Aut omá c a E j er c i c i os Ca pí t ul o2. Di a g r a ma sdeBl oquesyF l uj og r a ma s J os éRa mónL l a t aGa r c í a E s t herGonz á l e zS a r a bi a Dá ma s oF er ná nde zPér e z Ca r l osT or r eF er r er o Ma r í aS a ndr aRobl aGóme z De pa r t a me nt odeT e c nol og í aE l e c t r óni c a eI ng e ni e r í adeS i s t e ma syAut omác a Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 2.1. Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: H3 _ G1 +_ G2 + +_ G3 G4 H1 H2 H3/G4 _ G1 +_ G2 + +_ G3 H1 G4 H2 H3/(G4·G1) _ + _ G1 +_ G2 +_ G3 H1 G4 H2 H3/(G4·G1) _ + G1 G 2 1 G1 G 2 H1 G3 G 4 1 G3 G 4 H2 G3 G4 G1 G 2 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G3 G4 H3 G1 G 2 1 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G 4 G 1 G1G 2G 3G 4 1 G1G 2 H1 G 3G 4 H 2 G 2G 3H 3 G1G 2G 3G 4 H1H 2 1 Diagramas de Bloques y Flujogramas. EJERCICIO 2.2. Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques. c H2 _ R(s) + +_ a + G1 b + d G2 C(s) G3 H1 La señal en el punto d será: d (a b)G 1 cH 2 aG 1 bG 1 cH 2 Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a: c H2 R(s) + a +_ _ + + b G1 d G2 C(s) G3 H1 Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d: d (a cH 2 b)G 1 aG 1 bG 1 cH 2 G 1 Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1. c H2/G1 R(s) + a +_ _ + + b G1 H1 2 d G2 G3 C(s) Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Resolviendo el bucle interno: M 1 (s ) G 1G 2 1 G 1G 2 H 1 Con lo que el diagrama de bloques ahora será: H2/G1 R(s) + a +_ _ G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 c C(s) Resolviendo el lazo interno entre a y c: G 1G 2 G 3 G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 M 2 (s ) G 1G 2 G 3 H 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 1 2 1 G 1G 2 H 1 G 1 R(s) +_ G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 C(s) Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 M 3 (s ) G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 1 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 R(s) G1G 2 G 3 1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3 C(s) Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría: 3 Diagramas de Bloques y Flujogramas. H2 R(s) +_ _ + G1 + + G2 G3 C(s) H1/G3 Resolviendo el bloque más interno: M 1 (s ) R(s) +_ + + G 2G 3 1 G 2G 3H 2 G2G3 1 G 2 G 3 H 2 G1 C(s) H1/G3 Resolviendo el lazo más interno nuevamente: G 1G 2 G 3 1 G 2G 3H 2 G 1G 2 G 3 M 2 (s) G 1G 2 G 3 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 1 1 1 G 2G 3H 2 G 3 R(s) +_ G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 C(s) Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 M 3 (s ) G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 1 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 4 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 2.3. Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica. e R(s) r +_ 1 s 10 K z u 2 s 3 v 1 s Y(s) 0.1 + w + + + Analíticamente: 1 s 1 e r z r (0.1u w ) r (0.1u v v ) r 0.1u v s s s 1 2 2(s 1) 2(s 1) K u r 0.1 r 0.1u e u r 0.1 s s3 s(s 3) s(s 3) s 10 2(s 1) K e r 0.1 e s(s 3) s 10 0.1K 2 K (s 1) e1 r s 10 s(s 3)(s 10) 1 e 1 0.1K 2 K (s 1) s 10 s(s 3)(s 10) e r 1 r s(s 3)(s 10) 0.1Ks(s 3) 2 K(s 1) s(s 3)(s 10) s(s 3)(s 10) 3 s (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K r Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa: y 2K e s(s 3)(s 10) G (s ) y 2K e s(s 3)(s 10) 5 Diagramas de Bloques y Flujogramas. Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s ) 2K e s(s 3)(s 10) Y (s ) R (s) s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K e s(s 3)(s 10) M (s ) 2K 3 2 s (13 0.1K )s (30 2.3K )s 2 K Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación. M (s ) G (s ) 1 G (s ) H (s ) Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa: 2K 2K 2K s(s 3)(s 10) 3 M (s ) 2 2K s(s 3)(s 10) 2 K H (s) s 13s 30s 2 K H (s) H (s ) 1 s(s 3)(s 10) Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s): s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s) s 3 13s 2 30s 0.1Ks 2 2.3Ks 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s) 0.1Ks 2 2.3Ks 2 K 2 K H (s) H eq 0.05s 2 1.15s 1 R(s) +_ 2K s(s 3)(s 10) 0.05s2 115 . s1 6 C(s) Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Resolviendo ahora de forma gráfica: R(s) r +_ e K 1 s 10 z u 2 s 3 v 1 s Y(s) 0.1 + w + + + Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v: R(s) r +_ e K 1 s 10 z u 2 s(s 3) v Y(s) s 0.1 + w + + + Agrupando las funciones de transferencia del último sumador: R(s) r +_ e u K s 10 z 2 s(s 3) v Y(s) s+1 0.1 + w + Moviendo el bloque R(s) r +_ 2 delante del punto de bifurcación u: s(s 3) e u 2K s(s 3)(s 10) v 01 . s(s 3) 2 z + w + 7 s+1 Y(s) Diagramas de Bloques y Flujogramas. Agrupando los dos elementos del sumador: R(s) r +_ e Y(s) 2K s(s 3)(s 10) z 0.05s2 115 . s1 EJERCICIO 2.4. Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria. R(s) r +_ e v 10 s1 z 1 s Y(s) y 2 + + Analíticamente: 1 1 1 10 e r z r (2v y) r 2 v v r 2 v r 2 e s s s s 1 1 10 e r 2 e s s 1 2s 1 10 e 1 r s s 1 e r s2 s s(s 1) 2 r 2 r 20s 10 s 21s 10 s 21 s 10 1 2 s s La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa: G (s ) y 10 e s(s 1) 8 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. y 10 e s(s 1) Y la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s ) 10 e s(s 1) y 10 2 2 r s 21s 10 s 21s 10 e s(s 1) Sabiendo que: M (s ) G (s ) 1 G (s ) H (s ) 10 10 s(s 1) M (s ) 2 10 1 H (s) s s 10 H (s) s(s 1) Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas: s 2 21s 10 s 2 s 10 H (s) 20s 10 10 H (s) H (s) 2s 1 R(s) +_ Y(s) 10 s(s 1) 2s+1 Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica: R(s) r +_ e v 10 s1 z 1 s 2 + + 9 Y(s) y Diagramas de Bloques y Flujogramas. Moviendo el último bloque delante del punto v: R(s) r +_ e v 10 s(s 1) z Y(s) y 2s + + Uniendo los elementos del sumador: R(s) +_ 10 s(s 1) Y(s) 2s+1 Si se desea que Heq sea 1: R(s) +_ G’(s) Y(s) Como la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s ) 10 2 s 21s 10 Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2 21s se tiene: 10 10 2 G ' (s ) M (s) 2 s 21s s 21s 10 1 G ' (s ) s 21s 10 1 2 2 2 s 21s s 21s s 21s 2 R(s) +_ 10 s(s 21) 10 Y(s) Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq: R(s) +_ Y(s) 10 s(s 1) 2s+1 R(s) +_ Y(s) 10 s(s 1) 2s 1 10 10 10 10 s(s 1) s(s 1) 2 2 G ' (s ) 10 s(s 21) 2s s s 20s s 21s 1 s(s 1) s(s 1) R(s) +_ Y(s) 10 s(s 21) EJERCICIO 2.5. Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas. C(s) R(s) G1 G2 + - G3 +_ G4 + + G6 G8 11 G5 G7 Diagramas de Bloques y Flujogramas. Resolviendo primero gráficamente: En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica: R(s) +_ G3 +_ G5 G8 G1 G2 C(s) G4 G7 + + G6 Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación: R(s) +_ G3 +_ G1 G 8 G 5G 2 G7 G 5G 2 + + G6 Se agrupan los bloques de la realimentación interna: 12 G4 C(s) Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. R(s) +_ G3 +_ G1 G 8G 5G 2 C(s) G7 G 4 G 6 G 5G 2 R(s) +_ G3 +_ G1 G 8G 5G 2 C(s) G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 G 5G 2 Agrupando en un único bloque la realimentación interna: G ' (s ) R(s) +_ G 8G 5G 2 G 8G 5G 2 G (G G 4 G 5 G 2 1 G 8 G 6 ( G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 5G 2 6 7 G 5G 2 G3 G 8G 5G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G1 C(s) Agrupando finalmente los elementos restantes: G 1G 3 G 8 G 5 G 2 G 8G 5G 2 G1 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) M (s ) G 8G 5G 2 G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G3 G1 1 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G3 13 Diagramas de Bloques y Flujogramas. M (s ) M (s ) G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G 1 G 3 G 8 G 5 G 2 G 1G 2 G 3 G 5 G 8 1 G 6 G 7 G 8 G 2 G 4 G 5 G 6 G 8 G 1G 2 G 3 G 5 G 8 Aplicando la técnica de los flujogramas: Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema: R 1 G3 G8 G2 G5 G1 1 C G7 G4 -G6 -1 Se resuelve aplicando la regla de Mason: La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por: C(s) M (s ) R (s ) k Tk k siendo: (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+… Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo" i: ganancia de cada lazo. i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo. ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos. TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo. K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común 14 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. con el k-ésimo trayecto directo. Trayectos directos: T1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 Lazos: 1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 2 G 8 G 7 G 6 3 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6 i 1 2 3 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6 No existen lazos disjuntos. 1 i 1 1 2 3 1 G 3G 8 G 2 G 5G1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6 1 1 C(s) M (s ) R (s) k Tk k G 3G 8 G 2 G 5G1 1 G 3G 8 G 2 G 5G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6 EJERCICIO 2.6. Calcular la función de transferencia C( s ) del siguiente flujograma: R (s ) -H2 R(s) 1 1 G1 G2 G3 1 C(s) H1 -1 Trayectos Directos: P1 G1G 2G 3 Lazos Independientes: L1 G1G 2 H1 L 2 G 2 G 2 H 2 L3 G1G 2G 3 Determinante: 1 La L b Lc Ld Le Lf ... 15 Diagramas de Bloques y Flujogramas. 1 G1G 2 H1 G 2G 3H 2 G1G 2G 3 P1 G1G 2G 3 Cofactor: 1 1 Entonces: 1 Pk k k M (s ) M (s ) G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 EJERCICIO 2.7. Calcular la función de transferencia Y (s ) del siguiente flujograma: R (s ) 6 R(s) 1 1 1 s+1 -4 1 -3 s s+2 3 -5 Trayectos Directos: P1 3s (s 1)(s 2) P2 4 (s 1) P3 6 Lazos Independientes: L1 3 (s 1) L2 5s (s 2 ) Pares de lazos: L1 L 2 Determinante: 15s (s 1)(s 2) 1 La L b Lc Ld Le Lf ... 16 1 Y(s) Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. 3 5s 15s 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) Cofactores: P1 3s (s 1)(s 2) 1 1 P2 4 (s 1) 5s 2 1 (s 2) P3 6 3 5s 15s 3 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) Entonces: M (s ) 1 Pk k k 5s 3s 3 5s 15s 4 1 61 1 (s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) s 1 M (s ) 3 3 5s 15s 5s 15s 1 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) M (s ) 36s 2 135s 40 6s 2 26s 8 EJERCICIO 2.8. Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma: H1 R(s) 1 G1 G5 G2 H2 G3 H3 G6 H4 G7 17 G4 1 C(s) G8 Diagramas de Bloques y Flujogramas. Trayectos Directos: P1 G1G 2G 3G 4 P2 G 5G 6 G 7 G 8 Lazos Independientes: L1 G 2 H1 L 2 G 3H 2 L3 G 6 H 3 L4 G 7H4 Pares de lazos: L1L 4 G 2 H1G 7 H 4 L 2 L 3 G 3H 2 G 6 H 3 Determinante: 1 La L b L c Ld L e Lf ... 1 G 2 H1 G 3H 2 G 6 H 3 G 7 H 4 G 2 H1G 7 H 4 G 3H 2G 6 H 3 Cofactores: P1 G1G 2G 3G 4 1 1 G 6 H 3 G 7 H 4 P2 G 5G 6 G 7 G 8 2 1 G 2 H1 G 3H 2 Entonces: M (s ) M (s ) 1 Pk k k (G G G G )(1 (G H G H )) (G G G G )(1 (G H G H )) 1 2 3 4 6 3 7 4 5 6 7 8 2 1 3 2 1 (G H G H G H G H ) (G H G H G H G H ) 2 1 3 2 6 3 7 4 2 1 7 4 3 2 6 3 EJERCICIO 2.9. Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma: 18 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. -4 R1(s) 1 R2(s) 1 1 s 1 C1(s) s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3 T11 C 1 (s) R 1 (s ) T21 C 2 (s ) R 1 (s ) T21 C 1 (s ) R 2 (s ) T22 C 2 (s ) R 2 (s ) 1- T11 C1 (s) R1 (s) -4 R1(s) 1 1 s 1 C1(s) s s+2 10 1 s+3 10 s 1 1 s2 s(s 3) T11 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T11 (s) s 3 3s 2 10s 20 5s 3 17s 2 46s 80 2- T21 C 2 (s) R1 (s) -4 R1(s) 1 1 s s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3 1 1 s(s 3) T21 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) 19 Diagramas de Bloques y Flujogramas. T21 (s) s2 3 5s 17s 2 46s 80 3- T21 C1 (s) R 2 (s) -4 1 s R2(s) 1 1 C1(s) s s+2 10 1 s+3 10 1 (s 3) T12 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T12 (s) 10s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80 4- T22 C 2 (s) R 2 (s) -4 R2(s) 1 1 s s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3 1 40 1 (s 3) s(s 3) T22 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T22 (s) 5s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80 EJERCICIO 2.10. Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma: 20 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. R2(s) 1 s -2 R1(s) 1 1 R3(s) 1 6 -4 1 1 1 Y1(s) s -3 Y2(s) T11 Y1 (s) R 1 (s ) T12 Y1 (s) R 2 (s ) T13 Y1 (s) R 3 (s ) T21 Y2 (s) R 1 (s ) T22 Y2 (s) R 2 (s ) T23 Y2 (s) R 3 (s ) 1- T11 Y1 (s) R1 (s) 1 s -2 R1(s) 1 6 -4 1 s -3 1 Y1(s) 6 2 1 s T11 (s) 2 3 24 6 1 s s s s2 T11 (s) 6 s 29s 6 2 2- T12 Y1 (s) R 2 (s) R2(s) 1 1 s 6 -2 1 s -3 -4 1 Y1(s) 6 1 s T11 (s) 2 3 24 6 1 s s s s2 T11 (s) 6s s 29s 6 2 21 Diagramas de Bloques y Flujogramas. 3- T13 Y1 (s) R 3 (s) R3(s) 1 s -2 1 1 1 Y1(s) s -3 6 -4 1 1 2 T13 (s) s 2 3 24 6 1 s s s s2 T13 (s) s( s 2 ) s 2 29s 6 4- T21 Y2 (s) R1 (s) 1 s -2 R1(s) 1 1 6 -4 1 s -3 Y2(s) 1 1 3 24 T21 (s) s s 2 3 24 6 s s s s2 1 T21 (s) s(s 27) s 2 29s 6 5- T22 Y2 (s) R 2 (s) R2(s) 1 1 1 s 6 -2 -4 1 s -3 Y2(s) 2 1 3 T22 (s) s 2 3 24 6 1 s s s s2 22 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. T22 (s) s( 2s 6) s 2 29s 6 6- T23 Y2 (s) R 3 (s) R3(s) 1 s -2 1 6 -4 Y2(s) T23 (s) 1 1 s -3 81 2 3 24 6 s s s s2 1 T23 (s) 8s 2 s 2 29s 6 EJERCICIO 2.11. La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo: Donde: G1 = 1 G2 = 1/s G3 = 1/s G4 = 1/s G5 = 4 G6 = 1 G7 = -1 G8 = -2 G9 = -3 G10 = 1 G11 = 2. Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s). G (s) 1 TK K K Trayectos directos: 1 1 1 4 T1 G1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 1 4 1 3 s s s s 1 1 T2 G 1 G 2 G 10 G 6 1 1 1 s s 23 Diagramas de Bloques y Flujogramas. 1 1 2 T3 G1 G 2 G 3 G11 G 6 1 2 1 2 s s s Determinante del sistema: 1 La L b Lc ... 1 2 3 1 G 2 G 7 G 2 G3 G8 G 2 G3 G 4 G9 1 2 3 s s s Cofactores: 1 1 2 1 3 1 Función de transferencia: 4 2s s 2 4 1 2 2 3 3 s s 3 2s G (s) s 1 2 3 1 2 3 s s 2s 3 s s s s3 G (s) s 2 2s 4 s3 s 2 2s 3 EJERCICIO 2.12. Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la regla de Mason: Y(s) R(s) + - G2(s) G1(s) + - G5(s) G4(s) G3(s) + + G6(s) G7(s) G8(s) 1 s2 1 G 5 (s) s G1 (s) G 2 (s) (s 1) G 3 (s) 5 G 6 (s) 1 G 7 (s) T (s) Tn n Trayectos: T1 G 3G 8G 5G 2G1 24 1 s 1 G 4 (s) s G 8 (s) s Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Lazos: L1 G 3G 8G 5G 2G1 L 2 G 8G 5G 2 G 4 G 6 L 3 G 8G 7 G 6 1 (G 3G 8G 5G 2G1 G 8G 5G 2G 4G 6 G 8G 7 G 6 ) T (s ) G 3G 8 G 5G 2 G1 1 ( G 3 G 8 G 5 G 2 G 1 G 8 G 5 G 2 G 4 G 6 G 8 G 7 G 6 ) 1 1 5 s (s 1) 2 s s T (s ) 1 1 1 1 1 5 s (s 1) 2 s (s 1) s 1 s 1 s s s 1 s T (s ) 5(s 1) 2 s 5 2s 4 3s 3 6s 2 10s 5 EJERCICIO 2.13. G(s) está definida por el diagrama de flujo: 3 U(s) 2 1/s 1 1/s -4 -5 Obtener la función de transferencia. Aplicando la regla de Mason: T Trayectos directos: Lazos independientes: Tn n T1 3 s 1 1 T2 2 s2 2 1 L1 25 4 s Y(s) Diagramas de Bloques y Flujogramas. L2 1 5 s2 4 5 s s2 3 2 3s 2 2 2 3s 2 s s 2 s 2 G (s ) 4 5 1 2 s 4s 5 s 4s 5 s s s2 G (s ) 3(s 0.66) s 2 4s 5 EJERCICIO 2.14. Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente flujograma: 1 R'(s) 4 31 1 2 /(s+1) /(s+1) 7 6 1 5 C'(s) La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por: C' (s) M ' (s) R ' (s) k Tk k T1 2 5 10 1 1 T2 3 6 18 2 1 T3 4 7 28 3 1 26 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Bucles: T4 2 1 12 6 s 1 s 1 4 1 T5 2 1 1 14 7 s 1 s 1 (s 1) 2 5 1 T6 3 1 21 7 s 1 s 1 6 1 No hay Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1 Se tiene entonces: M ' (s) k Tk k M ' (s) 10 18 28 M ' (s) T11 T2 2 ... T6 6 1 12 14 21 33 14 56 2 s 1 (s 1) s 1 s 1 (s 1) 2 56 s 2 112 s 56 33 s 33 14 (s 1) 2 M ' (s) 56 s 2 145 s 103 (s 1) 2 EJERCICIO 2.15. Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de bloques: F(s) U(s) E(s) Qe(s) 1 H(s) 0.2 V(s) 10 101 +_ +_ s s Qs(s) 0.009 27 Diagramas de Bloques y Flujogramas. Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en la figura. U 1 E 0.2 10 1 s V 10 1 s Qe H -0.009 -1 Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia: T Tn n 1 L1 L 2 1 0.2 T1 10 1 10 s s 1 1 1 0.2 L1 101 10 (1) s s 1 L 2 (0.009) s 0.2 1 1 1 101 10 (1) (0.009) s s s s 0.2 H(s) s2 T s 0.2 0.009 U(s) 1 100 2 s s 100 T H(s) 100(s 0.2) 2 U(s) s 100s 20 0.009s T H(s) 100(s 0.2) 2 U(s) s 100.009s 20 28 1 H Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 2.16. Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques: R2(s) R1(s) Y(s) G2(s) G1(s) + - H1(s) + H2(s) + H3(s) 1.- Dibujar el flujograma correspondiente. 2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason, Y(s) M (s) R1 (s) 1 1 . ; G1(s) = K y G2(s) = ( s 4)( s 6) s Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la figura: 3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) = C(s) R(s) G3(s) + - 1 s 1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques: R2(s) 0 1 1 G1(s) 2 R1(s) 1 -1 3 -1 -H1(s) G2(s) 5 H2(s) 4 -H3(s) 2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será: M (s) Y(s) R1 (s) 29 TK K 1 6 Y(s) Diagramas de Bloques y Flujogramas. Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s) Bucles: B1: 1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)] B2: 1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) B3: 2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)] Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 = = 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)] K = 1 = 1 – 0 = 1 T1 = G1(s)G2(s) Se tiene entonces: M (s) Y(s) R1 (s) TK K G1 (s) G 2 (s) 1 G 2 (s) G1 (s) H 3 (s) G1 (s) H1 (s) H 2 (s) H 2 (s) 1 1 3. Ahora, H 2 (s) H 3 (s) 1; H1 (s) ; G1 (s) K; G 2 (s) s (s 4)(s 6) sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene: K Ks Ks (s 4)(s 6) M (s) 3 2 1 K 1 (K 1) s(s 4)(s 6) s(K 1) K s 10s (25 K )s K (s 4)(s 6) s R1(s) Ks 3 2 s 10 s (25 K ) s K Y(s) R(s) C(s) G3(s) 1 s M(s) 30 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. G 3 (s) M (s) 1 G 3 (s) 1 s s G 3 (s) s G 3 (s) G 3 (s) s M (s) K 2 s M (s) s 10s (25 K ) Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta que K = 1000, será: 1 F.T.L.A.' K G 3 (s) s F.T.L.A.' 1000 s(s 2 10s 1025) EJERCICIO 2.17. G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es el siguiente: -4 1 s 1 1 +1 2 s2 1 2 s s 2 -s 4 3 3 s3 5 +1 +10 6 1 s 4 8 s8 2 9 1 s 8 -7 1 s 10 -6 Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason. Trayectos directos: 31 7 Diagramas de Bloques y Flujogramas. 1 2 3 4 9 10 6 7 P1 1 2 8 9 10 6 7 P2 Lazos disjuntos: L1 1 1 10 1 1 2 10 2 2 s s s (s s)(s 1) s 1 s s 1 8 1 1 8 2 2 s 4 s 8 s s s (s 4)(s 8) 2 4 56 8 1 6 ; L 2 s; L3 7 ; L 4 6 ; s8 s8 s s s s 1 1 3 s 30 L5 10 s s s 3 s 2 s(s 2)(s 3) 2 Determinante del flujograma: 1 L1 L 2 L 3 L 4 L1 L 2 L1 L 3 L1 L 4 L 2 L 3 L 2 L 4 L1 L 2 L 3 L1 L 2 L 4 56 6 4( s) 4( 56) 4( 6) 4 1 2 s 2 s 8 s s s (s 2 s)(s 8) s(s 2 s) s s 6 56 4 s( 56) s( 6 ) 4 ( s ) 2 ( s ) 2 s8 s s s s s s8 s s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192 s 2 (s 1)(s 8) Cofactores: 1 1 L 2 1 (s) 1 s 3 2 4s s 2s 5s 4 4 (s) 2 2 1 (L1 L 2 ) L1 L 2 1 2 s(s 1) s s s s Luego, G (s ) P1 1 P2 2 Y sustituyendo los valores queda: G (s ) 18s 3 96s 2 80s 352 s(s 2 4)(s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192) 32