2D

Movimiento en Dos Dimensiones con Resistencia
del Aire
Ruiz Atanacio Nihel
10 de junio de 2019
Resumen
En este apartado analizaremos por un método numérico las variables
de un proyectil como ser la posición, velocidad y energías en un plano, es
decir, en las variables ’x’ y ’y’ en cada instante del tiempo, ya se había
visto este problema en muchos casos, pero este nos dará mas precisión por
que tomaremos en cuenta la resistencia del aire, la forma aerodinámica
del proyectil y la masa del mismo; lo que significa que los resultados serán
muy diferentes al del caso ideal.
Para el análisis cuantitativo se recurre a un método muy conocido Runge Kutta de 4to orden y para simplificar el problema utilizaremos el
MATLAB. Estos datos a mostrar son bastante precisos porque se aproxima al caso real, esto por las variables que no se consideraba en el caso
ideal. El código del programa esta en la sección de los anexos listos para
ser ejecutados en MATLAB.
Palabras Claves: Parabólico, Proyectil, Resistencia del aire, Forma aerodinámica y Runge Kutta.
1.
Introducción
Es este una aproximación del movimiento de un proyectil considerando la resistencia del fluido en el que un sólido esta
sumergido en el, dicho de otra manera la
resistencia del aire que se opone al movimiento, se ve muchos fenómenos con
esta naturaleza por ej: Un motociclista
que realiza sus pruebas para desplazarse
de un punto a otro.
Figura 1: trayectoria parabólica
Pues en este ejemplo tan simple se puede ver con bastante claridad como el
motociclista adquiere diferente velocidades en cada punto de la trayectoria, bien
se sabe que la velocidad es nula cuando alcanza el punto máximo en altura, este
problema podrá resolverse aplicando las ecuaciones de movimiento parabólico
pero el problema es que tales ecuaciones son para idealizar el fenómeno físico.
Entonces tenemos que ajustar o aproximar nuestro problema a un caso mas real,
1
es decir, considerando la resistencia del aire la forma aerodinámica y la masa
del cuerpo.
En el caso ideal considera al cuerpo como un masa puntual lo quiere decir que
no toma en cuenta la forma aeordinámica o que el diámetro del mismo tiende a
cero, pues este problema es valido para
entender la trayectoria del cuerpo. Ahora trataremos de ver este problema de
diferente manera, incluiremos las variables que afectan al cuerpo cuando esta
en movimiento, este ejemplo nos ayudara a entenderlo mejor.
Figura 2: Mov. parabólico Ideal
y Real
La resistencia es un efecto del fluido, este puede adecuarse dependiendo del
cuerpo que realizara el movimiento, entonces podemos ajustarlo a una resistencia lineal o cuadrática, este problema se había discutido ya desde los tiempos
de Aristoteles y Galileo.
Para resolver este problema aplicaremos el método numérico de Runge Kutta de 4to orden, realizar esto analáticamente tomará mucho tiempo entonces
recurriremos a un software que realice este problema, es decir, que el fenómeno
físico se traduzca a un lenguaje ejecutable por el software ’El MATLAB’.
2.
Método:
El Método a aplicar es Runge Kutta de 4to orden.
f = f (x, y)
dy
= f (x, y)
dx
k1 = f (x, y)
(1)
(2)
(3)
k2 = f (x + h/2, y + h ∗ k1/2)
(4)
k3 = f (x + h/2, y + h ∗ k2/2)
(5)
k4 = f (x + h, y + h ∗ k3)
(6)
k1 + 2 ∗ k2 + 2 ∗ k3 + k4
(7)
6
Entonces aplicamos las ecuaciones de movimiento parabólico en 2D (dos
dimensiones).
yi+1 = yi + h ∗
m∗
dvy
M ∗m
= −G ∗
− f (v) ∗ vy
dt
(R + y)2
(8)
dvx
= −f (v) ∗ vx
dt
(9)
m∗
2
Donde f (v) es la resistencia que se opone al movimiento, esta puede ser lineal o cuadrática dependiendo de la relación entre las mismas.
fcuad
flin
> 10, entonces consideramos fcuad ; si fuera el caso contrario entonces
consideramos flin .
La única variable quien definirá que tipo de resistencia es el diámetro de la
esfera.
Por tanto las ec. 8 y 9 se modelan con las ec 1 y 2, entonces puede verse que se
ajusta muy bien a Runge Kutta.
Y
finalmente sera el MATLAB quien ejecute este trabajo, dándole un lenguaje
adecuado.
3.
Resultados
Los resultados tienen los siguientes datos vo = 120[m = s], θ = 57o .
(a) Diametro constante 0.1m
(b) Masa Constante 7kg
Figura 3: Energias para un caso ideal
3
(a) Energias para un caso real, to- (b) Datos para cada instante del tiempo, camando en cuenta las variables que da columna representa a un tipo de variafectan a un cuerpo en movimiento ble(tiempo, posición, Altura, ve- locidad x, velocidad y, energía Cinetica, Energía Potencial
y Energía total)
4.
Discusión y Conclusión:
Este en un problema que se habá discutido por mucho an os desde los tiempos
de galileo, cuando observo que un cuerpo con mayor peso caía a la superficie
mucho mas rápido que otro con menor peso. También observo que influá la
forma del cuerpo, esta claro por la simulación en la parte de los resultados como
afecta el peso y la forma aerodinámica de material; podemos concluir que existe
una gran diferencia con el caso ideal y la resistencia del fluido donde el cuerpo
esta sumergido (aire) no es despreciable.
5.
Referencia Bibliográfica:
1. Classical Mechanics John R.Taylor.
6.
Anexos:
Programa Ejecutable MATLAB.
Primer archivo .m ejecutable, función de datos de entrada y salida (loop
para Runge Kutta).
%Resolucion de ecuaciones diferenciales por el Metodo de Runge kutta
function [t,x,y,vx,vy,v,k,U,E]=rkparab(fx,fy,t0,tf,x0,y0,v0,rou,h,M,m,G,R)
%variables iniciales de entrada
n=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
vy(1)=v0*sind(rou);
y(1)=y0;
vx(1)=v0*cosd(rou);
x(1)=x0;
v(1)=sqrt((vx(1)).^2+(vy(1)).^2);
k(1)=0.5*m*(v(1))^.2;
U(1)=m*G*M*m/(R+y(1)).^2*y(1);
4
E(1)=k(1)+U(1);
%loop para la ec dif.
for i=1:n
%funciones varibles de RK1, RK2, RK3 y RK4
kx1=h*fx(t(i),x(i),y(i),vx(i),vy(i));
ky1=h*fy(t(i),x(i),y(i),vx(i),vy(i));
kx2=h*fx(t(i)+h/2,x(i)+h/2,y(i)+h/2,vx(i)+h*kx1/2,vy(i)+h*ky1/2);
ky2=h*fy(t(i)+h/2,x(i)+h/2,y(i)+h/2,vx(i)+h*kx1/2,vy(i)+h*ky1/2);
kx3=h*fx(t(i)+h/2,x(i)+h/2,y(i)+h/2,vx(i)+h*kx2/2,vy(i)+h*ky2/2);
ky3=h*fy(t(i)+h/2,x(i)+h/2,y(i)+h/2,vx(i)+h*kx2/2,vy(i)+h*ky2/2);
kx4=h*fx(t(i)+h,x(i)+h,y(i)+h,vx(i)+h*kx3,vy(i)+h*ky3);
ky4=h*fy(t(i)+h,x(i)+h,y(i)+h,vx(i)+h*kx3,vy(i)+h*ky3);
% x, y, vx, vy, k, U y E varibles de salida
vx(i+1)=vx(i)+(kx1+2*(kx2+kx3)+kx4)/6;
x(i+1)=x(i)+h*vx(i);
vy(i+1)=vy(i)+(ky1+2*(ky2+ky3)+ky4)/6;
y(i+1)=y(i)+h*vy(i);
v(i+1)=sqrt((vx(i+1)).^2+(vy(i+1).^2));
k(i+1)=0.5*m*v(i+1).^2;
U(i+1)=m*G*M*m/(R+y(i+1)).^2*y(i+1);
E(i+1)=k(i+1)+U(i+1);
%grafica para y=y(t)
%axis([0 inf 0 inf])
%hold on
%plot(t(i),y(i),’*’)
%pause(0.1)
end
end
Segundo Archivo .m Ecuaciones diferenciales para un proyectil y datos de
entrada.
%problema de RK
clear all
clc
%close all
D=input(’Diametro del proyectil: ’);
m=input(’Masa del proyectil: ’);
t0=input(’Ingrese Tiempo inicial: ’);
tf=input(’Ingrese Tiempo final: ’);
h=input(’Ingrese Tama\~no de paso: ’);
v0=input(’Ingrese Velocidad inicial del proyectil: ’);
5
rou=input(’Ingrese Angulo de disparo: ’);
%constantes que dependen medio en STP(Condiciones normalizadas de presion y temperatur
beta=1.6e-4;%N-s/m^2
gamma=0.25;%N-s^2/m^4
%Constantes gravitacional y radio-masa de la tierra
R=6371000;
G=6.674e-11;
M=5.972e24;
%valores iniciales de la posicion
x0=0;
y0=0;
fcuad=gamma*D.^2*v0;
flin=beta*D*v0;
if (fcuad/flin > 10)
%fcuad/flin > 10 considera el caso cuadratico
a=2;
fx=@(t,x,y,vx,vy) -gamma*D.^2*(vx.^2+vy.^2).^((a-1)/2)*vx/m;
fy=@(t,x,y,vx,vy) -G*M/(R+y).^2-gamma*D.^2*(vx.^2+vy.^2).^((a-1)/2)*vy/m;
[t,x,y,vx,vy,v,k,U,E]=rkparab(fx,fy,t0,tf,x0,y0,v0,rou,h,M,m,G,R);
else
%fcuad/flin < 10 considera el caso lineal
a=1;
fx=@(t,x,y,vx,vy) -beta*D*(vx.^2+vy.^2).^((a-1)/2)*vx;
fy=@(t,x,y,vx,vy) -G*M/(R+y).^2-beta*D*(vx.^2+vy.^2).^((a-1)/2)*vy;
[t,x,y,vx,vy,v,k,U,E]=rkparab(fx,fy,t0,tf,x0,y0,v0,rou,h,M,m,G,R);
end
figure;
subplot(2,3,1)
plot(t,x)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta x=x(t)’
grid on
grid minor
xlabel ’t’
ylabel ’x’
subplot(2,3,2)
plot(t,y)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta y=y(t)’
grid on
grid minor
xlabel ’t’
ylabel ’y’
subplot(2,3,3)
6
plot(t,vx)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta vx=vx(t)’
grid on
grid minor
xlabel ’t[2]’
ylabel ’vx[m/s]’
subplot(2,3,4)
plot(t,vy)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta vy=vy(t)’
grid on
grid minor
xlabel ’t’
ylabel ’vy[m/s]’
subplot(2,3,5)
plot(x,y)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta y=y(x)’
grid on
legend(’Mov Parabolico’)
grid minor
xlabel ’x[m]’ylabel ’y[m]’
figure;
plot(x,y)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta y=y(x)’
grid on
grid minor
xlabel ’x[m]’
ylabel ’y[m]’
legend (’Caso Ideal’,’Diametro 0.08 m’,’Diametro 0.12 m’,’Diametro 0.18 m’)
plot(x,k,x,U,x,E)
axis([0 inf 0 inf])
title ’Runge kutta y=y(x)’
grid on
grid minor
xlabel ’x[m]’
ylabel ’Energia[J]’
%legend (’Energia Cinetica’,’Energia Potencial ’,’Energia total’)
%tabla datos de t, x, y, vx, vy, k, U y E.
%estos datos puede ver en worspace, cada coluumna pertenece a cada tipo de variable
z=t’;
z(:,2)=x;
z(:,3)=y;
7
z(:,4)=vx;
z(:,5)=vy;
z(:,6)=k;
z(:,7)=U;
z(:,8)=E;
f (v) = flin + fcuad + ...
(10)
flin = b ∗ v = β ∗ D ∗ v
fcuad = c ∗ v 2 = γ ∗ D2 ∗ v 2
Beta y Gamma dependen de la naturaleza del medio en condiciones estándar,
es decir, T = 20o C y P = 1atm. D es el diámetro de la esfera.
β = 1,6 ∗ 10−4 [
γ = 0,25[
8
N ∗s
]
m2
N ∗ s2
]
m4