2
(1+i)-3
(1+i)-(n-1)
1
2
3
n-1
C
C
C
C
n
Matemáticamente se expresará como:
V0 = C + C × (1+i)-1 + C × (1+i)-2+ C × (1+i)-3+ ... + C × (1+i)-(n-1)
16
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Si sacamos factor común a C, nos queda:
V0 = C × [ 1 + (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-(n-1) ]
Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:
V0 = [ 1 + (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-(n-1) ]
Donde [ 1 + (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3+ ... + (1+i)-(n-1) ] es una
progresión geométrica de razón (1+i)-1 < 1, y por tanto, decreciente.
La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente es
igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:
S=
S=
S=
1 − (1 + i) − ( n -1) × (1 + i) −1
1 − (1 + i) −1
1 − (1 + i) − (n -1) × (1 + i) −1 1 - (1 + i) -n
=
× (1 + i )
(1 + i) - 1
(1 + i) − 1
(1 + i)
1 − (1 + i) − n
× (1 + i)
i
Por tanto, el valor actual de una renta constante, unitaria, prepagable,
temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, que
representaremos como än┐i, será igual a:
än┐i =
1 − (1 + i) − n
× (1 + i)
i
än┐i = an┐i × (1+i)
El valor actual de una renta constante, temporal, prepagable e
inmediata de términos de cuantía C será:
&& = C × 1 − (1 + i)
V
0
i
−n
× (1 + i)
&& = V × (1 + i)
V
0
0
17
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Valor final
El valor final de una renta constante, inmediata, prepagable y temporal
se representa gráficamente del siguiente modo:
0
1
C
C
2
3
n-1
C
C
C
n
C × (1+i)
C × (1+i)n-3
C × (1+i)n-2
C × (1+i)n-1
C × (1+i)n
Matemáticamente se expresará como:
Vn = C × (1+i) + C × (1+i)2+ C × (1+i)3+ ... + C × (1+i)n
Si sacamos factor común a C, nos queda:
Vn = C × [ (1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n ]
Si tomamos como valor de C una unidad monetaria, entonces:
Vn = [(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n ]
Donde [(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3+ ... + (1+i)n] es una progresión
geométrica de razón (1+i) > 1, y por tanto, creciente.
La suma de los términos de una progresión geométrica creciente es
igual a:
S=
a n × r − a1
r −1
Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:
S=
[
]
(1 + i) n × (1 + i) − (1 + i) (1 + i) (1 + i) n − 1 (1 + i) n − 1
=
=
× (1 + i)
(1 + i) - 1
i
i
18
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Por tanto, el valor final de una renta constante, unitaria, prepagable,
temporal e inmediata de n términos valorada al tanto de interés i, que
representaremos como &S& n┐i, será igual a:
n
&S& n┐i = (1 + i) − 1 × (1 + i)
i
&& n┐i = Sn┐i × (1 + i)
S
El valor final de una renta constante, temporal, pospagable e inmediata
de términos de cuantía C será:
n
&& = C × (1 + i) − 1 × (1 + i)
V
n
i
&& = V × (1 + i)
V
n
n
2. Diferidas
El valor actual de la renta constante, prepagable, temporal y diferida en d
períodos será igual a:
1 − (1 + i)
d / V&&0 = C ×
i
−n
× (1 + i) × (1 + i) −d
3. Anticipadas
El valor final de la renta constante, prepagable, temporal y anticipada en h
períodos será igual a:
(1 + i) n - 1
h / V&&n = C ×
× (1 + i) × (1 + i) h
i
Ejemplo:
Dada una renta constante, temporal y prepagable de términos de cuantía
10.000€, y de duración 10 años. Calcular:
1.
2.
3.
El valor actual y final de dicha renta
El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización
Sabiendo que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
19
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Solución:
1. Cálculo del valor actual y final de la renta constante, temporal y prepagable.
™ Valor actual
1 − (1 + i)
V&&0 = C ×
i
−n
× (1 + i)
1 − (1,10)
V&&0 = 10.000 ×
0,10
−10
× (1,10) = 67.590,24€
™ Valor final
(1 + i) n − 1
V&&n = C ×
× (1 + i)
i
(1,10) − 1
V&&n = 10.000 ×
× (1,10) = 175.311,67€
0,10
10
También podríamos haber calculado el valor final como:
V&&n = V&&0 × (1 + i ) n
V&&n = 67.590,24 × (1,10)10 = 175.311,67€
2. Cálculo del valor actual para un diferimiento de 2años
1 − (1 + i)
d / V&&0 = C ×
i
−n
× (1 + i) −d × (1 + i)
1 − (1,10)
2 / V&&0 = = 10.000 ×
0,10
−10
× (1,10) − 2 × (1,10) = 55.859,70€
3. Cálculo del valor final si la valoración se efectúa 2 años después de la finalización de
la renta
h / V&&n =
C×
(1 + i) n - 1
× (1 + i) h × (1 + i)
i
(1,10)10 - 1
2 / V&&n = 10.000 ×
× (1,10) 2 × (1,10) = 212.127,12€
0,10
20
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.2.4 Renta constante, prepagable y perpetua
Las rentas constantes, prepagables y perpetuas presentan las siguientes
características:
™ Todos sus términos son iguales entre sí.
™ Los términos vencen al principio de cada período.
™ Están compuestas por un número infinito de términos.
Dependiendo de cuál sea el momento de valoración de estas rentas tendremos:
1. Inmediatas
El valor actual de la renta constante, prepagable, inmediata y perpetua
será igual al valor actual de la renta constante, prepagable, inmediata
y temporal cuando el número de términos tiende ∞ .
Por tanto, el valor actual de la renta unitaria, constante, prepagable,
inmediata y perpetua que representaremos como ä ∞ ┐i será:
Lím
&& n┐i =
ä ∞ ┐i = n →
∞ a
Lím
n →∞
1 − (1 + i ) − n
1
× (1 + i ) = × (1 + i )
i
i
1
ä ∞ ┐i = × (1 + i )
i
El valor actual de la renta constante, prepagable, inmediata y perpetua
de cuantía C será:
1
V&&0 = C a&& ∞ ┐i = C × × (1 + i )
i
2. Diferidas
El valor actual de una renta constante, perpetua, pospagable y diferida
d períodos será igual a:
1
d / V&&0 = C a&& ∞ ┐i × (1 + i ) − d = C × × (1 + i ) − d × (1 + i )
i
Ejemplo:
Dada una renta constante, prepagable y perpetua de términos de cuantía
10.000€. Calcular:
1.
2.
El valor actual de dicha renta
El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
Sabiendo que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
21
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Solución:
1. Cálculo del valor actual de la renta constante, prepagable y perpetua.
1
V&&0 = C × × (1 + i)
i
1
V&&0 = 10.000 ×
× (1,10) = 110.000€
0,10
2. Cálculo del valor actual si existe un diferimiento de 2años
1
d / V&&0 = C × × (1 + i) −d × (1 + i)
i
2 / V&&0 = 10.000 ×
1
× (1,10) − 2 × (1,10) = 90.909,09€
0,10
3.3 RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Estas rentas se caracterizan porque sus términos varían en progresión
geométrica, siendo cada término igual al anterior multiplicado por una
determinada cantidad “q”, a la que denominaremos razón.
Si C1, C2, C3,...Cn son los términos de la renta que vencen en los momentos
1,2,3,...,n respectivamente y “q” es el valor de la razón, tendremos que:
™ Primer término Î
™ Segundo término Î
™ Tercer término Î
•
•
™ Termino n-ésimo Î
C1
C2= C1 x q
C3= C2 x q= C1 x q x q= C1 x q2
Cn=Cn-1 x q= C1 qn -1
Dependiendo de sus características, nos podemos encontrar con las siguientes
clases de rentas variables en progresión geométrica:
22
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.3.1 Rentas variables en progresión geométrica, pospagables y
temporales
Las rentas variables en progresión geométrica pospagables y temporales
presentan las siguientes características:
™ Sus términos varían en progresión geométrica
™ Sus términos vencen al final del período
™ Presentan un número finito de términos
Estas a su vez pueden ser, según el momento de valoración:
™ Inmediatas
™ Diferidas
™ Anticipadas
1. Inmediatas
™ Valor actual
Si el valor actual de una renta variable en progresión geométrica,
pospagable, temporal e inmediata. Se designa como:
A(C1,q) n⎤ i
Donde C1 es el valor del primer término de la renta, q es la razón de la
progresión, n el número de términos de la renta e i es el tanto de
valoración.
23
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Su representación grafica, será:
0
-1
C1(1+i)
C1q(1+i)-2
C1qn-2(1+i)-(n-1)
C1qn-1(1+i)-n
1
2
n-1
C1
C2= C1q
........
Cn-1 = C1 qn-2
n
Cn= C1 qn-1
Así pues, matemáticamente tendremos:
A(C1,q) n⎤ i = C1(1+i)-1+ C1q (1+i )-2+ C1q2(1+i)-3+.....+C1qn-1(1+i)-n
Si sacamos factor común C1 nos queda:
A(C1,q) n⎤ i = C1 [(1+i)-1+ q (1+i )-2+ q2(1+i)-3+.....+qn-1(1+i)-n ]
Y sabiendo que:
[(1+i)-1+ q (1+i )-2+ q2(1+i)-3+.....+qn-1(1+i)-n ]
Es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón
r = q(1+i)-1
Donde:
o
Si q < (1+i)
Nos encontramos con una progresión geométrica decreciente, en la
cual la suma de sus términos, es:
S =
a 1 − a nr
1 −r
Si en la expresión anterior sustituimos los valores de nuestra
progresión nos queda:
S=
(1+i)-1-qn-1(1+i)-nq (1+i)-1
1-q (1+i)-1
24
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Operando obtendremos, que:
S=
1 − q n (1 + i) − n
1+ i − q
Como:
A(C1,q) n⎤ i = C1 [(1+i)-1+ q (1+i )-2+ q2(1+i)-3+.....+qn-1(1+i)-n ]
Sustituyendo el valor del corchete por el de la suma de términos de
una progresión geométrica decreciente, obtenemos:
A(C1 , q) n ⎤i = C1
o
1 − q n (1 + i) − n
1+ i − q
Si q = (1+i)
La representación gráfica de la renta, será:
0
C1(1+i)-1
C1(1+i)1(1+i)-2
1
2
C1 C2= C1(1+i)
n-1
..........................
n
Cn-1 = C1(1+i)n-2 Cn= C1(1+i)n-1
C1 (1+i)n-1(1+i)-n
Matemáticamente la expresamos como:
A(C1,q) n⎤ i = C1(1+i)-1+ C1 (1+i) (1+i)-2+C1(1+i)2(1+i)-3 +.....+C1(1+i)n-1(1+i) -n
Eliminando exponentes:
A(C1,q) n⎤ i = C1(1+i)-1+ C1 (1+i)-1+ C1(1+i)-1 +.....+C1(1+i)-1
Que queda, como:
A(C1 , q) n ⎤i = nC1 (1 + i)−1
25
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
o
Si q>(1+i)
Se calcularía teniendo en cuenta que en este caso estaríamos ante una
progresión geométrica creciente.
™ Valor final
Como ya se señalo anteriormente, el valor final es el resultado de
multiplicar el valor actual de dicha renta por (1+i)n, esto es:
S(C1 , q) n ⎤i = A(C1 , q) n ⎤i (1 + i) n
o
Si q ≠ (1+i)
o
Si q = (1+i)
S(C1,q) n⎤ i = n C1 (1+i)-1 (1+i)n
Sumando exponentes:
S(C1,q) n⎤ i = n C1 (1+i)n-1
2. Diferidas
Para obtener el valor actual de las rentas diferidas, basta con
multiplicar el valor actual de la correspondiente renta inmediata por
(1+i)-d, donde d es el número de períodos de diferimiento de la renta.
d
A(C1 , q)n ⎤i
= A(C1 , q) n ⎤i (1 + i) − d = C1
1 − q n (1 + i) − n
(1 + i) − d
1+ i − q
26
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3. Anticipadas
El valor final de una renta anticipada en h períodos, es igual al valor
final de la correspondiente renta inmediata multiplicada por (1+i)h.
h
S(C1 , q)n ⎤i
= S(C1 , q) n ⎤i (1 + i) h = C1
(1 + i) n − q n
(1 + i) h
1+ i − q
Ejemplo:
Calcular el valor actual y el valor final de una renta variable en progresión
geométrica, pospagable, de duración 10 años, si la cuantía del primer término
es de 10.000Є, el aumento anual acumulativo de los términos es el 10% y el
tanto empleado en la valoración es el 10% efectivo anual.
Solución:
1.
Valor actual de la renta variable en progresión geométrica, pospagable y
temporal
A(C1 , q) n ⎤i = nC1 (1 + i) −1
A(10.000,1'10) 10⎤ 0'10 = 10 x 10.000 x (1'10) −1 = 90.909'09€
2. Valor final de la renta variable en progresión geométrica, pospagable y
temporal.
S(C1 , q) n ⎤i = nC1 (1 + i) −1 (1 + i) n = 10 x 10.000 x (1'10)−1 × (1,10)10 = 235.794,77€
27
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión geométrica, temporal y pospagable
Calcular:
1. El valor actual y final de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
3. El valor final de la renta si se valora 2 años después de su
finalización
Sabiendo que el importe del primer término es de 10.000 €, que el
aumento anual acumulativo de los términos es un 5%, que la duración de
la renta es de 10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
Solución:
1. Valor actual y final de la renta pospagable de duración 10 años
™ Valor actual
A(C1 , q) n ⎤i = C1
1 − q n (1 + i) − n
1+ i − q
A(10.000,1,05) 10⎤ 0,10 = 10.000
™
1 − (1,05)10 (1,10) − 10
= 74.398,12€
1,10 − 1,05
Valor final
S(C1 , q) n ⎤i = C1
(1 + i) n − q n
1+ i − q
S(10.000,1,05) 10⎤ 0,10 = 10.000
(1,10)10 − (1,05)10
= 192.969,57€
(1,10) − (1,05)
2. Valor actual de la renta para un diferimiento de 2 años
d/A(C1 , q) n ⎤i = C1
1 − q n (1 + i) − n
(1 + i) −d
1+ i − q
2/A(10.000,1,05) 10⎤ 0,10 = 10.000
1 − (1,05)10 (1,10) − 10
(1,10) − 2 = 61.486,05€
(1,10) − (1,05)
28
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3. Valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización
h/S(C1 , q) n ⎤i = C1
(1 + i) n − q n
(1 + i) h
1+ i − q
2/S(10.000,1,05) 10⎤ 0,10 = 10.000
(1,10)10 − (1,05)10
(1,10) 2 = 233.493,18€
(1,10) − (1,05)
3.3.2 Rentas variables en progresión geométrica, pospagables y
perpetuas
Las rentas variables en progresión geométrica
presentan las siguientes características:
pospagables
y perpetuas
™ Sus términos varían en progresión geométrica.
™ Sus términos vencen al final del período
™ Tienen un numero infinito de términos
Dependiendo del momento en que se efectúe su valoración estas pueden ser:
™ Inmediatas
™ Diferidas
1. Inmediatas
Para hallar su valor actual tendremos que calcular el límite cuando n
tiende a ∞ en la fórmula del valor actual de la renta variable en
progresión geométrica, pospagable, inmediata y temporal.
™ Si q < (1+i)
1 − q n (1 + i) −n
1
= C1
1+ i − q
1+ i − q
n →∞ 1
n
q
Ya que cuando n → ∞
=0
(1 + i)
A(C1 , q) ∞⎤i = lim C
( )
™ Si q > (1+i)
A(C1 , q) ∞⎤i = lim C1
n →∞
1 − q n (1 + i) − n
1
= C1
=∞
1+ i − q
1+ i − q
Ya que cuando n → ∞
( )
q n
=∞
(1 + i)
29
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Si q = (1+i)
A(C1 , q) ∞⎤i = lim n C1 (1 + i) − 1 = ∞
n →∞
2. Diferidas
El valor actual de una renta variable en progresión geométrica,
pospagable, perpetua y diferida, será:
d
A(C1 , q)∞⎤i
= A(C1 , q) ∞⎤ i (1 + i) − d = C1
1
(1 + i) − d
1+ i − q
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión geométrica y perpetua, cuyo primer
término es de 10.000€, y cuya razón es igual a 1,05. Calcular el valor actual
de dicha renta sabiendo que existe un diferimiento de 5 años, y que el tanto
de interés empleado en la valoración el 10%.
Solución:
d
5
A(C1 , q)∞⎤ i
= A(C1 , q) ∞⎤ i (1 + i) − d = C1
A(10.000,1'05)∞⎤ 0'10
= 10.000
1
(1 + i) − d
1+ i − q
1
(1'10) − 5 = 124.184'26€
1'10 − 1'05
3.3.3 Rentas variables en progresión geométrica, prepagables y
temporales
Las rentas variables en progresión geométrica, prepagables y temporales se
caracterizan porque:
™ Sus términos varían en progresión geométrica
™ Sus términos vencen al principio de cada período
™ Por tener un numero finito de términos
30
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Y a su vez, y dependiendo del momento de su valoración, estas pueden ser:
™ Inmediatas
™ Diferidas
™ Anticipadas
1. Inmediatas
™ Valor actual
Para obtener el valor actual de una renta prepagable basta con
multiplicar por (1+i) el valor actual de su respectiva renta pospagable.
o
Si q ≠ (1+i)
n
−n
&& (C1 , q) n ⎤i = A(C1 , q) n ⎤i (1 + i) = C1 1 − q (1 + i)
A
(1 + i )
1+ i − q
o
Si q = (1+i)
&& (C1 ,1 + i) n⎤i = A(C1 ,1 + i) n ⎤i (1 + i) = n C1
A
™ Valor final
o
Si q ≠ (1+i)
n
n
&&(C1 , q) n ⎤ i = S(C1 , q) n ⎤ i (1 + i) = C (1 + i) − q (1 + i)
S
1
1+ i − q
o
Si q = (1+i)
&S&(C1 ,1 + i) n⎤i = S(C1 ,1 + i) n⎤i (1 + i) = n C1 (1 + i)n
2. Diferidas
El valor actual de la renta diferida es igual al valor actual de la
correspondiente renta inmediata multiplicado por (1+i)-d, donde d es el
número de períodos de diferimiento
−n
− d = 1 − q (1 + i ) (1 + i ) (1 + i) − d
&&
C1
&A& (C1 , q)n⎤i = A(C1 , q) n ⎤i (1 + i)
1+ i − q
n
d
31
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3. Anticipadas
El valor final de la renta anticipada es igual al valor final de la
correspondiente renta inmediata multiplicada por (1+i)h, donde h es el
número de períodos de anticipación.
h
&S&(C1 , q)n⎤i
= &S&(C1 , q) n⎤i (1 + i) h = C1
(1 + i ) − q
(1 + i ) (1 + i) h
1+ i − q
n
n
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión geométrica, temporal y prepagable
Calcular:
1. El valor actual y final de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
3. El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización
Sabiendo que el importe del primer término es de 10.000 €, que el aumento
anual acumulativo de los términos es un 5%, que la duración de la renta es de
10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
Solución:
1. Prepagable de duración 10 años
™
Valor actual
n
−n
&& (C , q) n ⎤i = C 1 − q (1 + i) (1 + i )
A
1
1
1+ i − q
− 10
10
&& (10.000,1'05) 10⎤ 0'10 = 10.000 1 − 1'05 (1'10)
A
(1'10) = 81.837,93€
1'10 − 1'05
™ Valor final
&&(C1 , q) n ⎤i = A
&& (C1 , q) n ⎤i (1 + i)n
S
&&(10.000,1'05) 10⎤ 0'10 = 81.837,93 (1'10)10 = 212.266,52€
S
32
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
2. Prepagable de duración 10 años con un diferimiento de 2 años
d
2
&& (C , q)n ⎤i
A
1
= C1
1 − q n (1 + i )− n
(1 + i ) (1 + i) − d
1+ i − q
&& (10.000,1'05)10⎤ 0'10
A
= 10.000
1 − 1'0510 (1'10)−10
(1'10) (1'10) − 2 = 67.634,66€
1'10 − 1'05
3. Prepagable de duración 10 años y valorada 2 años después de finalizada la renta.
(1 + i) n − q n
(1 + i ) (1 + i) h
&S&(C , q)n⎤i
1+ i − q
1
(1'10)10 − 1'0510
2
(1'10) (1'10) 2 = 256.842,49€
&S&(10.000,1'05)10⎤ 0'10 = 10.000 1'10 − 1'05
h
= C1
3.3.4 Rentas variables en progresión geométrica, prepagables y
perpetuas
Las rentas variables en progresión geométrica, prepagables y perpetuas se
caracterizan porque:
™ Sus términos varían en progresión geométrica
™ Sus términos vencen al comienzo de cada período
™ Tienen un numero infinito de términos
Estas pueden ser a su vez
™ Inmediatas
™ Diferidas
1. Inmediatas
Para hallar su valor actual tendremos que calcular el límite cuando n
tienda a infinito en la fórmula del valor actual de la renta variable en
progresión geométrica, prepagable, inmediata y temporal.
&& (C , q) ∞⎤ i = lim A(C , q) n⎤i (1 + i) = C
A
1
1
1
n →∞
1
(1 + i )
1+ i − q
33
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
2. Diferidas
Se obtiene multiplicando por (1+i)-d el valor actual de la inmediata
siendo d el numero de períodos de diferimiento.
d
1
−d
&A& (C , q ) ∞⎤i = C1 1 + i − q (1 + i ) (1+ i)
1
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión geométrica prepagable y perpetua.
Calcular:
1. El valor actual
2. El valor actual si existe un diferimento de 5 años
Siendo la cuantía del primer termino 10.000€, la razón 1’05, y el tanto de
interés utilizado en la valoración el 10%.
™ El valor actual
&& (C , q ) ∞⎤i = C
A
1
1
1
(1 + i )
1+ i − q
&& (10.000,1'05) ∞⎤ 0'10 = 10.000
A
1
(1'10) = 220.000€
1'10 − 1'05
™ El valor actual para un diferimento de 5 años
d
1
(1 + i )(1 + i ) − 5
&& (C , q ) ∞⎤ i = C1
A
i
q
1
+
−
1
5
1
− 5 = 136.602,69€
&A& (10.000,1'05) ∞⎤ 0'10 = 10.000 1'10 − 1'05 (1'10)(1,10)
34
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.4 RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Las rentas variables en progresión aritmética se caracterizan porque sus términos
varían de un período a otro en una determinada cantidad constante que
llamamos razón y que designamos como “d”.
Si tenemos una renta variable en progresión aritmética sus términos serán:
™
™
Primer término Î C1
Segundo término Î C2=C1+d
™
Tercer término
Î C3=C2+d=C1+2d
•
•
•
Término n-ésimo Î Cn=Cn-1+d=C1+(n-1)d
™
Las rentas variables en progresión aritmética pueden ser:
35
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.4.1 Rentas variables en progresión aritmética, pospagables y
temporales
Las rentas variables en progresión aritmética, pospagables y temporales
presentan las siguientes características:
™
™
™
Sus términos varían en progresión aritmética
Sus términos vencen al final del período
Presentan un número finito de términos
Dependiendo del momento de valoración estas pueden ser:
™ Inmediatas
™ Diferidas
™ Anticipadas
1. Inmediatas
™ Valor actual
El valor actual de estas rentas se representa gráficamente del siguiente
modo:
0
1
2
3
C1 C2= C1+d
C1(1+i)-1
(C1+d)(1+i)-2
n-1
........
n
Cn-1 = C1+(n-2)d Cn= C1 +(n-1)d
[C1+(n-2)d](1+i)-(n-1)
[C1+(n-1)d](1+i)-n
Podremos obtener el valor actual de la renta variable en progresión
aritmética, pospagable, temporal e inmediata como la suma de las n
rentas constantes en que podemos dividir la renta variable en
progresión aritmética de n términos.
Renta1:
Renta2:
1
C1
2
C1
3
C1
1
2
d
3
d
……
…..
n-1
C1
n-1
d
n
C1
n
d
36
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Renta3:
1
2
Renta n:
1
2
3
d
n-1
d
......
3
n
d
n-1
n
d
......
El valor actual de las distintas rentas que hemos obtenido, será:
™ Renta 1: V0=C1 a
™ Renta 2: V0=d a
™ Renta 3: V0=d a
•
•
•
™ Renta n: V0=d a
n
˥i
(n-1)
˥ i (1+i)-1
(n-2)
˥ i (1+i)-2
1
˥ i (1+i)-(n-1)
Si el valor actual de una renta variable en progresión aritmética,
pospagable y temporal lo designamos como:
A(C1,d) n ⎤ i
donde C1 es el valor del primer término de la renta, d es la razón, n el
número de períodos de duración de la renta e i el tanto de interés,
tendremos:
A(C1 , d ) n ⎤ i = C1 a n ⎤i + d a (n - 1)⎤i (1+ i) −1 + d a (n - 2)⎤i (1+ i )−2 + ... + da 1⎤i (1+ i )− (n −1) =
⎡1 − (1+ i) − (n −1)
⎤
1 − (1+ i) − (n − 2)
1 − (1+ i) −1
= C1 a n ⎤i + d ⎢
(1+ i) −1 +
(1+ i) − 2 + ... +
(1+ i) −(n −1) ⎥
i
i
i
⎣⎢
⎦⎥
Sacando factor común:
A(C1 , d ) n ⎤ i = C1 a n ⎤i +
[[
] [
]
[
d
(1 + i) −1 − (1 + i) − n + (1 + i ) − 2 − (1 + i ) − n + ... + (1 + i ) − ( n −1) (1 + i ) − n
i
]]
Si ahora sumamos y restamos (1+i)-n en el paréntesis:
A(C1 , d ) n ⎤ i = C1a n ⎤i +
[
] [
]
[
] [
d
(1 + i) −1 − (1 + i) − n + (1 + i) − 2 − (1 + i) − n + ... + (1 + i) − ( n −1) − (1 + i) − n + (1 + i) − n − (1 + i) − n
i
Operando nos queda:
A(C1 , d ) n ⎤ i = C1 a n ⎤i +
[
d
(1 + i ) −1 + (1 + i ) − 2 + ... + (1 + i ) −( n −1) + (1 + i ) − n - n(1 + i) - n
i
]
d⎞
d
⎛
A(C1 , d ) n ⎤ i = ⎜ C1 + ⎟a n ⎤i − n (1 + i ) − n
i⎠
i
⎝
37
]
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Si en esta expresión sumamos y restamos el cociente dn/i , resulta
que:
d⎞
dn
d
dn
⎛
A(C1 , d ) n ⎤ i = ⎜ C1 + ⎟a n ⎤i +
− n (1+ i) − n −
=
i
i
i
i
⎠
⎝
⎛ 1 (1+ i)
d⎞
⎛
= ⎜ C1 + ⎟a n ⎤i + dn ⎜ −
⎜i
i⎠
i
⎝
⎝
−n ⎞
⎟ − dn =
⎟ i
⎠
⎛ 1- (1+ i) − n ⎞ dn
d⎞
⎛
⎟−
= ⎜ C1 + ⎟a n ⎤i + dn ⎜
⎟ i
⎜
i⎠
i
⎝
⎠
⎝
Entonces :
d
dn
⎞
⎛
A(C1 , d ) n ⎤ i = ⎜ C1 + + dn ⎟ a n ⎤i −
i
i
⎠
⎝
™ Valor final
El valor final de una renta es igual al valor actual de dicha renta
multiplicado por (1+i)n.
El valor final de una renta variable en progresión aritmética,
pospagable, temporal e inmediata, será:
S(C1 , d) n ⎤ i = A(C1 , d) n ⎤ i (1 + i) n
De donde:
⎡
⎤
d ⎞⎛ 1 - (1 + i) - n ⎞⎟ dn
d ⎞⎛ (1 + i) n − 1 ⎞⎟ dn
⎛
⎛
−
S(C1 , d) n ⎤ i = ⎢⎜ C1 + ⎟⎜
−
(1 + i) - n ⎥ (1 + i) n = ⎜ C1 + ⎟⎜
⎟ i
⎟ i
⎢⎝
⎥
i ⎠⎜
i
i ⎠⎜
i
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
2. Diferidas
El valor actual de la renta diferida será igual al valor actual de la renta
inmediata multipicado por (1+i)-d , siendo d el número de períodos de
diferimiento.
d
=
A(C1 , d ) n ⎤i A(C1 , d ) n ⎤i (1+ i)
−d
De donde :
d
A(C1 , d ) n ⎤i
=
dn ⎤
⎡⎛ d ⎞
C + + dn ⎟ a n ⎤i −
⎜
⎢⎝ i ⎠
⎥ (1+ i)
i
⎣
⎦
−d
1
38
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3. Anticipadas
El valor final de la renta anticipada será igual al valor final de la renta
inmediata multiplicado por (1+i)h siendo h el número de períodos de
anticipación.
h
S(C1 , d ) n ⎤ i
= S(C1 , d ) n ⎤ i (1+ i) h
De donde :
h
S(C1 , d ) n ⎤ i
⎡⎛
d⎞
d⎤
= ⎢⎜ C1 + ⎟ S n ⎤ i − n ⎥ (1+ i) h
i⎠
i⎦
⎣⎝
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión aritmética, temporal y pospagable
Calcular:
1. El valor actual y final de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
3. El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización
Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€, que dichos
términos se incrementarán cada año en 500€, que la duración de la renta es de
10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
Solución:
1. Renta variable en progresión aritmética, pospagable, de duración 10 años
™ Valor actual
dn
d
⎛
⎞
A(C1 , d ) n ⎤ i = ⎜ C1 + + dn ⎟ a n ⎤i −
i
i
⎝
⎠
500
500 x 10
⎞
⎛
A(10.000,500) 10⎤ 0'10 = ⎜10.000 +
+ 500 x 10 ⎟ a 10⎤ 0'10 −
0'10
0'10
⎠
⎝
Siendo a 10⎤ 0'10 =
1 − (1,10) −10
= 6,14456711
0'10
A(10.000,500) 10⎤ 0'10 = (10.000 + 5.000 + 5.000) 6,14456711 −
5.000
= 72.891,34€
0'10
39
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Valor final
d⎞
dn
⎛
S(C1 , d ) n ⎤ i = ⎜ C1 + ⎟ S n ⎤i −
i
i
⎝
⎠
500 ⎞
500 x 10
⎛
S(10.000,500) 10⎤ 0'10 = ⎜10.000 +
⎟ S 10⎤ 0'10 −
0'10 ⎠
0'10
⎝
10
(1,10) − 1
Siendo S 10⎤ 0'10 =
= 15,93742460
0'10
5.000
S(10.000,500) 10⎤ 0'10 = (10.000 + 5.000 )15,93742460 −
= 189.061,37€
0'10
2. Valor actual para un diferimento de 2 períodos
d
2
=
A(C1 , d ) n ⎤i A(C1 , d ) n ⎤i (1+ i)
A(10.000,500) 10⎤ 0'10
-d
= 72.891,34(1,10) -2 = 60.240,78€
3. Valor final si la renta se valora 2 años después de su finalización
d
2
S(C1 , q) n ⎤i
= S(C , q) n ⎤i (1+ i)
1
S(10.000,500) 10⎤ 0'10
d
= 189.031,73(1,10) 2 = 228.764,26€
3.4.2 Rentas variables en progresión aritmética pospagables y perpetuas
Las rentas variables en progresión aritmética, pospagables y perpetuas presentan
las siguientes características:
™ Sus términos varían en progresión aritmética
™ Los términos vencen al final de cada período
™ Presentan un número infinito de términos
Pudiendo ser según el momento de su valoración:
™ Inmediatas
™ Diferidas
1. Inmediatas
El valor actual de la renta
pospagable y perpetua será:
variable
en
progresión
aritmética,
40
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
⎡⎛
⎤
d⎞
d
A(C1 , d) ∞⎤ i = lim A(C1 , d) n⎤ i = lim ⎢⎜ C1 + ⎟a n⎤ i − n (1 + i) - n ⎥ =
n
→
∞
i
i
⎠
n→∞
⎣⎝
⎦
d⎞
d
d⎞1
⎛
⎛
= ⎜ C1 + ⎟ lim a n⎤ i − n (1 + i) - n = ⎜ C1 + ⎟
n
→
∞
i
i
i⎠i
⎝
⎠
⎝
2. Diferidas
Su valor actual va a ser igual al de la renta inmediata multiplicado
(1+i)-d, donde d es el número de períodos de diferimiento.
d
=
A(C1 , d ) ∞⎤i A(C1 , d ) ∞⎤i (1+ i)
−d
De donde :
d
A(C1 , d ) ∞⎤i
=
⎛ d⎞1
⎜ C + ⎟ (1+ i)
⎝ i⎠i
-d
1
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión aritmética, perpetua y pospagable
Calcular:
1. El valor actual de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 5 años
Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€, que dichos
términos se incrementarán cada año en 500€ y que el tipo empleado en la
valoración es del 10%.
Solución:
™ Valor actual de renta perpetua
⎡⎛
d ⎞ 1⎤
A(C1 , d) ∞⎤ i = ⎢⎜ C1 + ⎟ x ⎥
i ⎠ i⎦
⎣⎝
⎡⎛
500 ⎞
1 ⎤
A(10.000,500) ∞⎤ i = ⎢⎜10.000 +
⎟x
⎥
0
'
10
0'10
⎠
⎣⎝
⎦
A(10.000,500) ∞⎤ i = 150.000€
41
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Diferida en 5 años y perpetua
d
5
5
( )
(
d 1
= C1 +
(1 + i) − d
A(C1 , d) n ⎤i
i i
A(10.000,500) ∞⎤ 0'10
A(10.000,500) ∞⎤ 0'10
=
10.000 +
)
500
1
x
x (1 + 0'10) − 5
0'10 0'10
= 93.138,20€
3.4.3 Rentas variables en progresión aritmética, prepagables y
temporales
Las rentas variables en progresión aritmética, prepagables y temporales se
caracterizan porque:
™
™
™
Sus términos varían en progresión aritmética
Los términos vencen al inicio de cada período
Presentan un número finito de términos
Dependiendo del momento de su valoración estas pueden ser:
™
™
™
Inmediatas
Diferidas
Anticipadas
1. Inmediatas
™ Valor actual
El valor actual de esta renta será igual al valor actual de la renta
variable en progresión aritmética, pospagable temporal e inmediata
multiplicado por (1+i).
Por tanto tendremos, que:
&& (C , d) n ⎤i = A(C , d) n⎤ i (1 + i)
A
1
1
De donde:
-n ⎤
&& (C , d) n⎤i = ⎡⎛⎜ C + d ⎞⎟a n⎤i − n d
A
⎢ 1
⎥ (1 + i)
1
(1
+
i)
i⎠
i
⎣⎝
⎦
42
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Valor final
El valor final de una renta variable en progresión aritmética,
prepagable, temporal e inmediata será igual al valor final de una renta
variable en progresión aritmética, pospagable, temporal e inmediata
multiplicado por (1+i).
&&(C , d) n ⎤i = S(C , d) n⎤ i (1 + i)
S
1
1
De donde:
&S&(C , d) n⎤i = ⎡⎛⎜ C + d ⎞⎟S n⎤i − n d ⎤ (1 + i )
1
⎢ 1
⎥
i⎠
i⎦
⎣⎝
2. Diferidas
El valor actual de la renta diferida, será igual al valor actual de la renta
inmediata multiplicado por (1+i)-d , donde d es el número de períodos
de diferimiento.
&& (C , d ) n ⎤i (1+ i) − d
&& (C , d ) n ⎤i = A
1
A
1
De donde :
d
d
&& (C , d ) n ⎤i =
A
1
⎡⎛
⎤
d⎞
nd
(1+ i) − n ⎥ (1 + i) (1+ i) − d
⎢⎜ C1 + ⎟ a n ⎤i i
i
⎠
⎣⎝
⎦
3. Anticipadas
El valor final de la renta anticipada será igual al valor final de la renta
inmediata multiplicado por (1+i)h siendo h el número de períodos de
anticipación.
h
h
&&
&&(C , d ) n ⎤i = S (C1 , d ) n ⎤i (1+ i)
S
1
De donde :
h
&& (C , d ) n ⎤i =
S
1
⎡⎛
d⎞
nd ⎤
h
⎢⎜ C1 + ⎟ S n ⎤i ⎥ (1 + i)(1 + i)
i⎠
i ⎦
⎣⎝
43
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión aritmética, temporal y prepagable
Calcular:
1. El valor actual y final de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
3. El valor final de la renta si se valora 2 años después de su finalización
Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€, que dichos
términos se incrementan cada año en 500€, que la duración de la renta es de
10 años y que el tipo empleado en la valoración es del 10%.
Solución:
™ Renta variable en progresión aritmética, prepagable, de duración 10 años
Valor actual
o
&& (C , d) n⎤i = A(C , d) n⎤ i (1 + i) = ⎡⎛⎜ C + d + d x n ⎞⎟a n⎤i − n d ⎤ (1 + i) =
A
⎢ 1
1
1
i ⎥⎦
i
⎠
⎣⎝
−10
⎡⎡
500 ⎤
500
⎤ 1 − (1'10)
+ 500 x 10⎥
− 10 x
⎢ ⎢10.000 +
⎥ x (1'10) = 80.180,48€
0'10 ⎥⎦
0'10
0'10
⎦
⎣⎢ ⎣
Valor final
o
&&(C , d) n ⎤i = S(C , d) n⎤ i (1 + i) = ⎡⎛⎜ C + d ⎞⎟ S n ⎤i − n d ⎤(1 + i)
S
⎢ 1
1
1
i⎠
i ⎥⎦
⎣⎝
⎡⎡
= ⎢ ⎢10.000 +
⎢⎣ ⎣
500 ⎤ (1,10)10 − 1
500 ⎤
− 10 x
⎥ x (1'10) = 207.967,51€
⎥
0'10 ⎦
0'10
0'10 ⎥⎦
™ Valor actual si existe un diferimiento de 2 años
⎡⎛
&& (C , d) n⎤i = A(C , d) n⎤ i (1 + i) = ⎜ C +
2/A
⎢ 1
1
1
⎣⎝
⎡⎡
500
⎤ 1 − (1'10)
+ 500 x 10⎥
⎢ ⎢10.000 +
0'10
0'10
⎦
⎣⎢ ⎣
−10
d
d⎤
⎞
+ d x n ⎟a n⎤i − n ⎥ (1 + i)(1 + i) -2 =
i
i⎦
⎠
− 10 x
500 ⎤
-2
⎥ x (1'10) × (1,10) = 66.264,86€
0'10 ⎦⎥
44
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Valor final si la renta se valora 2 años después de su finalización
⎡⎛
d⎞
d⎤
2/&S&(C1 , d) n ⎤i = S(C1 , d) n⎤ i (1 + i) = ⎢⎜ C1 + ⎟ S n ⎤i − n ⎥ (1 + i)(1 + i) h
i⎠
i⎦
⎣⎝
⎡⎡
= ⎢ ⎢10.000 +
⎣⎢ ⎣
500 ⎤ (1'10)10 − 1
500 ⎤
2
− 10 x
⎥ x (1'10) × (1,10) = 251.640,68€
⎥
0'10 ⎦
0'10
0'10 ⎦⎥
3.4.4 Rentas variables en progresión aritmética prepagables y perpetuas
Las rentas variables en progresión aritmética, prepagables y perpetuas
caracterizan porque:
se
™ Sus términos varían en progresión aritmética
™ Los términos vencen al inicio de cada período
™ Presentan un número infinito de términos
Dependiendo del momento de valoración estas pueden ser:
™ Inmediatas
™ Diferidas
1. Inmediatas
El valor actual de una renta variable en progresión aritmética,
prepagable y perpetua será igual al valor actual de la renta variable en
progresión aritmética, pospagable y perpetua multiplicado por (1+i).
&& (C , d) ∞⎤ i = A(C , d) ∞⎤ i (1 + i)
A
1
1
De donde:
&& (C , d) ∞⎤i = ⎛⎜ C + d ⎞⎟ 1 (1 + i)
A
1
1
i⎠i
⎝
45
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
2. Diferidas
El valor actual va a ser igual al de la renta inmediata multiplicado por
(1+i)-d donde d es el número de períodos de diferimiento.
d
&& (C , d ) ∞⎤i (1+ i)
&& (C , d ) ∞⎤i = A
1
A
1
−d
De donde :
d
&& (C , d ) ∞⎤i =
A
1
−d ⎤
⎡⎛
d⎞1
⎢⎜ C1 + ⎟ (1 + i) (1+ i) ⎥
i⎠i
⎣⎝
⎦
Ejemplo:
Dada una renta variable en progresión aritmética, perpetua y prepagable
Calcular:
1. El valor actual de dicha renta
2. El valor actual si existe un diferimiento de 5 años
Sabiendo que el primer término de la renta es igual a 10.000€ , que dichos
términos se incrementarán cada año en 500€ y que el tipo empleado en la
valoración es del 10%.
Solución:
™ Cálculo del valor actual
&& (C , d) ∞⎤ i = ⎛⎜ C + d ⎞⎟ 1 (1 + i)
A
1
1
i⎠i
⎝
&& (10.000,50 0) ∞⎤ 0'10 = ⎛⎜ 10.000 + 500 ⎞⎟ 1 (1,10)
A
0'10 ⎠ 0'10
⎝
&A& (10.000,50 0) ∞⎤ 0'10 = 165.000€
™ Cálculo del valor actual si existe un diferimento de 5 años
⎡⎛
d⎞1
−d ⎤
⎢⎜ C1 + ⎟ (1 + i) (1 + i) ⎥
i⎠i
⎣⎝
⎦
d
&& (C , d) ∞⎤ i =
A
1
5
&& (10.000,500) ∞⎤ 0'10 =
A
⎡⎛
⎤
500 ⎞ 1
(1'10) (1,10) − 5⎥
⎟
⎢⎜10.000 +
0'10 ⎠ 0'10
⎣⎝
⎦
5
&& (10.000,500) ∞⎤ 0'10 =
A
102.452,02€
46
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.5 RENTAS FRACCIONADAS
Son rentas fraccionadas aquellas en las que los cobros o pagos se realizan con
una periodicidad inferior al año, es decir, estos pueden ser trimestrales,
cuatrimestrales, semestrales...
Estas rentas reciben el nombre de rentas fraccionadas de frecuencia m, siendo el
número de términos que las componen nxm.
3.5.1 Rentas constantes
Las rentas fraccionadas constantes son aquellas en las que todos sus términos
son de igual cuantía “Cm”, para las distintas fracciones de año, durante toda la
duración de la renta.
Las fórmulas generales estudiadas anteriormente son válidas para las rentas
fraccionadas, siempre y cuando se realicen en ellas los ajustes pertinentes.
Para efectuar la valoración de estas rentas podemos, bien:
™ Utilizar el tanto de interés equivalente
™ Utilizar el factor de transformación
3.5.1.1
Rentas pospagables
™ Valor actual
1. Si utilizamos tantos de interés equivalentes.
Sean los términos de la renta constantes y de cuantía “Cm”, m el
número de fracciones en que se divide el año, n el número de años e im
el tanto de interés equivalente.
La representación gráfica de esta renta, será:
0
0
im
Cm
Cm
1
2
n
m
2m
nxm
Cm
Cm(1+ im)-1
Cm(1+ im)-2
Cm (1+ im)-nxm
47
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Matemáticamente la expresaremos como:
V0(m)=Cm(1+ im)-1+ Cm(1+ im)-2 +Cm(1+ im)-3+...+ Cm(1+ im)-n x m
Sacando factor común a Cm nos queda:
V0(m)=Cm[(1+ im)-1+ (1+ im)-2 +(1+ im)-3+...+ (1+ im)-n x m]
La expresión que aparece en el corchete es la suma de términos de una
progresión geométrica decreciente que será igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
Operando, obtendremos que:
1 − (1 + i m) − n x m
im
V(m)
0 =C
Si la renta fuese perpetua, su valor actual sería:
V (m)
0 =C
1
im
2. Si utilizamos el factor de conversión.
En este caso vamos a partir de la expresión del valor actual obtenido
empleando el tanto equivalente
V(m)
0 =C
1 − (1 + i m) − n x m
im
Como ya se estudio en el capítulo anterior, la relación entre tantos
equivalentes en compuesta, es:
(1+i)=(1+ im)m
Y el tanto nominal equivalente a un tanto de interés k-esimal, es:
im =
Jm
m
48
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Si la relación entre tantos equivalentes la expresamos para n períodos,
y además elevamos los 2 miembros a(-1), tenemos:
(1+i)-n=(1+ im)-n x m
Sustituyendo estos valores en la expresión del valor actual obtenida en
función del tanto equivalente, nos queda:
=C
V (m)
0
1 − (1 + i) − n
Jm
m
Operando tenemos, que:
1 − (1 + i)
=Cxmx
V (m)
0
Jm
−n
Ahora si multiplicamos y dividimos por el tipo de interés, tenemos:
=Cxmx
V (m)
0
i
Jm
x
1 − (1 + i) −n
i
=Cxmx
x a n ⎤i
i
Jm
™ Valor final
1. Si utilizamos tantos de interés equivalentes.
El valor final es igual al valor actual de la renta capitalizado los n
períodos de duración de esta, es decir, el valor actual multiplicado por
(1+im)n x m.
De donde:
V (m)
n =C
1 − (1 + i m) − n x m
im
(1 + i m) n x m = C
(1 + i m) n x m − 1
im
2. Si utilizamos el factor de conversión
(1 + i ) n − 1
i
i
(m)
x
=Cxmx
× Sn ⎤i
Vn = C x m x
i
jm
jm
49
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.5.1.2
Rentas prepagables
Los valores actuales y finales prepagables serán iguales a los pospagables
que acabamos de obtener, multiplicados por (1+im)
Ejemplo:
Calcular el valor actual de una renta de términos de 1.000€ trimestrales,
pospagables, de duración 5 años, si el tanto empleado en su valoración es el
10% efectivo anual.
Solución:
Se trata de una renta fraccionada ya que el tanto de interés viene expresado en años y
los términos son trimestrales.
™ Cálculo del valor actual utilizando el tanto equivalente trimestral
i4=(1+i)1/4-1=0’02411369€
V (m)
0 =C
1 − (1 + i m) − n x m
= 1.000
im
1 − (1'02411369)− 20
= 15.720 '48€
0'02411369
™ Cálculo del valor actual utilizando el factor de conversión
Jm=im x m =0’02411369 x 4 =0’09645476
i
=
C
×
m
×
×
V (m)
0
Jm
1 - (1 + i ) − n
i
= 1.000 × 4 ×
0,10
0,09645476
×
1 − (1'10) − 5
0'10
= 15.720 '48€
3.5.2 Rentas fraccionadas variables en progresión geométrica
En este tipo de rentas, en las que sus términos varían en progresión geométrica,
nos podemos encontrar ante dos situaciones:
™
™
Que los términos varíen en progresión geométrica de un período a otro,
manteniéndose constantes para las distintas fracciones en que se
divide el período.
Que los términos vayan variando en progresión geométrica desde el
primero hasta el último de ellos.
50
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.5.2.1 Rentas pospagables
™
Si los términos varían en progresión geométrica de un período a otro,
manteniéndose constantes para las distintas fracciones en que se
divide el período.
o
Valor actual
Gráficamente lo representaremos, como:
0
1
0
2
m
im
2m
n
nxm
m+1
Cm
-1
Cm(1+ im)
Cm(1+ im)-2
Cm
Cm x qn-1
Cm Cm x q
Cm(1+ im)-m
Cm x q(1+ im)-(m+1)
Cm x qn-1(1+ im)-nxm
En este caso podremos calcular el valor actual mediante cualquiera
de los 2 siguientes procedimientos:
1. Calculando los términos anuales equivalentes
Lo que hay que hacer es calcular los términos anuales (C1,C2, ..,Cn)
que sean equivalentes a los términos m-esimales. Estos serán iguales
a:
C1* = C m S m ⎤ i m
C *2 = C m q S m ⎤ i m
C *3 = C m q 2 S m ⎤ i m
Donde:
*
A (m) (C m , q) n ⎤ i = A (C1* , q) n ⎤ i = C1
1 − q n (1 + i) − n
1+ i - q
51
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Siendo:
C1* :el término anual equivalente correspondiente al primer período
de la renta (C1* = C m Sm ⎤ i m)
q: la razón
n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón)
i : el tanto de interés (en la unidad de tiempo de la razón)
2. Utilizando el factor de transformación
i
A (m) (C m, q) n ⎤ i = Cm × m ×
J
m
o
1 − q n (1 + i ) − n
1+ i - q
Valor final
1. Calculando los términos anuales equivalentes
n
n
* (1+ i) − q
S(m)(Cm , q) n⎤ i = S(C1* , q) n⎤ i = C1
1+ i - q
2. Utilizando el factor de transformación
S (m) (C m, q) n ⎤ i = Cm × m ×
™
i (1 + i) n − q n
J m 1+ i - q
Si los términos varían en progresión geométrica desde el primero de
ellos hasta el último.
0
1
1
2
3
Cm Cmq Cmq2
m
Cmqm-1
2
2m
Cmq2m-1
n
nxm
Cmqnxm-1
52
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Valor actual
o
1− q
A (m) (C m , q) n × m ⎤ i m = Cm
(1 + i m)− n x m
1+ i m − q
n×m
Valor final
o
S (m) (C m , q) n × m ⎤i m = A (m) (C m , q) n × m ⎤i m (1 + i m )n×m = C m
3.5.2.2
(1 + i) n×m − q n×m
1 + im − q
Rentas prepagables
™ Valor actual
Es igual al valor actual de la renta pospagable multiplicado por (1+im)
&& (m) (C m , q) n ⎤i = A (m) (C m , q) n ⎤i (1 + i m)
A
™ Valor final
&S& (m) (C m , q) n ⎤i = S(m) (Cm , q) n ⎤i (1 + i m)
Ejemplo:
Calcular el valor actual de una renta de términos de 1.000€ trimestrales
pospagables, que aumentan anualmente en un 5% , de duración 5 años, y
siendo el tanto de interés empleado en su valoración del 10% efectivo anual.
Solución:
Se trata de una renta fraccionada ya que el tanto de interés viene expresado en años y
los términos son trimestrales.
53
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Cálculo del valor actual utilizando el término equivalente
C1 = C m S m ⎤ i m = Cm x m x
i
jm
C1 = 1.000 S 4⎤ 0'02411369 = 4.147,02€
V 0 = A(4.147,02;1,05) 5⎤ 0,10
1 − (1,05)5 (1,10)− 5
= 17.212,59€
1,10 − 1,05
™ Cálculo del valor actual utilizando el factor de transformación
A (4) (1.000 ; 1, '05) 5⎤ 0,10 = 1.000 x 4 x
1 - (1,05) 5 (1,10) - 5
0,10
x
= 17.212,59€
0,09645476
1,10 - 1,05
3.5.3 Rentas fraccionadas variables en progresión aritmética
Ante este tipo de rentas, en las que sus términos varían en progresión aritmética,
nos podemos encontrar con dos situaciones:
™ Que los términos varíen en progresión aritmética de un período a otro
manteniéndose constantes para las distintas fracciones en que se
divide el período.
™ Que los términos vayan variando en progresión aritmética desde el
primero de ellos hasta el último.
3.5.3.1
Rentas pospagables
™ Si los términos varían en progresión aritmética de un período a otro,
manteniéndose constantes para las distintas fracciones del período.
o
Valor actual
Podemos calcular el valor actual de las dos siguientes formas:
1. Calculando el término equivalente
Lo que hay que hacer es calcular el primer término anual C1* que
sea equivalente a los términos m-esimales, y calcular también el
importe de la razón que sea equivalente. Estos serán iguales a:
54
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
C1* = Cm S m⎤ im = Cm x m x
i
jm
d * = d m S m⎤ im = d m x m x
i
jm
Donde:
⎤
⎡⎛
d * ⎞ 1 − (1 + i) − n n × d *
*
*
−
× (1 + i) − n ⎥
A (m) (C m , d) n ⎤ i = A(C1* , d ) n ⎤ i = ⎢⎜⎜ C1 + ⎟⎟
i ⎠
i
i
⎥
⎢⎝
⎦
⎣
Siendo:
C1* : el término equivalente
d * : la razón equivalente
n : el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón)
i : el tanto de interés (en la unidad de tiempo de la razón)
2. Utilizando el factor de transformación
A (m) (C m , d) n ⎤i =
=
o
i
A (C m × m, d × m) n ⎤i
jm
⎤
i ⎡⎛
d×m ⎞
d×m
(1 + i)− n ⎥
⎟an ⎤i - n x
⎢⎜ Cm × m +
i ⎠
i
jm ⎣⎝
⎦
Valor final
n
S (m) (C m , d) n ⎤i = A (m) (C m , d) n ⎤i (1 + i )
™
Si los términos van variando en progresión aritmética desde el primero
de ellos hasta el último
o Valor actual
⎡⎛
A (m) (Cm , d) n x m ⎤im = ⎢⎜ Cm +
⎣⎝
⎤
d⎞
d
⎟a n x m ⎤im - n x m x × (1 + i m ) − n×m ⎥
im ⎠
im
⎦
o Valor final
⎡⎛
S (m) (Cm , d) n x m ⎤im = ⎢⎜ Cm +
⎣⎝
d⎞
d⎤
⎟S n x m ⎤im - n x m x ⎥
im ⎠
im ⎦
55
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.5.3.2
™
Rentas prepagables
Valor actual
Es igual al valor actual de la renta pospagable multiplicado por (1+im)
&& (m) (C m , d) n ⎤i = A (m) (C m , d) n ⎤i (1 + i m)
A
™
Valor final
&S& (m) (C m , d) n ⎤i = S (m) (C m , d) n ⎤i (1 + im)
Ejemplo:
Calcular el valor actual de una renta de términos de 5.000€ semestrales,
pospagables, que aumentan anualmente 100€, de duración 5 años, si el tanto
empleado en su valoración es el 10% efectivo anual.
Solución:
™ Cálculo del valor actual utilizando el término equivalente
C1 = 5.000 x S 2⎤ 0,04880885 = 10.244,04€
d = 100 x S 2⎤ 0,04880885 = 204,88€
⎞ 1 − (1,10)−5 5x204,88
⎛
204,88
−
=
+ 2x204,88⎟⎟
V0 = A(10.244,04;204,88) 5⎤ 0,10 = ⎜⎜10.244,04+
0,10
0,10
0,10
⎠
⎝
= 40.238,84€
™ Cálculo del valor actual utilizando el factor de transformación
A (2) (5.000 ; 100) 5⎤ 0,10 =
0,10
x A (5.000 × 2; 100 × 2) = 40.238,84€
0,097617696
56
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.6 RENTAS CONTINUAS
Una renta continua es aquella que tiene períodos de amplitud infinitesimal, por lo
que se produce un flujo constante de capitales.
Se pueden calcular los valores actuales y finales de estas rentas partiendo de las
fórmulas de las rentas fraccionadas y haciendo tender el fraccionamiento a ∞ .
™ Rentas constantes
El valor actual de la renta continua, inmediata, temporal y unitaria, lo
podremos obtener como el límite de la renta unitaria, discreta y
fraccionada de frecuencia m, cuando dicha frecuencia tiende a ∞ .
a n ┐i =
Lím (m )
n┐i
m →∞ a
Lím
m→∞
=
i 1 − (1 + i ) − n
= i a n ┐i ×
Jm
i
Lím
m →∞
1
Jm
Desarrollando el límite cuando m tiende a ∞ del tanto de interés
nominal tendremos:
1
Lím
Lím
m →∞ J m = m →∞ i m
×m=
Lím
m→∞
1
m −1
⎡
⎤
Lím (1 + i )
⎢(1 + i ) m − 1⎥ × m = m→∞
1
⎢⎣
⎥⎦
m
Si aplicamos la regla de L´Hopital este límite será igual a:
1
Lím
m→∞
(1 + i) m − 1
=
1
m
Lím
x →0
(1 + i ) x − 1
= Ln(1 + i )
X
−n
Lím
a n┐i = m→∞ i 1 − (1 + i ) =
Jm
i
i
a n┐i
Ln(1 + i )
a n ┐i =
i
a n┐i
Ln(1 + i )
Si la renta en lugar de ser unitaria fuese constante de cuantía C (C=Cmx m)
su valor actual sería:
V0 =C×
i
a n ┐i
Ln(1 + i )
57
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
El valor final se obtendrá multiplicando el valor actual de la renta continua
por (1+i)n
S n ┐i =
i
i
a n┐i (1+i)n =
S n ┐i
Ln(1 + i )
Ln(1 + i )
S n┐ =
i
i
S n┐i
Ln(1 + i )
V n = V 0 (1 + i) n
Si la renta fuese perpetua su valor actual sería:
a ∞ ┐i =
Lím
n →∞
a n┐i =
Lím
n →∞
1 − (1 + i ) − n
i
i
1
1
=
=
Ln(1 + i )
i
Ln(1 + i ) i Ln(1 + i )
a ∞ ┐i =
1
Ln(1 + i )
Si la renta fuese constante de cuantía C ( C = Cm x m) el valor actual sería:
V 0 = C a ∞ ┐i = C ×
1
Ln(1 + i )
Para las rentas variables en progresión geométrica y aritmética su
desarrollo es similar. Los resultados que se obtendrán después del
consiguiente desarrollo serán:
™ Rentas variables en progresión geométrica:
A(C , q ) n┐i =C
1 − q n (1 + i ) − n
i
Ln (1 + i )
1+ i − q
58
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™ Rentas variables en progresión aritmética:
A(C , d ) n┐i = (C +
dn
d
+ dn ) a n┐i Ln(1 + i )
i
Las rentas continuas se emplean cuando el fraccionamiento es superior a
12 (m>12).
Ejemplo:
¿Cuál será el valor actual y final de una renta diaría de 50€ que percibiremos
durante 5 años, si el tanto empleado en su valoración es del 10%.?
Solución:
1º Cálculo del valor actual:
V 0 = Cm × m ×
i
a n┐i
Ln(1 + i )
V 0 = 50 × 365 ×
0,10
a 5┐0,10 = 72.586,01€
Ln(1 + 0,10)
2º Cálculo del valor final:
V n = (1 + i ) n V 0
V n = (1 + 0,10) 5 72.586,01 = 116.900,50
V n = Cm × m ×
5
i
S n┐i = 50 × 365 × 0,10 × (1,10) − 1 = 116.900,50€
Ln(1 + i )
0,10
Ln(1,10)
59
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
3.7 RENTAS CONSTANTES DE PERÍODO UNIFORME SUPERIOR AL
AÑO
Las rentas constantes con periodicidad superior al año son aquellas cuya
amplitud, que llamaremos p, va a ser superior al año. En ellas sus términos se
hacen efectivos cada “p” años o cada “p” períodos del tanto.
Podemos calcular estas rentas:
™ En función del tanto de interés anual
™ En función del tanto de interés equivalente ip
3.7.1 Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadas
en función del tanto de interés anual “i”
La representación gráfica de una renta constante, temporal y pospagable en la
que sus términos se hacen efectivos cada p períodos del tanto, será:
0
p
1
2
3
4
np
C
C
p+1 p+2
C
C(1+i)-p
2p
C(1+i)-2p
C(1+i)-np
Matemáticamente lo expresaremos como:
V0 = C × (1 + i ) − p + C × (1 + i ) −2 p + ... + C (1 + i ) − np
[
V0 = C (1 + i )
[
−p
+ (1 + i )
−2 p
+ ... + (1 + i ) − np
]
]
Donde (1 + i )− p + (1 + i )−2 p + ... + (1 + i) − np es la suma de los términos de una progresión
geométrica decreciente de razón (1+i)-p, que como ya se ha visto anteriormente
será:
S=
a1 − a n r
1− r
60
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
Si sustituimos en la expresión anterior los valores de la progresión queda:
S=
[
]
(1 + i ) − p − (1 + i ) − np (1 + i ) − p (1 + i ) − p 1 − (1 + i ) − np 1 − (1 + i ) − np
=
=
1 − (1 + i ) − p
1 − (1 + i ) − p
(1 + i ) p − 1
Si multiplicamos y dividimos por i tendremos:
S=
1 − (1 + i ) − np
i
=a
i
(1 + i ) p − 1
a n ┐i p = a
n,p┐i
np┐i
×
1
S p⎤
i
1
= a n ┐i ×
S p⎤
i
Las fórmulas serán:
™
Renta constante, temporal, inmediata y pospagable:
o
Valor actual
V0 = C × a
o
=C× a
n,p┐i = C ×
a
np┐i
×
1
S p⎤
i
Valor final
Vn
™
n┐ip
=C× S
=C× S
n⎤ip
n,p⎤i
= C × a np⎤i ×
1
S p⎤
× (1 + i ) np = C ×
i
S np ⎤
S p⎤
i
i
Renta constante, temporal, inmediata y prepagable:
o
Valor actual
a
np ⎤
1
p
V&&0 = C × a&&
i
&&
=
C
×
a
=
C
×
a
×
×
(
1
+
)
=
×
i
C
n⎤ip
n,p⎤i
np⎤i
S p⎤
ap
⎤i
i
o
Valor final
a np ⎤
S np ⎤
i
i
V&&n = C × S&& n⎤ip = C × S&& n,p⎤i = C ×
× (1 + i ) np = C ×
ap⎤
ap⎤
i
i
61
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™
Renta constante, perpetua, inmediata y pospagable:
o
Valor actual
V0 = C ×
™
a ∞ ⎤ip
=C×
a ∞ ,p⎤ip
= lím
n→ ∞ C ×
a np⎤i × 1 = C × 1
S p⎤
i
iS p ⎤
i
Renta constante, perpetua, inmediata y prepagable:
o
Valor actual
V&&0 = C ×
a&& ∞ ⎤ip = lím
a ∞ ⎤ip × (1 + i) p = C ×
n →∞ C ×
i
ap⎤
i
3.7.2 Rentas constantes de período uniforme superior al año calculadas
en función del tanto de interés equivalente ip
Si nos proporcional el tanto de interés anual lo primero que se debe hacer es
calcular el tanto de interés equivalente ip. El tanto de interés equivalente ip se
obtendrá según la ecuación de equivalencia de forma que:
1+ip = (1+i)p
De donde:
ip=(1+i)p-1
Las fórmulas serán las mismas que las estudiadas hasta ahora sustituyendo el
tanto de interés anual por el tanto de interés equivalente.
™
Renta constante, temporal, inmediata y pospagable:
o
Valor actual
V 0 = C × a n┐ip
o
Valor final
Vn = C × S ┐
n ip
62
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
™
Renta constante, temporal, inmediata y prepagable:
o
Valor actual
V&&0 = C × a&& n┐ip = C × a n┐ip
o
Valor final
V&&n = C × S&& n┐ip = C × S
™
n┐ip
(1+ip)
Renta constante, perpetua, inmediata y pospagable:
o
Valor actual
V 0 = C × a ∞ ┐ip = C ×
™
(1+ip)
1
ip
Renta constante, perpetua, inmediata y prepagable:
o
Valor actual
V&&0 = C ×
a&& ∞ ┐ip = C × 1 × (1 + i p )
ip
El resto de rentas se calculan de igual manera, es decir, sustituyendo el tanto
anual i por el tanto equivalente ip.
Ejemplo:
Una sociedad realiza una inversión de 10.000€ cada bienio. Para un período de
10 años y un tanto de valoración del 10%. Calcular:
™ El valor actual
™ El valor final
™ El valor actual si existe un diferimiento de 2 años
Solución:
1º Cálculo del valor actual:
™ En función del tanto de interés equivalente ip
Lo primero que se debe hacer es hallar el tipo de interés equivalente
ip = (1+i)p – 1= (1,10)2-1 = 0,21
63
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 3. RENTAS
V0 = C × a n┐ip
V0 = 10.000 a 5┐0,21 = 10.000 ×
1 − (1,21) −5
= 29.259,84€
0,21
™ En función del tanto de interés anual i
V 0 = C × a n┐ip = C × a np┐i ×
1
Sp
= 10.000 ×
⎤i
1 − (1,10) −10
1
×
= 29.259,84€
0,10
(1,10) 2 − 1
0,10
2º Cálculo del valor final:
™ En función del tanto de interés equivalente ip
Vn = 29.259,84 × (1 + 0,21) 5 = 75.892,50€
Vn = C × S n┐i p = 10.000 ×
(1,21) 5 − 1
= 75.892,50€
0,21
™ En función del tanto de interés anual i
Vn = C × S n⎤ip = C × a np⎤i × 1 × (1 + i) np
S p ]i
(1,10)10 − 1
S np ]i
0,10
=C×
= 10.000 ×
= 75.892,50€
S p ]i
(1,10) 2 − 1
0,10
3º Cálculo del valor actual si existe un diferimiento de 2 años:
™ En función del tanto de interés equivalente ip
1 b/ V0 = C × a n┐ip × (1+ip)-1 = 29.259,84 × (1+0,21)-1= 24.181,69€
V0 = 10.000 a 5┐0,21 = 10.000 ×
1 − (1,21) −5
0,21
× (1,21) −1 = 24.181,69€
™ En función del tanto de interés anual i
1 b/ V0 = C × a
np┐i
×
1
S p⎤
× (1,10) − 2 = 10.000 ×
i
1 − (1,10) −10
1
×
× (1,10) − 2 = 24.181,69€
2
0,10
(1,10) − 1
0,10
64
Curso de matemática financiera
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Índice de contenidos
Página
CAPÍTULO 4
PRÉSTAMOS
3
4.1
GENERALIDADES
4.1.1
Concepto
4.1.2
Principales magnitudes que intervienen en las operaciones de préstamo
4.1.3
Clasificación de los préstamos
3
3
3
4
4.2
PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO
4.2.1
Sistema de amortización simple
4.2.2
Sistema de amortización americano
5
5
6
4.3
PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE UNA SERIE DE PAGOS SUCESIVOS
4.3.1
Préstamos amortizables mediante pagos constantes
4.3.1.1
Método francés o de anualidad constante.
4.3.2
Préstamos amortizables mediante pagos variables
4.3.2.1
Método de amortización mediante cuotas de amortización constantes
4.3.2.2
Método de amortización mediante anualidades variables en progresión geométrica
4.3.2.3
Método de amortización mediante anualidades variables en progresión aritmética
4.3.2.4
Sistema de amortización de préstamos con abono de intereses anticipados o sistema de
amortización alemán.
11
11
11
15
15
18
22
4.4
PRÉSTAMOS DIFERIDOS
4.4.1
Préstamos con carencia parcial
4.4.2
Préstamos con carencia total
32
32
33
4.5
PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS
4.5.1
Préstamo francés con intereses fraccionados
35
35
4.6
TANTOS EFECTIVOS DE UN PRÉSTAMO
4.6.1
Tanto efectivo del prestamista
4.6.2
Tanto efectivo del prestatario
41
41
42
4.7
VALOR FINANCIERO DEL PRÉSTAMO, DEL USUFRUCTO Y DE LA NUDA PROPIEDAD.
4.7.1
Concepto
4.7.2
Fórmula de Achard
45
45
46
4.8
PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE
4.8.1
Concepto
4.8.2
Tanto medio del préstamo
49
49
50
26
2
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Capítulo 4 PRÉSTAMOS
4.1 GENERALIDADES
4.1.1 Concepto
Un préstamo es una operación financiera que consiste en la entrega de una
cantidad de dinero por parte de una persona (prestamista), a otra persona
(prestatario) que se compromete a devolverlo junto con los intereses
correspondientes en los vencimientos que se establezcan. La cantidad de dinero
que se pide prestado recibe el nombre de principal y las sucesivas cantidades
que el prestatario se compromete a devolver reciben el nombre de anualidades,
trimestralidades, mensualidades,..., según cuál sea la periodicidad de dicho pago
(anual, trimestral, mensual...)
Por tanto los préstamos son operaciones financieras de prestación única (importe
de la totalidad del préstamo) y contraprestación múltiple (términos amortizativos
o anualidades).
Normalmente los préstamos son operaciones financieras compuestas, aunque
también es posible encontrar préstamos que sean operaciones financieras
simples.
En los préstamos debe de cumplirse el postulado de equivalencia financiera,
según el cuál, la prestación única debe ser igual a la contraprestación múltiple en
cualquier momento del tiempo.
4.1.2 Principales magnitudes que intervienen en las operaciones de
préstamo
ELEMENTOS
C0
DESCRIPCIÓN
Importe del préstamo
i
Tanto de interés
n
Duración del préstamo
3
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
ELEMENTOS
DESCRIPCIÓN
ak
Término amortizativo o anualidad: Es la suma de la cuota de
amortización más la cuota de interés del año correspondiente.
ak = Ak + Ik
Ak
Cuota de amortización de cada año: Cantidad que cada año se
amortiza del importe del préstamo
Ak = ak - Ik
Ik
Cuota de interés de cada año: Es igual al capital pendiente de
amortizar al principio del período por el tanto de interés.
IK = Ck-1· i
Mk
Capital amortizado en k años: Es igual a la suma de las cuotas de
amortización de los k primeros años.
Mk = A1+ A1+ A3+...+ Ak
Ck
Deuda pendiente al final del año k: Es igual a la suma de las
cuotas que quedan por amortizar o también al importe del
préstamo menos el capital amortizado en los k primeros años.
Ck= C0 - Mk
4.1.3 Clasificación de los préstamos
A la hora de clasificar los préstamos vamos a tener en cuenta los distintos
métodos de amortización existentes.
Según esto, podemos clasificar los préstamos como:
1. Préstamos amortizables mediante reembolso único del principal
™ Sin pago periódico de intereses
o
Préstamo simple
™ Con pago periódico de intereses
o
Préstamo americano
2. Préstamos amortizables mediante una serie de pagos sucesivos
™ Si los pagos son constantes
o
Método de amortización mediante anualidades constantes o
método de amortización francés
4
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
™ Si los pagos varían
o
o
o
o
Método de amortización mediante cuotas de
constantes
Método de amortización mediante anualidades
progresión aritmética
Método de amortización mediante anualidades
progresión geométrica
Método de amortización con abono de intereses
método alemán
amortización
variables en
variables en
anticipados o
4.2 PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO
4.2.1 Sistema de amortización simple
En el sistema de amortización simple lo que se hace es pagar el capital prestado
más los intereses que se van acumulando en el momento de la cancelación del
préstamo.
En este préstamo se produce una única prestación C0 y una única
contraprestación Cn que será igual al capital inicial más los intereses acumulados.
Gráficamente su representación será:
0
n
C0
Cn
El capital a devolver al final de la duración del préstamo será:
Cn = C0 ( 1 + i )n
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo :
-
Capital prestado : 100.000 €
Plazo de amortización: 10 años
Tipo de interés: 10% anual.
Sistema de amortización simple
Calcular el importe del capital a devolver:
- Cálculo del capital a devolver:
Cn = C0 ( 1 + i )n = 100.000 ( 1,10 )10 = 259.374,25 €
5
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.2.2 Sistema de amortización americano
En el sistema de amortización americano el prestamista amortiza todo el capital
entregado al final de la operación y periódicamente va pagando los intereses
devengados.
Por tanto los términos amortizativos serán iguales a la cuota de interés de cada
uno de los períodos, a excepción de la última, en la que además de los intereses
correspondientes se amortiza la totalidad del capital.
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización debemos
realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo de los intereses de cada período
Como el capital se amortiza en su totalidad en el último período los intereses
van a ser iguales al capital prestado inicialmente por el tanto de interés
fijado.
Ik = C0 × i
2. Cálculo de las cuotas de amortización
Al amortizarse el capital al final de la vida del préstamo el capital amortizado
en los n-1 primeros años será 0, siendo la última cuota de amortización igual
al importe total del préstamo.
A1 = A2 = A3 = .... = An-1 = 0
An = C0
3. Cálculo de los términos amortizativos
Los términos amortizativos serán:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = Ik = C0 × i
an = I n + A n = C 0 × i + C 0
4. Cálculo del capital amortizado
El capital amortizado en los n-1 primeros períodos será igual a 0 ya que no se
realiza ninguna amortización del préstamo. En el último período se amortiza
todo el capital.
M1 = M2 = M3 = ... = Mn-1 = 0
Mn = C0
6
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
5. Cálculo del capital pendiente de amortizar
El capital que queda pendiente de amortizar a principio de los distintos años
será:
Ck+1 = C0
El cuadro de amortización del préstamo americano será:
Período
0
1
2
:
n-1
n
Término
amortizativo
ak
a1 = I1
a2 = I2
:
an-1 = In-1
an = In + An
Cuota de
interés
Ik
I1= C0 × i
I2= C0 × i
:
In-1= C0 × i
In= C0 × i
Cuota de
amortización
Ak
A1 = 0
A2= 0
:
An-1 = 0
An = C0
Capital
vivo Ck
C0
C1=C0
C2=C0
:
Cn-1= C0
Cn= 0
Capital
amortizado
Mk
M1= 0
M2= 0
:
Mn-1= 0
Mn= C0
El problema que se puede plantear con este método de amortización es que al
final del préstamo no se pueda hacer frente a la amortización íntegra del capital.
Para solventar dicho problema se puede ir constituyendo un fondo, denominado
fondo de reconstrucción, a lo largo de la vida del préstamo, de tal modo que en
el momento de cancelación del préstamo el prestatario tenga a su disposición un
capital, normalmente C0, con el que pueda hacer frente a la última cuota del
préstamo. Este sistema recibe el nombre de Sinking-Fund
Esta operación se representa gráficamente:
C0
0
1
a´
2
a´
n
a´
a´ será la cuota que se depositará anualmente a un tipo de interés i´ para que a
la finalización del préstamo se cumpla que:
C0 = a´ Sn┐i´
7
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
De donde si despejamos a´, tenemos:
a´=
C0
(1 + i´) n − 1
i´
Para calcular los distintos elementos del cuadro de reconstrucción debemos
realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo de la anualidad a´
El importe de la anualidad será
a´=
C0
(1 + i´)n − 1
i´
2. Cálculo del fondo reconstruido Fk
El fondo reconstruido es igual al valor de las anualidades a´ valoradas en el
momento k al tanto de interés i´.
Fk = a´ Sk┐i´
3. Cálculo del capital pendiente de reconstruir Rk
El capital pendiente de reconstruir será la diferencia entre el capital prestado
y el capital ya reconstruido.
Rk = C0 - Fk
4. Intereses del capital reconstruido
Los intereses de cada período serán iguales al capital reconstruido al inicio del
ejercicio por el tanto de interés.
I k´ = Fk-1 × i´
8
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
5. Incremento anual del fondo de reconstrucción
El incremento del fondo de un período a otro es la variación sufrida entre el
fondo reconstruido de un período Fk y el del siguiente Fk+1.
Año k:
Año k+1:
Fk = Fk-1 + Fk-1 × i´ + a´ = Fk-1( 1 + i´ ) + a´
Fk+1 = Fk + Fk × i´ + a´= Fk( 1 + i´ ) + a´
Si restamos el valor del fondo en el año k+1 del valor del fondo en el año k,
obtenemos:
Fk+1 - Fk = (Fk - Fk-1)· ( 1 + i´ )
Por lo tanto el incremento anual del fondo será:
∆Fk+1 = ∆Fk · ( 1 + i´ )
El cuadro de reconstrucción del préstamo americano será:
Período
Cuota de
reconstrucción
a´
0
1
2
:
n-1
n
a´
a´
:
a´
a´
Interés del
fondo de
reconstrucción
I2´= F1 × i´
:
I´n-1= Fn-2 × i´
I´n= Fn-1 × i´
Incremento anual
del fondo de
reconstrucción
∆Fk
∆F1 = a´
∆F2 = ∆F1 (1+i´)
:
∆Fn-1 =∆Fn-2(1+i´)
∆Fn =∆Fn-1(1+i´)
Capital
reconstruido
Fk
F1 = a´
F2 = F1 + ∆F2
:
Fn-1=Fn-2 +∆ Fn-1
Fn = Fn-1 + ∆Fn
Capital
pendiente de
reconstruir
Rk
C0
R1 = C0 – F1
R2 = C0 – F2
:
Rn-1 = C0 – Fn-1
Rn = C0 – Fn
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente préstamo por el sistema de
amortización americano:
-
Capital prestado : 100.000 €
Plazo de amortización: 10 años
Tipo de interés: 10% anual.
Realizar también el cuadro de reconstrucción sabiendo que el tipo de interés
pactado para este es del 8% anual.
9
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
1º Cuadro de amortización:
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
Cuota de
amortización
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ak
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
110.000
Ik
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
Ak
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100.000
Capital
vivo
Ck
Capital
amortizado
Mk
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
100.000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100.000
2º Cuadro de reconstrucción:
-
a´=
Cálculo de la cuota de reconstrucción
C0
(1 + i´)n − 1
i´
=
100.000
(1 + 0,08)10 − 1
0,08
= 6.902,95€
Incremento
Capital
anual del
pendiente
Interés del
Cuota de
fondo de
fondo de
Capital
de
Período
reconstrucción reconstrucción reconstrucción reconstruido reconstruir
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a´
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
6.902,95
I’
552,24
1.148,65
1.792,78
2.488,44
3.239,75
4.051,16
4.927,49
5.873,93
6.896,08
∆Fk
6.902,95
7.455,18
8.051,60
8.695,73
9.391,39
10.142,70
10.954,11
11.830,44
12.776,88
13.799,03
Fk
6.902,95
14.358,13
22.409,73
31.105,46
40.496,85
50.639,54
61.593,66
73.424,10
86.200,97
100.000
Rk
100.000
93.097,05
85.641,87
77.590,27
68.894,54
59.503,15
49.360,46
38.406,34
26.575,90
13.799,03
0
10
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.3 PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE UNA SERIE DE PAGOS
SUCESIVOS
4.3.1 Préstamos amortizables mediante pagos constantes
4.3.1.1 Método francés o de anualidad constante.
El método francés de amortización presenta las siguientes características:
™ Los términos amortizativos se mantienen constantes a lo largo de todo el
préstamo.
a1= a2 = a3 = …. = an = a
™ El tanto de interés también se mantiene constante a lo largo de la vida del
préstamo.
Su representación gráfica será:
C0
0
1
a
2
a
n
a
Siendo C0 el importe de la prestación, y los n términos amortizativos, la
contraprestación.
La equivalencia financiera del préstamo en el origen es:
C0 = a an┐i
Ahora vamos a pasar al cálculo de los distintos elementos del cuadro de
amortización:
1. Cálculo de la anualidad constante
Como ya se ha indicado anteriormente la equivalencia financiera del préstamo
en el momento 0 la planteamos como:
C0 = a an┐i
11
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
De donde si despejamos, tenemos:
a=
C0
1 − (1 + i ) − n
i
2. Cálculo de las cuotas de amortización
La cuota de amortización es la parte del término amortizativo que se dedica a
la amortización del capital prestado.
Como la anualidad es igual a:
a = In + An
En el período primero, y sustituyendo el valor de la cuota de interés nos
queda:
a1= a = C0 × i + A1
De donde A1 será:
A1= a - C0 × i
Por tanto las cuotas de los sucesivos años se calcularan de igual manera,
siendo para un año k cualquiera iguales a:
Ak= a – Ck-1 × i
Si ahora tomamos las anualidades de dos años consecutivos k y k+1:
ak = Ak + Ck-1 × i
ak+1 = Ak+1 + Ck × i
Y teniendo en cuenta que, en el método francés las anualidades de todos los
años son iguales, podremos decir que:
Ak + Ck-1 × i = Ak+1 + Ck × i
Donde:
Ak+1 = Ak + Ck-1 × i - Ck × i = Ak + ( Ck-1 - Ck ) × i
Como:
( Ck-1 - Ck ) = Ak
12
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Entonces:
Ak+1 = Ak ( 1 + i )
Por tanto las cuotas de amortización para los distintos períodos serán:
Período
1
2
3
:
k
:
n
Cuota de amortización Ak
A1 = a – C0 × i
A2 = A1 × ( 1 + i )
A3 = A2 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i ) × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )2
:
Ak = Ak-1 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )k-1
:
An = An-1 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )n-1
3. Cálculo del capital amortizado
El capital total amortizado al final de un período se puede obtener como:
Mk = Mk-1 + Ak = A1 + A2 + A3 + .... + Ak = A1Sk⎤ i
Mk = A1Sk⎤ i
4. Cálculo de los intereses
El interés de los sucesivos años es igual a la deuda que queda pendiente de
amortizar al final del ejercicio anterior por el tanto de interés:
Ik = Ck-1 × i
Como el término amortizativo es igual a la suma de la cuota de capital más la
cuota de interés, podríamos obtener esta última como diferencia entre el
término amortizativo o anualidad y la cuota de amortización:
Ik = a - Ak
5. Cálculo del capital pendiente de amortizar
El capital vivo al final del año k lo podemos calcular:
™ Por el método retrospectivo:
Calculamos el capital pendiente en el momento k como la diferencia entre el
valor del préstamo y el valor de todas las anualidades pagadas hasta ese
momento, valoradas en el momento k
Ck = C0 × ( 1 + i )k – a S
k⎤ i
13
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
™ Por el método prospectivo:
Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momento k todas
las anualidades que quedan pendientes.
Ck = a a
n-k⎤ i
También se puede calcular el capital vivo al final del año k como la diferencia
entre el importe del préstamo y lo que ya se ha amortizado en esos k
primeros años:
Ck = C0 - Mk
El cuadro de amortización de un préstamo de anualidades constantes será:
Término
amortizativo
ak
a
a
:
a
a
Período
0
1
2
:
n-1
n
Cuota de
interés
Ik
I1= a- A1
I2= a- A2
:
In-1= a- An-1
In= a- An
Cuota de
amortización
Ak
A1 = a – C0 × i
A2= A1 (1+i)
:
An-1 = A1 (1+i)n-2
An = A1 (1+i)n-1
Capital vivo
Ck
Capital amortizado
Mk
C0
C1=C0-A1
C2=C1-A2
:
Cn=Cn-2-An-1
Cn=Cn-1-An
M1=A1
M2=M1+A2
:
Mn-1=Mn-2+An-1
Mn=Mn-1+An= C0
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo :
-
Capital prestado : 100.000 €
Plazo de amortización: 10 años
Tipo de interés: 10% anual.
Sistema de amortización de anualidades o términos amortizativos
constantes.
Calcular:
-
El importe de la anualidad constante
El capital pendiente de amortizar al principio del 4º año
El capital amortizado en los 5 primeros años
Realizar también el cuadro de amortización del préstamo
1º Cálculo de la anualidad constante:
a=
C0
1 − (1 + i )
i
−n
=
100.000
1 − (1,10) −10
0,10
= 16.274,54 €
14
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del 4º año:
Ck = a a
n-k⎤ i
= 16.274,54 a
10-3⎤ 0,10 =
79.231,27 €
3º Cálculo del capital amortizado en los 5 primeros años:
Mk = A1Sk⎤ i
M5 = A1S5⎤ 0.10
A1 = a – C0 × i = 16.274,54 – 100.000 × 0.10 = 6.274,54 €
M5 = 6.274,54 S5⎤ 0,10 = 38.306,69 €
4º Cuadro de amortización:
Período
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Término
amortizativo
Cuota de
interés
ak
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
16.274,54
Ik
10.000
9.372,55
8.682,35
7.923,13
7.087,99
6.169,33
5.158,81
4.047,24
2.824,51
1.479,50
Cuota de
amortización Capital vivo
Ck
Ak
100.000
6.274,54
93.725,46
6.901,99
86.823,47
7.592,19
79.231,27
8.351,41
70.879,86
9.186,55
61.693,31
10.105,21 51.588,10
11.115,73 40.472,37
12.227,30 28.245,06
13.450,03 14.795,03
14.795,04
0
Capital
amortizado
Mk
6.274,54
13.176,53
20.768,73
29.120,14
38.306,69
48.411,90
59.527,63
71.754,94
85.204,97
100.000
4.3.2 Préstamos amortizables mediante pagos variables
4.3.2.1 Método de amortización mediante cuotas de amortización constantes
En este método las cuotas de amortización se mantienen constantes, es
decir, todos los períodos se amortiza la misma cantidad de capital. Siendo:
A1 = A2 = A3 = .... = An = A
Vamos a pasar al cálculo de los distintos elementos del cuadro de
amortización:
15
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
1. Cálculo de las cuotas de amortización
La cantidad que se amortiza cada período es igual, teniendo por tanto todas
las cuotas de amortización el mismo importe.
A1 = A2 = A3 = .... = An = A
El importe de la cuota de amortización será:
A=
C0
n
2. Cálculo del capital amortizado
El capital amortizado al final del período k será igual a la suma de las cuotas
de amortización de los k primeros períodos.
Mk = A1 + A2 + A3 + ... + Ak
Mk = k × A
3. Cálculo del capital pendiente de amortizar
El capital pendiente de amortizar al final del año k será la diferencia entre el
importe del préstamo y el total amortizado en los k primeros períodos.
Ck = C0 - Mk
4. Cálculo de los intereses
La cuota de interés de cada período será igual al capital pendiente de
amortizar al final del período anterior por el tanto de interés que se aplique a
la operación.
Ik = Ck-1 × i
5. Cálculo de la anualidad
El importe de la anualidad será la suma de la cuota de amortización y de la
cuota de interés:
ak = Ak + Ik
16
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
El cuadro de amortización de un préstamo de cuota de amortización
constantes es:
Término
amortizativo
ak
a1= A + I1
a2= A + I2
:
an-1= A + In-1
an= A + In
Período
0
1
2
:
n-1
n
Cuota de
interés
Ik
I1= C0 × i
I2= C1 × i
:
In-1= Cn-2 × i
In= Cn-1 × i
Cuota de
amortización
Ak
A
A
:
A
A
Capital vivo Ck
Capital amortizado
Mk
C0
C1=C0-A
C2=C0-2A
:
Cn-1=C0 - (n-1)A
Cn=C0-nA
M1=A
M2=2A
:
Mn-1=(n-1)A
Mn=nA= C0
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo :
-
Capital prestado : 25.000 €
Plazo de amortización: 5 años
Tipo de interés: 10% anual.
Sistema de cuotas de amortización constantes
Calcular:
-
El importe de la cuota de amortización del año 3º
El capital pendiente de amortizar al principio del 4º año
El capital amortizado en los 4 primeros años
Realizar también el cuadro de amortización del préstamo
1º Cálculo de la cuota de amortización de año 3º:
A=
C0
25.000
=
= 5.000 €
n
5
2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del 4º año:
Mk = k × A = 3 × 5.000 = 15.000 €
Ck = C0 - Mk = 25.000 – 15.000 = 10.000 €
3º Cálculo del capital amortizado en los 4 primeros años:
Mk = k × A = 4 × 5.000 = 20.000 €
17
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4º Cuadro de amortización:
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
0
1
2
3
4
5
ak
7.500
7.000
6.500
6.000
5.500
Ik
2.500
2.000
1.500
1.000
500
Cuota de Capital vivo
Capital
amortización
amortizado
Ck
Mk
Ak
4.3.2.2 Método de amortización
progresión geométrica
5.000
5.000
5.000
5.000
5.000
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
mediante
anualidades
variables
en
El método de amortización mediante anualidades variables en progresión
geométrica se caracteriza porque los términos amortizativos o anualidades
siguen una progresión geométrica de razón q.
Las anualidades por tanto serán:
-
Primer término amortizativo:
Segundo término amortizativo:
Tercer término amortizativo:
a1
a 2 = a1 q
a3 = a1q2
-
N-ésimo término amortizativo:
an = a1qn-1
Gráficamente se representará:
C0
0
1
a1
2
a1q
n
a1qn-1
Siendo C0 el importe de la prestación, y los n términos amortizativos, la
contraprestación.
18
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
La equivalencia financiera del préstamo en el origen es:
C0 = A(a1, q ) n┐i
Ahora vamos a pasar al cálculo de los distintos elementos del cuadro de
amortización:
1. Cálculo de la anualidad
Como se acaba de indicar la equivalencia financiera del préstamo en el
momento 0 la planteamos como:
C0 = A(a1, q ) n┐i
De donde si despejamos, tenemos:
a1 =
C0
1 − q (1 + i) − n
1+ i − q
n
Para el caso de que q = 1 + i utilizaremos la siguiente expresión, ya vista en
el tema de rentas.
C0 = n × a1 × ( 1 + i )-1
De donde despejando obtendremos el valor de a1
a1 =
C0
n × (1 + i ) −1
2. Cálculo de la deuda pendiente de amortizar o capital vivo
El capital vivo al final del año k lo podemos calcular:
™ Por el método retrospectivo:
Calculamos el capital pendiente de amortizar como la diferencia entre el valor
del préstamo y el valor de todas las anualidades pagadas hasta ese momento,
capitalizados al momento k
Ck = C0 × ( 1 + i )k – S(a1,q)
k⎤ i
19
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
™ Por el método prospectivo:
Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momento k todas
las anualidades que quedan pendientes.
Ck = A( ak+1, q )
n-k⎤ i
En el caso de que q = 1 + i calcularemos el capital pendiente de amortizar al
final del año k como:
Ck = ( n - k ) × ak+1 × ( 1 + i )-1
3. Cálculo de las cuotas de amortización
El importe de la cuota de amortización de un período será igual a la diferencia
entre el capital pendiente de amortizar al final del período anterior y el capital
pendiente de amortizar al final de ese período. Por tanto:
Ak = Ck-1 - Ck
La deuda pendiente al final del año k es:
Ck = Ck-1 × ( 1 + i ) - ak
La deuda pendiente al final del año k+1 es:
Ck+1 = Ck × ( 1 + i ) - ak+1
Si ahora restamos las dos deudas pendientes, obtenemos:
Ck - Ck+1 = Ck-1 × ( 1 + i ) - ak - Ck × ( 1 + i ) + ak+1
Como:
Ck - Ck+1 = Ak+1
y
Ck-1 - Ck = Ak
Operando, tendremos:
Ak+1 = Ak × ( 1 + i ) + ak+1 - ak
4. Cálculo del capital amortizado
El capital total amortizado al final de un período se puede obtener como
diferencia entre el capital prestado y el capital pendiente de amortizar al final
del año k:
Mk = C0 - Ck
20
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
5. Cálculo de los intereses
El interés de los sucesivos años es igual a la deuda que queda pendiente de
amortizar al inicio de dicho año por el tanto de interés. O lo que es lo mismo:
Ik = Ck-1 × i
Como el término amortizativo es igual a la suma de la cuota de capital más la
cuota de interés, podríamos obtener esta última como diferencia entre el
término amortizativo o anualidad y la cuota de amortización:
Ik = ak - Ak
El cuadro de amortización de un préstamo de anualidades constantes sería:
Período
0
1
2
:
n-1
n
Término
amortizativo
ak
a
a1q
:
a1qn-2
a1qn-1
Cuota de
interés
Ik
I1= C0 × i
I2= C1 × i
:
In-1= Cn-2 × i
In= Cn-1 × i
Cuota de
amortización
Ak
A1 = a1 – I1
A2 = a2 – I2
:
An-1 = an-1 – In-1
An = an – In
Capital vivo
Ck
Capital
amortizado Mk
C0
C1=C0-A1
C2=C1-A2
:
Cn-1=Cn-2-An-1
Cn=Cn-1-An
M1=A1
M2=M1+A2
:
Mn-1=Mn-2+An-1
Mn=Mn-1+An
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo :
Capital prestado : 60.000 €
Plazo de amortización: 5 años
Tipo de interés: 10% anual.
Sistema de amortización con términos amortizativos variables en
progresión geométrica
Los términos amortizativos aumentan un 5% cada año de forma
acumulativa
-
Realizar el cuadro de amortización del préstamo:
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
0
1
2
3
4
5
ak
14.455,77
15.178,56
15.937,49
16.734,36
17.571,08
Ik
6.000,00
5.154,42
4.152,01
2.973,46
1.597,37
Cuota de
Capital vivo
Capital amortizado
amortización
Mk
Ck
Ak
8.455,77
10.024,14
11.785,48
13.760,90
15.973,71
60.000,00
51.544,23
41.520,09
29.734,62
15.973,72
0
8.455,77
18.479,91
30.265,38
44.026,28
60.000
21
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.3.2.3 Método de amortización
progresión aritmética
mediante
anualidades
variables
en
En este sistema de amortización los términos amortizativos siguen una
progresión aritmética de razón d, siendo cada término igual al anterior más la
correspondiente razón.
ak = ak-1 + d
Por tanto los términos para los distintos períodos serán:
-
Primer término amortizativo:
Segundo término amortizativo:
Tercer término amortizativo:
a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
-
N-ésimo término amortizativo:
an = a1 + ( n- 1 ) d
La representación gráfica de esta operación será:
C0
0
1
a1
2
a1 + d
n
a1 + (n-1) d
Siendo C0 el importe de la prestación, y los n términos amortizativos, la
contraprestación.
La equivalencia financiera del préstamo en el origen es:
C0 = A(a1, d ) n┐i
Ahora vamos a pasar al cálculo de los distintos elementos del cuadro de
amortización:
1. Cálculo de la anualidad
Como ya se ha indicado anteriormente la equivalencia financiera del préstamo
en el momento 0 la planteamos como:
⎛
C0 = A(a1, d ) n┐i = ⎜ a1 +
⎝
dn
d
⎞
+ dn ⎟ an┐i i
i
⎠
22
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
De donde si despejamos, tenemos:
dn
i − d − dn
a1 =
1 − (1 + i) − n i
i
C0 +
Y una vez calculada la primera anualidad calcularemos el resto, sabiendo que:
ak = ak-1 + d = a1 + (k-1)d
2. Cálculo de la deuda pendiente de amortizar o capital vivo
El capital vivo al final del año k lo podemos calcular:
™ Por el método prospectivo:
Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momento k todas
las anualidades que quedan pendientes.
Ck = A( ak+1, d)
n-k⎤ i
™ Por el método retrospectivo:
Calculamos el capital pendiente de amortizar como la diferencia entre el valor
del préstamo y el valor de todas las anualidades ya pagadas, capitalizados al
momento k
Ck = C0 × ( 1 + i )k – S(a1,d)
k⎤ i
3. Cálculo de las cuotas de amortización
El importe de la cuota de amortización de un período será igual a la diferencia
entre el capital pendiente de amortizar al final del período anterior y el capital
pendiente de amortizar al final de ese período. Por tanto:
Ak = Ck-1 - Ck
La deuda pendiente al final del año k es:
Ck = Ck-1 × ( 1 + i ) - ak
La deuda pendiente al final del año k+1 es:
Ck+1 = Ck × ( 1 + i ) - ak+1
23
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Si ahora restamos las dos deudas pendientes, obtenemos:
Ck - Ck+1 = Ck-1 × ( 1 + i ) - ak - Ck × ( 1 + i ) + ak+1
Como:
Ck - Ck+1 = Ak+1
y
Ck-1 - Ck = Ak
Operando, tendremos:
Ak+1 = Ak × ( 1 + i ) + ak+1 - ak
Además y como ya sabemos la diferencia que existe entre dos términos
amortizativos es la razón d. Si en la expresión anterior sustituimos ( ak+1 - ak)
por la razón, nos queda:
Ak+1 = Ak × ( 1 + i ) + d
Poniendo todas las cuotas de amortización en función de la primera tenemos:
Período 1º
Período 2º
Período 3º
A1
A2 = A1× ( 1 + i ) + d
A3 = A2 ×( 1 + i ) + d = A1 × ( 1 + i )2 + d × ( 1 + i ) + d = A1 × ( 1 + i )2 + d
S2⎤ i
Período n-1 An-1 = An-2× ( 1 + i ) + d = = A1 × ( 1 + i )n-2 + d Sn-2⎤ i
An = An-1× ( 1 + i ) + d = A1 × ( 1 + i )n-1 + d Sn-1⎤ i
Período n
An = An-1× ( 1 + i ) + d = A1 × ( 1 + i )n-1 + d Sn-1⎤ i
4. Cálculo del capital amortizado
El capital total amortizado al final de un período se puede obtener como
diferencia entre el capital prestado y el capital pendiente de amortizar al final
del año k:
Mk = C0 - Ck
5. Cálculo de los intereses
El interés de los sucesivos años es igual a la deuda que queda pendiente de
amortizar al inicio de dicho año por el tanto de interés. O lo que es lo mismo:
Ik = Ck-1 × i
24
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Como el término amortizativo es igual a la suma de la cuota de capital más la
cuota de interés, podríamos obtener esta última como diferencia entre el
término amortizativo o anualidad y la cuota de amortización:
Ik = ak - Ak
El cuadro de amortización de un préstamo de anualidades constantes sería:
0
1
2
3
Término
amortizativo
ak
a1
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
Cuota de
interés
Ik
I1= C0 × i
I2= C1 × i
I3= C2 × i
n
an = a1 + (n-1)d
In= Cn-1 × i
Período
Cuota de amortización
Ak
Capital
vivo Ck
Capital amortizado
Mk
A1 = a1 – C0 · i
A2 = A1 × ( 1 + i ) + d
A3 = A2 × ( 1 + i ) + d
C0
C1=C0-A1
C2=C1-A2
C3=C2-A3
M1=A1
M2=M1+A2
M3=M2+A3
An = An-1 × ( 1 + i ) + d
Cn=Cn-1-An
Mn=Mn-1+An= C0
Ejemplo:
Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 30.000 € que debe ser
amortizado en 6 años mediante el pago de anualidades que van aumentando
de un período a otro en la cantidad de 200 €.
Calcular:
-
El importe de la anualidad del 2º año
El capital pendiente de amortizar al principio del 4º año
El capital amortizado en los 4 primeros años
Realizar también el cuadro de amortización del préstamo. Sabiendo que el tipo
de interés es el 10% anual.
1º Cálculo del importe de la anualidad del 2º año.
C0
a
0
1
a+d
a+2d
a+3d
2
3
4
a+4d
a+5d
5
6
dn
d
⎞
⎛
C0 = A(a1, d ) n┐i = ⎜ a1 + + dn ⎟ an┐i i
i
⎠
⎝
200 × 6
dn
30.000 +
200
0,10
i − d − dn =
a1 =
−
− 200 × 6 = 6.443,51€
−n
−6
0
,10
i
1 − (1 + i)
1 − (1,10)
i
0,10
a2 = a1 + d = 6.443,51 + 200 = 6.643,51 €
C0 +
25
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del 4º año.
Ck = A( ak+1, d)
n-k⎤ i
= A( 7.043,51; 200)
3⎤ 0,10
⎛
⎞
200
+ 200 × 3 ⎟⎟ a3┐0,10 = ⎜⎜ 7.043,51 +
0
,
10
⎝
⎠
200 × 3
= 17.981,98€
0,10
a4 = a1 + 3d = 6.443,51 + 600 = 7.043,51 €
3º Cálculo del capital amortizado en los 4 primeros años.
Mk = C0 - Ck
M4 = C0 – C4 = 30.000 – 12.736,37 = 17.263,33 €
Ck = A( ak+1, d)
n-k⎤ i
= A( 7.243,51, 200)
2⎤ 0,10
200
⎞
⎛
= ⎜⎜ 7.243,51 +
+ 200 × 2 ⎟⎟ a2┐0,10 0,10
⎠
⎝
200 × 2
=12.736,67€
0,10
a5 = a1 + 4d = 6.443,51 + 800 = 7.243,51 €
4º Cálculo del cuadro de amortización.
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
0
1
2
3
4
5
6
ak
6.443,51
6.643,51
6.843,51
7.043,51
7.243,51
7.443,51
Ik
3.000
2.655,65
2.256,86
1.798,20
1.273,67
676,68
Cuota de Capital vivo
Capital
amortización
amortizado
Ck
Mk
Ak
3.443,51
3.987,86
4.586,65
5.245,31
5.969,84
6.766,83
30.000
26.556,49
22.568,63
17.981,98
12.736,67
6.766,83
0
3.443,51
7.431,37
12.018,02
17.263,33
23.233,17
30.000
4.3.2.4 Sistema de amortización de préstamos con abono de intereses
anticipados o sistema de amortización alemán.
En este sistema de amortización todos los términos amortizativos son de igual
cuantía salvo el primero, que tiene lugar en el comienzo de la operación y que
atiende al pago anticipado de los intereses del primer período.
26
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
El método alemán de amortización presenta las siguientes características:
™ Los términos amortizativos se mantienen constantes a lo largo de todo
el préstamo, con la excepción del primer pago que se realiza al
comienzo de la operación.
a0 = C0 × i*
a1= a2 = a3 = …. = an = a
™ El tanto de interés también se mantiene constante a lo largo de la vida
del préstamo.
Gráficamente se representará:
C0
0
C 0 × i*
1
a
2
a
n
a
i*
Siendo C 0 el importe de la prestación y siendo los n términos amortizativos
más el importe del primer pago la contraprestación.
La equivalencia financiera del préstamo en el origen
C 0 = C 0 × i* + a × ( 1 - i* ) + a × ( 1 - i* )2 + a × ( 1 - i* )3 + ... + a × ( 1 - i* )n
De donde:
C 0 × ( 1 - i* ) = a × ( 1 - i* ) [ 1 + ( 1 - i* )+ ( 1 - i* )2 + ... + ( 1 - i* )n-1 ]
Es decir:
C 0 × ( 1 - i* ) = a × ( 1 - i* ) ×
1 − (1 − i * ) n
i*
Por lo tanto:
C0 = a ×
1 − (1 − i * ) n
i*
27
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Podemos plantear la equivalencia financiera en función del tanto de interés
pospagable i, en lugar del tanto de interés anticipado i*. Para ello se debe
tener en cuenta que:
- El cambio de tipo afecta al importe del préstamo, que será igual al importe
de partida del préstamo menos los intereses que se pagan en el período
inicial.
C 0* = C0 × ( 1 - i* )
- El tipo de interés pospagable se calculará como:
i=
i*
(1 − i * )
Siendo la equivalencia financiera en función del tipo de interés pospagable:
C 0* = aan⎤ i
Por lo tanto y si despejamos podremos hallar el término amortizativo como:
a=
C 0*
a n ]i
Ahora vamos a pasar al cálculo de los distintos elementos del cuadro de
amortización:
1. Cálculo de la anualidad constante
La anualidad constante será según acabamos de señalar:
- En función del tanto de interés anticipado i
a = C0 ×
*
i*
1 − (1 − i * ) n
- En función del tanto de interés i
a=
C 0*
a n ]i
28
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
2. Cálculo de las cuotas de amortización
La cuota de amortización es la parte del término amortizativo que se dedica a
la amortización del capital prestado.
Vamos a tratar de calcular las cuotas de amortización partiendo de los
términos amortizativos de dos períodos consecutivos. Como ya se ha
señalado en este sistema de amortización todas las anualidades van a ser
iguales, a excepción de la inicial.
Término amortizativo del año k
a = Ik+1 + Ak = Ck × i* + Ak
Término amortizativo del año k+1
a = Ik+2 + Ak+1 = Ck+1 × i* + Ak+1
De donde si igualamos ambas anualidades nos queda:
Ck × i* + Ak = Ck+1 × i* + Ak+1
Operando tendremos:
Ak = Ak+1 – ( Ck - Ck+1 ) × i* = Ak+1 – Ak+1× i*
Ak = Ak+1( 1- i* )
O lo que es lo mismo:
Ak = An( 1- i* )n-k
Como los intereses se pagan por anticipado, el importe de la última cuota de
amortización será igual a la anualidad.
Por tanto el importe de la última cuota de amortización será:
An = a
Y el importe de las demás se obtendrá, a partir de la expresión:
Ak = An( 1- i* )n-k
3. Cálculo del capital pendiente de amortizar
El capital vivo al final del año k lo podemos calcular:
Valorando en el momento k todas las anualidades que quedan pendientes.
Ck = a a
n-k⎤ i*
29
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
O también se puede calcular el capital vivo al final del año k como la
diferencia entre el importe del préstamo y lo que ya se ha amortizado en esos
k primeros años:
Ck = C 0 - Mk
4. Cálculo del capital amortizado
El capital total amortizado al final de un período k se puede obtener como la
diferencia entre el importe del préstamo C 0 y el importe del capital vivo al
final del año k:
Mk = C 0 - Ck
5. Cálculo de los intereses
Como los intereses se pagan anticipadamente los intereses que pagamos en
un año serán los correspondientes al año siguiente. La cuota de interés será:
Ik+1 = Ck × i*
Como el término amortizativo es igual a la suma de la cuota de capital más la
cuota de interés del año siguiente, podríamos obtener esta última como
diferencia entre el término amortizativo o anualidad y la cuota de
amortización:
Ik+1 = a - Ak
El cuadro de amortización de un préstamo amortizado mediante el sistema
alemán será:
Período
Término
amortizativo
ak
Cuota de
interés
Ik
Cuota de
amortización
Ak
Capital vivo
Ck
Capital
amortizado Mk
0
a0= C 0 × i*
I1= C 0 × i*
-
C0
-
1
a
I2= C1 × i*
A1 = An(1- i*)n-1
C1= C 0 -A1
M1=A1
* n-2
C2=C1-A2
M2=M1+A2
:
:
2
a
I3= C 2 × i*
:
:
:
A2= An(1- i )
:
*
n-1
a
In= C n −1 × i*
An-1= An(1- i )
Cn-1=Cn-2-An-1
Mn-1=Mn-2+An-1
n
a
-
An = a
Cn=Cn-1-An
Mn=Mn-1+An= C0
30
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Ejemplo:
Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 60.000 € que debe ser
amortizado en 8 años.
Calcular:
El importe de la anualidad
El capital pendiente de amortizar al principio del año 4º
La cuota de amortización del 5º año
-
Realizar también el cuadro de amortización del préstamo. Sabiendo que el
sistema de amortización empleado es el alemán y que el tipo de interés
anticipado es el 10% anual.
1º Cálculo de la anualidad constante en función del tanto de interés anticipado:
a = C0 ×
i
*
* n
1 − (1 − i )
= 60.000 ×
0,10
1 − (1 − 0,10)
8
= 10.534,95€
2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del año 4º:
Ck = a ×
1 − (1 − i * ) n − k
i*
= 10.534,95 ×
1 − (1 − 0,10) 5
= 43.141,68 €
0,10
3º Cálculo de la cuota de amortización del 5º año:
Ak = An (1-i* )n-k
A5 = A8 (1-i* )3 = 10.534,95 ( 1-0,10 )3 = 7.679,98 €
A8 = a = 10.534,95 €
4º Cuadro de amortización:
Período
Término
amortizativo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
ak
6.000
10.534,95
10.534,95
10.534,95
10.534,95
10.534,95
10.534,95
10.534,95
10.534,95
Cuota de
interés
Ik
6.000
5.496,12
4.936,25
4.314,17
3.622,97
2.854,97
2.001,64
1.053,50
0
Cuota de Capital vivo
amortización
Ck
Ak
60.000
5.038,83
54.961,17
5.598,70
49.362,46
6.220,78
43.141,68
6.911,98
36.229,70
7.679,98
28.549,72
8.533,31
20.016,41
9.481,46
10.534,96
10.534,95
0
Capital
amortizado
Mk
5.038,83
10.637,54
16.858,32
23.770,30
31.450,28
39.983,59
49.465,04
60.000
31
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.4 PRÉSTAMOS DIFERIDOS
Los préstamos diferidos o con carencia son aquellos en los que no es preciso
pagar al comienzo de la operación, durante uno o varios períodos, las cuotas de
amortización e incluso, en ocasiones, ni siquiera las cuotas de interés.
Por tanto podemos encontrarnos ante dos situaciones:
™ Durante los períodos de diferimiento si se pagan los intereses (carencia
parcial)
™ Durante los períodos de diferimiento no se paguen los intereses
(carencia total)
4.4.1 Préstamos con carencia parcial
En el caso de que exista carencia parcial los primeros períodos se pagan los
intereses correspondientes al capital prestado, y en el momento en el que
finaliza el período de carencia, nos encontramos con un préstamo normal que se
resuelve como cualquiera de los sistemas amortizativos existentes.
Si estuviésemos ante un préstamo amortizable mediante términos amortizativos
o anualidades constantes y diferido en t períodos, se van a pagar los intereses
correspondientes al capital prestado “C0 × i” durante los períodos de carencia y
durante los períodos siguientes, y por la duración del préstamo, se pagarán las
anualidades constantes “a”.
Gráficamente su representación será:
C0
0
C0×i
1
C0×i
C0×i
2
t
a
t+1
a
t+2
a
n
El cálculo de la anualidad al igual que el del resto de elementos del cuadro de
amortización, se realizará de igual manera que en el préstamo francés.
Una vez terminado el período de carencia, nos encontramos ante un préstamo
normal que se amortiza exactamente igual que el resto de préstamos mediante
cualquiera de los sistemas de amortización existentes.
32
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.4.2 Préstamos con carencia total
En el caso de que exista carencia total los primeros períodos no se pagan los
intereses, acumulándose estos al capital inicialmente prestado, y en el momento
en el que finaliza el período de carencia, nos encontramos con un préstamo
normal que se resuelve como cualquiera de los sistemas amortizativos
existentes, teniendo en cuenta que el capital prestado en este caso será C0 ( 1 +
i )t.
Igual que en el caso anterior, si estuviésemos ante un préstamo amortizable
mediante términos amortizativos o anualidades constantes y diferido en t
períodos, los años de carencia no se paga nada y en los restantes se pagará la
anualidad constante, teniendo en cuenta que esta se halla sobre el capital
prestado inicialmente más los intereses acumulados C0 (1× i )t = a a n⎤ i
Gráficamente su representación sería:
C0
0
1
2
C0 ( 1+i )t
a
t
t+1
a
t+2
a
n
El cálculo de los elementos del cuadro de amortización se realiza como se ha
realizado para un préstamo amortizable por el sistema de amortización francés.
Una vez terminado el período de carencia, nos encontraríamos ante un préstamo
normal que se amortizaría exactamente igual al resto de préstamos mediante
cualquiera de los sistemas de amortización existentes.
Ejemplo:
Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 30.000 € que debe ser
amortizado en 6 años mediante el pago de anualidades constantes, pagándose
la primera en el tercer año.
Hacer el cuadro de amortización en los siguientes casos:
-
Si durante los 2 primeros años no se pagan intereses
Si se pagan intereses durante esos 2 primeros años
Sabiendo que el tipo de interés es el 10% anual.
33
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
1º Cálculo del cuadro de amortización si en los 2 primeros ejercicios no se pagan
intereses.
C0
0
1
C0 ( 1+i )t
a
a
a
a
2
3
4
5
6
C0 ( 1+i )t = 30.000 ( 1,10 )2 = 36.300 €
1 − (1 + 0,10) −4
C0 ( 1+i )t = a a n⎤ i = 36.300 = a
= 11.451,59€
0,10
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
0
1
2
3
4
5
6
ak
11.451,59
11.451,59
11.451,59
11.451,59
Ik
3.630,00
2.847,84
1.987,47
1.041,05
Cuota de
Capital
amortización Capital vivo amortizado
Ck
Mk
Ak
30.000
33.000
36.300
7.821,59
28.478,41 7.821,59
8.603,75
19.874,66 16.425,34
9.464,12
10.410,54 25.889,46
10.410,54
0
36.300
2º Cálculo del cuadro de amortización si en los 2 primeros ejercicios se pagan intereses.
C0
C0 × i
C0 × i
0
1
2
C0 = a a
n⎤ i
= 30.000 = a
a
3
a
a
a
4
5
6
1 − (1 + 0,10) −4
= 9.464,12€
0,10
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
0
1
2
3
4
5
6
ak
3.000
3.000
9.464,12
9.464,12
9.464,12
9.464,12
Ik
3.000
3.000
3.000
2.353,59
1.642,53
860,37
Cuota de Capital vivo
Capital
amortización
amortizado
Ck
Mk
Ak
6.464,12
7.110,54
7.821,59
8.603,75
30.000
30.000
30.000
23.535,88
16.425,34
8.603,75
0
6.464,12
13.574,66
21.396,25
30.000
34
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.5 PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS
Son préstamos con intereses fraccionados aquellos en los que la periodicidad con
que se van a pagar los intereses es superior a la que se utiliza para amortizar el
capital. Es decir, cada uno de los períodos de amortización se divide en m
subperíodos, de forma que la cuota de interés del período que correspondería a
la operación sin fraccionamiento de interés Ik = Ck-1 × i, se sustituye por m
cuotas de interés Ik,1 = Ck-1 × im, Ik,2 = Ck-1 × im,..., Ik,m = Ck-1 × im
Gráficamente su representación será:
C1
1
C0
0
0
1
C0 × im
2
C0 × im
C2
2
m
1+m
C1 × im
C0 × im + A1
2+m
2m
C1 × im
C1 × im + A2
En este tipo de préstamos los intereses se van pagando fraccionadamente dentro
de cada período, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan.
4.5.1 Préstamo francés con intereses fraccionados
Como se trata de un préstamo fraccionado los intereses se van pagando dentro
del período de amortización, mientras que las cuotas se abonan al final del
período.
El sistema de amortización francés es aquel en el que los términos amortizativos
son constantes. En este caso nos podemos encontrar con dos posibilidades:
a) Que sea constante el término amortizativo único equivalente (a),
siendo este igual al valor financiero al final de cada período de todos
los capitales que vencen en el mismo
b) Que sea constante la cuantía de los términos que vencen al final del
período (a´)
a) Término amortizativo único equivalente:
Lo primero que debemos hacer al tratarse de un préstamo fraccionado es
calcular el tanto efectivo equivalente:
-
Si nos dan un tanto fraccionado:
i = ( 1 + im )m -1
35
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
-
Si nos dan un tanto anual:
Primero calculamos el tanto fraccionado y con este calculamos el tanto
anual equivalente.
im = (1 + i )1/m - 1
i = ( 1 + im )m -1
-
Si nos dan un tanto nominal:
Primero calculamos el tanto fraccionado y luego el tanto anual
equivalente
im =
Jm
m
i = ( 1 + im )m -1
a.1) Cálculo del término amortizativo equivalente
El término amortizativo equivalente se calculará un vez que tenemos el
tanto de interés efectivo equivalente como:
a=
C0
an
=
i
C0
1 − (1 + i) − n
i
a.2) Cálculo de las cuotas de amortización
Las cuotas de amortización serán:
A1 = a – C0 × i
Ak = Ak-1 × ( 1 + i ) = A1 × ( 1 + i )k-1
a.3) Cálculo del capital total amortizado
El capital total amortizado al final de un período se puede obtener
como:
Mk = Mk-1 + Ak = A1 + A2 + A3 + .... + Ak = A1Sk⎤ i
Mk = A1Sk⎤ i
36
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
a.4) Cálculo de la deuda pendiente de amortizar
Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momento
k todas las anualidades que quedan pendientes.
Ck = a a
n-k⎤ i
También se puede calcular el capital vivo al final del año k como la
diferencia entre el importe del préstamo y lo que ya se ha amortizado
en esos k primeros años:
Ck = C0 - Mk
a.5) Cálculo de la cuota de interés
La cuota de interés es igual a la deuda que queda pendiente de
amortizar al inicio de dicho año por el tanto de interés fraccionado, o lo
que es lo mismo:
I k( m) = Ck-1 × im
Ejemplo:
Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 30.000 € que debe ser
amortizado en 5 años mediante el pago de anualidades constantes, sabiendo
que los intereses se pagan semestralmente.
Calcular:
El importe de la anualidad financiera constante
El capital pendiente de amortizar al principio del 4º año
El capital amortizado en los 3 primeros años
La cuota de interés semestral que se paga en el 4º año
-
Realizar también el cuadro de amortización del préstamo. Sabiendo que el
tipo de interés semestral es del 5%.
1º Cálculo de la anualidad financiera constante:
Lo primero que vamos a hacer es calcular el tanto de interés anual
( 1 + i ) = ( 1 + im )m
i = ( 1 + im )m – 1 = ( 1,05 )
a=
C0
1 − (1 + i )
i
−n
=
30.000
1 − (1,1025) −5
0,1025
2
– 1 = 0,1025
= 7.964,53€
37
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del 4º año:
Ck = a a
C3 = a a
n-k⎤ i
2⎤ 0,1025
= 13.776,51 €
3º Cálculo del capital amortizado en los 3 primeros años:
Mk = A1Sk⎤ i
M3 = A1S3⎤ 0,1025 = 4.889,53 ×
(1,1025) 3 − 1
= 16.223,49€
0,1025
A1 = a – C0 × i = 7.964,53 - 30.000 × 0,1025 =4.889,53 €
4º Cálculo de la cuota de los intereses semestrales que se paga el 4º año:
I k( m) = Ck-1 × im
I 4( 2) = C3 × 0,05 = 13.776,50 × 0,05 = 688,83 €
5º Cuadro de amortización:
Año
1
2
3
4
5
Término
Semestre
amortizativo
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ak
1.500
6.389,53
1.255,52
6.646,23
985,99
6.929,24
688,83
7.241,26
361,20
7.585,27
Cuota de
interés
Ik
1.500
1.500
1.255,52
1.255,52
985,99
985,99
688,83
688,83
361,20
361,20
Cuota de
amortización
Ak
4.889,53
5.390,71
5.943,25
6.552,44
7.224,06
Capital
vivo
Ck
Capital
amortizado
Mk
30.000
25.110,47
25.110,47
19.719,76
19.719,76
13.776,51
13.776,51
7.224,07
7.224,07
0
4.889,53
4.889,53
10.280,24
10.280,24
16.223,49
16.223,49
22.775,93
22.775,93
30.000
38
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
b) Cuantía de los términos que vencen al final del período constante:
b.1) Cálculo del término amortizativo a´
El término amortizativo a´ se calculará como:
a´=
C0
a´n
=
im
C0
1 − (1 + i m ) − n
im
b.2) Cálculo de las cuotas de amortización
Las cuotas de amortización serán:
A1 = a´ – C0 × im
Ak = Ak-1 × ( 1 + im ) = A1 × ( 1 + im )k-1
b.3) Cálculo del capital total amortizado
El capital total amortizado al final de un período se puede obtener
como:
Mk = Mk-1 + Ak = A1 + A2 + A3 + …. + Ak = A1Sk⎤ im
Mk = A1Sk⎤ im
b.4) Cálculo de la deuda pendiente de amortizar
Lo que hacemos para calcular el capital vivo es valorar en el momento
k todas las anualidades a´ que quedan pendientes.
Ck = a´ a
n-k⎤ im
También se puede calcular el capital vivo al final del año k como la
diferencia entre el importe del préstamo y lo que ya se ha amortizado
en esos k primeros años:
Ck = C0 - Mk
b.5) Cálculo de la cuota de interés
I k( m) = Ck-1 × im
39
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Ejemplo:
Una Entidad financiera nos concede un préstamo de 30.000 € que debe ser
amortizado en 5 años mediante el pago de anualidades constantes, sabiendo
que los intereses se pagan semestralmente.
Calcular:
-
El importe de los pagos anuales constantes
El capital pendiente de amortizar al principio del año 4º
El capital amortizado en los 3 primeros años
Cuota de los intereses semestrales que se paga el 4º año
Realizar también el cuadro de amortización del préstamo. Sabiendo que el
tipo de interés semestral es del 5%.
1º Cálculo de las pagos anuales constantes:
a´=
C0
1 − (1 + i m )
im
−n
=
30.000
1 − (1,05) −5
0,05
= 6.929,24€
2º Cálculo del capital pendiente de amortizar al principio del año 4º:
Ck = a´ a
C3 = a´ a
n-k⎤ im
2⎤ 0,05
= 12.884,32 €
3º Cálculo del capital amortizado en los 3 primeros años:
Mk = A1Sk⎤ i
M3 = A1S3⎤ 0,05 = 5.429,24 ×
(1,05) 3 − 1
= 17.115,68€
0,05
A1 = a´ – C0 × im = 6.929,24 - 30.000 × 0,05 =5.429,24 €
4º Cálculo de la cuota de los intereses semestrales que se paga el 4º año:
I k( m) = Ck-1 × im
I 4( 2) = C3 × 0,05 = 12.884,30 × 0,05 = 644,22 €
40
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
5º Cuadro de amortización:
Año
1
2
3
4
5
Término
amortizativo
Semestre
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ak
1500
6.929,24
1.228,54
6.929,24
943,50
6.929,24
644,22
6.929,24
329,96
6.929,24
Cuota de
interés
Cuota de
amortización
Capital
vivo
Ik
1.500
1.500
1.228,54
1.228,54
943,50
943,50
644,22
644,22
329,96
329,96
Ak
5.429,24
5.700,70
5.985,74
6.285,02
6.599,28
Ck
30.000,00
24.570,76
24.570,76
18.870,06
18.870,06
12.884,32
12.884,32
6.599,30
6.599,30
0
Capital
amortizado
Mk
5.429,24
5.429,24
11.129,94
11.129,94
17.115,68
17.115,68
23.400,70
23.400,70
30.000
4.6 TANTOS EFECTIVOS DE UN PRÉSTAMO
En las operaciones de amortización es corriente que aparezcan características
comerciales que afecten, bien a alguna de las dos partes, o bien a las dos.
Las características comerciales más comunes son entre otras; los gastos
notariales, de registro, de tasación, Impuesto de Transmisiones Patrimoniales,...,
que afectan al prestatario, el impuesto sobre los rendimientos que afecta al
prestamista, y la comisión de apertura, comisión de cancelación, comisiones
bancarias,..., que afectan a ambos.
Debido a estas características comerciales el tanto de interés efectivo de la
operación va a ser distinto del tanto de interés pactado. Este tanto efectivo de la
operación será aquel que permita la equivalencia financiera al aplicarlo a las
cantidades que se entregan y a las que se reciben.
4.6.1 Tanto efectivo del prestamista
Para calcular el interés efectivo para el prestamista se tiene que cumplir la
ecuación de equivalencia en la que la prestación real, lo entregado realmente por
el prestamista, sea igual a la contraprestación real, es decir, a lo recibido por el
prestamista.
El prestamista entregará el importe del préstamo, pero si al preparar este tiene
una serie de gastos, la prestación real entregada por el prestamista será el
importe del préstamo más los gastos. Es decir:
Prestación real: C0 + Ga
41
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Por otra parte lo que el prestamista recibe será el importe de las anualidades o
términos amortizativos menos el impuesto que grava los rendimientos T. Es
decir, a – T.
Contraprestación real: a - T
La equivalencia financiera en el momento 0 será:
C0 + Ga = ( a –T ) a
n⎤ ia
Resolviendo la ecuación de equivalencia obtendremos el tanto de interés efectivo
para el prestamista.
4.6.2 Tanto efectivo del prestatario
Para calcular el interés efectivo para el prestatario se tiene que cumplir la
ecuación de equivalencia en la que la prestación real, lo que realmente recibe el
prestatario, sea igual a la contraprestación real, es decir, a lo entregado por el
prestatario.
El prestatario recibirá el importe del préstamo, pero al formalizar el préstamo
este tiene una serie de gastos como; gastos de notaria, gastos de
constitución,..., que minorarán el importe de lo recibido. Por lo tanto, la
prestación real recibida por el prestatario será el importe del préstamo menos los
gastos. Es decir:
Prestación real: C0 - Gp
Por otra parte lo que el prestatario entrega será el importe de las anualidades o
términos amortizativos más los gastos de administración que le cobra el
prestamista. Es decir:
Contraprestación real: a + gp
La equivalencia financiera en el momento 0 será:
C0 – Gp = ( a + gp ) a
n⎤ ip
Resolviendo la ecuación de equivalencia obtendremos el tanto de interés efectivo
para el prestatario.
42
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo :
Capital prestado : 60.000 €
Plazo de amortización: 5 años
Tipo de interés: 10% anual.
Sistema de amortización de anualidades o términos amortizativos
constantes.
Características comerciales:
• Gastos para el prestamista:
- Impuesto sobre los intereses percibidos 1% de los términos
amortizativos
- Gastos por gestión 1% del capital prestado
-
•
Gastos para el prestatario:
- comisión de apertura del 1% sobre la cantidad prestada
- gastos de formalización del préstamo 1.500 €
- gastos de administración el 1% sobre los términos
amortizativos.
-
El tanto efectivo para el prestamista
El tanto efectivo para el prestatario
Calcular:
1º Cálculo del tanto efectivo para el prestamista:
Primero debemos calcular la anualidad constante que amortiza el préstamo
a=
C0
1 − (1 + i )
i
−n
=
60.000
1 − (1,10) −5
0,10
= 15.827,85€ €
El tanto de interés para el prestamista será:
C0 + Ga = ( a –T ) a n⎤ ia = 60.000 + 1 % 60.000 = ( 15.827,85 - 1% 15.827,85) a 5⎤ ia
60.600 = 15.669,57 a
a
5⎤ ia
=
5⎤ ia
60.600
= 3,867368409
15.669,57
Si buscamos en las tablas financieras e interpolamos, tenemos:
a
a
a
= 3,88965126
= 3,867368409
5⎤ 0,095 = 3,83970879
5⎤ 0,09
5⎤ ia
43
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Si llamamos a:
ia = X
i = 0,09 = X1
i = 0,095 = X2
a
a
a
=Y
= Y1
5⎤ 0,095 = Y2
5⎤ ia
5⎤ 0,09
Interpolando y sustituyendo los valores:
i a − 0,09
X − X1 X 2 − X1
0,095 − 0,09
=
=
=
3,867368409 − 3,88965126 3,83970879 − 3,88965129
Y − Y1
Y2 − Y1
ia = 0,09223085
2º Cálculo del tanto efectivo para el prestatario:
C0 – Gp = ( a + gp ) a
n⎤ ip
60.000 – 1% 60.000 – 1.500 = (15.827,85 + 1% 15.827,85) a
57.900 = 15.986,13 a
a
5⎤ ip
=
n⎤ ip
5⎤ ip
57.900
= 3,621889726
15.986,13
Si buscamos en las tablas financieras e interpolamos, tenemos:
a
a
a
= 3,64987785
=
3,621889726
5⎤ ip
5⎤ 0,12 = 3,60477620
5⎤ 0,115
Interpolando y sustituyendo los valores:
i p − 0,115
X − X1 X 2 − X1
0,12 − 0,115
=
=
=
3,621889726 − 3,64987785 3,60477620 − 3,64987785
Y − Y1
Y2 − Y1
ip = 0,118102782
44
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.7 VALOR FINANCIERO DEL PRÉSTAMO, DEL USUFRUCTO Y DE LA
NUDA PROPIEDAD.
4.7.1 Concepto
Dada una operación de préstamo de la cuál conocemos los términos
amortizativos a1, a2, a3,..., an que vencen respectivamente en los períodos 1, 2,
3,...,n , a un tanto de interés i, si se quiere cancelar de manera anticipada este
préstamo, habrá que valorarlo a las condiciones de mercado que existan en ese
momento.
Si ese momento es el período k, la cuantía de la deuda que queda pendiente,
será el capital vivo o pendiente de amortizar al final del momento k, que se
expresará matemáticamente como:
Ck = ak+1 ( 1 + i )-1 + ak+2 ( 1 + i )-2 +...+ an ( 1 + i )-(n-k)
Para simplificar lo expresaremos como:
n
Ck =
∑a
s (1 + i )
−( s − k )
s = k +1
Gráficamente se representa como:
C0
0
C1
1
a1
C2
2
a2
Ck
k
ak
Ck+1
k+1
ak+1
Ck+2
k+2
ak+2
Cn
n
an
El acreedor puede transferir los derechos que el tiene sobre el préstamo, derecho
a percibir los intereses del préstamo y derecho al reembolso del nominal,
surgiendo así, los derechos de usufructo, nuda propiedad y valor del préstamo.
Si los dos derechos anteriores recaen sobre una misma persona este tiene el
derecho de pleno dominio o plena propiedad. Si sólo se tiene el derecho a la
percepción de los intereses estamos ante el derecho de usufructo. Si sólo se
tiene derecho a la devolución del principal, nos encontramos ante el derecho de
nuda propiedad.
La valoración de estos derechos una vez que han transcurrido k períodos desde
el inicio del préstamo y sabiendo que el tipo de interés de mercado es en ese
momento i´ será:
45
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
™ Valor financiero del préstamo ( Vk ):
El valor financiero del préstamo al comienzo del período k+1 será el valor de
todos los términos amortizativos que quedan pendientes actualizados al
momento k al tipo de interés de mercado existente en ese momento.
n
Vk =
∑ a (1 + i´)
−( s − k )
s
s = k +1
™ Valor financiero de la nuda propiedad (Nk):
El valor financiero de la nuda propiedad al comienzo del período k+1 será el
valor de todas las cuotas de amortización que quedan pendientes actualizadas
al momento k al tipo de interés de mercado existente en ese momento.
n
Nk =
∑ A (1 + i´)
−( s −k )
s
s = k +1
™ Valor financiero del usufructo ( Uk ):
El valor financiero del usufructo al comienzo del período k+1 será el valor de
todas las cuotas de interés que quedan pendientes actualizados al momento k
al tipo de interés de mercado existente en ese momento
n
Uk =
∑
Cs −1 × i(1 + i´)− ( s − k ) =
s = k +1
n
∑I
s
× (1 + i´) −( s − k )
s = k +1
El valor financiero del préstamo será la suma del valor financiero del
usufructo más el valor financiero de la nuda propiedad.
Vk = Nk + Uk
4.7.2 Fórmula de Achard
La fórmula de Achard es un sistema de ecuaciones, más práctico, que el método
expuesto en el apartado anterior, para el cálculo del valor financiero, del
usufructo y de la nuda propiedad del préstamo, pero con la limitación de que sólo
se podrá usar en el caso de que se cumplan los dos siguientes requisitos:
1º Que el tipo de interés del préstamo se mantenga constante desde la fecha en
que se efectúa el estudio hasta el final del préstamo.
2º Que el tanto de interés de mercado sea distinto al tanto de interés del
préstamo y además este permanezca también constante.
46
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
El sistema de ecuaciones será:
Vk = Uk + Nk
Uk =
i
(C k − N k )
i´
En este sistema tenemos cuatro incógnitas; capital vivo, usufructo, nuda
propiedad y valor del préstamo. Dependiendo del sistema de amortización que
tengamos se calculará primero una u otra variable. Por ejemplo en el sistema
francés en el cuál conocemos los términos amortizativos calcularemos, aplicando
las fórmulas generales del apartado anterior, el valor del capital vivo y el valor
del préstamo, y una vez conocidos estos valores resolveremos el sistema de
ecuaciones. En el caso del sistema de cuotas de amortización constantes en el
cuál, son conocidas e iguales para todos los períodos las cuotas de amortización,
primero calcularemos el capital vivo y la nuda propiedad, y con estos valores
resolveremos el sistema de ecuaciones.
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo :
-
Capital prestado : 60.000 €
Plazo de amortización: 5 años
Tipo de interés: 10% anual.
Sistema de amortización de anualidades o términos amortizativos
constantes
Calcular el valor del usufructo y de la nuda propiedad transcurridos 3 años
desde su concesión si el tipo de interés de mercado es del 8%.
Solución:
1º Cálculo de la anualidad y del cuadro de amortización.
a=
C0
1 − (1 + i )
i
−n
=
60.000
1 − (1,10) −5
0,10
= 15.827,85€ €
47
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Período
Término
amortizativo
Cuota de
interés
ak
Ik
15.827,85
15.827,85
15.827,85
15.827,85
15.827,85
6.000,00
5.017,22
3.936,15
2.746,98
1.438,89
0
1
2
3
4
5
Cuota de Capital vivo
Capital
amortización
amortizado
Ck
Mk
Ak
9.827,85
10.810,64
11.891,70
13.080,87
14.388,96
60.000
50.172,15
39.361,52
27.469,82
14.388,95
0
9.827,85
20.638,49
32.530,18
45.611,05
60.000
2º Cálculo de valor, del usufructo y de la nuda propiedad utilizando las fórmulas
generales:
n
Uk =
∑
C s −1 × i(1 + i´) − ( s − k ) =
s = k +1
∑ (1 + i´)
s = k +1
n
Nk =
n
∑ A (1 + i´)
−( s −k )
s
n
∑ (1 + i)
s = k +1
s −k
=
2.746,98 1.438,89
+
= 3.777,12€
1,08
1,08 2
13.080,87 14.388,96
+
= 24.448,13€
1,08
1,08 2
=
s = k +1
Vk = U k + N k =
Is
as
s−k
=
15.827,85 15.827,85
+
= 28.225,25€
1,08
1,08 2
3º Cálculo de valor, del usufructo y de la nuda propiedad utilizando las fórmulas de
Achard:
Vk = U k + N k
Uk =
i
(C k − N k )
i´
Se puede aplicar la fórmula de Achard ya que:
- El tipo de interés del préstamo se mantiene constante
- El tipo de interés de mercado es constante y distinto al tanto del préstamo
Vamos a calcular el capital vivo del préstamo:
C3 = 15.827,85 a2⎤ 0,10 = 27.469,82 €
V3 = 15.827,85 a2⎤ 0,08 = 28.225,25 €
28.225,25 = U3 + N3
0,10
U3 =
(27.469,82 − N 3 )
0,08
N3 = 24.448,13 €
U3 = 3.777,12 €
48
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
4.8 PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE
4.8.1 Concepto
Según el tipo de interés que apliquemos a los préstamos los podemos clasificar
como:
™ Préstamos a interés fijo.
Los préstamos a tipo de interés fijo son aquellos en los que el tipo de
interés no varía a lo largo de la vida del préstamo.
™ Préstamos mixtos.
Los préstamos mixtos son aquellos que funcionan como un préstamo
fijo durante parte de la vida del préstamo para convertirse
posteriormente en préstamos de interés variable.
™ Préstamos variables.
Los préstamos variables son aquellos en los cuáles el tipo de interés va
cambiando a lo largo de la vida del préstamo. Normalmente el tipo de
interés que se aplica se obtiene tomando como base un índice
(EURIBOR, índice CECA...) al que se le suma un diferencial constante.
Cuando se contratan los préstamos a tipo de interés variable conocemos el
importe del préstamo, la duración de este, el tipo de interés a aplicar en el
primer período, el tipo de referencia y el diferencial, el sistema de amortización
que se va a aplicar, y se establecen los períodos de revisión del tipo de interés.
Cuando se produce la revisión del tipo de interés se pueden tomar cualquiera de
las siguientes alternativas:
™ Volver a recalcular los términos amortizativos:
Cada vez que se produzca una revisión de los tipos de interés se
volverá a calcular el término amortizativo, teniendo en cuenta que
ahora el importe del capital prestado será el capital pendiente de
amortizar en ese instante, que la duración del préstamo será el tiempo
que va desde ese instante hasta la finalización del préstamo y que se
aplicará como tipo de interés el obtenido tras la revisión de los tipos.
™ Aplicar el sistema de cuota fija
En este caso se mantiene la cuantía de los términos amortizativos y lo
que va a variar es la duración del préstamo que se recalculará cada vez
que se produzca un cambio de tipo de interés. La nueva duración se
calculará teniendo en cuenta que ahora el importe del capital prestado
49
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
será el capital pendiente de amortizar en ese instante, que se aplicará
como tipo de interés el obtenido tras la revisión de los tipos y que el
importe del término amortizativo no va a variar siendo el calculado
inicialmente.
™ Mantener el plan de amortización fijo
En este caso cuando se constituye el préstamo se establece cuál va a
ser el importe de las cuotas de amortización de cada período, teniendo
en cuenta el importe del capital prestado, la duración del préstamo y el
tipo de interés inicial. Por tanto lo que se va a hacer cada vez que haya
una revisión de tipos es calcular el importe de la cuota de interés que
se sumará a la cuota de amortización ya fijada.
4.8.2 Tanto medio del préstamo
Supongamos que tenemos un préstamo de importe C0, de duración n períodos,
que se amortiza mediante los siguientes términos amortizativos a1, a2, a3, ..., an
y siendo los tantos de interés variables para cada período i1, i2, i3,...,in. La
ecuación de equilibrio para este préstamo será:
C0 = a1 (1 + i1 ) −1 + a2 (1 + i2 ) −1 (1 + i1 ) −1 + a3 (1 + i3 ) −1 (1 + i2 ) −1 (1 + i1 ) −1 + ... + an (1 + in ) −1 (1 + in −1 ) −1...(1 + i2 ) −1 (1 + i1 ) −1
El tanto de interés medio im será aquél que permaneciendo constante para los
distintos períodos cumple que:
C0 = a1 (1 + im ) −1 + a2 (1 + im ) −2 + a3 (1 + im ) −3 + ... + an (1 + im ) − n
Ejemplo:
Dado el siguiente préstamo:
-
Capital prestado : 30.000 €
Plazo de amortización: 3 años
Tipo de interés: 4% efectivo anual el primer año y los dos restantes
será el EURIBOR + 0,75%.
Sistema de amortización de términos amortizativos constantes
pagaderos trimestralmente
Calcular el cuadro de amortización de la operación y el tipo de interés medio
sabiendo que el EURIBOR para el segundo año es el 3,5% y el del tercer año
es del 4,10%
50
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Solución:
1º Cálculo del cuadro de amortización.
Lo primero que se de hacer es calcular el tipo de interés trimestral que será:
-
Para el primer año:
i4 = (1,04)1/4- 1 =0,0098534065
-
Para el segundo año:
i´= 0,0350 + 0,0075 = 0,0425
i 4´ = (1,0425)1 / 4 − 1 = 0,010459743
-
Para el tercer año:
i´´= 0,0410 + 0,0075 = 0,0485
i 4´ = (1,0485)1 / 4 − 1 = 0,011910514
La trimestralidad para el primer año, suponiendo que el tipo de interés i = 0,04 se
mantiene constante, será:
a=
C0
1 − (1 + i 4 ) −( n×m )
i4
30.000
=
1 − (1,0098534065)
−12
= 2.663,00€
0,0098534065
Para el segundo año la trimestralidad será:
C 4 = C 0 − M 4 = 30.000 − 9.610, 46 = 20.389,54€
M 4 = A1 S
4⎤ 0,0098534065
= 2.367,39
(1,0098534065) 4 − 1
= 9.610,46€
0,0098534065
A1= a – C0 × i = 2.663-295,60 = 2.367,39€
a´=
C0
1 − (1 + i 4 )
i4
− ( n×m )
=
20.389,54
= 2.670,11€
1 − (1,010459743) −8
0,010459743
Para el tercer año la trimestralidad será:
C8 = a a4⎤ 0,010459743 = 2.670,11
a´=
C0
1 − (1 + i 4 )
i4
− ( n× m )
=
1 − (1,010459743) −4
= 10.406,89€
0,010459743
10.406,89
= 2.679,65€
1 − (1,011910514) − 4
0,011910514
51
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Capítulo 4. PRÉSTAMOS
Período
0
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
3.3
3.4
Término
amortizativo
Cuota de
interés
ak
Ik
2.663,00
2.663,00
2.663,00
2.663,00
2.670,11
2.670,11
2.670,11
2.670,11
2.679,65
2.679,65
2.679,65
2.679,65
295,60
272,28
248,72
224,93
213,27
187,57
161,60
135,37
123,95
93,51
62,71
31,54
Cuota de Capital vivo
Capital
amortización
amortizado
Ck
Mk
Ak
2.367,39
2.390,72
2.414,28
2.438,07
2.456,84
2.482,54
2.508,51
2.534,74
2.555,70
2.586,14
2.616,94
2.648,11
30.000
27.632,61
25.241,89
22.827,61
20.389,54
17.932,70
15.450,16
12.941,66
10.406,91
7.851,19
5.265,05
2.648,11
0
2.367,39
4.758,11
7.172,39
9.610,46
12.067,30
14.549,84
17.058,34
19.593,08
22.148,78
24.734,92
27.351,86
30.000
2º Cálculo del tipo medio de interés
C0 = a1 (1 + im ) −1 + a2 (1 + im ) −2 + a3 (1 + im ) −3 + ... + an (1 + im ) − n
30.000 = (2.663 + 2.670,11(1 + i( 4) m ) −4 + 2679,65(1 + i( 4) m ) −8 ) a4⎤ im
i( 4) m = 0,01031
im = 0,0418 = 4,18%
52
Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras
2ª parte: Matemáticas Financieras
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Índice de contenidos
Página
CAPÍTULO 5
EMPRÉSTITOS
5.1
CONCEPTO, TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN
5.1.1
Concepto
5.1.2
Terminología empleada en los empréstitos
5.1.3
Clasificación de los empréstitos
5.2
EMPRÉSTITOS SIN CARACTERÍSTICAS COMERCIALES
5.2.1
Empréstitos de cupón periódico pospagable
5.2.1.1
Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo constante
5.2.1.2
Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo variable
5.2.1.2.1 Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo variables en
progresión geométrica
5.2.1.2.2 Empréstitos de cupón periódico constante y términos amortizativos variables en
progresión aritmética
5.2.1.2.3 Empréstitos de cupón períodico con amortización de igual número de títulos en
cada sorteo
5.2.1.3
Empréstitos de cupón períodico con intereses variables
5.2.2
Empréstitos de cupón periódico prepagable
5.2.2.1
Empréstito de cupón periódico y prepagable con término amortizativo constante.
5.2.2.2
Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo variable.
5.2.2.2.1 Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo variable en
progresión geométrica.
5.2.2.2.2 Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo variable en
progresión aritmética.
5.2.2.2.3 Empréstitos de cupón periódico prepagable con igual número de títulos
amortizados en cada sorteo
5.2.3
Empréstitos con cupón periódico fraccionado
5.2.4
Empréstitos de cupón acumulado
5.2.4.1
Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo constante
5.2.4.2
Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo variable
5.2.4.2.1 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo variable en
progresión geométrica
5.2.4.2.2 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo variable en
progresión aritmética
5.2.4.2.3 Empréstitos de cupón acumulado constante con igual número de títulos
amortizados en cada sorteo
3
3
3
4
5
7
7
7
15
15
22
29
32
34
34
40
41
47
52
55
58
59
66
67
74
80
5.3
EMPRÉSTITOS CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES
82
5.4
VIDA MEDIA, VIDA MEDIANA O PROBABLE Y VIDA MATEMÁTICA DE LOS TÍTULOS
VIVOS DESPUÉS DEL K-ÉSIMO SORTEO
96
5.5
VALOR, USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD
101
5.6
TANTOS EFECTIVOS
119
2
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Capítulo 5 EMPRÉSTITOS
5.1 CONCEPTO, TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN
5.1.1 Concepto
Los empréstitos son préstamos de cuantía elevada que surgen debido a
necesidades de financiación de la empresa. Se dividen en partes iguales que se
instrumentarán mediante títulos a los que denominaremos obligaciones.
La emisión de obligaciones según establece el artículo 285 de la Ley de
Sociedades Anónimas debe hacerse constar en escritura pública y debe contener
los siguientes datos:
1. El nombre, capital, objeto y domicilio de la sociedad emisora.
2. Las condiciones de la emisión y la fecha y plazos en que debe abrirse
la suscripción.
3. El valor nominal, intereses, vencimiento, primas y lotes de las
obligaciones si los tuvieren.
4. El importe total y las series de los valores que deban lanzarse al
mercado.
5. Las garantías de la emisión.
Según el artículo 291 de la Ley de Sociedades Anónimas los títulos de una
emisión deben ser iguales y deben contener:
1. Su designación específica
2. Las características de la sociedad emisora y el lugar donde ésta ha de
pagar.
3. El importe de la emisión.
4. El número, valor nominal, intereses, vencimientos, primas y lotes del
título, si los tuviere.
5. Las garantías de la emisión
Los títulos incorporan una serie de derechos económicos para el obligacionista
(persona que presta el dinero mediante la compra de la obligación). Estos
derechos económicos son:
™
El cobro de los intereses: Puede establecerse que el cobro de los
intereses se realice de manera periódica o bien acumulada. En el
primer caso, los intereses o cupones se van cobrando en los plazos
establecidos, mientras que en el segundo se cobran de una sola vez en
el momento de amortización de los títulos.
™
La recuperación del dinero prestado por el obligacionista: La sociedad
que emite el empréstito debe reembolsar el importe nominal de las
obligaciones más las primas de amortización, lotes, premios…, que se
hayan pactado en la escritura de emisión del empréstito.
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
En contraposición, los derechos económicos del obligacionista suponen una
obligación para la entidad emisora, ya que ésta debe pagar los intereses y
reembolsar el dinero prestado.
5.1.2 Terminología empleada en los empréstitos
ELEMENTOS
DESCRIPCIÓN
N1
Número de títulos emitidos
C
Valor nominal de cada título
N1 x C
Valor nominal del empréstito
Precio de emisión del título
E
C=E
Emisión a la par
C>E
Emisión por debajo de la par (*)
(*) En este caso existe prima de emisión cuyo importe será la
diferencia entre el valor nominal y el valor de emisión
E x N1
Valor de emisión del empréstito
Cxi
Cupón: Es el interés períodico que produce un título
Nk+1
Títulos vivos al final del período k o comienzo del período k+1: Es el
número de títulos que quedan vivos, después de amortizados los
títulos correspondientes a ese período
Mk
Títulos amortizados en el período k: Es igual al número de títulos que
se amortizan en el período k.
Mk = Nk- Nk+1
mk
Total acumulado de títulos amortizados en los k primeros períodos:
Son el total de títulos que ya se han amortizado del total de los
emitidos, después del sorteo k
mk= ΣMk
Ak
Cuota de amortización de capital del período k: Cuantía que el emisor
dedica a amortizar parte de los títulos de la emisión o parte del
nominal de los títulos en el período k
Ik
ak
Cuota de interés del período k: Cuantía que el emisor dedica al pago
de intereses en el período k
Término amortizativo del período k: Es el valor de las
contraprestaciones periódicas que realiza el emisor. Se cumple que:
aK = Ak + Ik
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.1.3 Clasificación de los empréstitos
A la hora de clasificar los empréstitos vamos a atender a los siguientes criterios:
1. Pago de intereses:
™ Empréstitos con pago periódico de intereses: En el caso de que la
sociedad emisora pague los intereses periódicamente, el pago
puede ser:
o
o
Anticipado: el pago de los intereses se realiza al principio del
período (cupón periódico prepagable).
Por vencido: El pago de intereses se realiza al final del período
(cupón periódico pospagable).
™ Empréstitos sin pago periódico de intereses: En el caso de que la
sociedad emisora pague los intereses de una sola vez o de forma
acumulada, el cálculo de los intereses puede hacerse:
o
o
En régimen de capitalización simple
En régimen de capitalización compuesta
2. Estructura de los términos amortizativos
™ Empréstitos sin características comerciales: A los empréstitos cuyo
término amortizativo no presenta características comerciales se les
denomina empréstitos puros o normales.
En este caso la estructura del término amortizativo se compone de
una parte destinada al pago de cupones y de otra destinada al
reembolso de los títulos amortizados.
La estructura del término amortizativo puro o normal para un año k
cualquiera será:
a k = N k ·C ·i + M k ·C
™ Empréstitos con características comerciales: El término amortizativo
se dedica además de al pago de los cupones y al reembolso de los
títulos amortizados por su valor nominal, al pago de determinadas
primas, lotes; en otros casos se puede establecer la pérdida del
último cupón.
Cuando se presenta alguna de estas características habrá que
realizar determinadas operaciones para preparar el empréstito, de
tal forma que exista equilibrio financiero. Este proceso de
transformación recibe el nombre de normalización.
La estructura del término amortizativo de un empréstito que
presente características comerciales dependerá de cuál o cuáles de
éstas presente.
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3. La cuantía de los pagos:
™ Si los pagos son constantes
o
Empréstitos de términos amortizativos constantes y cupones
constantes
C x N1
0
1
a
i
2
a
3
a
n-1
a
n
a
Estos empréstitos se caracterizan por:
- Sus términos amortizativos permanecen constantes
a1 = a 2 = a 3 = ... = a n = a
- El tanto de interés permanece constante durante toda la vida
del empréstito i1 = i 2 = i3 = ... = i n = i
™ Si los pagos varían
o
Empréstitos
constante
de
términos
amortizativos
variables
y
cupón
C x N1
0
i
1
a1
2
a2
3
a3
n-1
an-1
n
an
Estos empréstitos se caracterizan por:
- Sus términos amortizativos varían de un período a otro.
a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
- El tanto de interés permanece constante durante toda la
vida del empréstito i1 = i 2 = i3 = ... = i n = i
o
Empréstitos de términos amortizativos variables y cupón variable
C x N1
0
i1
1
a1
i2
2 i3 3
a2
a3
n-1 in n
an-1
an
Estos empréstitos se caracterizan por:
- Sus términos amortizativos varían de un período a otro.
a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
- El tanto de interés es variable i1 ≠ i 2 ≠ i3 ≠ ... ≠ i n
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2 EMPRÉSTITOS SIN CARACTERÍSTICAS COMERCIALES
5.2.1 Empréstitos de cupón periódico pospagable
5.2.1.1 Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo
constante
Estos empréstitos se conocen como empréstitos normales y se caracterizan
porque sus términos amortizativos y el tanto de interés son constantes, es
decir, a1=a2=a3=…=an=a e i1=i2=i3=…=in=i
La representación gráfica de estos empréstitos será:
C x N1
0
1
a
2
a
n
a
Donde “C x N1” es el valor nominal del empréstito y “a” es el importe del
término amortizativo constante.
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del término amortizativo
Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendo
en cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a la
contraprestación (valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos) tenemos que:
C × N 1 = a an┐i
a=
C × N1
1 - (1 + i) -n
i
El importe de los términos amortizativos incluye el pago de los
cupones y la amortización por el valor nominal de los títulos
correspondientes.
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
ak = C × i × N k + C × M k
Podemos calcular el número de títulos amortizados en cada período de
la siguiente manera:
™ Títulos amortizados en el primer período:
El término amortizativo para el primer período será igual a:
a = C × i × N1 + C × M 1
En primer lugar se calcula el importe del término amortizativo
constante, como se ha explicado en el apartado anterior. Al ser el
resto de variables conocidas, calcularemos M1 despejando en la
expresión anterior:
a = C × i × N1 + C × M 1
M1 =
a − C × i × N1
C
™ Títulos amortizados en el resto de períodos:
Siendo conocidos y constantes los términos amortizativos de dos
períodos consecutivos “k” y “k+1” cualesquiera, veamos si existe
alguna relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
Período k
Período k+1
a = C × i × Nk + C × M k
a = C × i × N k +1 + C × M k +1
a − a = C × i × ( N k − N k +1 ) + C ( M k − M k +1 )
El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual a
los títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulos
que se amortizaron en dicho período. Luego para un período k
cualquiera tendremos:
N k +1 = N k − M k
M k = N k − N k +1
Por tanto:
a − a = C × i × ( N k − N k +1 ) + C ( M k − M k +1 )
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Será igual a:
0 = C × i × M k + C ( M k − M k +1 )
C × M k +1 = C × M k × (1 + i )
Simplificando nos queda:
M k +1 = M k × (1 + i )
Si seguimos el procedimiento que se acaba de explicar para el
cálculo del número de títulos que se amortizan en cada período, lo
normal es que obtengamos números no enteros. Como el número de
títulos a amortizar en cada período debe ser un número entero, ya
que no es posible amortizar fracciones de título, hemos de tratar de
solventar dicho problema. Para ello existen dos posibles
procedimientos:
o
Procedimiento de capitalización de los residuos
Este método consiste en capitalizar los excesos que se producen
debido a la necesidad de que el número de títulos que se
amortice sea exacto, acumulando el montante a la anualidad del
año siguiente.
o
Procedimiento de redondeo del número de títulos a amortizar
El método del redondeo consiste en sumar las partes enteras, y
los títulos que faltan hasta el total de los emitidos los repartimos
entre aquellos períodos que tienen mayor cifra decimal, teniendo
en cuenta que como máximo se repartirá un título para cada
sorteo.
3. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™ Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
Si ponemos los términos amortizados en función de M1, tenemos:
mk = M1 + M1·(1+i)+ M1·(1+i)2 + …+ M1·(1+i)k-1
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
De donde sacando factor común a M1 nos queda:
mk = M1·[1+(1+i)+ (1+i)2 + …+ (1+i)k-1]
Siendo el corchete igual a la suma de términos de una progresión
geométrica creciente de razón (1+i)
La suma de términos de una progresión geométrica creciente es
igual a:
S =
a n r − a1
r -1
Donde:
o a1 es el primer término de la progresión
o an es el último término de la progresión
o r es igual a la razón
Sustituyendo en la fórmula los valores de nuestra progresión, nos
queda:
S=
(1 + i) k -1 (1 + i) − 1 (1 + i ) k − 1
= Sk┐i
=
(1 + i) - 1
i
Siendo:
mk = M1· Sk┐i
mk = M1· Sk┐i
™ Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
4. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos
en el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el
k-ésimo término amortizativo.
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:
C x N1
0
C x Nk+1
1
a
2
a
k
a
k+1
a
k+2
a
n
a
Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k
podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos
amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de los
términos amortizativos futuros (método prospectivo).
o
Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo
Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización
anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras el
pago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser igual a lo
que recibió la entidad emisora en el momento de emisión del
empréstito, menos lo ya pagado por esta.
Su representación gráfica será:
C x Nk+1
0
C x N1
1
a
2
a
k
a
n
Donde:
C x Nk+1 = C x N1 x (1+i)k – a Sk┐i
Despejando obtenemos el valor de Nk+1:
N k +1
o
C × N 1 × (1 + i ) k − aS k ¬ i
=
C
Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que
la amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan
vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
igual al valor actual de la renta que forman los términos
amortizativos pendientes de pago.
Su representación gráfica será:
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
a
a
n
a
Donde:
C x Nk+1 = a a
n-k┐i
Despejando:
Nk+1 =
a
a n-k┐i
C
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulos
que ya han sido amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados
en los k primeros períodos.
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
5. Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1
Los intereses que se pagan en el período k+1 serán los
correspondientes al número de títulos en circulación al comienzo de
dicho período, por el nominal de los títulos, y por el tipo de interés
pactado.
Ik+1 = C x i x Nk+1
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Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™ Número de títulos emitidos (N1): 10.000
™ Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
™ Tipo de interés (i): 10% anual.
™ Plazo de amortización (n): 5 años
™ Término amortizativo anual y constante (a)
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = a an┐i
a=
1.000 × 10.000 = a a5┐0,10
1.000 × 10.000
= 2.637.974,81€
1 - (1,10) -5
0,10
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a = C × i × N1 + C × M 1
2.637.974,81 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + 1.000 × M 1
M 1 = 1.637,97481
M k = M 1 × (1 + i ) k −1
M 2 = M 1 × (1,10) = 1.637,974808 × (1,10) = 1.801,77229
M 3 = M 1 × (1,10) 2 = 1.637,974808 × (1,10) 2 = 1.981,94952
M 4 = M 1 × (1,10) 3 = 1.637,974808 × (1,10) 3 = 2.180,14447
M 5 = M 1 × (1,10) 4 = 1.637,974808 × (1,10) 4 = 2.398,15892
El método del redondeo consiste en sumar las partes enteras, y los títulos que faltan hasta el
total de los emitidos los repartimos entre aquellos períodos que tienen mayor cifra decimal,
teniendo en cuenta que como máximo se repartirá un título para cada sorteo.
M 1 = 1.637
M 2 = 1.801
M 3 = 1.981
M 4 = 2.180
M 5 = 2.398
ΣMk=9.997
M1=1.638
M2=1.802
M3=1.982
M4=2.180
M5=2.398
ΣMk=10.000
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
amortizados
Títulos
pend. de
amortizar
Total títulos
amortizados
Interés
Capital
amortizado
Anualidad
1
1.638
1.638
10.000
1.000.000
1.638.000
2.638.000
2
1.802
3.440
8.362
836.200
1.802.000
2.638.200
3
1.982
5.422
6.560
656.000
1.982.000
2.638.000
4
2.180
7.602
4.578
457.800
2.180.000
2.637.800
5
2.398
10.000
2.398
239.800
2.398.000
2.637.800
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual.
Plazo de amortización (n): 5 años
Término amortizativo anual y constante (a)
Utilizando para su resolución el método de capitalización de residuos
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = a an┐i
a=
1.000 × 10.000 = a a5┐0,10
1.000 × 10.000
= 2.637.974,81€
1 - (1,10) -5
0,10
2º Cuadro de amortización:
Amortización
Años
Capital vivo
Intereses
Anualidad
disponible
Títulos
Teórica
Real
Residuo
Residuo
Capializado
Amort.
en el
año
Total
amort.
Títulos
Vivos
1
10.000.000
1.000.000
2.637.974,81
1.637.974,81
1.637.000
974,81
1.072,29
1.637
1.637
10.000
2
8.363.000
836.300
2.639.047,10
1.802.747,10
1.802.000
747,10
821,81
1.802
3.439
8.363
3
6.561.000
656.100
2.638.796,62
1.982.696,62
1.982.000
696,62
766,28
1.982
5.421
6.561
4
4.579.000
457.900
2.638.741,09
2.180.841,09
2.180.000
841,09
925,20
2.180
7.601
4.579
5
2.399.000
239.900
2.638.900,01
2.399.000,01
2.399.000
0
0
2.399
10.000
2.399
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.1.2 Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo
variable
Estos empréstitos presentan las siguientes características:
™
™
™
Los intereses se pagan de manera periódica.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro
a1 ≠ a a ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i2 = i3 = ... = in = i
5.2.1.2.1
Empréstitos de cupón periódico constante y término amortizativo
variables en progresión geométrica
Los empréstitos de cupón periódico constante, con términos amortizativos
variables en progresión geométrica presentan las siguientes características:
™
™
™
Los intereses se pagan de manera periódica.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresión
geométrica de razón q. Siendo:
a k = a1 × q k −1
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i 2 = i3 = ... = i n = i
Su representación gráfica será:
0
1
C x N1
a1
2
a1 x q
3
a1 x q2
n
a1 x qn-1
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del término amortizativo
Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendo
en cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a la
contraprestación (valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos) tenemos que:
C × N 1 = A(a1,q)n┐i
15
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Al calcular el término amortizativo nos podemos encontrar con dos
situaciones:
™
(1 + i ) ≠ q
En cuyo caso el cálculo del término amortizativo será:
C × N 1 = a1
a1 =
1 − q n (1 + i ) − n
(1 + i ) − q
C × N1
1 - q n (1 + i) -n
(1 + i) - q
Siendo el importe de la anualidad de un año k cualquiera igual a:
a k = a1 × q k −1
™
(1 + i ) = q
En cuyo caso el cálculo del término amortizativo será:
C × N 1 = a1 × n × (1 + i ) −1
a1 =
C × N 1 × (1 + i )
n
El importe de los términos amortizativos incluye el pago de los
cupones y la amortización por el valor nominal de los títulos
correspondientes.
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
ak = C × i × N k + C × M k
Luego podemos calcular el número de títulos amortizados en cada
período de la siguiente manera:
16
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
Títulos amortizados en el primer período:
El término amortizativo para el primer período será igual a:
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
En primer lugar calculamos el importe del término amortizativo del
primer período. Al ser el resto de variables conocidas, calcularemos
M1 despejando en la expresión anterior:
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
™
M1 =
a1 − C ·i· N 1
C
Títulos amortizados en el resto de períodos:
Una vez conocido el importe del primer término amortizativo
podremos calcular el resto como a k = a1 × q k −1 .
Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodos
consecutivos cualesquiera “k” y “k+1”, veamos si existe alguna
relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
ak = C × i × N k + C × M k
a k +1 = C × i × N k +1 + C × M k +1
Período k
Período k+1
a k − a k +1 = C × i × ( N k − N k +1 ) + C ( M k − M k +1 )
El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual
a los títulos vivos al comienzo del período anterior menos los
títulos que se amortizaron en dicho período. Luego para un período
k cualquiera tendremos:
N k +1 = N k − M k
M k = N k − N k +1
Por tanto:
a k − a k q = C × i × ( N k − N k +1 ) + C ( M k − M k +1 )
Será igual a:
a k × (1 − q ) = C × i × M k + C ( M k − M k +1 )
C × M k +1 = C × M k × (1 + i ) − a k × (1 − q)
Despejando Mk+1 nos queda:
M k +1 = M k × (1 + i ) −
ak
× (1 − q)
C
17
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™
Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
4. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™
Cálculo de los
amortizativos
títulos
vivos
en
función
de
los
términos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los
comprendidos en el capital pendiente de amortizar después de
haberse pagado el k-ésimo término amortizativo.
Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
a1
a2
ak
ak+1 ak+2
n
an
Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k,
podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos
amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de
los términos amortizativos futuros (método prospectivo).
o
Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo
Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización
anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras el
pago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser igual a lo
que recibió la entidad emisora en el momento de emisión del
empréstito menos lo ya pagado por ésta.
18
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Su representación gráfica será:
C x Nk+1
0
C x N1
1
a1
2
a2
k
ak
n
Donde:
C x Nk+1 = C x N1 x (1+i)k – S(a1,q) k┐i
Despejando obtenemos el valor de Nk+1:
N k +1 =
o
C × N 1 × (1 + i ) k − S (a1 , q) k ¬ i
C
Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que
la amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan
vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser
igual al valor actual de la renta que forman los términos
amortizativos pendientes de pago.
Su representación gráfica será:
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
Donde:
C x Nk+1 = A(ak+1,q)
n-k┐i
Despejando:
N k +1 =
A(a k +1 , q ) n − k ¬ i
C
19
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulos
que ya han sido amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados
en los k primeros períodos.
™
Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Es decir:
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
5. Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1
Los intereses que se pagan en el período k+1 serán los
correspondientes al número de títulos en circulación al comienzo de
dicho período, por el nominal de los títulos y por el tipo de interés
pactado.
Ik+1 = C x i x Nk+1
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo que aumenta anualmente un 5%
Plazo de amortización (n): 5 años
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
20
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = A(a1,q)n┐i
a1 =
1.000 × 10.000 = A(a1,1,05)5┐0,10
1.000 × 10.000
1 - (1,05) 5 (1,10) -5
(1,10) - (1,05)
= 2.409.295,29€
a k = a1 × q k −1
a 2 = 2.409.295,95 × 1,05 = 2.529.760,05€
a 3 = 2.409.295,95 × (1,05) 2 = 2.656.248,06€
a 4 = 2.409.295,95 × (1,05) 3 = 2.789.060,46€
a 5 = 2.409.295,95 × (1,05) 4 = 2.928.513,48€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
2.409.295,29 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + 1.000 × M 1
M 1 = 1.409,29529
M k +1 = M k × (1 + i ) −
ak
× (1 − q)
C
M 2 = 1.409,29529 × (1,10) −
2.409.295,29
× (1 − 1,05) = 1.670,68958
1.000
M 3 = 1.670,68958 × (1,10) −
2.529.760,05
× (1 − 1,05) = 1.964,24654
1.000
2.656.248,06
× (1 − 1,05) = 2.293,4836
1.000
2.789.060,46
M 5 = 2.293,4836 × (1,10) −
× (1 − 1,05) = 2.662,28498
1.000
M 4 = 1.964,24654 × (1,10) −
M 1 = 1.409
M1=1.409
M 2 = 1.670
M2=1.671
M 3 = 1.964
M3=1.964
M 4 = 2.293
M4=2.294
M 5 = 2.662
M5=2.662
ΣMk=9.998
ΣMk=10.000
21
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3º Cuadro de amortización:
Títulos
Títulos
Total títulos pendientes
Período
amortizad. amortizados
de
amortizar
Interés
Anualidad
práctica
1
1.409
1.409
2
1.671
3.080
8.591
859.100
1.671.000 2.530.100
3
1.964
5.044
6.920
692.000
1.964.000 2.656.000
4
2.294
7.338
4.956
495.600
2.294.000 2.789.600
5
2.662
10.000
2.662
266.200
2.662.000 2.928.200
5.2.1.2.2
10.000 1.000.000
Capital
amortizado
1.409.000 2.409.000
Empréstitos
de
cupón
periódico
constante
amortizativos variables en progresión aritmética
y
términos
Los empréstitos de cupón periódico constante, con términos amortizativos
variables en progresión aritmética presentan las siguientes características:
™
™
™
Los intereses se pagan de manera periódica.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresión
aritmética de razón d. Siendo:
a k = a1 + (k − 1)d
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i2 = i3 = ... = in = i
Su representación gráfica será:
0
1
C x N1
a1
2
a1 + d
3
a1 + 2d
n
a1 +(n-1)d
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
22
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1. Cálculo del término amortizativo
Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendo
en cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a la
contraprestación (valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos) tenemos que:
C × N 1 = A(a1,d)n┐i
C × N 1 = (a1 +
d
nd
+ nd ) an┐i i
i
Despejando obtendremos el valor de a1.
Como las anualidades varían en progresión aritmética el importe de la
anualidad de un año k cualquiera igual a:
a k = a1 + (k − 1) × d
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
ak = C × i × N k + C × M k
Luego podemos calcular el número de títulos amortizados en cada
período de la siguiente manera:
™ Títulos amortizados en el primer período:
El término amortizativo para el primer período será igual a:
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
En primer lugar calculamos el importe del término amortizativo del
primer período. Al ser el resto de variables conocidas, calcularemos
M1 despejando en la expresión anterior:
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
M1 =
a1 − C × i × N 1
C
™ Títulos amortizados en el resto de períodos:
Conocido el término amortizativo del primer período podemos
calcular el resto como a k = a1 + (k − 1) × d .
23
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodos
consecutivos cualesquiera “k” y “k+1”, veamos si existe alguna
relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
Período k
Período k+1
ak = C × i × N k + C × M k
a k +1 = C × i × N k +1 + C × M k +1
a k − a k −1 = C × i × ( N k − N k +1 ) + C ( M k − M k +1 )
El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual a
los títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulos
que se amortizaron en dicho período. Luego para un período k
cualquiera tendremos:
N k +1 = N k − M k
M k = N k − N k +1
Por tanto:
a k − (a k + d ) = C × i × ( N k − N k +1 ) + C ( M k − M k +1 )
Será igual a:
C × M k +1 = C × M k × (1 + i ) + d
− d = C × i × M k + C ( M k − M k +1 )
Despejando Mk+1 nos queda:
M k +1 = M k × (1 + i ) +
d
C
3. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™ Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™ Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
24
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
4. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos
en el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el
k-ésimo término amortizativo.
Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:
C x N1
0
C x Nk+1
1
a1
2
a2
k
ak
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k
podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos
amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de los
términos amortizativos futuros (método prospectivo).
o
Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo
Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización
anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras el
pago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser igual a lo
que recibió la entidad emisora en el momento de emisión del
empréstito menos lo ya pagado por ésta.
Su representación gráfica será:
C x Nk+1
0
C x N1
1
a1
2
a2
k
ak
n
Donde:
C x Nk+1 = C x N1 x (1+i)k – S(a1,d) k┐i
25
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Despejando obtenemos el valor de Nk+1:
N k +1 =
o
C × N 1 × (1 + i ) k − S (a1 , d ) k ¬ i
C
Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que
la amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan
vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser
igual al valor actual de la renta que forman los términos
amortizativos pendientes de pago.
Su representación gráfica será:
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
Donde:
C x Nk+1 = A(ak+1,d)
n-k┐i
Despejando:
N k +1 =
A(a k +1 , d ) n − k ¬ i
C
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para su cálculo tenemos en cuenta los títulos que ya han sido
amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados
en los k primeros períodos.
26
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
5. Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1
Los intereses que se pagan en el período k+1 serán los
correspondientes al número de títulos en circulación al comienzo de
dicho período, por el nominal de los títulos y por el tipo de interés
pactado.
Ik+1 = C x i x Nk+1
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo que aumenta anualmente en 10.000 €
Plazo de amortización (n): 5 años
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo.
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = A(a1,d)n┐i
C × N 1 = (a1 +
1.000 × 10.000 = A(a1,10.000)5┐0,10
d
nd
+ nd ) an┐i i
i
1.000 × 10.000 = (a1 +
10.000
5 × 10.000
+ 5 × 10.000) a5┐0,10 0,10
0,10
a1 = 2.619.873,55€
a k = a1 + (k − 1)d
a 2 = 2.619.873,55 + 10.000 = 2.629.873,55€
a 3 = 2.619.873,55 + 2 × 10.000 = 2.639.873,55€
27
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
a 4 = 2.619.873,55 + 3 × 10.000 = 2.649.873,55€
a 5 = 2.619.873,55 + 4 × 10.000 = 2.659.873,55€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
2.619.873,55 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + 1.000 × M 1
M k +1 = M k × (1 + i ) +
d
C
M 2 = 1.619,87355 × (1,10) +
M 3 = 1.791,8609 × (1,10) +
10.000
= 1.791,8609
1.000
10.000
= 1.981,04699
1.000
M 4 = 1.981,04699 × (1,10) +
10.000
= 2.189,15169
1.000
M 5 = 2.189,15169 × (1,10) +
10.000
= 2.418,06686
1.000
M 1 = 1.619
M 2 = 1.791
M 3 = 1.981
M 4 = 2.189
M 5 = 2.418
M 1 = 1.619,87355
M1=1.620
M2=1.792
M3=1.981
M4=2.189
M5=2.418
ΣMk=9.998
ΣMk=10.000
3º Cuadro de amortización:
Títulos
amortizad.
Total títulos
amortizados
Títulos
pendientes
de amortizar
2.619.873,55
1.620
1.620
10.000
1.000.000
1.620.000
2.620.000
2.629.873,55
1.792
3.412
8.380
838.000
1.792.000
2.630.000
3
2.639.873,55
1.981
5.393
6.588
658.800
1.981.000
2.639.800
4
2.649.873,55
2.189
7.582
4.607
460.700
2.189.000
2.649.700
5
2.659.873,55
2.418
10.000
2.418
241.800
2.418.000
2.659.800
Período
Anualidad
teórica
1
2
Interés
Capital
amortizado
Anualidad
práctica
28
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.1.2.3
Empréstitos de cupón períodico con amortización de igual número
de títulos en cada sorteo
En estos empréstitos el número de títulos que se amortizan en cada período
es el mismo.
El término amortizativo irá disminuyendo período a período. Esto se debe a
que el término amortizativo se dedica en parte al pago de los intereses de los
títulos vivos y en parte al reembolso de los títulos que se amortizan en ese
período, por tanto al ser igual el número de títulos que se amortizan en cada
período, el importe del reembolso de los títulos amortizados para todos los
períodos va a ser el mismo, y al ir disminuyendo el número de títulos vivos
período a período, cada vez será inferior el importe necesario para el pago de
cupones.
Los empréstitos de cupón periódico con amortización de igual número de
títulos en cada período presentan las siguientes características:
™
Los intereses se pagan de manera periódica.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro. Siendo:
a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
™
El número de títulos amortizados en cada sorteo es el mismo
™
™
i1 = i2 = i3 = ... = in = i
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M
Su representación gráfica será:
0
1
2
3
n
C x N1
a1
a2
a3
an
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del número de títulos amortizados
Como el número de títulos que se amortizan en cada período es el
mismo, y además, la suma del total de títulos amortizados en los n
períodos de duración del empréstito ha de ser igual al número de
títulos emitidos, tenemos que:
29
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M
N 1 = M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = n × M
Despejando M nos queda:
M=
N1
n
2. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™
Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk=k x M
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
3. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™
Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulos
que ya han sido amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk=N1 – k x M
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del
período k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos
amortizados en los k primeros períodos.
™
Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n. Es decir:
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn = (n-k) x M
30
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
4. Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1
Los intereses que se pagan en el período k+1 serán los
correspondientes al número de títulos en circulación al comienzo de
dicho período, por el nominal de los título y por el tipo de interés
pactado.
Ik+1 = C x i x Nk+1
5. Cálculo de los términos amortizativos
El término amortizativo de un año k cualquiera será igual a:
ak = C × i × N k + M × C
Siendo a1 > a 2 > a3 > ... > a n
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Se amortiza igual número de títulos cada año
Plazo de amortización (n): 5 años
™
™
™
™
™
1º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
M=
N 1 10.000
=
= 2.000 títulos
n
5
2º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
Total títulos
amortizad amortizados
Títulos
pendientes
de
amortizar
1
2.000
2.000
2
2.000
4.000
8.000
3
2.000
6.000
4
2.000
5
2.000
Interés
10.000 1.000.000
Capital
Anualidad
amortizado
2.000.000
3.000.000
800.000
2.000.000
2.800.000
6.000
600.000
2.000.000
2.600.000
8.000
4.000
400.000
2.000.000
2.400.000
10.000
2.000
200.000
2.000.000
2.200.000
31
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.1.3 Empréstitos de cupón periódico pospagable con intereses variables
En estos empréstitos el pago de cupones se realiza periódicamente, siendo el
tanto de interés empleado para su cálculo variable. Vamos a realizar el
estudio de este epígrafe a través de la resolución de un caso práctico.
Ejemplo:
Dado un empréstito con las siguientes características:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 30.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
El importe de los cupones será: Para los cinco primeros años 40 €,
para los cinco siguientes 45 € y 50 € para los cinco restantes
El importe de los términos amortizativos de los cinco primeros años
es la mitad del de los cinco siguientes, y este a su vez, es la mitad
del de los cinco últimos
Plazo de amortización (n): 15 años
Calcular:
1º La cuantía de los términos amortizativos
2º Títulos amortizados en el octavo sorteo
3º Títulos amortizados en los nueve primeros sorteos
1º Cálculo del los términos amortizativos:
0
C x N1
1
2
3
4
5
a1
a1
a1
a1
a1
i1
n1=5 años
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15
2a1 2a1 2a1 2a1 2a1 4a1 4a1 4a1 4a1 4a1
i2
n2=5 años
i3
n3=5 años
Vamos a calcular el importe de los términos amortizativos planteando la
equivalencia financiera en el momento inicial, donde lo recibido por la entidad
emisora del empréstito ha de ser igual al valor actualizado de lo entregado por ésta
en los distintos períodos.
N 1 × C = a1 an1┐i1 + 2a1 an2┐i2 × (1 + i1 ) − n1 + 4a1 an3┐i3 × (1 + i1 ) − n1 × (1 + i 2 ) − n2
Donde:
i1 =
40
= 0,04
1.000
i2 =
45
= 0,045
1.000
32
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
i3 =
50
= 0,05
1.000
30.000 × 1.000 = a1 a5┐0,04 + 2a1 a5┐0,045 × (1,04) −5 + 4a1 a5┐0,05 × (1,04) −5 × (1,045) −5
Despejando obtenemos:
a1 = 1.299.239,1€
- 0≤n≤5
a1 = 1.299.239,1€
- 6 ≤ n ≤ 10
2a1 = 2.598.478,2€
- 11 ≤ n ≤ 15
4a1 = 5.196.956,4€
2º Cálculo de los títulos amortizados en el octavo sorteo:
2a1 = C × i 2 × N 8 + C × M 8
N8 =
2a1
4a
a3┐0,045 + 1 a5┐0,05 × (1,045) −3
C
C
N8 =
2.598.478,2
5.196.596,4
a3┐0,045 +
a5┐0,05 × (1,045) −3
1.000
1.000
2.598.478,2 = 1.000 × 0,045 × 26.859,886 + 1.000 × M 8
N 8 = 26.859,886
M 8 = 1.389,78333 ≈ 1.390 títulos
3º Títulos amortizados en los nueve primeros sorteos:
m9 = N 1 − N 10
N 10 =
2a1
4a
× (1,045) −1 + 1 a5┐0,05 × (1,045) −1
C
1.000
N 10 =
5.196.956,4
2.598.478,2
× (1,045) −1 +
a5┐0,05 × (1,045) −1
1.000
1.000
N 10 = 24.017,78 títulos
m9 = 30.000 − 24.017,78 = 5.982,22
33
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.2 Empréstitos de cupón periódico prepagable
5.2.2.1
Empréstito de cupón periódico prepagable y término amortizativo
constante.
Este empréstito se caracteriza porque todos los términos amortizativos son
de igual cuantía excepto el primero, que tiene lugar en el comienzo de la
operación y que atiende al pago anticipado de los intereses del primer
período.
Los empréstitos de cupón periódico prepagable y términos amortizativos
constantes presentan las siguientes características:
™
Los términos amortizativos se mantienen constantes durante toda la
vida del empréstito, con la excepción del primer pago que se realiza al
comienzo de la operación.
a0 = C × i*×N1
a1= a2 = a3 = …. = an = a
™
El tanto de interés prepagable también se mantiene constante a lo
largo de la vida del empréstito.
Gráficamente se representará como:
C × N1
0
C × i*×N1
1
a
2
a
n
a
i*
Siendo C × N 1 el importe de la prestación y siendo los n términos
amortizativos (a) más el importe del primer pago C ×i*×N1 la
contraprestación.
La equivalencia financiera en el origen será:
C × N 1 = C × i*×N1 + a × ( 1 - i* ) + a × ( 1 - i* )2 + a × ( 1 - i* )3 + ... + a × ( 1 - i* )n
Siendo la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera:
a = N k +1 × C × i * + M k × C
34
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1. Cálculo del término amortizativo
Como se acaba de ver la equivalencia financiera en el origen es igual
a:
C × N 1 = C × i*×N1 + a × ( 1 - i* ) + a × ( 1 - i* )2 + a × ( 1 - i* )3 + ... + a × ( 1 - i* )n
De donde:
C × N 1 - C × i*×N1= a × ( 1 - i* ) [ 1 + ( 1 - i* )+ ( 1 - i* )2 + ... + ( 1 - i* )n-1 ]
Siendo los elementos del
decreciente de razón (1-i*).
corchete
una
progresión
geométrica
La suma de términos de una progresión geométrica decreciente es
igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:
1 − (1 − i*) ( n -1) × (1 − i*)
S=
1 − (1 − i*)
S=
1 − (1 − i*) (n -1) × (1 − i*)
1 - (1 − i*) n
=
1 − (1 − i*)
i*
Es decir:
C × N 1 × (1 − i * ) = a × ( 1 - i* ) ×
1 − (1 − i * ) n
i*
Simplificando obtenemos:
C × N1 = a ×
1 − (1 − i * ) n
i*
Si ponemos la expresión anterior en función del tipo de interés vencido
i en lugar del tanto de interés anticipado i* tenemos que:
C × N1 = a ×
i n
)
−n
1 + i = a(1 + i) 1 − (1 + i ) = aä
n⎤ i
i
i
1+ i
1 − (1 −
35
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
La anualidad constante será según acabamos de señalar:
™
En función del tanto de interés anticipado i
a = C × N1 ×
™
*
i*
1 − (1 − i * ) n
En función del tanto de interés i
a=
C × N1
än ¬i
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
a = C × i * × N k +1 + C × M k
Podemos calcular el número de términos amortizados en cada período
de la siguiente manera:
™
Títulos amortizados en el último período:
El término amortizativo para el último período será igual a:
a =C × Mn
Despejando tenemos que:
Mn =
™
a
C
Títulos amortizados en el resto de períodos:
Siendo conocidos y constantes los términos amortizativos de dos
períodos “k” y “k+1” consecutivos cualesquiera, veamos si existe
alguna relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
Período k
a = C × i * × N k +1 + C × M k
Período k+1
a = C × i * × N k + 2 + C × M k +1
a − a = C × i * × ( N k +1 − N k + 2 ) + C ( M k − M k +1 )
36
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual a
los títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulos
que se amortizaron en dicho período. Siendo:
N k + 2 = N k +1 − M k +1
M k +1 = N k +1 − N k + 2
Por tanto:
a − a = C × i * × ( N k +1 − N k + 2 ) + C ( M k − M k +1 )
Será igual a:
0 = C × i * × M k +1 + C ( M k − M k +1 )
C × M k +1 × (1 − i * ) = C × M k
Simplificando nos queda:
M k = M k +1 × (1 − i * )
Si ponemos Mk en función del último término tendremos:
M k = M n × (1 − i * ) n − k
3. Cálculo del total de títulos amortizados
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™
Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
4. Cálculo del número de títulos vivos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos en
el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el késimo término amortizativo.
37
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que la
amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras
el pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual al valor actual
de la renta que forman los términos amortizativos pendientes de pago.
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
a
Cx i*x Nk+1 a
n
a
Donde:
C x Nk+1 = Cx i*x Nk+1 + a (1-i*) + a (1-i*)2 + a (1-i*)3+ … +a (1-i*)n-k
C x Nk+1 x (1-i*) = a (1-i*) x (1+ (1-i*)+ (1-i*)2+ … + (1-i*)n-k-1)
Siendo los elementos del corchete una progresión geométrica
decreciente de razón (1-i*).
La suma de términos de una progresión geométrica decreciente es
igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
Si sustituimos aquí, los valores de nuestra progresión, obtenemos:
S=
1 − (1 − i*) (n - k -1) × (1 − i*)
1 - (1 − i*) n - k
=
1 − (1 − i*)
i*
Es decir:
C x Nk+1 x (1- i*)= a × (1 − i*) ×
Despejando:
Nk+1 =
1 − (1 − i*) n − k
i*
a 1 − (1 − i*) n − k
×
C
i*
Los títulos vivos se pueden calcular también en función de los títulos
amortizados. Siendo:
Nk+1 = N1 - mk
38
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Es decir los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del
período k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos
amortizados en los k primeros períodos.
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
5. Cálculo de los intereses a pagar en el momento k
Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses que
pagamos en el período k serán:
Ik = C × i*× Nk+1
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Cupón anual prepagable: 100 €
Plazo de amortización (n): 5 años
Término amortizativo anual y constante (a)
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
a = C × N1 ×
i*
1 − (1 − i * ) n
a = 1.000 × 10.000 ×
0,10
= 2.441.942,81€
1 − (1 − 0,10) 5
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
an = C × M n
a 5 = 1.000 × M 5
2.441.942,81 = 1.000 × M 5
M 5 = 2.441,94281
M k = M n × (1 − i * ) n − k
M 4 = 2.441,94281 × (1 − 0,10) = 2.197,74853
39
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
M 3 = 2.441,94281 × (1 − 0,10) 2 = 1.977,97368
M 2 = 2.441,94281 × (1 − 0,10) 3 = 1.780,17631
M 1 = 2.441,94281 × (1 − 0,10) 4 = 1.602,15868
M 1 = 1.602
M 2 = 1.780
M 3 = 1.977
M 4 = 2.197
M 5 = 2.441
ΣMk=9.997
M1=1.602
M2=1.780
M3=1.978
M4=2.198
M5=2.442
ΣMk=10.000
3º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
Total títulos
amortizados amortizados
0
Títulos
pend. de
amortizar
Capital
Anualidad
amortizado
Interés
10.000 1.000.000
1.000.000
1
1.602
1.602
8.398
839.800
1.602.000
2.441.800
2
1.780
3.382
6.618
661.800
1.780.000
2.441.800
3
1.978
5.360
4.640
464.000
1.978.000
2.442.000
4
2.198
7.558
2.442
244.200
2.198.000
2.442.200
5
2.442
10.000
-
-
2.442.000
2.442.000
5.2.2.2 Empréstito de cupón periódico prepagable con término amortizativo
variable.
Los empréstitos de cupón periódico prepagable presentan las siguientes
características:
™
Los términos amortizativos son variables.
a0 = C × i*×N1
a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
™
El tanto de interés prepagable se mantiene constante a lo largo de la
vida del empréstito.
40
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Gráficamente se representará:
C × N1
0
C × i*×N1
1
a1
2
a2
n
an
i*
Siendo C × N 1 el importe de la prestación y siendo los n términos
amortizativos más el importe del primer pago la contraprestación.
La equivalencia financiera en el origen será:
C × N 1 = C × i*×N1 + a1 × ( 1 - i* ) + a2 × ( 1 - i* )2 + a3 × ( 1 - i* )3 + ... + an × ( 1 - i* )n
La estructura del término amortizativo para un año k cualquiera será:
a k = N k +1 × C × i * + M k × C
5.2.2.2.1
Empréstito de cupón periódico prepagable
amortizativo variable en progresión geométrica.
con
término
Los empréstitos de cupón periódico constante prepagable, con términos
amortizativos variables en progresión geométrica presentan las siguientes
características:
™
™
Los intereses prepagables se pagan de manera periódica
Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresión
geométrica de razón q. Siendo:
- Para k = 0
a0 = C × i × N1
- Para 0 < k ≤ n
a k = a1 × q k −1
™
El tipo de interés prepagable permanece constante para los distintos
períodos i1* = i 2* = i3* = ... = i n* = i *
41
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1. Cálculo del término amortizativo
Como se acaba de ver la equivalencia financiera en el origen es igual
a:
C × N 1 = C × i*×N1 + a1 × ( 1 - i* ) + a2 × ( 1 - i* )2 + a3 × ( 1 - i* )3 + ... + an × ( 1 - i* )n
Donde:
C × N 1 - C × i*×N1= a1 × ( 1 - i* ) + a1q × ( 1 - i* )2 + a1q2 × ( 1 - i* )3 + ... + a1qn-1 × ( 1 - i* )n
C × N 1 - C × i*×N1= a1 × ( 1 - i* ) [ 1 + q ( 1 - i* )+ q2 ( 1 - i* )2 + ... + qn-1 ( 1 - i* )n-1 ]
Como [ 1 + q( 1 - i* )+ q2( 1 - i* )2 + ... + qn-1 ( 1 - i* )n-1 ] es la suma
de términos de una progresión geométrica decreciente de razón q(1 i*), que como ya se vio es igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
Si sustituimos en la expresión los valores de nuestra progresión nos
queda:
S=
1 − q n −1 × (1 − i*) n −1 × q × (1 − i*)
1 − q × (1 − i*)
Por lo tanto y sustituyendo en la expresión de la equivalencia
financiera obtenemos:
1 − q n × (1 − i*) n
C × N 1 × (1- i*)= a1 × ( 1 – i* ) ×
1 − q × (1 − i*)
Simplificando, obtenemos:
C × N 1 = a1 ×
1 − q n × (1 − i * ) n
1 − q × (1 − i * )
Despejando:
a1 =
C × N1
1 − q n × (1 − i*) n
1 − q × (1 − i*)
42
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
a k = C × i * × N k +1 + C × M k
Luego podemos calcular el número de términos amortizados en cada
período de la siguiente manera:
™ Títulos amortizados en el último período:
El término amortizativo para el último período será igual a:
an = C × M n
Despejando tenemos que:
Mn =
an
C
™ Títulos amortizados en el resto de períodos:
Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodos
consecutivos “k” y “k+1” cualesquiera, veamos si existe alguna
relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
a k = C × i * × N k +1 + C × M k
Período k
Período k+1
a k +1 = C × i * × N k + 2 + C × M k +1
a k − a k +1 = C × i * × ( N k +1 − N k + 2 ) + C ( M k − M k +1 )
El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual a
los títulos vivos al comienzo del período anterior menos los títulos
que se amortizaron en dicho período. Siendo:
N k + 2 = N k +1 − M k +1
M k +1 = N k +1 − N k + 2
Por tanto:
a k − a k +1 = C × i * × ( N k +1 − N k + 2 ) + C ( M k − M k +1 )
Será igual a:
a k × (1 − q) = C × i * × M k +1 + C ( M k − M k +1 )
43
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Operando nos queda:
M k = M k +1 × (1 − i * ) +
a k × (1 − q)
C
3. Cálculo del total de títulos amortizados
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™ Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
4. Cálculo del número de títulos vivos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos en
el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el késimo término amortizativo.
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que la
amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras
el pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual al valor actual
de la renta formada por los términos amortizativos pendientes de
pago.
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
Cx i*x Nk+1 ak+1 ak+2
n
an
Donde:
C x Nk+1 = Cx i*x Nk+1 + ak+1 (1-i*) + ak+2 (1-i*)2 + ak+3 (1-i*)3+ … +an (1-i*)n-k
C x Nk+1 x (1-i*) = ak+1 (1-i*) (1+ q(1-i*)+ q2(1-i*)2+ … +qn-k-1 (1-i*)n-k-1)
44
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Como [ 1 + q( 1 - i* )+ q2( 1 - i* )2 + ... + qn-k-1 ( 1 - i* )n-k-1 ] es la
suma de términos de una progresión geométrica decreciente de razón
q(1 - i*), que como ya se vio es igual a:
S=
a1 − a n × r
1− r
Sustituyendo en la expresión los valores de nuestra progresión nos
queda:
S=
1 − q n − k −1 × (1 − i*) n − k −1 × q × (1 − i*)
1 − q × (1 − i*)
C x Nk+1 x (1- i*)= a k +1 × (1 − i*) ×
1 − q n − k −1 (1 − i*) n − k −1 q(1 − i*)
1 − q(1 − i*)
Despejando:
Nk+1 =
a k +1 1 − q n − k (1 − i*) n − k
×
C
1 − q(1 − i*)
También podemos calcular los títulos vivos en función de los títulos
amortizados. Siendo:
Nk+1 = N1 – mk
Es decir los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del
período k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos
amortizados en los k primeros períodos.
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los títulos
que quedan pendientes de amortizar en los período k+1, k+2, k+3, …,
n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
5. Cálculo de los intereses a pagar en el momento k
Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses que
pagamos en el período k serán:
Ik = C × i*× Nk+1
45
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título C: 1.000 €
Cupón anual prepagable: 100 €
Plazo de amortización (n): 5 años
Término amortizativo anual variable en progresión geométrica de razón
1,05
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
1 − q n × (1 − i * ) n
1 − q × (1 − i * )
1 − (1,05) 5 × (1 − 0,10) 5
1.000 × 10.000 = a1 ×
1 − 1,05 × (1 − 0,10)
C × N 1 = a1 ×
a1 =
1.000 ×10.000
= 2.232.428,25€
1 − (1,05) 5 × (1 − 0,10) 5
1 − 1,05 × (1 − 0,10)
a 2 = a1 × q = 2.232.428,25 × 1,05 = 2.344.049,66€
a 3 = a1 × q 2 = 2.232.428,25 × (1,05) 2 = 2.461.252,15€
a 4 = a1 × q 3 = 2.232.428,25 × (1,05) 3 = 2.584.314,75€
a 5 = a1 × q 4 = 2.232.428,25 × (1,05) 4 = 2.713.530,49€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
an = C × M n
a 5 = 1.000 × M 5
2.713.530,49 = 1.000 × M 5
M k = M k +1 × (1 − i * ) +
M 5 = 2.713,53049
a k × (1 − q )
C
2.584.314,75 × (1 − 1,05)
= 2.312,9617
1.000
2.461.252,15 × (1 − 1,05)
M 3 = 2.584.314,75 × (1 − 0,10) +
= 1.958,60293
1.000
M 4 = 2.713,53049 × (1 − 0,10) +
46
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
M 2 = 2.461.252,15 × (1 − 0,10) +
2.344.049,66 × (1 − 1,05)
= 1.645,54015
1.000
M 1 = 2.344.049,66 × (1 − 0,10) +
2.232.428,25 × (1 − 1,05)
= 1.369,36472
1.000
M 1 = 1.369
M 2 = 1.645
M1=1.369
M2=1.646
M3=1.959
M 3 = 1.958
M 4 = 2.312
M 5 = 2.713
M4=2.313
ΣMk=9.997
ΣMk=10.000
M5=2.713
3º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
Total títulos Títulos pend.
amortizados amortizados De amortizar
0
Capital
Anualidad
amortizado
Interés
10.000 1.000.000
1.000.000
1
1.369
1.369
8.631
863.100
1.369.000
2.232.100
2
1.646
3.015
6.985
698.500
1.646.000
2.344.500
3
1.959
4.974
5.026
502.600
1.959.000
2.461.600
4
2.313
7.287
2.713
271.300
2.313.000
2.584.300
5
2.713
10.000
-
-
2.713.000
2.713.000
5.2.2.2.2
Empréstito de cupón periódico prepagable
amortizativo variable en progresión aritmética.
con
término
Los empréstitos de cupón periódico constante prepagable, con términos
amortizativos variables en progresión aritmética presentan las siguientes
características:
™
™
Los intereses prepagables se pagan de manera periódica
Sus términos amortizativos varían de un período a otro. Siendo:
- Para k = 0
a0 = C × i × N1
- Para 0 < k ≤ n
a k = a1 + (k − 1)d
™
El tipo de interés prepagable permanece constante para los distintos
períodos i1* = i 2* = i3* = ... = i n* = i *
47
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1. Cálculo del término amortizativo
Como se acaba de ver la equivalencia financiera en el origen es igual
a:
C × N1 = C
× i*×N1 + a1 × ( 1 - i* ) + a2 × ( 1 - i* )2 + a3 × ( 1 - i* )3 + ... + an × ( 1 - i* )n
De donde:
C × N1
-
C × i*×N1= a1 × ( 1 - i* ) +( a1+d) × ( 1 - i* )2 +( a1+2d) × ( 1 - i* )3 + ...
+ (a1+(n-1)d) × ( 1 - i* )n
Siendo:
C × N1 - C
× i*×N1= ( 1 - i* ) [ a1+(a1+d) ( 1 - i* )+(a1+2d) ( 1 - i* )2+...+(a1+(n-1)d( 1 - i* )n-1 ]
Sacando factor común:
C × N 1 (1-i*)= ( 1 - i* ) [ a1 + (a1+d) ( 1 - i* )+ (a1+2d) ( 1 - i* )2
+ ... + (a1+(n-1)d)( 1 - i* )n-1 ]
Simplificando:
C × N 1 = [ a1 + (a1+d) ( 1 - i* )+ (a1+2d) ( 1 - i* )2 + ... + (a1+(n-1))( 1 - i* )n-1 ]
Despejando aquí a1 única variable desconocida obtendremos su valor.
El término amortizativo para un período k cualquiera será igual a:
a k = a1 + (k − 1)d
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
a k = C × i * × N k +1 + C × M k
Pudiendo calcular el número de términos amortizados en cada período
de la siguiente manera:
™
Títulos amortizados en el último sorteo:
El término amortizativo para el último período será igual a:
an = C × M n
48
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Despejando tenemos que:
Mn =
™
an
C
Títulos amortizados en el resto de sorteos:
Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodos
consecutivos “k” y “k+1” cualesquiera, veamos si existe alguna
relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
Período k
a k = C × i * × N k +1 + C × M k
Período k+1
a k +1 = C × i * × N k + 2 + C × M k +1
a k − a k +1 = C × i * × ( N k +1 − N k + 2 ) + C ( M k − M k +1 )
El número de títulos vivos al principio de un período va a ser igual
a los títulos vivos al comienzo del período anterior menos los
títulos que se amortizaron en dicho período. Es decir:
N k + 2 = N k +1 − M k +1
M k +1 = N k +1 − N k + 2
Por tanto:
a k − a k +1 = C × i * × ( N k +1 − N k + 2 ) + C ( M k − M k +1 )
Será igual a:
a k − (a k + d ) = C × i * × M k +1 + C ( M k − M k +1 )
Operando nos queda:
M k = M k +1 × (1 − i * ) −
d
C
3. Cálculo del total de títulos amortizados
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™
Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
49
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
4. Cálculo del número de títulos vivos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los comprendidos
en el capital pendiente de amortizar después de haberse pagado el késimo término amortizativo.
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que la
amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras
el pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual al valor actual
de la renta formada por los términos amortizativos pendientes de
pago.
C x N1
0
C x Nk+1
1
2
k
k+1 k+2
Cx i*x Nk+1 ak+1 ak+2
n
an
Donde:
C x Nk+1 = Cx i*x Nk+1 + ak+1 (1-i*) + ak+2 (1-i*)2 + ak+3 (1-i*)3+ … +an (1-i*)n-k
C x Nk+1 x (1-i*) = ak+1 (1-i*) + ak+2 (1-i*)2 + ak+3 (1-i*)3+ … +an (1-i*)n-k
Si sacamos factor común a (1-i*)
C x Nk+1 x (1-i*) = (1-i*)[ak+1 + ak+2 (1-i*) + ak+3 (1-i*)2+ … +an (1-i*)n-k-1]
Si eliminamos (1-i*) en ambos miembros nos queda:
C x Nk+1 = ak+1 + ak+2 (1-i*) + ak+3 (1-i*)2+ … +an (1-i*)n-k-1
De la expresión anterior despejamos el valor de Nk+1 , ya que el resto
de variables son conocidas.
También podemos calcular los títulos vivos en función de los títulos
amortizados, siendo:
Nk+1 = N1 - mk
Es decir los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del
período k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos
amortizados en los k primeros períodos.
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los títulos
que quedan pendientes de amortizar en los período k+1, k+2, k+3,…, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
50
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5. Cálculo de los intereses a pagar en el momento k
Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses que
pagamos en el período k será:
Ik = C × i*× Nk+1
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Cupón anual prepagable: 100 €
Plazo de amortización (n): 5 años
Término amortizativo anual variable en progresión aritmética de
razón 10.000 €
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = [ a1 + (a1+d) ( 1 - i* )+ (a1+2d) ( 1 - i* )2 + ... + (a1+(n-1)d( 1 - i* )n-1 ]
1.000 × 10.000 = [ a1 + (a1+10.000) ( 1 – 0,10)+ (a1+2·10.000) ( 1 – 0,10 )2
+(a1+3·10.000) ( 1 – 0,10 )3 +(a1+4·10.000) ( 1 – 0,10 )4 ]
a1 = 2.424.039,95€
a 2 = a1 + d = 2.424.039,95 + 10.000 = 2.434.039,95€
a 3 = a1 + 2d = 2.424.039,95 + 2 × 10.000 = 2.444.039,95€
a 4 = a1 + 3d = 2.424.039,95 + 3 × 10.000 = 2.454.039,95€
a 5 = a1 + 4d = 2.424.039,95 + 4 × 10.000 = 2.464.039,95€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
an = C × M n
2.464.039,95 = 1.000 × M 5
d
M k = M k +1 × (1 − i * ) −
C
M 5 = 2.464,03995
10.000
= 2.207,63596
1.000
10.000
M 3 = 2.207,63596 × (1 − 0,10) −
= 1.976,87236
1.000
10.000
M 2 = 1.976,87236 × (1 − 0,10) −
= 1.769,18512
1.000
10.000
M 1 = 1.769,18512 × (1 − 0,10) −
= 1.582,26661
1.000
M 4 = 2.464,03995 × (1 − 0,10) −
51
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
M 1 = 1.582
M 2 = 1.769
M 3 = 1.976
M 4 = 2.207
M1=1.582
M2=1.769
M3=1.977
M 5 = 2.464
M4=2.208
M5=2.464
ΣMk=9.998
ΣMk=10.000
3º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
Total títulos
amortizados amortizados
0
Títulos
pend. de
amortizar
Capital
Anualidad
amortizado
Interés
10.000 1.000.000
1.000.000
1
1.582
1.582
8.418
841.800
1.582.000
2.423.800
2
1.769
3.351
6.649
664.900
1.769.000
2.433.900
3
1.977
5.328
4.672
467.200
1.977.000
2.444.200
4
2.208
7.536
2.464
246.400
2.208.000
2.454.400
5
2.464
10.000
-
-
2.464.000
2.464.000
5.2.2.2.3
Empréstitos de cupón periódico prepagable con igual número de
títulos amortizados en cada sorteo
En estos empréstitos el número de títulos que se amortizan en cada período
es el mismo.
El término amortizativo irá disminuyendo período a período, debido a que el
término amortizativo se dedica en parte al reembolso de los títulos que se
amortizan en ese período (parte del término amortizativo constante ya que
todos los períodos se amortiza igual número de títulos) y en parte al pago de
los intereses (parte del término amortizativo decreciente debido a que el
número de títulos pendientes de amortizar va disminuyendo período a
período).
Los empréstitos de cupón periódico prepagable con amortización de igual
número de títulos en cada período presentan las siguientes características:
™
™
™
™
Los intereses prepagables se pagan de manera periódica
Sus términos amortizativos varían de un período a otro. Siendo:
a0 = C × i × N1
a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
El tipo de interés prepagable permanece constante para los distintos
períodos i1* = i 2* = i3* = ... = i n* = i *
El número de títulos amortizados en cada sorteo es el mismo
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M
52
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Su representación gráfica será:
C x N1
0
1
2
3
n
a1
a2
a3
an
C x i*x N1
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del número de títulos amortizados
Como el número de títulos que se amortizan en cada período es el
mismo, y además, la suma del total de títulos amortizados en los n
períodos de duración del empréstito ha de ser igual al número de
títulos emitidos, tenemos que:
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M
N 1 = M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = n × M
Despejando M nos queda:
M=
N1
n
2. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™
Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk=k x M
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
53
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
Si calculamos los títulos vivos en función de los títulos amortizados,
tendremos:
Nk+1 = N1 - mk=N1 – k x M
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados en
los k primeros períodos.
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los títulos
que quedan pendientes de amortizar en los período k+1, k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn = (n-k) x M
4. Cálculo de los intereses correspondientes al año k+1
Como los intereses se pagan anticipadamente, los intereses que
pagamos en el período k será:
Ik = C × i*× Nk+1
5. Cálculo de los términos amortizativos
El término amortizativo de un año k cualquiera será igual a:
a k = C × i * × N k +1 + M × C
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Cupón anual prepagable: 100 €
Se amortiza igual número de títulos cada año
Plazo de amortización (n): 5 años
1º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
M=
N 1 10.000
=
= 2.000 títulos
n
5
54
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2º Cuadro de amortización:
Anualidad
Período
0
1
2
3
4
5
1.000.000
2.800.000
2.600.000
2.400.000
2.200.000
2.000.000
Títulos
Títulos
Total títulos pendientes
amortizad. amortizados
de
amortizar
10.000
2.000
2.000
8.000
2.000
4.000
6.000
2.000
6.000
4.000
2.000
8.000
2.000
2.000
10.000
-
Interés
1.000.000
800.000
600.000
400.000
200.000
-
Capital
amortizado
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
5.2.3 Empréstitos con cupón periódico fraccionado
Los empréstitos con cupón periódico fraccionado son aquellos en los que la
periodicidad en el pago de cupones es mayor que la existente para el pago
por amortización de títulos; es decir, se fracciona el cupón pero no la cuota
de amortización.
La representación gráfica de este tipo de empréstitos será:
0
0
1
1
C × im × N1
2
C × im × N1
2
m
1+m
C × im × N1
+
C × M1
2+m
C × im × N2 C × im × N2
2m
C × im × N2
+
C × M2
Para que podamos plantear la equivalencia financiera en el momento inicial
tenemos que hallar el cupón fraccionado equivalente expresado en la misma
unidad que se amortizan los títulos; obteniendo así un término amortizativo
equivalente ak, al que se llegará capitalizando los cupones fraccionados a un
tipo de interés im, al momento m, en el que se produce el pago de los títulos
que se amortizan.
Gráficamente será:
0
0
1
1
C × im × N1
2
C × im × N1
m
C × im × N1
+
C × M1
ak
a k = C × N k × i m × Sm┐ i m + CM k
55
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
También podemos plantear la equivalencia financiera en el momento inicial
utilizando el tanto de interés anual.
Si desarrollamos la expresión anterior nos queda:
a k = C × N k × im ×
(1 + i m ) m − 1
+ Mk ×C
im
Como i = (1 + i m ) m − 1
Si sustituimos en la expresión anterior, obtenemos:
a k = C × N k × im ×
i
im
+ M k × C = C × Nk × i + M k × C
Una vez obtenidos los términos amortizativos teóricos, pasamos al cálculo del
número de títulos que se amortizan en cada sorteo, del total de títulos
amortizados y del número de títulos pendientes de amortizar, empleando
para ello las fórmulas vistas para los empréstitos de términos amortizativos
constantes y de cupón periódico constante. Sólo variará el cálculo de los
intereses que se pagan en los distintos subperíodos en que se divide un
período k cualquiera, que será:
Ikxm = C x im x Nk
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Los cupones se pagan cada trimestre siendo su importe de 25 €
Plazo de amortización (n): 5 años
Las cuotas de amortización son constantes
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
56
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1º Cálculo del término amortizativo anual con el tanto de interés anual:
i = (1 + i m ) m − 1 = (1,025) 4 − 1 = 0,10381289
a=
1.000 × 10.000
1 - (1,10381289) -5
0,10381289
= 2.663.719,53€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a = C × i × N1 + C × M 1
2.663.719,53 = 1.000 × 10.000 × 0,10381289 + M 1 × 1.000
M1 =
2.663.719,53 − 1.038.128,91
= 1.625,59062
1.000
M k = M 1 × (1 + i ) k −1
M 2 = 1.625,59062 × (1,103812891) = 1.794,347893
M 3 = 1.625,59062 × (1,103812891) 2 = 1.980,624335
M 4 = 1.625,59062 × (1,103812891) 3 = 2.186,238673
M 5 = 1.625,59062 × (1,103812891) 4 = 2.413,19843
M 1 = 1.625
M 2 = 1.794
M 3 = 1.980
M 4 = 2.186
M 5 = 2.413
ΣMk=9.998
M1=1.626
M2=1.794
M3=1.981
M4=2.186
M5=2.413
ΣMk=10.000
57
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
Total títulos
amortizados amortizados
Títulos pend.
de amortizar
Interés
Capital
amortizado
Término
amortizativo
1
1
10.000
250.000
250.000
1
2
10.000
250.000
250.000
1
3
10.000
250.000
250.000
1
4
1.626
10.000
250.000
2
1
1.626
8.374
209.350
209.350
2
2
1.626
8.374
209.350
209.350
2
3
1.626
8.374
209.350
209.350
2
4
3.420
8.374
209.350
6.580
164.500
164.500
1.626
1.794
1.626.000
1.794.000
1.876.000
2.003.350
3
1
3.420
3
2
3.420
6.580
164.500
164.500
3
3
3.420
6.580
164.500
164.500
3
4
5.401
6.580
164.500
4.599
114.975
114.975
1.981
1.981.000
2.145.500
4
1
5.401
4
2
5.401
4.599
114.975
114.975
4
3
5.401
4.599
114.975
114.975
4
4
7.587
4.599
114.975
5
1
7.587
2.413
60.325
60.325
5
2
7.587
2.413
60.325
60.325
5
3
7.587
2.413
60.325
60.325
4
10.000
2.413
60.325
5
2.186
2.413
2.186.000
2.413.000
2.300.975
2.473.325
5.2.4 Empréstitos de cupón acumulado
Los empréstitos de cupón acumulado, también denominados empréstitos
cupón cero, se caracterizan porque los intereses se pagan acumuladamente
en el momento en que se amortiza el título. En estos empréstitos no se
pagan cupones hasta el momento de la amortización de los títulos, en el que
se recibe el valor nominal más los intereses acumulados.
Los intereses que remuneran la inversión pueden acumularse en régimen de
capitalización simple o en régimen de capitalización compuesta.
58
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Los empréstitos de cupón acumulado en régimen de capitalización simple son
aquellos empréstitos en los que los intereses que remuneran la inversión no
se
pagan de manera periódica a los títulos vivos, sino que se van
acumulando en régimen de
capitalización simple, recibiéndose
en el
momento del reembolso del título su valor nominal más los intereses
acumulados.
La estructura del término amortizativo para un año k cualquiera será:
a k = C × (1 + k ·i ) × M k
Los empréstitos cupón cero en régimen de capitalización compuesta son
aquellos empréstitos en los que los intereses que remuneran la inversión no
se
pagan de manera periódica a los títulos vivos, sino que se van
acumulando en régimen de capitalización compuesta, recibiéndose en el
momento del reembolso del título su valor nominal más los intereses
acumulados.
La estructura del término amortizativo para un año k cualquiera será:
a k = C × (1 +·i ) k × M k
En los siguientes epígrafes se van a tratar los distintos tipos de empréstitos
cupón cero en régimen de capitalización compuesta.
5.2.4.1 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo
constante
La representación gráfica de estos empréstitos será:
C x N1
0
1
a
2
a
n
a
Donde “C x N1” es el valor nominal del empréstito y “a” es el importe del
término amortizativo constante.
59
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del término amortizativo
Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendo
en cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a la
contraprestación (valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos) tenemos que:
C × N 1 = a an┐i
a=
C × N1
1 - (1 + i) -n
i
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera, tenemos que:
a k = C × (1 + i ) k × M k
Luego podemos calcular el número de títulos amortizados en cada
período de la siguiente manera:
™
Títulos amortizados en el primer período:
El término amortizativo para el primer período será igual a:
a1 = C × (1 + i ) × M 1
En primer lugar calculamos el importe del término amortizativo
constante. Al ser el resto de variables conocidas, calcularemos M1
despejando en la expresión anterior:
a1 = C × (1 + i ) × M 1
M1 =
a
C × (1 + i )
60
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
Títulos amortizados en el resto de períodos:
Siendo conocidos y constantes los términos amortizativos de dos
períodos consecutivos “k” y “k+1” cualesquiera, veamos si existe
alguna relación entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
a = C × (1 + i ) k × M k
Período k
Período k+1
a = C × (1 + i ) k +1 × M k +1
C × (1 + i ) k × M k
a
=
a C × (1 + i ) k +1 × M k +1
Simplificando nos queda:
1=
Mk
M k +1 =
M k +1 × (1 + i )
Mk
1+ i
lo cual significa que cada término es igual al anterior multiplicado
1
, por tanto tendremos:
por
1+ i
Período 1º
M1
Período 2º
M 2 = M1 ×
1
1+ i
Período 3º
M3 = M2 ×
1
1
= M1 ×
1+ i
(1 + i ) 2
Período k+1 M k +1 = M k ×
Período n
M n = M n −1 ×
1
1
= M1 ×
1+ i
(1 + i ) k
1
1
= M1 ×
1+ i
(1 + i ) n −1
61
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™
Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
Si ponemos los títulos amortizados en cada período en función de
M1, tenemos:
mk = M 1 +
Mk
M1
M1
M1
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i ) (1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) k −1
De donde sacando factor común a M1 nos queda:
⎡
⎤
1
1
1
1
...
+
+
+
+
m k = M 1 ⎢1 +
⎥
2
(1 + i ) 3
(1 + i ) k −1 ⎦
⎣ (1 + i ) (1 + i )
Siendo el corchete igual a la suma de términos de una progresión
geométrica decreciente de razón (1+i)-1
La suma de términos de una progresión geométrica decreciente es
igual a:
S=
a1 − a n r
1- r
Donde:
o a1 es el primer término de la progresión
o an es el último término de la progresión
o r es igual a la razón
Sustituyendo en la fórmula los valores de nuestra progresión, nos
queda:
S=
1 − (1 + i ) − ( k −1) (1 + i ) −1 1 − (1 + i ) − k
=
× (1 + i ) = äk┐i
i
1 - (1 + i) -1
De donde resulta que:
mk = M1· äk┐i
mk = M1· äk┐i
62
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
4. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™
Cálculo de los
amortizativos
títulos
vivos
en
función
de
los
términos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los
comprendidos en el capital pendiente de amortizar después de
haberse pagado el k-ésimo término amortizativo.
Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:
C x (1+i)k x Nk+1
C x N1
0
1
a
2
a
k
a
k+1
a
k+2
a
n
a
Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k
podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos
amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de
los términos amortizativos futuros (método prospectivo).
o
Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo
Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización
anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras el
pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual a lo
que recibió la entidad emisora en el momento de emisión del
empréstito menos lo ya pagado por ésta.
Su representación gráfica será:
C x (1+i)k x Nk+1
0
C x N1
1
a
2
a
k
a
n
Siendo:
C x (1+i)k x Nk+1 = C x N1 x (1+i)k – a Sk┐i
63
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Despejando obtenemos el valor de Nk+1:
N k +1 =
o
C × N 1 × (1 + i ) k − aS k ¬ i
C × (1 + i ) k
Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que
la amortización anticipada de todos los títulos que aún
quedan vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo
ha de ser igual al valor actual de la renta formada por los
términos amortizativos pendientes de pago.
Su representación gráfica será:
C x (1+i)k x Nk+1
C x N1
0
1
2
k
k+1
a
k+2
a
n
a
Donde:
C x (1+i)k x Nk+1 = a a
n-k┐i
Despejando:
Nk+1 =
™
a
a n-k┐i
C × (1 + i ) k
Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulos
que ya han sido amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del
período k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos
amortizados en los k primeros períodos.
64
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
No se produce abono de cupones acumulándose hasta el momento del sorteo
al 10%.
Plazo de amortización (n): 5 años
Término amortizativo anual y constante (a)
™
™
™
™
™
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = a an┐i
1.000 × 10.000 = a a5┐0,10
a=
1.000 × 10.000
= 2.637.974,81€
1 - (1,10) -5
0,10
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a = C × (1 + i ) × M 1
2.637.974,81 = 1.000 × 1,10 × M 1
M 1 = 2.398,158918
Mk =
M2 =
M1
(1 + i ) k
2.398,158918
= 2.180,144471
1,10
65
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
M3 =
2.398,158918
= 1.981,949519
1,10 2
M4 =
2.398,158918
= 1.801,77229
1,10 3
M5 =
2.398,158918
= 1.637,974809
1,10 4
M 1 = 2.398
M2
M3
M4
M5
M1=2.398
M2=2.180
= 2.180
= 1.981
= 1.801
= 1.637
M3=1.982
M4=1.802
M5=1.638
ΣMk=9.997
ΣMk=10.000
3º Cuadro de amortización:
Período
Total títulos
Títulos
amortizados amortizados
Títulos
Nominal
Anualidad
pend. de
títulos
(Nominal+Int.
amortizar amortizados acumulados)
Intereses
pagados
1
2.398
2.398
10.000
2.398.000,00 2.637.800,00
239.800,00
2
2.180
4.578
7.602
2.180.000,00 2.637.800,00
457.800,00
3
1.982
6.560
5.422
1.982.000,00 2.638.042,00
656.042,00
4
1.802
8.362
3.440
1.802.000,00 2.638.308,20
836.308,20
5
1.638
10.000
1.638
1.638.000,00 2.638.015,38 1.000.015,38
5.2.4.2 Empréstitos de cupón acumulado constante y término amortizativo
variable
Estos empréstitos presentan las siguientes características:
™
™
™
Los intereses se pagan de manera acumulada.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro
a1 ≠ a a ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i 2 = i3 = ... = i n
66
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.4.2.1
Empréstitos de cupón acumulado constante
amortizativo variable en progresión geométrica
y
término
Los empréstitos de cupón periódico constante, con términos amortizativos
variables en progresión geométrica presentan las siguientes características:
™
™
™
Los intereses se pagan acumuladamente en el momento de
amortización de los títulos.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresión
geométrica de razón q. Siendo:
a k = a1 × q k −1
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i 2 = i3 = ... = i n = i
Su representación gráfica será:
0
C x N1
1
a1
2
3
a1 x q a1 x q2
n
a1 x qn-1
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del término amortizativo
Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendo
en cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a la
contraprestación (valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos) tenemos que:
C × N 1 = A(a1,q)n┐i
Al calcular el término amortizativo nos podemos encontrar con dos
situaciones:
™
(1 + i ) ≠ q
En cuyo caso el cálculo del término amortizativo será:
C × N 1 = a1
1 − q n (1 + i ) − n
(1 + i ) − q
67
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
a1 =
C × N1
1 - q n (1 + i) -n
(1 + i) - q
Siendo el importe de la anualidad de un año k cualquiera igual a:
a k = a1 × q k −1
™
(1 + i ) = q
En cuyo caso el cálculo del término amortizativo será:
C × N 1 = a1 × n × (1 + i ) −1
a1 =
C × N 1 × (1 + i )
n
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
a k = C × (1 + i ) k × M k
Podemos calcular el número de títulos amortizados en cada período de
la siguiente manera:
™ Títulos amortizados en el primer período:
El término amortizativo para el primer período será igual a:
a1 = C × (1 + i )1 × M 1
En primer lugar calculamos el importe del término amortizativo del
primer período. Al ser el resto de variables conocidas, calcularemos M1
despejando en la expresión anterior:
a1 = C × (1 + i ) × M 1
M1 =
a1
C × (1 + i )
68
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™ Títulos amortizados el resto de períodos:
Una vez conocido el importe del primer término amortizativo podremos
calcular el resto como a k = a1 × q k −1 .
Siendo conocidos los términos amortizativos de dos períodos
consecutivos cualesquiera “k” y “k+1”, veamos si existe alguna relación
entre los títulos amortizados en esos dos períodos.
Período k
a k = C × (1 + i ) k × M k
Período k+1
a k +1 = C × (1 + i ) k +1 × M k +1
ak
C × (1 + i ) k × M k
=
a k +1 C × (1 + i ) k +1 × M k +1
Como a k +1 = a k × q sustituyendo y simplificando en la ecuación anterior
se obtiene:
Mk
1
=
q M k +1 × (1 + i )
Despejando Mk+1 nos queda:
M k +1 = M k ×
q
(1 + i )
3. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k de
cualquiera de las dos formas siguientes:
™ Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™ Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
69
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
4. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los
comprendidos en el capital pendiente de amortizar después de
haberse pagado el k-ésimo término amortizativo.
Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:
C x (1+i)k x Nk+1
C x N1
0
1
a1
2
a2
k
ak
k+1
ak+1
k+2
ak+2
n
an
Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k
podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos
amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de
los términos amortizativos futuros (método prospectivo).
o
Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo
Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización
anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras el
pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser igual a lo
que recibió la entidad emisora en el momento de emisión del
empréstito menos lo ya pagado por ésta.
Su representación gráfica será:
C x (1+i)k x Nk+1
0
C x N1
1
a1
2
a2
k
ak
n
Siendo:
C x Nk+1 x (1+i)k = C x N1 x (1+i)k – S(a1,q) k┐i
70
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Despejando obtenemos el valor de Nk+1:
N k +1 =
o
[C × N
1
× (1 + i ) k − S ( a1 , q) k ¬ i
C × (1 + i )
]
k
Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que
la amortización anticipada de todos los títulos que aún quedan
vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo ha de ser
igual al valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos pendientes de pago.
Su representación gráfica será:
C x (1+i)k x Nk+1
C x N1
0
1
2
k
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
Donde:
C x Nk+1 x (1+i)k = A(ak+1,q)
n-k┐i
Despejando:
N k +1 =
A(a k +1 , q ) n − k ¬ i
C × (1 + i ) k
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para su cálculo tenemos en cuenta los títulos que ya han sido
amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk
71
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados
en los k primeros períodos.
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendiente de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo que aumenta anualmente un 5%
Plazo de amortización (n): 5 años
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = A(a1,q)n┐i
1.000 × 10.000 = A(a1,1,05)5┐0,10
a1 =
1.000 × 10.000
1 - (1,05) 5 (1,10) -5
(1,10) - (1,05)
= 2.409.295,29€
a k = a1 × q k −1
a 2 = 2.409.295,95 × 1,05 = 2.529.760,05€
a 3 = 2.409.295,95 × (1,05) 2 = 2.656.248,06€
a 4 = 2.409.295,95 × (1,05) 3 = 2.789.060,46€
a 5 = 2.409.295,95 × (1,05) 4 = 2.928.513,48€
72
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a1 = C × (1 + i ) k M 1
2.409.295,29 = 1.000 × (1,10) × M 1
M k +1 = M k ×
M 1 = 2.190,268445
q
(1 + i )
1,05
= 2.090,710788
1,10
1,05
M 3 = 2.090,710788 ×
= 1.995,67848
1,10
M 2 = 2.1090,268445 ×
M 4 = 1.995,67848 ×
1,05
= 1.904,965822
1,10
M 5 = 1.904,965822 ×
M 1 = 2.190
M 2 = 2.090
M 3 = 1.995
M 4 = 1.904
M 5 = 1.818
1,05
= 1.818,376466
1,10
M1=2.190
M2=2.091
M3=1.996
M4=1.905
M5=1.818
ΣMk=9.997
ΣMk=10.000
3º Cuadro de amortización:
Período
Títulos
Total títulos
amortizados amortizados
Títulos
Nominal
Anualidad
pend. de
títulos
(Nominal+Int.
amortizar amortizados acumulados)
Intereses
pagados
1
2.190
2.190
10.000
2.190.000,00 2.409.000,00
219.000,00
2
2.091
4.281
7.810
2.091.000,00 2.530.110,00
439.110,00
3
1.996
6.277
5.719
1.996.000,00 2.656.676,00
660.676,00
4
1.905
8.182
3.723
1.905.000,00 2.789.110,50
884.110,50
5
1.818
10.000
1.818
1.818.000,00 2.927.907,18 1.109.907,18
73
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.4.2.2
Empréstitos de cupón acumulado constante
amortizativo variable en progresión aritmética
y
término
Los empréstitos de cupón acumulado constante, con términos amortizativos
variables en progresión aritmética presentan las siguientes características:
™
™
™
Los intereses se pagan de manera acumulada en el momento en que
se produce la amortización del título.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro en progresión
aritmética de razón d. Siendo:
a k = a1 + (k − 1)d
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i 2 = i3 = ... = i n
Su representación gráfica será:
0
1
C x N1
a1
2
3
a1 + d a1 + 2d
n
a1 +(n-1)d
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del término amortizativo
Si planteamos la equivalencia financiera en el momento 0 y teniendo
en cuenta que la prestación (C x N1) ha de ser igual a la
contraprestación (valor actual de la renta formada por los términos
amortizativos) tenemos que:
C × N 1 = A(a1,d)n┐i
C × N 1 = (a1 +
d
nd
+ nd ) an┐i i
i
Despejando obtendremos el valor de a1
Como las anualidades varían en progresión aritmética el importe de la
anualidad de un año k cualquiera será igual a:
a k = a1 + (k − 1) × d
74
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2. Cálculo de los títulos amortizados
Si partimos de la estructura del término amortizativo para un año k
cualquiera tenemos que:
a k = C × (1 + i ) k × M k
Podemos calcular el número de títulos amortizados en cada período de
la siguiente manera:
™
Títulos amortizados en el primer período:
El término amortizativo para el primer período será igual a:
a1 = C × (1 + i ) × M 1
En primer lugar calculamos el importe del término amortizativo del
primer período. Al ser el resto de variables conocidas,
calcularemos M1 despejando en la expresión anterior:
M1 =
a1 = C × (1 + i) × M 1
a1
C × (1 + i)
™ Títulos amortizados en el resto de períodos:
Conocido el término amortizativo del primer período podemos
calcular el resto como a k = a1 + (k − 1) × d . Siendo conocidos los
términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera
“k” y “k+1”, veamos si existe alguna relación entre los títulos
amortizados entre esos dos períodos.
a k = C × (1 + i ) k × M k
Período k
Período k+1
a k +1 = C × (1 + i ) k +1 × M k +1
ak
C × (1 + i ) k × M k
=
a k +1 C × (1 + i ) k +1 × M k +1
Como a k +1 = a k + d si sustituimos en la expresión anterior y
despejamos resulta:
M k +1 =
Mk
d
+
(1 + i ) C × (1 + i ) k +1
M k +1 =
Mk
d
+
(1 + i ) C × (1 + i ) k +1
75
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™ Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk
™ Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
4. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los términos amortizativos
Los títulos vivos después del k-ésimo sorteo serán los
comprendidos en el capital pendiente de amortizar después de
haberse pagado el k-ésimo término amortizativo.
Si representamos gráficamente el empréstito, tenemos:
C x (1+i)k x Nk+1
C x N1
0
1
a1
2
a2
k
ak
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
Tomando como punto de equivalencia financiera el momento k
podemos calcular los títulos vivos a partir de los términos
amortizativos pasados (método retrospectivo) o bien a través de
los términos amortizativos futuros (método prospectivo).
o
Cálculo de Nk+1 por el método retrospectivo
Para el momento k se tiene que cumplir que la amortización
anticipada de todos los títulos que aún quedan vivos tras el
pago del k-ésimo término amortizativo, ha de ser igual, a lo
que recibió la entidad emisora en el momento de emisión del
empréstito menos lo ya pagado por ésta.
76
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Su representación gráfica será:
C x (1+i)k x Nk+1
0
C x N1
1
a1
2
a2
k
ak
n
Donde:
C x Nk+1 x (1+i)k = C x N1 x (1+i)k – S(a1,d) k┐i
Despejando obtenemos el valor de Nk+1:
N k +1 =
o
[C × N
1
× (1 + i ) k − S ( a1 , d ) k ¬ i
C × (1 + i )
]
k
Cálculo de Nk+1 por el método prospectivo
Si aplicamos el método prospectivo se tiene que cumplir que
la amortización anticipada de todos los títulos que aún
quedan vivos tras el pago del k-ésimo término amortizativo
ha de ser igual al valor actual de la renta formada por los
términos amortizativos pendientes de pago.
Su representación gráfica será:
C x (1+i)k x Nk+1
C x N1
0
1
2
k
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
Donde:
C x Nk+1 x (1+i)k = A(ak+1,d)
n-k┐i
Despejando:
N k +1 =
A(a k +1 , d ) n − k ¬ i
C × (1 + i ) k
77
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos amortizados
Si para el cálculo de los títulos vivos tenemos en cuenta los títulos
que ya han sido amortizados, tendremos:
Nk+1 = N1 - mk
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados
en los k primeros períodos.
™ Cálculo de los títulos vivos en función de los títulos pendientes de
amortizar
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los
títulos que quedan pendientes de amortizar en los período k+1,
k+2, k+3, …, n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo que aumenta anualmente en 10.000 €
Plazo de amortización (n): 5 años
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo.
1º Cálculo del término amortizativo:
C × N 1 = A(a1,d)n┐i
1.000 × 10.000 = A(a1,10.000)5┐0,10
C × N 1 = (a1 +
d
+ nd )
i
1.000 × 10.000 = (a1 +
an┐i -
nd
i
10.000
5 × 10.000
+ 5 × 10.000) a5┐0,10 0,10
0,10
a1 = 2.619.873,55€
78
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
a k = a1 + d
a 2 = 2.619.873,55 + 10.000 = 2.629.873,55€
a 3 = 2.619.873,55 + 2 × 10.000 = 2.639.873,55€
a 4 = 2.619.873,55 + 3 × 10.000 = 2.649.873,55€
a 5 = 2.619.873,55 + 4 × 10.000 = 2.659.873,55€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a1 = C × (1 + i ) k × M 1
2.619.873,55 = 1.000 × (1,10) × M 1
M 1 = 2.381,70323
Mk
d
+
(1 + i ) c × (1 + i ) k +1
2.381,703235
10.000
M2 =
+
= 2.173,44921
1,10
1.000 × 1,10 2
2.173,44921
10.000
M3 =
+
= 1.983,37607
1,10
1.000 × 1,10 3
M k +1 =
1.983,37607
10.000
+
= 1.809,89929
1,10
1.000 × 1,10 4
1.809,89929
01.000
M5 =
+
= 1.651,5722
1,10
1.000 × 1,10 5
M4 =
M 1 = 2.381
M 2 = 2.173
M 3 = 1.983
M 4 = 1.809
M 5 = 1.651
M1=2.382
ΣMk=9.997
ΣMk=10.000
M2=2.173
M3=1.983
M4=1.810
M5=1.652
3º Cuadro de amortización:
Período
1
2
3
4
5
Total títulos
Títulos
amortizados amortizados
2.382
2.173
1.983
1.810
1.652
2.382
4.555
6.538
8.348
10.000
Títulos
Nominal
Anualidad
pend. de
títulos
(Nominal+Int.
amortizar amortizados acumulados)
10.000
7.618
5.445
3.462
1.652
2.382.000,00
2.173.000,00
1.983.000,00
1.810.000,00
1.652.000,00
Intereses
pagados
2.620.200,00
238.200,00
2.629.330,00
456.330,00
2.639.373,00
656.373,00
2.650.021,00
840.021,00
2.660.562,52 1.008.562,52
79
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.2.4.2.3
™
™
™
™
Empréstitos de cupón acumulado constante con igual número de
títulos amortizados en cada sorteo
Los intereses se pagan de manera acumulada en el momento de
amortización de los títulos.
Sus términos amortizativos varían de un período a otro. Siendo:
a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ≠ ... ≠ a n
El tipo de interés permanece constante para los distintos períodos
i1 = i 2 = i3 = ... = i n = i
El número de títulos amortizados en cada sorteo es el mismo
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M
Su representación gráfica será:
0
1
2
3
n
C x N1
a1
a2
a3
an
Para calcular los distintos elementos del cuadro de amortización del
empréstito debemos realizar las siguientes operaciones:
1. Cálculo del número de títulos amortizados
Como el número de títulos que se amortizan en cada período es el
mismo, y además, la suma del total de títulos amortizados en los n
períodos de duración del empréstito ha de ser igual al número de
títulos emitidos, tenemos que:
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M
N 1 = M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = n × M
Despejando M nos queda:
M=
N1
n
80
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2. Cálculo del total de títulos amortizados al final del período k
Podemos calcular el total de títulos amortizados al final del período k
de cualquiera de las dos formas siguientes:
™ Como la suma de los títulos amortizados durante los k primeros
años:
mk = M1 + M2 + M3 + …+ Mk=k x M
™ Como la diferencia entre los títulos emitidos y los títulos vivos:
mk = N1 – Nk+1
3. Cálculo de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo
Los títulos vivos se calculan en función de los títulos amortizados.
Nk+1 = N1 - mk=N1 – k x M
Los títulos que quedan pendientes de amortizar al inicio del período
k+1 serán los títulos emitidos menos el total de títulos amortizados en
los k primeros períodos.
Otra posibilidad es calcular los títulos vivos como la suma de los títulos
que quedan pendientes de amortizar en los período k+1, k+2, k+3, …,
n.
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn = (n-k) x M
4. Cálculo de los términos amortizativos
El término amortizativo de un año k cualquiera será igual a:
a k = C × (1 + i ) k × M
81
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Se amortiza igual número de títulos cada año
Plazo de amortización (n): 5 años
1º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
M=
N 1 10.000
=
= 2.000 títulos
n
5
2º Cuadro de amortización:
Títulos
Nominal
Títulos
Total títulos pendientes
Anualidad
Período
títulos
amortizad. amortizados
de
(Nominal+Int.
amortizados acumulados)
amortizar
1
2
3
4
5
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
2.000.000,00
2.000.000,00
2.000.000,00
2.000.000,00
2.000.000,00
Intereses
pagados
2.200.000
200.000,00
2.420.000
420.000,00
2.662.000
662.000,00
2.928.200
928.200,00
3.221.020 1.221.020,00
5.3 EMPRÉSTITOS CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES
En los empréstitos normales o puros el término amortizativo se compone de una
parte destinada al pago de los intereses y otra que se destina al reembolso por el
nominal de los títulos que corresponda amortizar.
Es posible también que la entidad emisora de los empréstitos decida reembolsar
los títulos repartiendo entre los que resulten amortizados una determinada
cantidad (lote), o que el reembolso de los títulos se realice por un importe
superior al valor nominal (prima de amortización). También es posible que se
establezca que los títulos que se amortizan pierdan el derecho a percibir el último
cupón.
Todas estas son características comerciales que pueden presentar los
empréstitos, y que afectan al término amortizativo y al interés efectivo del ente
emisor, de los obligacionistas o de los títulos.
82
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Podemos clasificar las características comerciales como:
™ Características comerciales que no afectan al término amortizativo y
sólo afectan al interés efectivo del ente emisor, de los obligacionistas y
de un título.
o
Prima de emisión:
Existe la posibilidad de que los títulos se adquieran por debajo del
valor nominal, dando lugar a la prima de emisión. Ésta se liquida en
el momento de la emisión, no afectando al cálculo del término
amortizativo.
o
Gastos iniciales:
Los gastos iniciales son gastos inherentes a la emisión del
empréstito. Estos pueden ser gastos de registro, notariales, de
publicidad, ....
Estos gastos se producen en la emisión del empréstito y corren por
cuenta del emisor salvo que se establezca lo contrario. El
obligacionista también puede tener gastos iniciales derivados de la
adquisición de los títulos.
o
Gastos finales:
Los gastos finales son los gastos inherentes a la cancelación del
empréstito. Estos gastos se producen en el momento de la
amortización total del empréstito y corren por cuenta del ente
emisor.
™ Características comerciales que afectan al término amortizativo y al
interés efectivo del ente emisor, de los obligacionistas y de un título
o
Prima de amortización:
Existe prima de amortización cuando el reembolso de los títulos se
realiza por un importe superior al valor nominal. La existencia de la
prima de amortización afecta al cálculo del término amortizativo y al
cuadro de la operación.
Cuando existe prima de amortización el término amortizativo o
anualidad de un momento k cualquiera será:
a k = N k ·c·i + M k ·(c + p)
83
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
o
Lote:
Es una cantidad que el ente emisor establece que se entregue a
algunos títulos en el momento de su amortización.
Cuando existe lote el término amortizativo o anualidad de un
momento k cualquiera será:
a k = N k ·c·i + M k ·c + L
o
Amortización seca:
La amortización seca consiste en la pérdida para los títulos que se
amortizan del último cupón.
Cuando existe amortización seca o pérdida del último cupón el
término amortizativo o anualidad de un momento k cualquiera será:
a k = N k ·c·i + M k ·c − M k ·c·i
o
Gastos de administración:
Los gastos de administración son gastos soportados por el ente
emisor debido a la gestión del empréstito. El obligacionista también
puede soportar gastos de administración: las comisiones de
mantenimiento de un título.
Cuando existen gastos de administración el término amortizativo o
anualidad de un momento k cualquiera será:
a k = [N k ·c·i + M k ·c] + g [N k ·c·i + M k ·c ]
o
Impuestos:
Los impuestos afectan tanto al ente emisor como a los
obligacionistas. Los impuestos que corren a cargo del ente emisor al
poner en circulación los títulos, al amortizarlos, en el levantamiento
de las garantías. Los obligacionistas también soportan cargas
fiscales debido a los rendimientos que perciben.
Los empréstitos con características comerciales se resuelven de la siguiente
forma:
Partimos del término amortizativo del empréstito que estemos estudiando y
operamos matemáticamente hasta llegar al término amortizativo del empréstito
normal.
84
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Supongamos un empréstito de cupón periódico constante y pospagable, término
amortizativo constante que presenta las siguientes características comerciales:
Número de títulos emitidos: N1
Valor nominal de los títulos: c
Prima de amortización de los títulos: P
Pago de un lote de cuantía L en cada sorteo
Los títulos que se amortizan en cada sorteo pierden el derecho al cobro
del último cupón
™ Gastos de administración: g (porcentaje sobre los pagos)
™
™
™
™
™
•
Término amortizativo del empréstito con características comerciales:
a = [c·i·N k + (c + P − c·i )·M k + L ] + g ·[c·i·N k + (c + P − c·i )·M k + L ]
Si sacamos factor común a los elementos del corchete nos queda:
a = [c·i·N k + (c + P − c·i )·M k + L ]·(1 + g )
Pasamos dividiendo al otro lado de la expresión (1+g)
a
= [c·i·N k + (c + P − c·i )·M k + L ]
(1 + g )
Pasamos restando al otro lado de la expresión L
a
− L = c·i·N k + (c + P − c·i )·M k
(1 + g )
Dividimos por c + P − c·i toda la expresión
(c + P − c·i )·M k ⎤
⎡ a
⎤⎡
1
⎤ ⎡ c·i·N k
=⎢
+
− L ⎥ ·⎢
⎢
⎥
c + P − c·i ⎥⎦
⎣ (1 + g )
⎦ ⎣ c + P − c·i ⎦ ⎣ c + P − c·i
Multiplicamos por c toda la expresión
⎡ a
⎤⎡
c
⎤
⎤ ⎡ c·i·N k ·c
− L ⎥·⎢
=⎢
+ M k ·c ⎥
⎢
⎥
⎦
⎣ (1 + g )
⎦ ⎣ c + P − c·i ⎦ ⎣ c + P − c·i
Siendo:
⎡ a
⎤⎡
c
⎤
a´= ⎢
− L ⎥·⎢
⎥
⎣ (1 + g )
⎦ ⎣ c + P − c·i ⎦
i´=
c·i
c + P − c·i
85
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Por tanto el término amortizativo normalizado será:
a´= c·i´·N k + c·M k
•
Una vez que hemos obtenido la estructura del término amortizativo
normalizado obtendremos su valor planteando la equivalencia en el
momento 0
c × N 1 = a´ an┐i´
•
Obtendremos el valor del término amortizativo o anualidad comercial
“a” sustituyendo en la expresión del término amortizativo normalizado
⎡ a
⎤⎡
c
⎤
a´= ⎢
− L ⎥ ·⎢
⎥
⎣ (1 + g )
⎦ ⎣ c + P − c·i ⎦
•
Finalmente se pasará al cálculo del resto de elementos del cuadro de
amortización del empréstito
Todas las fórmulas que se han visto para el empréstito de cupón periódico
constante y término amortizativo constante puro o sin características comerciales
sirven para el cálculo de los títulos amortizados, de los títulos vivos y del total de
títulos amortizados del empréstito de cupón periódico constante y término
amortizativo constante si en ellas sustituimos “a” por “a´” e “i” por “i´”.
La única excepción es el cálculo de los intereses o cupón, en el que es válida la
fórmula del empréstito puro y no se sustituye “i” por “i´”.
™ Cálculo del número de títulos amortizados
Cálculo del número de términos amortizados en el primer sorteo
a´= c·i´·N 1 + c·M 1
M1 =
a´−c·i´·N 1
c
Cálculo del número de títulos amortizados en el resto de sorteos
M k +1 = M k ·(1 + i´) = M 1 ·(1 + i´) k −1
™ Cálculo del total de títulos amortizados
mk = M1· Sk┐i´
mk = N1 – Nk+1
86
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™ Cálculo de los títulos vivos
Nk+1 =
a´
a
c
n-k┐i´
Nk+1 = N1 - mk
Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + Mk+3 + … +Mn
™ Cálculo de los intereses
Ik+1 = C · i · Nk+1
Para el cálculo de los intereses empleamos el tanto de interés del
empréstito y no el tanto de interés normalizado.
Acabamos de ver cómo se operaría para los empréstitos de cupón
periódico
constante
y
término
amortizativo
constante
con
características comerciales. La operatoria para la resolución de otros
tipos de empréstitos se desarrollará a través de la realización de los
siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (c): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo constante
Plazo de amortización (n): 5 años
Características comerciales:
o Prima de amortización : 50 €
o Lote: 250.000 €
o Pérdida del derecho al cobro del último cupón
Utilizando para su resolución el procedimiento de redondeo
1º Cálculo del término amortizativo:
El término amortizativo estará compuesto por una parte destinada al pago de intereses
de los títulos vivos, teniendo en cuenta que los títulos que se amortizan en el período
pierden el derecho al cobro del cupón, otra por el reembolso de los títulos
correspondientes por su valor nominal más la prima de amortización y otra destinada al
pago del lote.
La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:
a = ( N k − M k )·c·i·+ M k ·(c + P) + L
87
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Ahora vamos a normalizar la estructura del término amortizativo:
™
1º Pasamos L al otro miembro de la ecuación:
a − L = N k c·i·+ M k ·(c + P − c·i )
™
2º Dividimos por c + P − c × i toda la expresión
c·i·N k
a−L
=
+ Mk
c + P − c·i c + P − c·i
™
3º Multiplicamos por c toda la expresión
(a − L)·
c
c·i
· N k + M k ·c
= c·
c + P − c·i
c + P − c·i
Donde:
a´= (a − L)·
i´=
c
c + P − c·i
c·i
c + P − c·i
Siendo el término amortizativo normalizado igual a:
a´= C ·i´·N k + M k ·C
Vamos ahora a calcular los valores de i´ y a´:
i´=
1.000 × 0,10
C ·i
= 0,105263157
=
C + P − C ·i 1.000 + 50 − 100
Si planteamos la equivalencia en el momento 0 nos queda que:
c × N 1 = a´ an┐i´
a´=
N1 × c
1 − (1 + i´)
i´
−n
=
10.000 × 1.000
= 2.673.537,52€
1 − (1,10526315) −5
0,10526315
Una vez que conocemos el valor de a´ obtendremos el valor de a sustituyendo en el
cambio de variable:
a´= (a − L) ×
c
c + P − c·i
88
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2.673.537,52 = (a − 250.000) ×
1.000
1.000 + 50 − 100
a = 2.789.860,64€
2º Cálculo de los títulos amortizados cada período:
a = N 1 ·c·i·+ M 1 ·c + M 1 ·P − M 1 ·c·i + L
2.789.860,64 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + M 1 × (1.000 + 50 − 100) + 250.000
M 1 = 1.620,91593684
También podremos realizar el cálculo de los títulos amortizados en el primer período
utilizando el término amortizativo y el tanto de interés normalizados.
a´= N 1 ·c·i´+ M 1 ·c
2.673.537,52 = 1.000 × 0,105263157 × 10.000 + M 1 × 1.000
M 1 = 1.620,91593684
M k = M 1 × (1 + i´)( k −1)
M 2 = 1.620,91593684 × (1,105263157) = 1.791,53866558
M 3 = 1.620,91593684 × (1,105263157) 2 = 1.980,1216814
M 4 = 1.620,91593684 × (1,105263157) 3 = 2.188,55554082
M 5 = 1.620,91593684 × (1,105263157) 4 = 2.418,92980631
M 1 = 1.620
M 2 = 1.791
M 3 = 1.980
M 4 = 2.188
M 5 = 2.418
M1=1.621
ΣMk=9.997
ΣMk=10.000
M2=1.791
M3=1.980
M4=2.189
M5=2.419
89
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3º Cuadro de amortización:
Títulos
amortizad
Total títulos
amortizados
Títulos
pendientes
de
amortizar
1
1.621
1.621
10.000
837.900
1.621.000
81.050
250.000
2.789.950
2
1.791
3.412
8.379
658.800
1.791.000
89.550
250.000
2.789.350
3
1.980
5.392
6.588
460.800
1.980.000
99.000
250.000
2.789.800
4
2.189
7.581
4.608
241.900
2.189.000
109.450
250.000
2.790.350
5
2.419
10.000
2.419
-
2.419.000
120.950
250.000
2.789.950
Período
Interés
Capital
amortizado
(2)
(1)
Prima
Lote
(3)
(4)
Anualidad
práctica
(*)
(*)=(1)+(2)+(3)+(4)
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
™
•
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (c): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Amortizándose igual número de títulos cada año
Plazo de amortización (n): 10 años
Características comerciales:
o Prima de amortización : 100 €
o Lote: 30.000 €
o Pérdida del derecho al cobro del último cupón
o Gastos de administración: 1 por 1000 de las cantidades pagadas
Cuadro de amortización:
La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:
a k = [( N k − M )·c·i + M ·(c + p) + L ] × (1 + g )
En los empréstitos en los que se amortiza el mismo número de títulos en cada sorteo no
es necesario realizar la normalización en el caso de que existan características
comerciales. Las características comerciales afectarán al cálculo del término
amortizativo y a la ley de recurrencia que éstos siguen.
Una vez conocida la estructura del término amortizativo calculamos el número de títulos
que se amortizan en cada período.
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n =
10.000
= 1.000
10
90
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Período
Títulos
Títulos
pendientes
amortizad
de amortizar
Total títulos
amortizados
Capital
amortizado
(2)
Interés
(1)
Lote
(3)
Gastos de Anualidad
Admón.
práctica
(4)
(*)
1
10.000
1.000
1.000 900.000
1.100.000 30.000
2.030 2.032.030
2
9.000
1.000
2.000 800.000
1.100.000 30.000
1.930 1.931.930
3
8.000
1.000
3.000 700.000
1.100.000 30.000
1.830 1.831.830
4
7.000
1.000
4.000 600.000
1.100.000 30.000
1.730 1.731.730
5
6.000
1.000
5.000 500.000
1.100.000 30.000
1.630 1.631.630
6
5.000
1.000
6.000 400.000
1.100.000 30.000
1.530 1.531.530
7
4.000
1.000
7.000 300.000
1.100.000 30.000
1.430 1.431.430
8
3.000
1.000
8.000 200.000
1.100.000 30.000
1.330 1.331.330
9
2.000
1.000
9.000 100.000
1.100.000 30.000
1.230 1.231.230
10
1.000
1.000
1.100.000 30.000
1.130 1.131.130
10.000
-
(*)=(1)+(2)+(3)+(4)
Ejemplo:
Realizar el cuadro de amortización del siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (c): 1.000 €
Tipo de interés (i): 11% anual
Término amortizativo variable en progresión geométrica de razón 1,04
Plazo de amortización (n): 15 años
Características comerciales:
o Prima de amortización : 100 €
o Lote: 10.000 €, aumentando anualmente en 5.000 €
Calcular:
1º El término amortizativo o anualidad del primer año
2º Títulos pendientes de amortizar después del 4º sorteo
1º Cálculo del término amortizativo o anualidad del primer período:
El término amortizativo estará compuesto por una parte destinada al pago de intereses
de los títulos vivos, otra al reembolso de los títulos que resulten amortizados en el
período por su valor nominal más la prima de amortización y otra parte destinada al
pago del lote.
La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:
a k = N k ·c·i·+ M k ·(c + P) + Lk
91
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Ahora vamos a normalizar la estructura del término amortizativo:
™
1º Pasamos restando al otro lado de la expresión L
a k − Lk = c·i·N k + (c + P)·M k
™
2º Dividimos por c + P toda la expresión
[a k
™
⎡ 1 ⎤ ⎡ c·i·N k (c + P )·M k ⎤
+
− Lk ]·⎢
⎥=⎢
c + P ⎥⎦
⎣c + P ⎦ ⎣ c + P
3º Multiplicamos por c toda la expresión
[a k
⎤
⎡ c ⎤ ⎡ c·i·N k ·c
=⎢
+ M k ·c ⎥
− Lk ]·⎢
⎥
⎣c + P ⎦ ⎣ c + P
⎦
Siendo:
⎡ c ⎤
a k ´= [a k − Lk ]·⎢
⎥
⎣c + P ⎦
i´=
c·i
1.000 × 0,11
=
= 0,10
c+P
1.100
Por tanto el término amortizativo normalizado será:
a k ´= c·i´·N k + c·M k
Para calcular el valor del término amortizativo vamos a realizar las siguientes
operaciones:
™
Planteamos la equivalencia financiera en el momento inicial de la renta entre el
nominal del empréstito y los términos amortizativos teóricos
⎡ c ⎤
a k ´= [a k − Lk ]·⎢
⎥
⎣c + P ⎦
c × N1 =
K =n
∑ (1 + i´)
k =1
a´k
k
Cuando existan características comerciales, y los términos amortizativos o los
lotes, varíen en progresión geométrica o en progresión aritmética, se va a operar
con sumatorios en lugar de con rentas, ya que es posible que estas no sigan
ningún tipo de ley de recurrencia.
92
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
El siguiente paso es sustituir el valor a´ por el valor obtenido en el proceso de
normalización.
c × N1 =
K =n
∑
c
(c + P )
(1 + i´) k
(a k − Lk )·
k =1
™
Ahora sacamos del sumatorio
c × N1 =
™
c
al tratarse de una constante.
(c + p )
c K = n ( a k − Lk )
(c + P) k =1 (1 + i´) k
∑
Seguidamente se descompondrá el sumatorio en dos partes, por un lado quedarán
los términos amortizativos que varían en progresión geométrica y por el otro los
lotes que varían en progresión aritmética.
⎡k =n a k
k = n Lk
− ∑
⎢ ∑
(c + P ) ⎢⎣ k =1 (1 + i´) k k =1 (1 + i´) k
c
c× N1 =
K =n
∑ (1 + i´)
ak
k =1
k
⎤
⎥
⎥⎦
es igual al valor actual de una renta de n términos variables en progresión geométrica
de razón q y valorada al tanto de interés i´
K =n
∑ (1 + i´)
Lk
k =1
k
es igual al valor actual de una renta de n términos variables en progresión aritmética
de razón 5.000€ y valorada al tanto de interés i´
Si sustituimos en la expresión anterior los sumatorios por el valor actual de las
rentas, obtenemos:
c × N1 =
c
·[A(a1 ; q ) n ¬ i´ − A( L1 , d ) n ¬ i´ ]
(c + p )
Si ahora sustituimos en las ecuaciones obtenidas los valores de nuestro ejemplo,
no queda:
1.000 × 10.000 =
a1 = 1.189.395€
[
1.000
· A( a1 ;1,04)15 ¬ 0,10 − A(10.000,5.000)·a15 ¬ 0,10
1.100
]
93
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2º Títulos pendientes de amortizar después del 4º sorteo:
a 5 = a1 × q 4 = 1.189.395 × 1,05 4 = 1.391.424€
c × N5 =
c
[A(a5 , q) n −k ¬i´ − A( L5 , d ) n−k ¬i´ ]
c+ p
1.000 × N 5 =
[
1.000
A(1.391.424,1,04)11 ¬ 0,10 − A(30.000,5.000)11 ¬ 0,10
1.100
]
N 5 = 9.409,76 títulos ≈ 9.410 títulos
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
Número de títulos emitidos (N1): 5.000
Valor nominal de cada título (c): 1.000 €
No se produce abono anual de cupones, acumulándose al momento del
sorteo al 5% anual
Plazo de amortización (n): 10 años
Término amortizativo constante
Características comerciales:
o Gastos de administración : 2 por 1000 de las cantidades pagadas
o Lote: 40.000 €
™
™
™
™
™
™
Calcular:
1º El término amortizativo o anualidad
2º El número de títulos pendientes de amortizar después del 4º sorteo
3º El total de títulos amortizados después de 7 sorteos
1º Cálculo del término amortizativo:
La estructura del término amortizativo para un año k cualquiera será:
[
]
a = M k ·c·(1 + i ) k + L ·(1 + g )
Ahora vamos a normalizar la estructura del término amortizativo:
™
1º Pasamos dividiendo al otro lado de la expresión (1+g)
[
a
= M k ·c·(1 + i ) k + L
(1 + g )
]
94
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
2º Pasamos restando al otro lado de la expresión L
a
− L = M k ·c·(1 + i ) k
(1 + g )
Donde:
a´=
a
−L
1+ g
Siendo el término amortizativo normalizado igual a:
a´= M k ·c·(1 + i ) k
Vamos ahora a calcular el valor de a´:
c × N 1 = a´ an┐i
a´=
N1 × c
1 − (1 + i )
i
−n
=
5.000 × 1.000
= 647.522,87€
1 − (1,05) −10
0,05
Una vez que conocemos el valor de a´ obtendremos el valor de a sustituyendo en el
cambio de variable:
a´=
a
−L
1+ g
647.522,87 =
a
− 40.000
1,002
a = 701.273,34€
2º Cálculo de los títulos vivos después del 4º sorteo:
N 5 = N1 − m4
⎡ 701.273,34
⎤
⎢ 1,002 − 40.000⎥
−4
a´
⎦ × 1 − (1,05) = 2.296,08
m 4 = a 4 ¬i = ⎣
c
1.000
0,05
N 5 = N 1 − m 4 = 5.000 − 2.296,08 = 2.703,92 ≈ 2.704 títulos
3º Cálculo del total de títulos amortizados después del 7º sorteo:
⎡ 701.273,34
⎤
⎢ 1,002 − 40.000⎥
−7
a´
⎦ × 1 − (1,05) = 3.746,81 ≈ 3.747 títulos
m 7 = a 7 ¬i = ⎣
c
1.000
0,05
95
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.4
VIDA MEDIA, VIDA MEDIANA O PROBABLE Y VIDA
MATEMÁTICA DE LOS TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DEL K-ÉSIMO
SORTEO
™
La vida media:
La vida media de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo es la
media aritmética ponderada de lo que les falta por vivir a dichos
títulos.
™
La vida mediana o probable:
La vida mediana o probable de los títulos vivos después del k-ésimo
sorteo es el tiempo que debe transcurrir para que el número de títulos
pendientes de amortizar sea la mitad.
™
La vida matemática:
La vida matemática es el momento t en que debería producirse el pago
único por todos los títulos pendientes de amortizar, para que sea
equivalente a los pagos anuales que amortizan el empréstito.
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual.
Plazo de amortización (n): 10 años
Término amortizativo anual y constante (a)
Calcular:
La vida media, mediana y matemática de los títulos vivos después del 5º
sorteo, utilizando para la valoración el tanto del 8%.
N1
0
N6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lo primero que debemos calcular es el término amortizativo o anualidad que
amortiza el empréstito.
C × N 1 = a an┐i
96
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1.000 × 10.000 = a a10┐0,10
a=
1.000 × 10.000
= 1.627.453,95€
1 - (1,10) -10
0,10
Una vez calculada la anualidad debemos calcular el número de títulos vivos
después del 5º sorteo
N k +1 = N1 − M 1 S k┐i
N 6 = N1 − M 1 S 5┐0,10
Debemos calcular en primer lugar M 1 :
a = C × i × N1 + C × M 1
1.627.453,95 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + 1.000 × M 1
M 1 = 627,453949
N 6 = 10.000 − 627,453949S 5┐0,10= 6.169,33
1º Cálculo de la vida media de los títulos vivos después del 5º sorteo:
La vida media de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo es la media
aritmética ponderada de lo que les falta por vivir a dichos títulos; es decir, los
títulos que se amortizan cada año por el número de años que les quedan por vivir
dividido entre el número de títulos vivos después del k-ésimo sorteo.
La vida media para los títulos amortizados después del 5º sorteo será:
V5 =
( M 6 × 1) + ( M 7 × 2) + ( M 8 × 3) + ( M 9 × 4) + ( M 10 × 5)
N6
Donde:
M 6 son los títulos que se amortizan en el sexto año
M 7 son los títulos que se amortizan en el séptimo año
M
M 10 son los títulos que se amortizan en el décimo año
97
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Después de pagar la 5ª anualidad tenemos que:
A los títulos que se van a amortizar en el 6º año les queda por vivir un año
A los títulos que se van a amortizar en el 7º año les quedan por vivir dos años
M
A los títulos que se van a amortizar en el décimo año les quedan por vivir cinco años
En los empréstitos que se amortizan mediante términos amortizativos constantes
el número de títulos amortizados en cada sorteo será:
M k = M 1 × (1 + i ) k −1
Luego los títulos amortizados cada año serán:
Para el año 6º:
M 6 = M 1 × (1,10) 5 = 627,453949 × (1,10) 5 = 1.010,52086 siendo su vida de un año.
Para el año 7º:
M 7 = M 1 × (1,10) 6 = 627,453949 × (1,10) 6 = 1.111,57295 siendo su vida de dos años.
Para el año 8º:
M 8 = M 1 × (1,10) 7 = 627,453949 × (1,10) 7 = 1.222,73024 siendo su vida de tres años.
Para el año 9º:
M 9 = M 1 × (1,10) 8 = 627,453949 × (1,10) 8 = 1.345,00326 siendo su vida de cuatro años.
Para el año 10º:
M 10 = M 1 × (1,10) 9 = 627,453949 × (1,10) 9 = 1.479,50359 siendo su vida de cinco años.
V5 =
(1.010,52 × 1) + (1.11,57 × 2) + (1.222,73 × 3) + (1.345,00 × 4) + (1.479,50 × 5)
6.169,33
= 3,189874 años despué
del 5º sorteo, o lo que es lo mismo, 3 años 2 meses y 8 días.
Sabiendo que los títulos que se amortizan cada año son igual a los amortizados el
año anterior multiplicados por (1+i), es decir, M k +1 = M k × (1 + i ) podríamos haber
expresado la vida media, como:
M k +1 × 1 + M k +1 × (1 + i ) × 2 + M k +1 × (1 + i ) 2 × 3 + ... + M k +1 × (1 + i ) n − k −1 × (n − k )
Vk =
N k +1
98
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
[
]
[
]
Vk =
M k +1 × 1 + (1 + i ) × 2 + (1 + i ) 2 × 3 + ... + (1 + i ) n − k −1 × (n − k )
N k +1
Vk =
M k +1 × ( n − k ) × (1 + i ) n − k −1 + ... + 3 × (1 + i ) 2 + 2 × (1 + i ) + 1
M k +1 S k ¬ i
La expresión incluida en el paréntesis es el valor final de una renta variable en
progresión aritmética de razón –1, y cuyo primer término será (n-k).
Si sustituimos en la ecuación anterior la expresión del corchete por el valor de una
renta variable en progresión aritmética y simplificamos el valor de M k +1 nos
queda:
1⎤ (n − k )
⎡
S n − k ¬ i ⎢( n − k ) − ⎥ +
⎡
⎤ 1
(n − k )
1
1
i⎦
i
⎣
Vk =
= (n − k ) − +
= ( n − k ) ⎢1 +
⎥−
S n−k ¬i
i i × S n−k ¬i
⎣ i × S n−k ¬i ⎦ i
⎡
⎤
1
1
V5 = 5⎢1 +
= 3,189874 años después del 5º sorteo.
⎥−
⎣⎢ 0,10 × S 5 ¬ 0,10 ⎦⎥ 0,10
2º Cálculo de la vida mediana de los títulos vivos después del 5º sorteo:
La vida mediana o probable de los títulos vivos después del k-ésimo sorteo es el
tiempo que debe transcurrir para que el número de títulos pendientes de amortizar
sea la mitad.
Por tanto, debemos calcular el tiempo que debe transcurrir para amortizar
N 6 6.169,3309
=
= 3.084,67 títulos
2
2
Si amortizamos 3.084,67 títulos aún nos quedarán por amortizar otros 3.084,67
títulos.
1.000 × 3.084,67 = 1.627.453,95 a x┐0,10
Donde:
1.000 × 3.084,67 = 1.627.453,95 ×
1 − (1,10) − x
0,10
− x log(1,10) = log(−0,8104607)
x=
log(0,8104607 )
= 2,20493 años será el tiempo que tardarán en amortizarse los últimos 3.084,67
log(1,10)
Luego tardaremos en amortizar los primeros 3.084,67 títulos:
2,20493 = 5 − t
t = 5 − 2,20493 = 2,795068 años de vida mediana, o lo que
es igual a 2 años 9 meses y 16 días después del 5º sorteo.
99
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
3º Cálculo de la vida matemática:
La vida matemática es el momento t en que debería producirse el pago único por
todos los títulos pendientes de amortizar, para que sea equivalente a los pagos
anuales que amortizan el empréstito.
Si planteamos la ecuación después del 5º sorteo, tenemos:
N6 × (1,08)−t = M 6 × (1,08)−1 + M 7 × (1,08)−2 + M8 × (1,08)−3 + M 9 × (1,08)−4 + M10 × (1,08)−5
6.169,33× (1,08)−t = 1.010,52 × (1,08)−1 + 1.111,57 × (1,08)−2 + 1.222,73× (1,08)−3 + 1.345,00 × (1,08)−4 +
1.479,50 × (1,08)−5 = 3,1134añosdespuésdel5º sorteo,o lo quees lo mismo,3 años1 mes y10 días.
También podríamos haber planteado la ecuación como:
N k +1 × (1 + i´) − t = M k +1 × (1 + i´) −1 + M k +1 × (1 + i´) −2 × (1 + i ) + M k +1 × (1 + i´) −3 × (1 + i ) 2 + ... +
M k +1 × (1 + i´) −( n − k ) × (1 + i ) n − k −1
[
Nk +1 × (1+ i´)−t = Mk +1 × (1+ i´)−1 + (1+ i´)−2 × (1+ i) + (1+ i´)−3 × (1+ i)2 + ...+ (1+ i´)−(n−k ) × (1+ i)n−k −1
]
La expresión de dentro del paréntesis representa el valor actual de una progresión
geométrica de razón (1+i).
Si sustituimos en la ecuación anterior la expresión de dentro del corchete por el
valor actual de una renta variable en progresión geométrica de razón (1+i)
valorada al tanto de interés i´ nos queda:
N k +1 × (1 + i´) −t = A(M k +1 , (1 + i ) )
n-k┐i´
= M k +1
1 − (1 + i´) − ( n − k ) (1 + i ) n − k
(1 + i´) − (1 + i )
Si ahora calculamos el momento t o vida matemática de los títulos vivos después
del 5º sorteo a un tanto de valoración i´del 8%, nos queda:
6.169,33 × (1,08´) −t = A(1.010,52, (1,10) ) 5┐0,08 = 1.010,52
6.169,33
= 1,08 t
4.854,85
1 − (1,08) −5 (1,10) 5
(1,08) − (1,10)
⎛ 6.169,33 ⎞
log⎜⎜
⎟
4.854,85 ⎟⎠
⎝
t=
= 3,1134 años después del 5º sorteo.
log(1,08)
100
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
5.5 VALOR, USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD
Cada una de las obligaciones que forman el empréstito confieren a su titular el
derecho al cobro de los intereses periódicos y al reembolso del nominal cuando le
corresponda por sorteo.
Por tanto el valor del título será igual al valor actual de los intereses y del valor
de reembolso.
™
™
™
El usufructo de un título (Uk ): valor actual de los intereses. Si
valoramos el título en el momento k, el usufructo del título (Uk), será el
resultado de actualizar los intereses futuros del título a un tipo de
interés i*, que será el tanto de interés de mercado.
La nuda propiedad de un título (Nk ): valor actual del capital, sin los
intereses. Si valoramos el título en el momento k, la nuda propiedad
del título (Nk), será el resultado de actualizar el valor de reembolso del
título al tipo de interés i*.
El valor de un título (Vk): suma del usufructo y de la nuda propiedad.
Vamos a realizar el cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad para los
siguientes tipos de empréstitos:
1. Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, amortizables
mediante términos amortizativos constantes y sin características
comerciales.
2. Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, amortizables
mediante términos amortizativos variables y sin características
comerciales.
3. Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, con
características comerciales.
1. Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, término
amortizativo constante y sin características comerciales.
La estructura del término amortizativo para este tipo de empréstitos
será para un año k cualquiera igual a:
a = C × i × Nk + C × M k
El término amortizativo incorpora por una parte el pago de cupones
por los títulos en circulación, y por otra la cuantía destinada a la
amortización de los títulos en el período.
Para el cálculo del valor, la nuda propiedad y el usufructo de un título
podemos encontrarnos ante dos situaciones distintas:
™
™
Que conozcamos el momento en que se va a amortizar dicho título.
Que desconozcamos el momento de amortización del título.
101
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
En el primero de los casos tendremos en cuenta únicamente el título
que vayamos a valorar, mientras que en el segundo de los supuestos
se valorará el empréstito vivo, es decir, la totalidad de títulos vivos en
el momento que se efectúa la valoración. Así para obtener el valor,
usufructo y nuda propiedad para un título, bastará con dividir los
valores globales obtenidos entre el número de títulos vivos en dicho
momento.
™
Cálculo del valor o plena propiedad de un título:
a) Si conocemos el momento de amortización del título
El valor de un título en el momento (k) cuya amortización se
producirá en el momento (k+t) será igual al valor actual de los
cupones que recibirá hasta el momento (k+t) más el valor de
reembolso actualizado. Gráficamente se representará como:
Nk+1
k
k+1
ci
k+2
ci
Vk = C × i × at┐i* +
k+t
c+ci
n
C
(1 + i*) t
b) Si no conocemos el momento de amortización del título
Para obtener el valor o plena propiedad de un título deberemos
obtener el valor para la totalidad del empréstito vivo en el
momento k, valorado al tipo de interés de mercado i* y luego
dividir dicho valor entre el número de títulos vivos en ese
momento (Nk+1).
Para calcular el valor o plena propiedad para el total del
empréstito vivo, debemos calcular el valor actual de todos los
términos amortizativos o anualidades pendientes de pago.
102
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
El valor o plena propiedad en el momento k para el empréstito
vivo (VkG ) , valorado al tanto de interés i* será:
Nk+1
k
VkG =
k+1
a
k+2
a
n
a
a
a
a
a
+
+
+ ... +
= a an-k┐i*
2
3
(1 + i*) (1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el
valor global que acabamos de obtener entre el número de
títulos vivos en el momento k (Nk+1 ).
Vk =
™
a a n - k ¬ i*
N k +1
Cálculo del usufructo:
a) Si conocemos el momento de amortización del título
El valor del usufructo en el momento (k) para un título cuya
amortización se producirá en el momento (k+t) será igual a:
Nk+1
k
k+1
ci
k+2
ci
k+t
ci
n
U k = C × i × at┐i*
b) Si no conocemos el momento de amortización del título
El valor del usufructo en el momento k para el conjunto de
títulos vivos (U kG ) , valorado al tanto de interés i* será:
Nk+1
k
k+1
ciNk+1
k+2
ciNk+2
n
ciNn
103
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
U kG =
C × i × N k +1 C × i × N k + 2 C × i × N k +3
C × i × Nn
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el
valor global que acabamos de obtener entre el número de
títulos vivos en el momento k (Nk+1 ).
C × i × N k +1 C × i × N k + 2 C × i × N k +3
C × i × Nn
+
+ ... +
+
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Uk =
N k +1
™
Cálculo de la nuda propiedad
a) Si conocemos el momento de amortización del título
El valor de la nuda propiedad en el momento (k) para un título
cuya amortización se producirá en el momento (k+t) será igual
a:
Nk+1
k
k+1
Nk =
k+2
k+t
c
n
C
(1 + i*) t
b) Si no conocemos el momento de amortización del título
El valor de la nuda en el momento k para el conjunto de títulos
vivos ( N kG ) , valorado al tanto de interés i* será:
Nk+1
k
N kG =
k+1
cMk+1
k+2
cMk+2
n
cMn
C × M k +1 C × M k + 2 C × M k +3
C ×Mn
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
104
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el
valor global que acabamos de obtener entre el número de
títulos vivos en el momento k (Nk+1).
C × M k +1 C × M k + 2 C × M k +3
C ×Mn
+
+ ... +
+
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Uk =
N k +1
™
Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad a partir de la
ecuación de Achard:
Otro método más sencillo para obtener el valor, la nuda propiedad
y el usufructo es la utilizando del siguiente sistema de ecuaciones:
Vk = U k + N k
Uk =
i
(C − N k )
i*
Este sistema de ecuaciones puede ser utilizado siempre y cuando:
o i*≠ i
o El cupón se mantenga constante desde el momento del estudio
hasta el final del empréstito.
Para la aplicación de este sistema es necesario el cálculo de una de
las tres incógnitas, que para este tipo de empréstitos será el valor
o plena propiedad del título Vk , cuyo cálculo ya se ha explicado.
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual.
Plazo de amortización (n): 5 años
Término amortizativo anual y constante: (a)
Calcular:
1. El cuadro de amortización del empréstito
2. El valor, usufructo y nuda propiedad medios de un título en el origen
siendo el tanto de interés de mercado del 14%.
105
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1º Cuadro de amortización del empréstito:
C × N1 = a an┐i
1.000 × 10.000 = a a5┐0,10
a=
1.000 × 10.000
= 2.637.974,81€
1 - (1,10) -5
0,10
a = C × i × N1 + C × M 1
2.637.974,81 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + 1.000 × M 1
M 1 = 1.637,97481
M k = M 1 × (1 + i ) k −1
M 2 = M 1 × (1,10) = 1.637,974808 × (1,10) = 1801,77229
M 3 = M 1 × (1,10) 2 = 1.637,974808 × (1,10) 2 = 1981,94952
M 4 = M 1 × (1,10) 3 = 1.637,974808 × (1,10) 3 = 2.180,14447
M 5 = M 1 × (1,10) 4 = 1.637,974808 × (1,10) 4 = 2.398,15892
M 1 = 1.637
M 2 = 1801
M 3 = 1981
M 4 = 2.180
M 5 = 2.398
M1=1.638
M2=1.802
M3=1.982
M4=2.180
M5=2.398
ΣMk=9.997
ΣMk=10.000
Período
Títulos
amortizados
Total títulos
amortizados
1
2
3
4
5
1.638
1.802
1.982
2.180
2.398
1.638
3.440
5.422
7.602
10.000
Títulos pend.
de amortizar
Interés
10.000 1.000.000
8.362
836.200
6.560
656.000
4.578
457.800
2.398
239.800
Capital
Anualidad
amortizado
1.638.000
1.802.000
1.982.000
2.180.000
2.398.000
2.638.000
2.638.200
2.638.000
2.637.800
2.637.800
106
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2º Valor, usufructo y nuda propiedad medios en el origen para un título.
™
Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y valor para
el conjunto de obligaciones.
o
Usufruto: Valor actual de los intereses.
1.000.000 836.200 656.000 457.800 239.800
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
U0 =
= 235,90€
10.000
o
Nuda propiedad: Valor del capital actualizado
1.638.000 1.802.000 1.982.000 2.180.000 2.398.000
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
N0 =
= 669,74€
10.000
o
Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad
V0 = U 0 + N 0 = 905,64€
™
Si utilizamos el sistema de ecuaciones.
V0 = U 0 + N 0
U0 =
i
(C − N 0 )
i*
a
2.637.974,81 a ┐
a5┐0,14 =
5 0,14 = 905,64€
N1
10.000
V0 =
U0 =
0,10
(1.000 − N 0 )
0,14
905,64 =
U0 =
0,10
(1.000 − N 0 ) + N 0
0,14
N 0 = 669,74€
0,10
(1.000 − 669,74) = 235,90€
0,14
107
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2. Empréstitos de cupón periódico constante y pospagable, término
amortizativo variable y sin características comerciales.
™
Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad de un título
utilizando las definiciones generales:
Cálculo del valor o plena propiedad:
o
Para obtener el valor o plena propiedad de un título deberemos
obtener el valor para la totalidad del empréstito vivo en un
momento k, valorado al tipo de interés de mercado i* y luego
dividir dicho valor entre el número de títulos vivos en ese
momento (Nk+1).
Para calcular el valor o plena propiedad para el total del
empréstito vivo en el momento k, debemos calcular el valor
actual de todos los términos amortizativos o anualidades
pendientes de pago.
Nk+1
k
k+1 k+2
ak+1 ak+2
n
an
El valor en el momento k para el empréstito vivo (VkG ) ,
valorado al tanto de interés i* será:
ƒ
Si el término amortizativo varía en progresión aritmética:
VkG =
a k +1
ak +2
a k +3
an
+
+
+ ... +
= A(a k +1 , d ) n-k┐i*
2
3
(1 + i*) (1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el
valor global que acabamos de obtener entre el número de
títulos vivos en el momento k (Nk+1 ).
a k +1
ak +2
a k +3
an
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i*) (1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Vk =
N k +1
ƒ
Si el término amortizativo varía en progresión geométrica:
VkG =
a k +1
ak +2
a k +3
an
+
+
+ ... +
= A(a k +1 , q ) n-k┐i*
2
3
(1 + i*) (1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
108
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el
valor global que acabamos de obtener entre el número de
títulos vivos en el momento k (Nk+1 ).
o
Cálculo del usufructo:
El valor del usufructo en el momento k para el conjunto de
títulos vivos (U kG ) , valorado al tanto de interés i* será:
Nk+1
k
U kG =
k+1
ciNk+1
k+2
ciNk+2
n
ciNn
C × i × N k +1 C × i × N k + 2 C × i × N k +3
C × i × Nn
+ ... +
+
+
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el
valor global que acabamos de obtener entre el número de
títulos vivos en el momento k (Nk+1 ).
C × i × N k +1 C × i × N k + 2 C × i × N k +3
C × i × Nn
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Uk =
N k +1
o
Cálculo de la nuda propiedad:
El valor de la nuda propiedad en el momento k para el conjunto
de títulos vivos ( N kG ) , valorado al tanto de interés i* será:
Nk+1
k
N kG =
k+1
cMk+1
k+2
cMk+2
n
cMn
C × M k +1 C × M k + 2 C × M k +3
C ×Mn
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
109
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Para obtener el valor por título tan solo tenemos que dividir el valor
global que acabamos de obtener entre el número de títulos vivos en
el momento k (Nk+1 ).
C × M k +1 C × M k + 2 C × M k + 3
C ×Mn
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*)
(1 + i*) n − k
Uk =
N k +1
™ Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad a partir de la
ecuación de Achard:
Vk = U k + N k
Uk =
i
(C − N k )
i*
En este caso calcularemos en primer lugar la variable valor o plena
propiedad de la siguiente manera:
o
Para los empréstitos variables en progresión aritmética
A(a k +1 , d )
n-k┐i*
Vk =
Nk+1
o
Para los empréstitos variables en progresión geométrica
A(a k +1 , q)
n-k┐i*
Vk =
Nk+1
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo que aumenta anual y acumulativamente un
5%
Plazo de amortización (n): 5 años
Calcular:
1. El cuadro de amortización del empréstito
2. El valor, usufructo y nuda propiedad medios de un título en el origen
siendo el tanto de interés de mercado del 14%.
110
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
1º Cálculo del cuadro de amortización:
C × N 1 = A(a1,q)n┐i
1.000 × 10.000 = A(a1,1,05)5┐0,1
a1 =
1.000 × 10.000
1 - (1,05) 5 (1,10) -5
(1,10) - (1,05)
= 2.409.295,29€
a k = a1 × q k −1
a 2 = 2.409.295,95 × 1,05 = 2.529.760,05€
a 3 = 2.409.295,95 × (1,05) 2 = 2.656.248,06€
a 4 = 2.409.295,95 × (1,05) 3 = 2.789.060,46€
a 5 = 2.409.295,95 × (1,05) 4 = 2.928.513,48€
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
2.409.295,29 = 1.000 × 0,10 × 10.000 + 1.000 × M 1
M 1 = 1409,29529
M k +1 = M k × (1 + i ) −
ak
× (1 − q)
C
2.409.295,29
× (0,05) = 1.670,68958
1.000
2.529.760,05
M 3 = 1.670,68958 × (1,10) −
× (0,05) = 1.964,24654
1.000
2.656.248,06
M 4 = 1.964,24654 × (1,10) −
× (0,05) = 2.293,4836
1.000
2.789.060,46
M 5 = 2.293,4836 × (1,10) −
× (0,05) = 2.662,28498
1.000
M 2 = 1.409,29529 × (1,10) −
M 1 = 1.409
M 2 = 1.670
M 3 = 1.964
M 4 = 2.293
M 5 = 2.662
M1=1.409
ΣMk=9.998
ΣMk=10.000
M2=1.671
M3=1.964
M4=2.294
M5=2.662
111
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Títulos
amortizad.
Total títulos
amortizados
Títulos
pendientes
de amortizar
1
1.409
1.409
10.000
2
1.671
3.080
3
1.964
5.044
4
2.294
5
2.662
Período
Capital
amortizado
Anualidad
práctica
1.000.000
1.409.000
2.409.000
8.591
859.100
1.671.000
2.530.100
6.920
692.000
1.964.000
2.656.000
7.338
4.956
495.600
2.294.000
2.789.600
10.000
2.662
266.200
2.662.000
2.928.200
Interés
2º Valor, usufructo y nuda propiedad medios en el origen para un título.
™
Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y
valor para el conjunto de obligaciones.
Usufruto: Valor actual de los intereses.
o
1.000.000 859.100 692.000 495.600 266.200
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
U0 =
= 243,70€
10.000
Nuda propiedad: Valor actual del capital
o
N0 =
1.409.000 1.671.000 1.964.000 2.294.000 2.662.000
+
+
+
+
1,14
1,14 5
1,14 2
1,14 3
1,14 4
10.000
= 658,82€
Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad
o
2.409.000 2.530.100 2.656.000 2.789.600 2.928.200
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
V0 =
= 902,52€
10.000
V0 = U 0 + N 0 = 243,70 + 658,82 = 902,52€
™
Si utilizamos el sistema de ecuaciones.
V0 = U 0 + N 0
U0 =
V0 =
i
(C − N 0 )
i*
A(a1 , q )
5┐0,14 =
N1
1 − 1,05 5 × 1,14 −5
1,14 − 1,05
= 902,52€
10.000
2.409.295,29
112
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
U0 =
0,10
(1.000 − N 0 )
0,14
902,52 =
U0 =
0,10
(1.000 − N 0 ) + N 0
0,14
N 0 = 658,82€
0,10
(1.000 − 658,82) = 243,70€
0,14
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 11% anual
Término amortizativo que aumenta anualmente en 100.000 €
Plazo de amortización (n): 10 años
Calcular:
1º El cuadro de amortización del empréstito
2º El valor, usufructo y nuda propiedad medios de uno de los títulos
transcurrido cinco años desde su emisión, siendo el tanto de interés de
mercado del 9%.
1º Cálculo del cuadro de amortización:
C × N 1 = A(a1,d)n┐i
1.000 × 10.000 = A(a1,100.000)10┐0,11
100.000
100.000 × 10
⎞
⎛
10.000.000 = ⎜⎜ a1 +
+ 100.000 × 10 ⎟⎟a10 ¬ 0,11 −
0,11
0,11
⎠
⎝
a1 = 1.332.572,70€
a k = a1 + (k − 1)d
a1 = C × i × N 1 + C × M 1
1.132.572,70 = 1.000 × 0,11 × 10.000 + 1.000 × M 1
M 1 = 232,572699
M k +1 = M k × (1 + i ) +
d
C
113
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
M 2 = 232,572699 × (1,11) +
100.000
= 358,155696
1.000
M 3 = 358,155696 × (1,11) +
100.000
= 497,552823
1.000
100.000
= 652,283633
1.000
100.000
M 5 = 652,283633 × (1,11) +
= 824,034833
1.000
M 4 = 497,552823 × (1,11) +
M 6 = 824,034833 × (1,11) +
100.000
= 1.014,67866
1.000
M 7 = 1.014,67866 × (1,11) +
100.000
= 1.226,29332
1.000
M 8 = 1.226,29332 × (1,11) +
100.000
= 1.461,18558
1.000
M 9 = 1.461,18558 × (1,11) +
100.000
= 1.721,916
1.000
M 10 = 1.721,916 × (1,11) +
100.000
= 2.011,32676
1.000
M 1 = 232
M 2 = 358
M 3 = 497
M 4 = 652
M 5 = 824
M 6 = 1.014
M 7 = 1.226
M 1 = 233
M 2 = 358
M 3 = 498
M 4 = 652
M 5 = 824
M 6 = 1.015
M 7 = 1.226
M 8 = 1.461
M 8 = 1.461
M 9 = 1.721
M 10 = 2.011
M 9 = 1.722
M 10 = 2.011
ΣMk=9.996
ΣMk=10.000
114
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Títulos
pendientes
Títulos Total títulos
de
Período
amortizad. amortizados amortizar
Capital
Interés amortizado
Anualidad
práctica
1
233
233
10.000 1.100.000
233.000
1.333.000
2
358
591
9.767 1.074.370
358.000
1.432.370
3
498
1.089
9.409 1.034.990
498.000
1.532.990
4
652
1.741
8.911
980.210
652.000
1.632.210
5
824
2.565
8.259
908.490
824.000
1.732.490
6
1.015
3.580
7.435
817.850
1.015.000
1.832.850
7
1.226
4.806
6.420
706.200
1.226.000
1.932.200
8
1.461
6.267
5.194
571.340
1.461.000
2.032.340
9
1.722
7.989
3.733
410.630
1.722.000
2.132.630
10
2.011
10.000
2.011
221.210
2.011.000
2.232.210
2º Valor, usufructo y nuda propiedad medios para un título transcurridos 5 años
desde su emisión.
™
Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y valor
para el conjunto de obligaciones.
o
Usufruto: Valor actual de los intereses.
817.850 706.200 571.340 410.630 221.210
+
+
+
+
1,09
1,09 2
1,09 3
1,09 4
1,09 5
U5 =
= 298,66€
7.435
o
Nuda propiedad: Valor actual del capital
1.015.000 1.226.000 1.461.000 1.722.000 2.011.000
+
+
+
+
1,09
1,09 2
1,09 3
1,09 4
1,09 5
N5 =
= 755,64€
7.435
o
Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad
1.832.850 1.932.200 2.032.340 2.132.630 2.232.210
+
+
+
+
1,09
1,09 2
1,09 3
1,09 4
1,09 5
V5 =
= 1.054,30€
7.435
V5 = U 5 + N 5 = 298,66 + 755,64 = 1.054,30€
™
Si utilizamos el sistema de ecuaciones.
V5 = U 5 + N 5
U5 =
i
(C − N 5 )
i*
115
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
A(a 6 , q )
5┐0,09
N6
V5 =
(1.832.850 +
V5 =
U5 =
0,11
(1.000 − N 5 )
0,09
1.054,30 =
U5 =
100.000
100.000 × 5
+ 100.000 × 5) a 5 ¬ 0, 09 −
0,09
0,09
= 1.054,30€
7.435
0,11
(1.000 − N 5 ) + N 5
0,09
N 5 = 755,64€
0,11
(1.000 − 755,64) = 298,66€
0,09
3. Empréstito
de
cupón
periódico
características comerciales.
constante
pospagable
con
Las características comerciales pueden afectar a la hora de calcular los
valores del usufructo, de la nuda propiedad y de la propiedad total.
En el siguiente cuadro se muestran algunas de las características que
puede presentar el empréstito, y en qué casos éstas afectan al cálculo
del usufructo, nuda propiedad y propiedad total.
Uk
Prima de amortización
No
Gastos de administración No
Lotes
No
Amortización seca
Si
Nk
Si
No
No
No
Vk
Si
No
Si
Si
Para el cálculo del usufructo, nuda propiedad y valor del título
debemos tener en cuenta el modo en que las características
comerciales afectan al cálculo de dichos valores.
Si utilizamos la ecuación de Achard para el cálculo del valor, usufructo
y nuda propiedad el sistema de ecuaciones se verá afectado de distinta
manera dependiendo de cuál o cuáles sean las características que le
afectan. En la tabla que se muestra a continuación aparece cómo
quedará el sistema de ecuaciones cuando les afecte cada una de las
siguientes características.
116
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Sistema de ecuaciones
Vk = U k + N k
i´
i
U k = (C − N k )
i
i*
Gastos de administración Vk = U k + N k
i
U k = (C − N k )
i*
Lotes
Vk = U k + N k + VL (*)
i
i´
U k = (C − N k )
i*
i
Amortización seca
Vk = U k + N k
i´
i
U k = (C − N k )
i
i*
Prima de amortización
n
∑
Lotesfuturos
(1 + i*) s − k
(*) Valor de Lotes Futuros (VL)= s = k +1
N k +1
Siendo i´ el tipo normalizado del empréstito
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo constante
Plazo de amortización (n): 5 años
Todos los años se amortiza igual número de títulos
Características comerciales:
o Gastos de administración del 2 por mil de las cantidades pagadas
o Lote: 250.000 €
Calcular:
1. El cuadro de amortización de dicho empréstito
2. El valor, usufructo y nuda propiedad medios de un título en el origen siendo el
tanto de interés de mercado del 14%
1º Cálculo del cuadro de amortización:
La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:
a = (C × i × N k + C × M + L) × (1 + g )
M 1 = M 2 = M 3 = ... = M n = M =
10.000
= 2.000
5
117
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Período
Títulos
Títulos
Total títulos pendientes
amortizad amortizados
de
amortizar
1
2.000
2.000
2
2.000
4.000
8.000
3
2.000
6.000
4
2.000
8.000
5
2.000
10.000
Interés
(1)
10.000 1.000.000
Capital
amortizado
(2)
Lote
(3)
Gastos
admon
(4)
Anualidad
práctica
(*)
2.000.000
250.000
6.500 3.256.500
800.000
2.000.000
250.000
6.100 3.056.100
6.000
600.000
2.000.000
250.000
5.700 2.855.700
4.000
400.000
2.000.000
250.000
5.300 2.655.300
2.000
200.000
2.000.000
250.000
4.900 2.454.900
(*)=(1)+(2)+(3)+(4)
2º Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad en el origen:
™
Si utilizamos las definiciones dadas para el usufructo, nuda propiedad y valor para el
conjunto de obligaciones.
o
Usufruto: Valor actual de los intereses.
1.000.000 800.000 600.000 400.000 200.000
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
U0 =
= 223,85€
10.000
o
Nuda propiedad: Valor actual del capital
2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
N0 =
= 686,62€
10.000
o
Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la nuda propiedad
3.250.000 3.050.000 2.850.000 2.650.000 2.450.000
+
+
+
+
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
V0 =
= 996,29€
10.000
V0 = U 0 + N 0 + V L
V L = V0 − U 0 − N 0 = 996,29 − 233,85 − 686,62 = 85,83€
118
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
™
Si utilizamos el sistema de ecuaciones dadas para el cálculo del usufructo, nuda
propiedad y valor para el conjunto de obligaciones.
V0 = U 0 + N 0 + V L
U0 =
i
(C − N 0 )
i*
N0 =
a
2.000.000 a ┐
a5┐0,14 =
5 0,14 = 686,62€
N1
10.000
U0 =
0,10
(1.000 − 686,62) = 223,85€
0,14
VL =
250.000 250.000 250.000 250.000 250.000
+
+
+
+
= 85,83€
1,14
1,14 2
1,14 3
1,14 4
1,14 5
V0 = 686,62 + 223,85 + 85,83 = 996,29€
5.6 TANTOS EFECTIVOS
Los tantos efectivos son aquellos que hacen que lo realmente entregado sea
igual a lo realmente recibido tanto para la entidad emisora del empréstito como
para los suscriptores de las obligaciones.
Cuando en el empréstito existen características comerciales ya no se cumple la
equivalencia financiera por la que la prestación o importe del empréstito es igual
a la contraprestación o importe de los términos amortizativos pagados por los
suscriptores de las obligaciones, al tipo de interés pactado en la emisión.
Por tanto y para el caso en el que existan características comerciales aparecen
otros pagos y cobros que pueden afectar tanto a la prestación como a la
contraprestación, no cumpliéndose la equivalencia financiera para el tipo de
interés pactado. En este caso debemos calcular los nuevos tipos (efectivos) que
hagan que lo realmente recibido por una de las partes sea igual a lo entregado
por la otra.
Veamos cómo se efectúa el cálculo de los tantos efectivos tanto para la entidad
emisora, como para los suscriptores del empréstito, a través de un ejemplo.
119
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
Ejemplo:
Dado el siguiente empréstito:
™
™
™
™
™
™
™
™
™
Número de títulos emitidos (N1): 10.000
Valor nominal de cada título (C): 1.000 €
Tipo de interés (i): 10% anual
Término amortizativo constante (a)
Plazo de amortización (n): 5 años
Precio de emisión (Pe): 96%
Prima de reembolso (P): 10%
Gastos iniciales (G): 6.000 € a cargo del emisor
Gastos de administración (g): 1 por 1.000 sobre las cantidades
pagadas anualmente a los obligacionistas
Calcular:
1. El tanto efectivo para el emisor
2. El tanto efectivo para el obligacionista
3. La rentabilidad de un título que se amortiza en el 4º sorteo
1º Cálculo de la anualidad que amortiza el empréstito:
La estructura de la anualidad para un año k cualquiera será:
a = [C × i × N k + (C + P ) × M k )]× (1 + g )
a
c
c×i
×
=
× c × Nk + c × M k
(1 + g ) (c + p ) (c + p)
a´=
a
c
×
(1 + g ) (c + p)
i´=
c×i
1.000 × 0,10
=
= 0,090909091
(c + p) 1.000 + 100
a´= c × i´× N k + c × M k
c × N 1 = a´ an┐i´
2.576.991,71 =
1.000 × 10.000 = a´ a5┐0,0909091
a
1.000
×
1,001 1.100
a´= 2.576.991,71€
a = 2.837.525,57€
120
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 5. EMPRÉSTITOS
2º Cálculo del tanto efectivo para el emisor:
La cantidad que recibe el emisor (valor de emisión del empréstito) tiene que ser
igual a lo realmente pagado por el (anualidades teóricas y gastos de emisión)
Pe × N 1 = G + a an┐ ie
960 × 10.000 = 6.000 + 2.837.525,57 a5┐ ie
ie = 14,64%
3º Cálculo del tanto efectivo para los obligacionista:
La cantidad que recibe el obligacionista (anualidades teóricas sin gastos de
administración) tiene que ser igual a lo realmente pagado por estos (valor de
emisión del empréstito)
Pe × N 1 =
a
an┐ io
1+ g
960 × 10.000 =
2.837.525,57
a5┐ io
1,001
io = 14,57%
3º Cálculo de la rentabilidad de un título que se amortiza el tercer año:
La cantidad pagada por una obligación (valor de emisión) tiene que ser igual a lo
recibido por esta (los cupones que le correspondan más el valor de amortización)
Pe = c × i ak┐r +
c+ p
(1 + r ) k
960 = 1.000 × 0,10 a3┐r+
1.100
(1 + r ) 3
r = 14,63%
121
Curso de Contabilidad y Matemáticas Financieras
2ª parte: Matemáticas Financieras
Capítulo 6. VALORES
MOBILIARIOS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Índice de contenidos
Página
CAPÍTULO 6
VALORES MOBILIARIOS
3
6.1.
CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
6.1.1.
Concepto
6.1.2.
Clasificación
3
3
3
6.2.
LA DEUDA PÚBLICA
6.2.1.
Las Letras del Tesoro
6.2.2.
Los bonos y obligaciones del Estado
4
7
9
6.3.
AMPLIACIONES DE CAPITAL
6.3.1.
Concepto
6.3.2.
Los derechos de suscripción preferente
6.3.2.1
Valoración de los derechos de suscripción preferente
10
10
11
11
6.4.
COMPRA-VENTA DE VALORES
6.4.1.
Compra-venta de valores al contado
6.4.2.
Compra-venta de valores a crédito
21
21
25
6.5.
CRÉDITOS CON GARANTÍA DE VALORES
6.5.1.
Pignoración de una clase de valores mobiliarios
6.5.2.
Pignoración de varias clases de valores mobiliarios
6.5.3.
Pignoraciones sucesivas de valores mobiliarios
33
33
36
38
2
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Capítulo 6 VALORES MOBILIARIOS
6.1. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
6.1.1. CONCEPTO
Son valores mobiliarios aquellos emitidos en forma masiva y libremente
negociables que confieren a sus titulares derechos crediticios, nominales o
patrimoniales, o los de participación en el capital o patrimonio del emisor.
Los valores mobiliarios pueden ser representados por anotaciones en cuenta o
por títulos. Constituyen una fuente de financiación para las empresas o para la
Administración, y una forma de inversión para los ahorradores.
6.1.2. CLASIFICACIÓN
Los valores mobiliarios se pueden clasificar atendiendo a:
1. Su naturaleza o forma de retribución:
™ Valores de renta fija: Su retribución se recibe a un interés fijo
pactado en el momento de la emisión.
™ Valores de renta variable: La remuneración de estos valores es
variable dependiendo de los resultados económicos de la misma y
del acuerdo de distribución de estos.
2. La naturaleza de la entidad emisora:
™ Valores públicos: Son los emitidos por Entidades Públicas.
™ Valores privados: Son los emitidos por las entidades privadas.
3. Los derechos que confiere su posesión:
™ Valores que representan capital: Son los que confieren a su titular la
condición de socio de la entidad emisora.
™ Valores que representan un préstamo: Son los que otorgan al titular
la condición de acreedor de la entidad emisora, como consecuencia
del préstamo concedido a ésta.
3
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
4. Al plazo o duración de la inversión:
™ Valores a corto plazo.
™ Valores a medio plazo.
™ Valores a largo plazo.
5. Al titular de los valores:
™ Valores al portador: Su titularidad se confiere mediante la posesión
del título.
™ Valores nominativos: El titular será la persona a cuyo nombre
aparezca el título. La transmisión de dichos títulos debe ser
comunicada a la entidad emisora.
Corto
Deuda Pública
Medio
Largo
Renta fija
Valores
mercantiles
Valores
mobiliarios
Renta
variable
Valores
mercantiles
Corto
Medio
Largo
Pagarés
Letras del Tesoro
Bonos
Obligaciones
Pagarés de empresa
Letras
Bonos
Obligaciones
Acciones
Derechos de
suscripción
6.2. LA DEUDA PÚBLICA
La Deuda Pública es el conjunto de valores emitidos por el Estado. Su emisión
debe ser autorizada por ley.
En la Ley de Presupuestos Generales de cada ejercicio se establecen los criterios
generales a los que se ajustará la emisión de Deuda Pública a lo largo del año
correspondiente y se fijan los límites máximos de su emisión. El Gobierno, y por
delegación el Ministerio de Economía y Hacienda, podrá elegir los instrumentos
de Deuda Pública a emitir, las características de éstos y su procedimiento de
colocación.
El Tesoro Público es el emisor en España de los valores de Deuda Pública. La
gestión del Tesoro Público le corresponde al Ministerio de Economía y Hacienda,
quien la ejerce a través de la Dirección General del Tesoro y Política Financiera.
4
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Las adquisiciones de los valores del Tesoro pueden realizarse en:
™ El mercado primario
Las adquisiciones de valores realizadas en el mercado primario son
aquéllas en las que los títulos se adquieren en el momento de su
emisión. El sistema que emplea el Tesoro en la emisión de sus valores
es el de la subasta competitiva, pudiendo solicitar cualquier persona
física o jurídica la suscripción de los mismos, a través de una Entidad
Gestora.
™ El mercado secundario
Los valores del Tesoro pueden venderse antes de su vencimiento en el
mercado secundario, mediante orden de venta dada por el inversor a la
entidad a través de la cual adquirió dichos valores.
La negociación en el mercado secundario se realiza a través de tres
sistemas:
o
El llamado mercado ciego,
al que sólo pueden acceder los
miembros del mercado, negociantes de Deuda pública. La
negociación tiene lugar electrónicamente sin conocer la
contrapartida. El mercado ciego constituye el núcleo del mercado de
Deuda Pública, pudiéndose operar en él sólo a vencimiento, ya sea
al contado o a plazo, no permitiéndose la realización de
operaciones dobles. La liquidación de pérdidas y ganancias se
realiza diariamente a precios de mercado del día, y al vencimiento
de la operación se efectúan los ajustes pertinentes.
o
El sistema de negociación bilateral, directa o a través de broker, en
el cual se desarrolla el resto de la negociación entre Titulares de
Cuenta. En éste se puede operar a vencimiento (al contado o a
plazo) y en operaciones dobles (simultáneas o repos). Las
operaciones se pueden realizar entre las entidades directamente o
bien a través de un intermediario.
o
El tercer sistema de negociación comprende las transacciones entre
las Entidades Gestoras y sus clientes.
Las operaciones desarrolladas en el mercado secundario las podemos
clasificar en los siguientes tipos:
-
Operaciones simples:
Las operaciones simples son aquéllas en las que la transacción se
realiza en una sola operación. Al vender los valores, se transmiten
5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
todos los derechos que incorporan: cupones, valores de reembolso,
etc. El nuevo poseedor puede negociar la Deuda libremente en el
mercado secundario, ya que ésta se considera transmitida a
vencimiento.
Las operaciones simples a su vez pueden ser:
•
Operaciones al contado: la liquidación se acuerda dentro de los
cinco días hábiles siguientes a la fecha en que se contrató la
operación.
•
Operaciones a plazo: la liquidación tiene lugar en alguna fecha
posterior al quinto día hábil desde que se contrató la operación.
-
Operaciones dobles:
En una operación doble las partes contratantes realizan de forma
simultánea dos operaciones simples, una de compra y otra de venta,
pudiendo ser, la primera al contado y la segunda a plazo o bien las dos
a plazo.
Se trata de operaciones en firme, en las cuales se pacta el precio de
venta y la fecha de la primera operación o fecha de valor, y el precio de
la segunda operación y la fecha de vencimiento. El derecho al cobro de
los cupones corresponderá al poseedor del activo cuando se produzca
el vencimiento de dicho cupón.
Las operaciones dobles se pueden dividir en:
•
•
-
Operaciones simultáneas: las dos operaciones (de compra y de
venta) se refieren al mismo tipo de activo y por el mismo importe
nominal. El comprador tiene plena disponibilidad sobre los valores
adquiridos.
Repos: En ellos no existe plena disponibilidad de los valores y sólo
se pueden realizar transacciones en "repo" hasta antes de la fecha
pactada para la retrocesión de los activos. El comprador de un
bono en repo tiene derecho a cobrar los cupones devengados
durante el plazo de la cesión.
Operaciones de segregación y reconstitución:
La segregación consiste en la transformación de un activo de
rendimiento explícito en otro de rendimiento implícito. Se realiza dando
de baja en la Central de Anotaciones un bono segregable,
sustituyéndolo por nuevos valores de rendimiento implícito,
procedentes de los flujos de caja correspondientes a los cupones y al
principal de dicho bono.
La reconstitución es la operación inversa a la segregación, en virtud de
la cual se dan de baja en la Central de Anotaciones todos los valores
con rendimiento implícito vivos procedentes de cada uno de los flujos
de caja de un bono segregable, dándose de alta, en contrapartida, el
citado bono.
6
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Son instrumentos de Deuda Pública:
o
o
o
Las Letras del Tesoro
Los bonos y obligaciones del Estado
La deuda en divisas
6.2.1. LAS LETRAS DEL TESORO
Las Letras del Tesoro son valores públicos emitidos por el Ministerio de Economía
y Hacienda, a través de la Dirección General del Tesoro, por un plazo de hasta 18
meses.
Las Letras del Tesoro se representan exclusivamente mediante anotaciones en
cuenta.
Características de las Letras del Tesoro:
™ Se emiten al descuento, pagando el suscriptor el valor efectivo que
será inferior al valor de reembolso o nominal. La diferencia entre el
valor nominal y el precio de emisión será el rendimiento generado por
la Letra.
™ Se emiten mediante subastas competitivas, siendo el importe mínimo
de cada petición 1.000 €. Si se realizan peticiones por importe
superior, éste ha de ser múltiplo de 1.000.
™ Se emiten de acuerdo con un calendario que el Tesoro publica al
comienzo de cada año natural.
™ El valor nominal de las Letras es de 1.000 €.
™ La inversión mínima a realizar es de una Letra.
™ Plazo de amortización: En la actualidad, el Tesoro emite Letras con
vencimiento a 6, 12 y 18 meses.
™ Las Letras del Tesoro se pueden adquirir en el mercado primario,
participando en las subastas, o en el mercado secundario.
™ Régimen fiscal: Los rendimientos de las Letras del Tesoro
(determinados por la diferencia entre el importe de compra y de venta
o amortización del título) se integrarán en la parte general de la base
imponible como rendimientos del capital mobiliario en el año en que se
produce la transmisión o la venta, y no están sometidos a retención.
Rentabilidad de las Letras del Tesoro
Las Letras del Tesoro se emiten al descuento, pagando el suscriptor en el
momento de la adquisición del título el efectivo (E ) , y cuando se amortice o
venda la Letra obtendrá el importe nominal (N ) en el primero de los casos, o el
precio de venta (P) en el segundo. La diferencia entre el valor nominal o precio
de venta y el precio de emisión será el rendimiento generado por la Letra.
7
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Según cual sea el plazo de amortización (6, 12 ó 18 meses) utilizaremos el
régimen de capitalización simple o el régimen de capitalización compuesta.
Si el plazo de amortización es igual o inferior a 12 meses, hallaremos la
rentabilidad de la Letra aplicando el régimen de capitalización simple, según el
cual:
n ⎤
⎡
N = E × ⎢1 + i ×
360 ⎥⎦
⎣
O si la letra se vende antes de su vencimiento:
n ⎤
⎡
P = E × ⎢1 + i ×
360 ⎥⎦
⎣
N : Valor nominal
P : Precio de venta
E : Valor efectivo o precio de compra
n : Número de días que ha mantenido el inversor la Letra en su poder
Si el plazo de amortización es superior a 12 meses, hallaremos la rentabilidad de
la Letra aplicando el régimen de capitalización compuesta:
n
N = E × (1 + i ) 360
O si la letra se vende antes de su vencimiento:
n
P = E × (1 + i ) 360
Ejemplo:
El día 15 de marzo se suscribe una Letra del Tesoro para cuyo vencimiento faltan
364 días. El precio de adquisición de dicha Letra fue de 850 €. Calcular su
rentabilidad al vencimiento.
Solución:
•
Cálculo de la rentabilidad:
364 ⎤
⎡
1.000 = 850 × ⎢1 + i ×
360 ⎥⎦
⎣
i = 17,45%
8
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Ejemplo:
Se suscribe el día 15 de marzo una Letra del Tesoro, cuya emisión responde a la
siguiente información:
• Valor nominal 1.000 €
• Plazo de amortización 18 meses
• Valor efectivo de la compra 827 €
Calcular la rentabilidad de dicha Letra a su vencimiento.
Solución:
•
Cálculo de la rentabilidad:
1.000 = 827 × (1 + i )1,5
i = 13,5%
6.2.2. Los bonos y las obligaciones del Estado
Los bonos del Estado son valores emitidos por un plazo entre dos y cinco años y
las obligaciones del Estado se emiten por un plazo superior a cinco años.
Características de los bonos y obligaciones del Estado:
™ Los bonos y obligaciones se emiten mediante subasta competitiva,
siendo el importe mínimo de cada petición 1.000 €, y si se realizan
peticiones por importe superior, éste ha de ser múltiplo de 1.000.
™ El valor nominal mínimo que puede solicitarse de bonos y obligaciones
es de 1.000 €.
™ Plazo de amortización: En la actualidad, el Tesoro emite bonos con
vencimiento a tres y cinco años, y obligaciones con vencimiento a diez,
quince y treinta años.
™ Los bonos y las obligaciones se pueden adquirir en el mercado
primario, participando en las subastas, o en el mercado secundario.
™ Régimen fiscal: El interés periódico o cupón se considera en el IRPF
como un rendimiento del capital mobiliario sujeto a un tipo de
retención del 15%. El rendimiento obtenido en la transmisión,
amortización o reembolso, canje o conversión es considerado
rendimiento del capital mobiliario, pero no está sujeto a retención.
Cuando este rendimiento tenga un período de generación superior a
dos años, sólo se integrará en la declaración el 60% del mismo.
™ Los intereses producidos se abonan periódicamente, en las fechas que
se establezcan para cada emisión.
9
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado
Si representamos gráficamente una operación de compra y posterior venta o
amortización de una obligación o bono, tendremos:
Fecha de compra
Fecha de venta
0
n1
n2
n3
n días
Pc
C
C
C
C+Pv
La rentabilidad de los bonos y obligaciones se obtendrá despejando i en la
siguiente igualdad:
Pc = Pv × (1 + i )
−n
365
+ C × (1 + i )
− n1
365
+ C × (1 + i )
− n2
365
+ C × (1 + i )
− n3
365
+ ... + C × (1 + i )
−n
365
Donde:
Pv : Es el precio de venta
Pc : Es el precio de compra
n : Número de días que van entre la fecha de compra y la de venta o
amortización
n1 , n2 , n3 : Días entre la fecha de compra y el vencimiento de cada cupón
C : Importe bruto del cupón
6.3. AMPLIACIONES DE CAPITAL
6.3.1. Concepto
Las ampliaciones de capital consisten en el aumento del capital social de las
sociedades, mediante la emisión de nuevas acciones o bien mediante la elevación
del valor nominal de las existentes. En ambos casos el contravalor del aumento
de capital puede consistir tanto en nuevas aportaciones dinerarias o no
dinerarias al patrimonio de la sociedad, incluida la compensación de créditos
contra la sociedad, como en la transformación de reservas o beneficios.
Las razones que motivan una ampliación de capital pueden ser múltiples, entre
ellas:
™ La necesidad de adecuar el valor del capital social al patrimonio neto.
™ La necesidad de financiación: las ampliaciones de capital son una fuente
de financiación de la empresa, mediante la que obtienen nuevos recursos
económicos.
™ La ampliación de capital es el medio para la conversión de las obligaciones
en acciones.
10
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
6.3.2. Los derechos de suscripción preferente
Los derechos de suscripción son aquellos derechos de los que goza el titular de
una acción para suscribir nuevas acciones, en número proporcional a las ya
poseídas.
Según establece el artículo 158 de la Ley de Sociedades Anónimas cuando se
produzca un aumento de capital social con emisión de nuevas acciones,
ordinarias o privilegiadas, los antiguos accionistas y los titulares de obligaciones
convertibles podrán ejercitar el derecho a suscribir un número de acciones
proporcional al valor nominal de las acciones que posean o de las que les
corresponderían a los titulares de las obligaciones convertibles de ejercitar en
ese momento la facultad de conversión. Los derechos de suscripción preferentes
van a ser transmisibles en las mismas condiciones que las acciones de las que
provienen.
En el caso de que el aumento de capital se efectúe con cargo a reservas, el
derecho de asignación gratuita de las nuevas acciones también será transmisible
en las mismas condiciones que las acciones de que se deriven.
El accionista antiguo puede por tanto optar por acudir o no acudir a la ampliación
de capital. En este último caso, podrá vender los derechos de suscripción
preferente o los derechos de asignación gratuita, y con el importe obtenido en la
venta, compensará la pérdida de valor que experimenten las acciones, ya que
teóricamente el valor de cotización de la acción después de efectuada la
ampliación descenderá en un importe igual al de importe del derecho de
suscripción.
6.3.2.1 Valoración de los derechos de suscripción preferente
El valor teórico del derecho de suscripción es el valor que teóricamente deben
tener los derechos de las acciones antiguas cuando los vende el accionista
que no decide acudir a la ampliación. Este valor depende de la proporción
entre el número de acciones antiguas y nuevas, del valor de cotización de las
acciones antiguas y del precio de emisión de las acciones nuevas.
Cuando una sociedad amplía capital nos podemos encontrar ante las
siguientes situaciones:
™ Que el accionista compre todas las acciones nuevas que le
corresponden.
™ Que el accionista no decida ejercer los derechos y los venda a otras
personas.
™ Que el accionista acuda a la ampliación ejercitando sólo una parte de
los derechos que le correspondan, vendiendo el resto.
11
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
™ Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción
Las sociedades pueden realizar ampliaciones de capital simples (se
realiza una única ampliación de capital) o múltiples (se realizan varias
ampliaciones de capital, pudiendo ser simultáneas o sucesivas).
Puede también ocurrir que las acciones nuevas y antiguas no tengan
los mismos derechos económicos. Estos dos hechos afectan al cálculo
del valor teórico del derecho de suscripción.
o
Cuando se produce una única ampliación de capital y no existen
diferencias económicas entre las acciones antiguas y las nuevas.
A la hora de calcular el valor del derecho de suscripción suponemos
que teóricamente la cotización de las acciones después de la
ampliación va a descender en un importe igual al valor del derecho
de suscripción.
D: Valor teórico del derecho de suscripción
m: Número de acciones antiguas
C: Valor de la acción antigua al inicio de la ampliación (cotización
ex-ante)
n: Número de acciones nuevas
E: Precio de emisión
Si “m” es el número de acciones antiguas poseídas antes de la
ampliación y “n” es el número de acciones que se reciben debido a
la ampliación, tendremos que, el valor total después de la
ampliación será igual al valor de las acciones antiguas poseídas
más lo pagado por las recibidas.
Valor de las acciones antes de la ampliación...........
Importe pagado por las nuevas acciones................
Valor después de la ampliación.............................
m×C
n× E
m×C + n× E
El número de acciones poseídas después de la ampliación será:
m+n
Siendo el valor de una de las acciones después de la ampliación o
cotización expost:
C´=
m×C + n× E
m+n
Como ya se ha señalado anteriormente, teóricamente el valor de las
acciones después de la ampliación descenderá en el importe del
derecho de suscripción, es decir:
12
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
D = C − C´= C −
m × C + n × E n × (C − E )
=
m+n
m+n
Puede suceder que el valor de emisión de las acciones sea igual a
cero debido, por ejemplo, a que la ampliación de capital se haga
con cargo a reservas. En este caso aparece el derecho de asignación
gratuita.
Si sustituimos en la expresión anterior E = 0 , resulta:
D=
n × (C − 0) n × C
=
m+n
m+n
Ejemplo:
Una sociedad amplía capital en la proporción de 3 acciones nuevas por
cada 10 antiguas. La emisión se realiza al 110%, siendo el nominal de las
acciones de 50 €, y su cotización el día antes de la ampliación, del 450%.
Se pide: Calcular el valor teórico del derecho de suscripción.
Solución:
• Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción:
450
...............
100
2.250€
110
.....................
100
165€
13 títulos después de la ampliación valen..............
2.415€
10 acciones antiguas valen 10 × 50 ×
3 acciones nuevas valen 3 × 50 ×
Siendo:
2.250
= 225€
10
2.415
el valor de una acción después de la ampliación: C´=
= 185,77€
13
el valor de una acción antes de la ampliación:
C=
El valor del derecho será la diferencia entre el valor de la acción antes de la
ampliación y después de ésta, ya que teóricamente el valor de las acciones después
de la ampliación descenderá en el importe del derecho de suscripción, es decir:
D = C − C´= 225 − 185,77 = 39,23€
También podríamos haber calculado el valor teórico del derecho de suscripción de la
siguiente forma:
D=
n × (C − E ) 3 × (225 − 55)
=
= 39,23€
13
m+n
13
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
o
Cuando se producen dos ampliaciones simultáneas en las que las
acciones antiguas y nuevas tienen los mismos derechos económicos
En este supuesto la sociedad realiza de forma simultánea dos
ampliaciones de capital. Proporcionando a cada una de las acciones
antiguas dos derechos de suscripción, con los que se acude a cada
ampliación de manera independiente, suscribiendo las acciones
nuevas que corresponda en cada una de las ampliaciones.
Como hemos señalado, teóricamente el valor de la acción después
de la ampliación descenderá en el importe de los derechos de
suscripción, es decir: D = C − C´
Siendo D igual al valor de los dos derechos de suscripción (d1 , d 2 ) .
D = d1 + d 2
Para determinar el valor de cada derecho debemos tener en cuenta
que para cada derecho:
Cotización ex-post = Precio de emisión + Valor teórico de los
derechos entregados
Ejemplo:
Una sociedad realiza dos ampliaciones simultáneas de capital; una a la par,
en la proporción de una acción nueva por cada tres antiguas, y otra,
gratuita, en la proporción de una acción nueva por cada diez antiguas. Se
sabe que el nominal de las acciones es de 30 € y la cotización antes de la
doble ampliación es del 120%.
Se pide: Calcular el valor teórico del derecho de suscripción.
Solución:
• Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción:
Como las proporciones de las ampliaciones son diferentes tenemos que buscar la
proporción de la suscripción en base al mismo número de acciones antiguas, es
decir, buscar aquel número de acciones que permita concurrir exactamente a las
dos ampliaciones. Para ello hallaremos el mínimo común múltiplo.
1 1
;
3 10
m.c.m.(3 : 10) = 30
10 3
;
30 30
30 acciones antiguas valen 30 × 36 .......................
Importe pagado por:
- 10 nuevos títulos 10 × 30 ................................
- 3 nuevos títulos 3 × 0 ....................................
43 títulos después de la ampliación valen..............
1.080€
300€
0€
1.380€
14
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Siendo:
1.080
= 36€
30
1.380
= 32,09€
el valor de una acción después de la ampliación: C´=
43
el valor de una acción antes de la ampliación:
C=
El valor de los dos derechos será la diferencia entre el valor de la acción antes de la
ampliación y después de ésta, es decir:
D = C − C´= 36 − 32,09 = 3,91€
Para determinar el valor de cada derecho debemos tener en cuenta que se cumple
para cada derecho que:
Cotización ex-post = Precio de emisión + Valor teórico de los derechos entregados
32,09 = 30 + 3D S
32,09 = 10 D A
o
D s = 0,70€
32,09
DA =
= 3,21€
10
Cuando se produce una única ampliación en la que las acciones
antiguas y nuevas tienen distintos derechos económicos
Cuando se produce una ampliación de capital puede ocurrir que las
nuevas acciones no participen de los mismos derechos que las
antiguas.
Esto sucede cuando a las acciones nuevas les corresponde en el
momento del reparto de dividendos un porcentaje inferior al que les
corresponde a las antiguas, o bien no les corresponde dividendo
alguno.
La cotización de las acciones antiguas y nuevas no será igual hasta
el momento en que se perciba por las acciones antiguas el
dividendo que las corresponda.
En este caso debemos incluir en la ecuación de equivalencia de
cotizaciones la diferencia que existe en la cotización entre las
acciones nuevas y las antiguas. Si “m” es el número de acciones
antiguas poseídas antes de la ampliación, “n” el número de acciones
que se reciben debido a la ampliación y “d” la diferencia de
derechos, tendremos que:
15
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Valor de las acciones antes de la ampliación.......
Importe pagado por las nuevas acciones............
Valor después de la ampliación...........................
m × (C − d )
n× E
m × (C − d ) + n × E
(C − d ) : Valor de cotización de una acción antigua
diferencia de derechos, llamado cotización seca.
menos
la
El número de acciones poseídas después de la ampliación será:
m+n
El valor de una acción nueva después de la ampliación será:
C´=
m × (C − d ) + n × E
m+n
El valor del derecho de suscrición será:
D = (C − d ) − C´= (C − d ) −
m × (C − d ) + n × E n × (C − E − d )
=
m+n
m+n
Puede suceder que el valor de emisión de las acciones sea igual a
cero debido, por ejemplo, a que la ampliación de capital se hace con
cargo a reservas. Aparece entonces el derecho de asignación
gratuita. Si sustituimos en la expresión anterior E = 0 , resulta:
D=
n × (C − 0 − d ) n × (C − d )
=
m+n
m+n
Ejemplo:
Una sociedad amplía capital en la proporción de 3 acciones nuevas por
cada 10 antiguas. La emisión se realiza al 110%, siendo el nominal de las
acciones de 50 €, y su cotización el día antes de la ampliación, del 450%.
Se pide: Calcular la cotización después de la ampliación de las acciones
nuevas y de las antiguas y el valor teórico del derecho de suscripción
sabiendo que la sociedad reparte un dividendo de 5 € a las acciones
antiguas.
16
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Solución:
• Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción:
450
⎡
⎤
⎣
⎦
110
3 acciones nuevas valen 3 × 50 ×
...................
100
10 acciones antiguas valen 10 × ⎢(50 ×
) − 5⎥ .....
100
13 títulos después de la ampliación valen............
2.200
165€
2.365€
450
= 225€
10
2.365
Valor de una acción nueva después de la ampliación: C´=
= 181,92€
13
Valor
de
una
acción
antigua
después
de
la
ampliación:
Valor de una acción antes de la ampliación:
o
o
o
C = 50 ×
C´+d = 181,92 + 5 = 186,92€
El valor del derecho será:
D = (C − d ) − C´= (225 − 5) − 181,92 = 38,08€
También podemos calcular el valor de una acción antigua antes y después de la
ampliación como:
D = C − (C´+ d ) = 225 − (181,92 + 5) = 38,08€
o
Cuando se producen dos ampliaciones simultáneas con distintos
derechos económicos
En este supuesto la sociedad realiza de forma simultánea dos
ampliaciones de capital, proporcionando a cada una de las acciones
antiguas dos derechos de suscripción, con los que se acude a cada
ampliación de manera independiente, suscribiendo las acciones
nuevas que corresponda en cada una de las ampliaciones. Además,
en un principio las nuevas acciones y las antiguas no participan de
los mismos derechos.
Ejemplo:
Una sociedad realiza dos ampliaciones simultáneas de capital; una al
130%, en la proporción de una acción nueva por cada dos antiguas, y otra,
gratuita, en la proporción de una acción nueva por cada tres antiguas. El
nominal de las acciones es de 50 € y la cotización antes de la doble
ampliación es del 300%.
Se pide: Calcular el valor teórico del derecho de suscripción sabiendo que
las acciones antiguas tienen derecho a percibir un dividendo del 2% sobre
el valor nominal, que se repartirá a los 15 días de la ampliación del capital.
17
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Solución:
•
Cálculo del valor teórico del derecho de suscripción:
Como las proporciones de las ampliaciones son diferentes, tenemos que
buscar la proporción de la suscripción en base al mismo número de acciones
antiguas, es decir, buscando aquel número de acciones que permita concurrir
exactamente a las dos ampliaciones. Para ello hallamos el mínimo común
múltiplo.
1 1
;
2 3
3 2
;
6 6
m.c.m.(2 : 3) = 6
⎡⎛
⎣⎝
300 ⎞ ⎤
⎟ − 1 ..........
100 ⎠ ⎥⎦
894€
130
...........................
100
195€
6 acciones antiguas valen 6 × ⎢⎜ 50 ×
Importe pagado por:
- 3 nuevos títulos 3 × 50 ×
- 2 nuevos títulos 2 × 0 ....................................
11 títulos después de la ampliación valen..............
o
o
o
0€
1.089€
300
= 150€
100
1.089
Valor de una acción nueva después de la ampliación: C´=
= 99€
11
Valor de una acción antigua después de la ampliación: C´+d = 99 + 1 = 100€
Valor de una acción antes de la ampliación:
C = 50 ×
El valor del derecho será:
D = (C − d ) − C´= (150 − 1) − 99 = 50€
Para determinar el valor de cada derecho debemos tener en cuenta que para cada
derecho:
Cotización ex-post = Precio de emisión + Valor teórico de los derechos entregados
99 = 65 + 2 D S
99 = 3D A
D s = 17€
99
DA =
= 33€
3
18
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
™ Suscripción de acciones con desembolso nulo
Se denomina ampliación mixta compensada o ampliación blanca a
aquélla en la que el accionista acude a la ampliación solo en parte y
suscribe un número de acciones que no le supongan realizar
desembolso alguno. Esto supone que el dinero invertido en la
suscripción de acciones nuevas ha de corresponderse con el obtenido
en la venta de los derechos sobrantes.
El número de acciones compradas y el de derechos vendidos han de ser
necesariamente números enteros y además deben ser múltiplos
exactos en función de la proporción de la ampliación.
Debido a estas dos restricciones, es muy difícil que se consiga en este
tipo de operaciones un desembolso nulo, por lo que el problema se
resolverá redondeando por exceso el número de derechos a vender, de
tal forma que quede un excedente de tesorería mínimo.
Si un individuo posee “m” acciones, y por ende “m” derechos, venderá
un número “x” de éstos, al precio de mercado del derecho (pd) y
adquirirá con los restantes derechos (m-x) un número de acciones
nuevas, que vendrá determinado por la proporción de la ampliación. Es
decir, podrá suscribir, ( m − x) × % de la ampliación nuevas acciones, por las
que pagará (m − x) × % de la ampliación × Precio de emisión.
Para conseguir un desembolso nulo, se tiene que cumplir que el
importe obtenido con la venta de los derechos sea igual a cantidad a
pagar por la compra de las nuevas acciones:
x × p d = (m − x) × % de la ampliación × Precio de emisión
Si en la expresión anterior despejamos x obtenemos el número de
derechos que se han de vender para que el desembolso a realizar por
la suscripción de las nuevas acciones sea nulo. Si x es un número no
entero redondearemos a la unidad superior, para evitar así que se
tenga que producir desembolso alguno por el accionista.
Una vez conocido el número de derechos a vender calcularemos el
número de acciones a suscribir, en función del número de derechos
pendientes de ejercer (m-x) y de la proporción de la ampliación.
El número de acciones a suscribir será: (m − x) × % de la ampliación .
19
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Ejemplo:
Una sociedad tiene un capital social formado por 100.000 acciones de 50 €
nominales. Amplía capital emitiendo 30.000 acciones nuevas de 50 €
nominales. La emisión se realiza al 110% de su valor nominal. Las
acciones antiguas cotizan a 225 €.
Un accionista que posee 100 acciones antiguas, acude a la ampliación con
el propósito de adquirir acciones nuevas, vendiendo los derechos que no
utilice en la ampliación a su valor teórico y sin realizar desembolso alguno.
Se pide: Calcular el número de acciones nuevas que suscribirá dicho
accionista.
Solución:
• Cálculo del número de acciones nuevas que suscribirá el accionista:
En primer lugar se calculará el valor teórico del derecho de suscripción preferente.
El porcentaje de la ampliación será:
30.000
3
= , es decir, 3 acciones nuevas por cada 10 antiguas.
100.000 10
10 acciones antiguas valen 10 × 225 ...............
110
3 acciones nuevas valen 3 × 50 ×
.....................
100
13 títulos después de la ampliación valen..............
2.250€
165€
2.415€
2.250
= 225€
10
Valor de una acción antes de la ampliación:
2.415
C´=
= 185,77€
13
Valor de una acción después de la ampliación:
C=
o
o
El valor del derecho será la diferencia entre el valor de la acción antes de la
ampliación y después de ésta, ya que teóricamente el valor de las acciones después
de la ampliación descenderá en el importe del derecho de suscripción, es decir:
D = C − C´= 225 − 185,77 = 39,23€
Si el accionista posee 100 acciones, y por ende 100 derechos, venderá un número x
de estos, al precio de mercado del derecho (pd=39,23 €) y adquirirá con los
restantes derechos (100-x) un número de acciones nuevas, que vendrá
determinado por la proporción de la ampliación. Es decir, podrá suscribir,
(100 − x) ×
3
3
nuevas acciones, por las que pagará, (100 − x ) ×
× 55€.
10
10
Para conseguir un desembolso nulo, se tiene que cumplir que el importe obtenido
con la venta de los derechos sea igual a cantidad a pagar por la compra de las
nuevas acciones:
x × 39,23 = (100 − x) ×
3
× 55
10
x = 29,61 derechos
20
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Despejando x obtenemos el número de derechos que se han de vender para que el
desembolso a realizar por la suscripción de las nuevas acciones sea nulo.
Como x es un número no entero redondearemos a la unidad superior, para evitar
así, que se tenga que producir desembolso alguno por el accionista.
x = 30 derechos
Una vez conocido el número de derechos a vender calcularemos el número de
acciones a suscribir:
(100 − 30) ×
3
= 21 acciones
10
El excedente monetario que recibirá el inversor, será:
Importe obtenido por la venta de los derechos: 30 × 39,23 = 1.176,90€
Importe pagado por la compra de las acciones: 21 × 55,00 = 1.155,00€
Excedente monetario:
21,90€
6.4. COMPRA-VENTA DE VALORES
6.4.1. Compra-venta de valores al contado
Los precios de compra y de venta de los valores mobiliarios se fijan a través de
su cotización en las Bolsas de Valores. Vendrán expresados en función del
cambio (porcentaje sobre el valor nominal).
Dando lugar a la aparición del efectivo por razón del cambio.
El efectivo por razón del cambio será igual:
E ca =
N ×C
100
N: Valor nominal
C: Cambio de cotización
C>100 sobre la par
C=100 a la par
C<100 bajo la par
™ Precio de compra de los valores mobiliarios
Si no hubiese ningún tipo de intermediario financiero se pagaría
exclusivamente el valor efectivo de los títulos o efectivo bursátil ( E b ):
E b = E ca ×
número de títulos adquiridos = N ×
adquiridos
C
× número de títulos
100
21
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Si existen intermediarios financieros, el efectivo bursátil
se ve
modificado debido a las comisiones que cobran los intermediarios
financieros. Éstas son:
o
Los cánones por la gestión bursátil cobrados por la Bolsa. El Real
Decreto 949/1989, de 28 de julio, en su artículo 4º, hace referencia
a la repercusión de costes y recargos por las Sociedades y Agencias
de Valores derivados de la prestación de servicios por las
Sociedades Rectoras de las Bolsas, por el servicio de liquidación y
compensación de valores.
o
Las comisiones de las Sociedades o Agencias de Valores: Las
retribuciones que perciban los miembros de un mercado secundario
oficial por su participación en la negociación de valores serán libres.
No obstante, el Gobierno podrá establecer retribuciones máximas
para las operaciones cuya cuantía no exceda de una determinada
cantidad y para aquellas que se hagan en ejecución de resoluciones
judiciales. Las Sociedades o Agencias de Valores deberán establecer
tarifas para todas las operaciones que la entidad realice
habitualmente, pudiendo excluir las derivadas de servicios
financieros de carácter singular, en los supuestos que la Comisión
Nacional del Mercado de Valores determine. Las tarifas deberán
incluirse en un folleto, cuyo contenido determinará el Ministro de
Economía y Hacienda y cuyos modelos serán elaborados por la
Comisión Nacional del Mercado de Valores y por el Banco de
España, en el caso del Mercado de Deuda Pública en anotaciones.
Las entidades no podrán cargar a los clientes comisiones o gastos
superiores a los contenidos en los folletos comunicados a la
Comisión Nacional del Mercado de Valores o al Banco de España.
(RD 629/1993 de 3 mayo)
o
Las comisiones bancarias: Si la operación se realiza a través de una
entidad financiera ésta cobrará comisiones que suelen ser idénticas
a las cobradas por las Sociedades o Agencias de Valores.
Si al efectivo bursátil le sumamos las comisiones obtendremos el
importe de la compra o líquido ( Ec ).
C
× número de títulos adquiridos) + Cánones de gestión
100
bursátil + Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores +
Comisiones bancarias
Ec = ( N ×
22
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
™ Precio de venta de los valores mobiliarios
Si no hubiese ningún tipo de intermediario financiero se cobraría
exclusivamente el valor efectivo de los títulos o efectivo bursátil ( Eb ):
C
× número de títulos vendidos
E b = E ca × número de títulos vendidos= N ×
100
Si existen intermediarios financieros, el efectivo bursátil se ve
modificado por las comisiones que cobran:
o
Cánones por la gestión bursátil cobrados por la Bolsa: Los costes y
recargos cobrados por las Sociedades y Agencias de Valores
derivados de la prestación de servicios por las Sociedades Rectoras
de las Bolsas por el servicio de liquidación y compensación de
valores.
o
Las comisiones de las Sociedades o Agencias de Valores.
o
Las comisiones bancarias.
Si al efectivo bursátil le restamos las siguientes comisiones
obtendremos el importe de venta o líquido de la venta ( Ev ):
C
× número de títulos vendidos)- Cánones de gestión bursátil –
Ev = ( N ×
100
Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores – Comisiones bancarias
™ Rentabilidad
Para el cálculo de la rentabilidad de las operaciones de compra-venta
de valores hemos de tener en cuenta la duración de la operación.
Si la inversión se ha mantenido por un período igual o inferior al año el
régimen para el cálculo de la rentabilidad será el de capitalización
simple. Si por el contrario, la duración es superior a un año el cálculo
se realizará en régimen de capitalización compuesta. Normalmente, el
cálculo de la rentabilidad de este tipo de operaciones se realizará en
régimen de capitalización compuesta.
La rentabilidad la podemos medir como:
o
El rendimiento de cada unidad monetaria de capital invertido o
rédito. La rentabilidad en este caso se calcula como:
r=
⎡E
⎤
E − Ec
B. A.I
× 100 = v
× 100 = ⎢ v − 1⎥ × 100
Ec
Ec
⎣ Ec
⎦
r: Rentabilidad
B.A.I: Beneficio antes de Impuestos
Ec : Efectivo de la compra
B. A.I = E v − E c
E v : Efectivo de la venta
23
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
o
El rendimiento de cada unidad monetaria de capital invertido por
unidad de tiempo o tanto de rentabilidad.
1. En régimen de capitalización simple:
E v = E c × (1 + i ×
n
)
360
2. En régimen de capitalización compuesta:
E v = E c × (1 + i ) − n
Ejemplo:
El día 1 de septiembre de 20X0 se compran 1.000 acciones de la sociedad
X de valor nominal 50 € al 90%. La comisión cobrada por la sociedad de
valores es del 4 por 1.000 con un mínimo de 6,01 €, siendo idéntica a la
comisión cobrada por la entidad bancaria.
El día 30 de diciembre se venden las 1.000 acciones, en el momento de la
venta las acciones cotizan al 95%. Por la venta la sociedad de valores
cobra una comisión del 4 por 1000 con un mínimo de 6,01 €, siendo
idéntica a la comisión cobrada por la entidad bancaria.
Calcular:
• El valor efectivo de compra
• El valor efectivo de venta
• La rentabilidad obtenida en la operación de compra-venta
• La rentabilidad obtenida en la operación de compra-venta, si la
sociedad x hubiese repartido el día 30 de septiembre un dividendo de
2 € por acción
Solución:
1º Cálculo del valor efectivo de compra:
Ec = ( N ×
C
× número de títulos adquiridos) + Cánones de gestión bursátil +
100
Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores + Comisiones bancarias
E c = (50 ×
90
× 1.000) + 180 + 180 = 45.360€
100
2º Cálculo del efectivo obtenido en la venta:
Ev = ( N ×
C
× número de títulos vendidos)- Cánones de gestión bursátil –
100
Comisiones de las Sociedades y Agencias de Valores – Comisiones bancarias
E v = (50 ×
95
× 1.000) − 190 − 190 = 47.120€
100
24
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
3º Cálculo de la rentabilidad obtenida en la operación de compra-venta:
• Rentabilidad en término de rédito:
r=
⎡E
⎤
E − Ec
(47.120 − 45.360)
B. A.I
× 100 = v
× 100 = ⎢ v − 1⎥ × 100 =
× 100 = 3,88%
45.360
Ec
Ec
⎣ Ec ⎦
• Rentabilidad en términos de tanto:
E v = E c × (1 + i ×
n
)
360
47.120 = 45.360 × (1 + i ×
120
)
360
i = 11,64%
4º Cálculo de la rentabilidad si se produce el pago de dividendos:
• Si realizamos la equivalencia entre lo recibido y lo entregado al día 30 de
diciembre
47.120 + 2.000 × (1 + i ×
120
91
)
) = 45.360 × (1 + i ×
360
360
i = 25,73%
6.4.2. Compra-venta de valores a crédito
Las compras y ventas a crédito son operaciones diseñadas conforme a la Orden
Ministerial del Ministerio de Economía y Hacienda de 25 de marzo de 1991 sobre
Sistemas de Crédito en Operaciones Bursátiles de Contado.
La Orden 23 de diciembre de 1998 sobre la Unidad de Cuenta en las Obligaciones
de Información de los Organismos Rectores de los Mercados de Valores y de las
Instituciones de Inversión Colectiva y sobre la expresión en euros de
determinados requisitos relativos al Sistema de Crédito en Operaciones
Bursátiles de Contado y a las Operaciones Bursátiles Especiales, ha modificado
parcialmente a la Orden Ministerial de 25 de marzo de 1991.
El sistema de crédito en operaciones bursátiles al contado es una modalidad de
préstamo de valores. Sin embargo esta modalidad de préstamo no es la única
que se contempla en nuestro ordenamiento jurídico, existiendo reguladas otras
modalidades como:
™ El préstamo al Servicio de Compensación y Liquidación con el fin de
aseguramiento de la entrega de los valores en la fecha de liquidación
regulado por el artículo 57 del Real Decreto 116/1992 sobre
representación de valores por medio de anotaciones en cuenta y
compensación y liquidación de operaciones bursátiles;
25
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
™ Los contratos de préstamo de valores admitidos a negociación en un
mercado secundario regulados en el artículo 36.7 de la Ley del Mercado
de Valores (al que dio una nueva redacción la Ley 37/1998), modalidad
que ha sido objeto de desarrollo por la Orden 74/2004 que regula
determinados aspectos de los préstamos de valores a que se refiere el
artículo 36.7 de la Ley 24/1988 del Mercado de Valores.
Por otra parte y al amparo del artículo 1753 del Código Civil se pueden realizar
otros préstamos de valores no sujetos a una regulación financiera ni fiscal
específica.
Las operaciones a crédito se caracterizan porque una determinada entidad
presta dinero, en el caso de las compras a crédito, o títulos, en el caso de las
ventas, para que la operación se pueda realizar finalmente como operación al
contado. Cuando el inversor tenga expectativas alcistas, la compra a crédito le
permitirá multiplicar sus ganancias; en cambio, cuando las expectativas sean
bajistas, la venta a crédito le permite aprovechar la caída del valor.
™ MARCO LEGAL
Las operaciones de compra-venta de valores a crédito se encuentran
reguladas fundamentalmente en la Orden Ministerial del Ministerio de
Economía y Hacienda de 25 de marzo de 1991 que regula el Sistema
de Crédito en Operaciones Bursátiles de Contado modificada por la
Orden del Ministerio de Economía y Hacienda de 23 de septiembre de
1998. Dicha norma regula, entre otros, los siguientes aspectos:
o
Entidades que pueden otorgar créditos.
Podrán otorgar créditos de valores y de efectivo directamente
relacionados con operaciones de compra o venta de valores
admitidos a negociación en las bolsas de valores, las sociedades de
valores cuya declaración de actividades prevea dicha posibilidad
expresamente, así como también las entidades oficiales de crédito,
los bancos y cajas de ahorro, incluidas la confederación española de
cajas de ahorros y la caja postal de ahorros, y las cooperativas de
crédito.
o
Valores sobre los que se puede operar a crédito.
Se puede operar sobre los valores que determine la sociedad
rectora de cada Bolsa, de entre los admitidos a negociación en ella
o, en su caso, la Sociedad de Bolsas. Tales valores deben ser en
todo caso valores incluidos en el sistema de compensación y
liquidación.
26
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
o
Importe mínimo del crédito.
Las órdenes de compra o de venta deben ascender como mínimo a
1.200 €.
o
Vencimiento de los créditos.
El vencimiento del crédito será el último día hábil del mes corriente
para las operaciones contratadas en la primera quincena del mismo
y el último día hábil del mes próximo para las contratadas en la
segunda quincena.
Sin perjuicio de ello, las operaciones de crédito podrán cancelarse a
voluntad del acreditado antes del vencimiento, con tal de que así lo
manifieste con dos días de antelación a la fecha de cancelación.
Vencido, en su caso anticipadamente, el crédito, se procederá por
las entidades acreedoras a su cancelación y liquidación, de acuerdo
con el calendario que fije la sociedad rectora de cada Bolsa o, en su
caso, la Sociedad de Bolsas, calendario que deberá ser publicado en
los boletines de cotización con dos días hábiles, al menos, de
antelación al inicio de su aplicación.
En la liquidación que siga a la cancelación del crédito, los
acreditados entregarán a la entidad acreedora el efectivo o los
valores adeudados.
o
Prórroga de los créditos.
Salvo manifestación en contrario antes del vencimiento, se
entenderá que los compradores o vendedores en régimen de crédito
solicitan de la entidad acreedora la prórroga de sus posiciones por
un mes. La misma regla será aplicable al vencimiento de la prórroga
concedida, si bien no podrán otorgarse más de dos prórrogas de
una misma posición.
o
Garantías exigibles.
Tanto en las operaciones de compra, como en las de venta, los
acreditados deberán aportar las garantías que establezca la
sociedad rectora de cada Bolsa de Valores o, en su caso, la
Sociedad de Bolsas, que no podrán ser inferiores a las fijadas con
carácter general por la Comisión Nacional del Mercado de Valores.
Los acreditados deberán aportar complementos de las garantías
respecto de las posiciones de compra o venta que se hallasen
pendientes y tuvieran por objeto valores cuya cotización hubiera
variado en más de un 10 % en contra de la posición a que las
garantías se refieren. Para el cálculo de los complementos exigibles
se tendrá en cuenta el importe de los derechos económicos
devengados durante la vigencia de las posiciones.
27
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
o
Depósito del objeto de la operación.
Los valores adquiridos previa concesión de un crédito quedarán
depositados en la entidad depositaria hasta que se produzca la
liquidación del crédito.
Los
derechos
económicos
devengados
por
los
valores
complementarán las garantías prestadas por el comprador a crédito,
aplicándoseles el régimen propio de las mismas.
El importe de las ventas efectuadas con préstamo de valores
también deberá ser depositado, y de existir, incrementará las
garantías.
o
Publicación y límites de las condiciones generales.
Las entidades que pretendan otorgar créditos de valores y de
efectivo deberán fijar, con una periodicidad no inferior a la semanal,
las condiciones que aplicarán a dichas operaciones, incluyendo las
relativas a garantías o coberturas. Cada operación se regirá por las
condiciones vigentes a la fecha de su celebración o, en su caso, de
su prórroga.
La Comisión Nacional del Mercado de Valores podrá fijar límites
generales al volumen de operaciones de crédito que pueden otorgar
las entidades.
o
Registro de las operaciones.
Las entidades que otorguen crédito deberán llevar un registro de
tales operaciones en el que constarán:
•
•
•
•
Las operaciones de compra, especificando los valores
comprados, el precio, el nombre del comprador y la fecha del
vencimiento.
Las operaciones de venta, especificando los valores vendidos, el
precio, el nombre del vendedor y la fecha de vencimiento.
Los contratos de préstamo de valores, especificando los que
sean objeto del contrato, el nombre del prestamista, la comisión
del préstamo y la fecha de vencimiento del contrato.
Las garantías constituidas, separando la garantía inicial y las
complementarias, y especificando la fecha de constitución de
cada una.
28
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
o
Suspensión de las operaciones a crédito.
Cuando se produzcan determinadas situaciones, como que el
conjunto de posiciones en régimen de crédito sea excepcional por
su cuantía, o cuando se anuncien operaciones financieras que por
su características pueden dificultar el desarrollo de determinados
valores, las sociedades rectoras de las Bolsas de Valores o, en su
caso, la Sociedad de Bolsas, previa comunicación a la Comisión
Nacional del Mercado de Valores, podrán suspender las operaciones
en régimen de crédito en relación con los valores afectados.
Credibolsa es un sistema de crédito diseñado por RBC Dexia Investor Services
que permite realizar operaciones de compra y de venta de valores en el mercado
bursátil. Dicha entidad otorga créditos de valores y de efectivo directamente
relacionados con operaciones de compra y venta de valores admitidos a
negociación en las bolsas de valores con arreglo al sistema regulado en la Orden
25 de marzo de 1991 y con la normativa establecida por la Sociedades rectoras
de las Bolsas de Madrid, Barcelona y Valencia. El procedimiento seguido en las
operaciones de compra y venta de valores realizadas por esta entidad será:
•
Operaciones de compra a crédito
Si el inversor tiene expectativas alcista, realizará una operación de
compra a crédito. La operación se realizará mediante la firma de un
contrato marco entre el inversor, el intermediario financiero y RBC
Dexia Investor Services, España.
•
Características de la operación:
-
Para la liquidación de la operación RBC Dexia Investor
Services, España concede un crédito, cuya cuantía
ascenderá al 75% del efectivo, aportando el inversor una
garantía inicial del 25%.
-
El inversor debe abonar los intereses devengados por el
crédito, en la fecha de vencimiento, y en caso de que se
produzcan prorrogas, a la finalización de la primera y de la
segunda o bien cuando se produzca la cancelación de la
operación. El tipo de interés que se aplicará a la operación
será el tipo de interés vigente en el momento de la
contratación sobre el crédito concedido. Si existen prórrogas
se aplicará el tipo de interés vigente en el momento de la
concesión de éstas.
-
Cuando se produzca un descenso en la cotización de los
títulos comprados mayor del 10% el inversor deberá aportar
garantía complementaria. Las garantías deben cubrir el
25% del valor efectivo del total de los títulos a precios de
mercado más la pérdida producida por la diferencia de
29
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
cotización con respecto al precio inicial. Los derechos
económicos devengados en la operación se tendrán en cuenta
a efecto del cálculo del importe de la garantía
complementaria. Si la cotización sube más del 10% con
respecto al último cálculo que se haya efectuado de las
garantías, se procederá a la devolución de las garantías
complementarias.
Las
garantías
complementarias
se
remuneran
al
correspondiente tipo de interés, en el momento de su
cancelación, devolución, al vencimiento de la operación, y en
el caso de que se produzcan prorrogas al término de estas.
-
•
El importe líquido de los dividendos incrementa las garantías
complementarias, remunerándose a igual tipo de interés que
éstas. El abono de los dividendos se produce cuando existe
una diferencia mayor al 10% con respecto al último cálculo
de garantías o bien a la finalización de la operación.
Operaciones de venta a crédito
Si el inversor tiene expectativas bajistas, realizará una operación de
venta a crédito. La operación se realizará mediante la firma de un
contrato marco entre el inversor, el intermediario financiero y RBC
Dexia Investor Services, España.
•
Características de la operación:
-
Para la liquidación de la operación RBC Dexia Investor
Services, España presta la totalidad de los valores
necesarios para la operación, aportando el inversor una
garantía inicial del 25% sobre el valor efectivo de la venta.
-
Cuando se produzca un incremento del valor de los títulos
vendidos mayor del 10% el inversor deberá aportar garantía
complementaria. Las garantías deben cubrir el 25% del
valor efectivo del total de los títulos a precios de mercado
más la pérdida producida por la diferencia de cotización con
respecto al precio inicial. Los derechos económicos
devengados en la operación se tendrán en cuenta a efectos
del cálculo del importe de la garantía complementaria. Si la
cotización baja más del 10% con respecto al último cálculo
que se haya efectuado de las garantías, se procederá a la
devolución de las garantías complementarias.
Las
garantías
complementarias
se
remuneran
al
correspondiente tipo de interés, en el momento de su
cancelación, devolución, al vencimiento de la operación, y en
el caso de que se produzcan prórrogas al término de estas.
30
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
-
En el momento del devengo de los dividendos el vendedor
abona al prestamista, igual cantidad al importe bruto de los
derechos económicos generados por los títulos.
Ejemplo:
El día 4 de mayo un inversor compra a crédito 1.000 acciones de la sociedad x. El
precio de compra de dichas acciones es de 15 €. El tipo de interés aplicado a la
operación es del 10%. En la operación se aplican las siguientes comisiones y
cánones: comisión del intermediario 0,10%, comisión de liquidación 0,10% y
cánones bursátiles 7 €.
A día 31 de mayo, se produce la prórroga automática de la operación, ya que el
inversor no ha realizado manifestación en contra de dicha prórroga antes del
vencimiento de la operación.
El día 30 de junio el inversor acepta una segunda prórroga.
El día 24 de julio la cotización de las acciones es de 16 €, por lo que decide
cancelar su posición dando orden de venta de los títulos comprados.
Calcular:
•
El resultado y la rentabilidad obtenida en la operación
Solución:
• Cálculo del resultado de la operación:
Fase
Concepto
Fecha
Garantía Inicial (1.000 × 15 × 0, 25)
Aportación inicial
04-05
Comisión del intermediario (1.000 × 15 × 0,10%)
Liquidación de la compra
Comisión de la liquidación (1.000 × 15 × 0,10%)
a crédito
Cánones bursátiles
Final del 1º vencimiento
27
Liquidación de intereses (1.000 × 15 × 75% × 10% ×
)
1ª Prorroga. Inicio
360
1ª Prorroga. Final
2ª Prorroga. Inicio
Liquidación de intereses (1.000 × 15 × 75% × 10% ×
30
)
360
(3.750)
(15)
04-05
(15)
(7)
31-05
(84,38)
30-06
(93,75)
Efectivo venta (1.000 × 16)
Cancelación
Importe
16.000
Comisión intermediario (1.000 × 16 × 0,10%)
(16)
Comisión liquidación (1.000 × 16 × 0,10%)
(16)
Cánones bursátiles
24
Liquidación de intereses (1.000 × 15 × 75% × 10% ×
)
360
Devolución garantía
Cancelación compra (1.000 × 15)
Resultado
24-07
(7)
(75)
3.750
(15.000)
670,87
(*) Al efectuarse la compra en la primera quincena del mes el vencimiento del
crédito será el último día hábil del mes corriente.
• Cálculo de la rentabilidad obtenida en la operación:
Re ntabilidad =
Resultado obtenido
670,87
=
= 17,72%
Capital invertido
(3.750 + 15 + 15 + 7)
31
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
Ejemplo:
El día 20 de marzo un inversor vende a crédito 1.000 acciones de la
sociedad x. El precio de venta de dichas acciones es de 15 €. El tipo de
interés de remuneración de las garantías es del 1%. En la operación se
aplican las siguientes comisiones y cánones: comisión del intermediario
0,10%, comisión de liquidación cobrado 0,10% y cánones bursátiles 7 €.
A día 30 de abril, se produce la prórroga automática de la operación, ya que
el inversor no ha realizado manifestación en contra de dicha prorroga antes
del vencimiento de la operación.
El día 31 de mayo el inversor acepta una segunda prórroga.
El día 24 de junio la cotización de las acciones es de 14 €, por lo que decide
cancelar su posición dando orden de compra a su intermediario de los
títulos vendidos inicialmente.
Calcular:
• El resultado y la rentabilidad obtenida en la operación
Solución:
• Cálculo del resultado de la operación:
Fase
Aportación inicial
Concepto
Garantía Inicial (1.000 × 15 × 25%)
Comisión del intermediario (1.000 × 15 × 0,10%)
Liquidación de la venta a
Comisión de la liquidación (1.000 × 15 × 0,10%)
crédito
Cánones bursátiles
Final del 1º vencimiento
41
Remuneración garantía (1.000 × 15 × 25% × 1% ×
)
1ª Prorroga. Inicio
1ª Prorroga. Final
2ª Prorroga. Inicio
Cancelación
360
31
Remuneración garantía (1.000 × 15 × 25% × 1% ×
)
360
Efectivo compra (1.000 × 14)
Fecha
20-03
Importe
(3.750)
(15)
20-03
(15)
(7)
30-04
4,27
31-05
3,23
(14.000)
Comisión intermediario (1.000 × 14 × 0,10%)
(14)
Comisión liquidación (1.000 × 14 × 0,10%)
(14)
Cánones bursátiles
24
)
Remuneración garantía (1.000 × 15 × 25% × 1% ×
360
Devolución garantía
Cancelación venta (1.000 × 15)
Resultado
24-06
(7)
2,5
3.750
15.000
938
(*) Al efectuarse la compra en la segunda quincena del mes el vencimiento del
crédito será el último día hábil del mes siguiente.
• Cálculo de la rentabilidad obtenida en la operación:
Re ntabilidad =
Resultado obtenido
938
=
= 24,77%
Capital invertido
(3.750 + 15 + 15 + 7)
32
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
6.5. CRÉDITOS CON GARANTÍA DE VALORES
Mediante la entrega en garantía o pignoración de valores mobiliarios se puede
obtener un crédito cuyo importe máximo será el resultado de aplicar un
coeficiente al valor efectivo de aquéllos.
Para la obtención del crédito podemos pignorar una sola clase de valores o varias
clases de valores. También se puede obtener un crédito pignorando valores y con
el importe de este crédito adquirir nuevos valores, que serán pignorados a su vez
para la obtención de otro nuevo crédito y así sucesivamente.
6.5.1. Pignoración de una clase de valores mobiliarios
El importe máximo del crédito obtenido por la pignoración de valores mobiliarios
será el resultado de aplicar un coeficiente de reducción, al que llamamos cambio
de pignoración (c p ) , sobre el valor efectivo de dichos valores.
El valor efectivo de los títulos pignorados por razón del cambio ( E c ) será el
resultado de multiplicar el nominal pignorado (N = Nominal de los títulos x el
número de títulos pignorados) por el cambio de cotización (c) .
Ec =
N ×c
100
Si al valor efectivo le aplicamos el cambio de pignoración, obtendremos el
importe máximo del crédito ( E p ) que puede ser concedido.
Ep =
Ec × c p
100
=
N ×c×cp
100 × 100
El efectivo que recibe el acreditado será inferior al importe del crédito concedido.
Esto se debe a que en la operación se producen gastos, que habrán de deducirse
del importe del crédito concedido. Asimismo se deducirá el importe de los
intereses de la operación, debido a que normalmente se cobran por adelantado.
El cambio de garantía (c g ) , será aquél al que deben de cotizar los títulos para
que el crédito concedido sea el máximo. Si el importe que se obtiene en la
pignoración es igual al límite máximo, (c) será el cambio de garantía. Si el
importe que se obtiene en la pignoración es inferior al límite máximo, deberemos
calcular aquel cambio al que tendrían que haber cotizado los valores para que el
importe del crédito obtenido hubiese sido el máximo.
cg =
100 × 100 × E p
N × cp
33
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
El importe máximo del crédito por pignoración de valores mobiliarios depende del
cambio de pignoración, del valor nominal pignorado, y del cambio de cotización
de estos.
El cambio de cotización es variable y puede suceder que vaya a la baja, en cuyo
caso, y si el descenso del cambio de cotización es superior al importe fijado en el
contrato de pignoración (con carácter general el 10%), el acreditado deberá
reducir el importe del crédito o aumentar la garantía.
El cambio de reposición es el límite al que puede bajar la cotización de los
valores en garantía, para que el contrato de pignoración siga estando en vigor y
el acreditado no deba aumentar la garantía o reducir el crédito.
Si se supera el límite al que puede bajar la cotización de los valores en garantía
para que el contrato siga estando vigente, el acreditado puede optar por una de
las dos alternativas siguientes:
™ Aumentar la garantía:
Si el límite al que puede bajar la cotización es el 10% tendremos que
aumentar el importe de la garantía cuando la cotización descienda a
9
× c , siendo el importe del aumento de la garantía, es decir, el
10
número de títulos a aportar para poder seguir con el mismo importe de
crédito (N ´) , aquél que haga que se iguale el importe del crédito
concedido ( E p ) , con el importe máximo de crédito a conceder ( E´ p ) al
nuevo cambio de cotización.
Ep =
N × c × cp
100 × 100
E´ p = N ´×
y
cp
9
c×
10
100
Igualando ambas expresiones:
N × c × cp
100 × 100
= N ´×
cp
9
c×
10
100
Resulta:
N=
9
N´
10
N ´=
10
N
9
N ´= N +
1
N
9
Debiéndose aumentar la garantía en una novena parte.
34
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
™ Reducir el crédito:
Si el límite al que puede bajar la cotización es el 10% tendremos que
9
×c,
minorar el importe del crédito cuando la cotización descienda a
10
siendo el importe de la reducción del préstamo la diferencia existente
entre el importe del crédito concedido inicialmente ( E p ) , y el importe
máximo del préstamo a conceder en el momento actual ( E´ p ) .
Por tanto:
Ep =
N × c × cp
100 × 100
y
E´ p =
9
c × cp
9
10
= Ep
100 × 100
10
N×
El importe de la reducción será:
Ep −
9
1
Ep = Ep
10
10
Ejemplo:
La sociedad X obtiene un préstamo por la pignoración de 1.000 acciones
de la sociedad Y, cuya cotización es de 30 €. Si el cambio de pignoración
es del 90%. Calcular:
1º La cuantía máxima que se puede obtener como préstamo.
2º El líquido que se obtendrá en la operación, si los gastos de
formalización son de 100 €, y se cobran por adelantado los
intereses (sabiendo que la operación se ha concertado a 6 meses y
a un tipo de interés anual del 10%).
3º El importe de la reducción del préstamo, si el cambio desciende
hasta el cambio de reposición y no se decide aumentar la garantía.
Solución:
1º Cálculo de la cuantía máxima del préstamo:
Ep =
Ec × c p
100
=
1.000 × 30 × 90
= 27.000€
100
2º Cálculo del importe recibido por el acreditado:
E l = E p − Comisiones - Intereses = 27.000 - 100 - (27.000 ×
6
× 0,10) = 25.550€
12
35
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
3º Cálculo del importe de la reducción del préstamo:
Como el límite al que puede bajar la cotización es del 10%, la nueva cotización
será
9
9
× c = × 30 = 27€ .
10
10
El importe de la reducción del préstamo será la diferencia existente entre el
importe del crédito concedido inicialmente ( E p ) , y el importe máximo del
préstamo a conceder en el momento actual ( E´ p ) .
Por tanto:
E p = 27.000€
y
E´ p =
1.000 × 27 × 90
= 24.300€
100
El importe de la reducción será:
E p − E´ p = 27.000 − 24.300 = 2.700€
6.5.2. Pignoración de varias clases de valores mobiliarios
Sean A, B y C los valores pignorados, cuyos nominales son N A , N B , N C , sus
cotizaciones son c A , c B , cC , y sus cambios de pignoración c PA , c PB , c PC , y sea C el
importe del préstamo solicitado. La operatoria a seguir para el cálculo de los
efectivos máximos que se pueden conceder para cada clase de valores, del
cambio de garantía y del cambio de reposición será:
1º Cálculo de los efectivos máximos que se pueden conceder para cada clase de
valores:
EA =
N A × c A × c PA
100× 100
EB =
N B × c B × c PB
100× 100
EC =
N C × c c × c PC
100× 100
2º Ahora debemos determinar que parte del crédito queda garantizada con cada
clase de valores, mediante un reparto proporcional del crédito solicitado a los
efectivos máximos.
C
C
C
C
= A + B + C
E A + E B + EC E A E B EC
Donde:
CA =
EA × C
E A + E B + EC
36
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
CB =
EB × C
E A + E B + EC
CC =
EC × C
E A + E B + EC
3º Determinación de los cambios de garantía y de reposición para cada clase de
valores.
c gA =
100 × 100 × C A
N A × c PA
C rA = 0,9 × C gA
c gB =
100 × 100 × C B
N B × c PB
c gC =
100 × 100 × C C
N C × c PC
C rB = 0,9 × C gB
C rC = 0,9 × C gC
Ejemplo:
La sociedad X obtiene un préstamo por la pignoración de los siguientes
valores:
Nominal
Títulos
50 Acciones
1.000 Bonos
Cambio de
pignoración
67
50
999
52
Número Cotización
3.000
300
Calcular:
1º
2º
La cuantía máxima que se puede obtener como préstamo.
El líquido que se obtendrá en la operación, si los gastos del
préstamo son del 3 por 1.000
Solución:
1º Cálculo de la cuantía máxima del préstamo:
N A × c A × c PA 67 × 3.000 × 50
=
= 100.500€
100 × 100
100
N ×c ×c
999 × 300 × 52
= 155.844€
Bonos: E B = B B PB =
100 × 100
100
Acciones: E A =
Préstamo: E A + E B = 100.500 + 155.844 = 256.344€
2º Cálculo del importe recibido por el acreditado:
E l = E p − Comisiones = 256.344 - 769,03 = 255.574,97€
37
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS
6.5.3. Pignoraciones sucesivas de valores mobiliarios
Se puede obtener un crédito pignorando valores y con el importe de este crédito
adquirir nuevos valores, que serán pignorados a su vez para la obtención de otro
nuevo crédito y así sucesivamente.
p
obtendremos el efectivo de las sucesivas
Si expresamos c P como
q
pignoraciones:
™ 1ª pignoración
E1 p =
N ×c p
×
100
q
™ 2ª pignoración
E 2 p = E1P ×
p N ×c ⎛ p⎞
=
×⎜ ⎟
100 ⎜⎝ q ⎟⎠
q
2
™ 3ª pignoración
2
E3 p = E 2 P
⎛ p⎞
p
N ×c ⎛ p⎞
×⎜ ⎟
× = E 2 P × ⎜⎜ ⎟⎟ =
100 ⎜⎝ q ⎟⎠
q
⎝q⎠
3
™ n-ésima pignoración
E np = E n −1P ×
p N ×c ⎛ p ⎞
=
×⎜ ⎟
q
100 ⎜⎝ q ⎟⎠
n
Si sumamos y sacamos factor común resulta:
k =n
∑
Ek =
k =1
2
3
⎛ p⎞
p ⎛ p⎞
N ×c p ⎡
× × ⎢1 + + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
q ⎢ q ⎝q⎠
100
⎝q⎠
⎣
⎛ p⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
n −1
⎤
⎛ p⎞
N ×c
⎝q⎠
+ .... + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ =
× p×
q− p
⎝ q ⎠ ⎥⎦ 100
n
Si ahora hacemos que k → ∞ , es decir, que se repita la pignoración de valores un
número infinito de veces nos queda:
k =∞
∑
k =1
n
Ek =
⎛ p⎞
p
p
N ×c
, ya que
<1, y por lo tanto ⎜⎜ ⎟⎟ = 0
×
100 q − p
q
⎝q⎠
38