Guía de métodos Runge - Kutta Aplicaciones y ejemplos en Excel Luis Enrique Gutierrez Mamani ℎ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) 6 Facultad de ciencias Producido por: Aplicaciones APLICACIONES 1) Aplicación en el área médica. En un pueblo pequeño de 200 personas se desea registrar durante proceso de vacunación el alcance que tienen de aplicación de la vacuna, el cual esta asociado por la siguiente ecuación: 𝑦 ′ = 8𝑥 − 𝑦 + 2 Se desea conocer el número aproximado de personas faltantes por aplicar la vacuna al paso de un día y medio haciendo uso del método Runge Kutta de 4to orden. Solución: 𝑦 ′ = 8𝑥 − 𝑦 + 2 𝑦(0) = 200 𝑦(1.5) ℎ = 0.1 Aplicación de EDO de primer orden: 𝑦′ = 𝑑𝑦 =𝑢 𝑑𝑥 𝑢 = 8𝑥 − 𝑦 + 2 → 𝑑𝑢 = 8𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 → 𝑑𝑢 8𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 = → =8− 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢−8 1 =8−𝑢 → − 8 = −𝑢 → 𝑢 = 8 − → =− 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∫ −𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 → 𝑐 − 𝑥 = ln(𝑢 − 8) → 𝑐 − 𝑥 = ln(8𝑥 − 𝑦 + 2 − 8) 𝑢−8 𝑐 − 𝑥 = ln(8𝑥 − 𝑦 − 6) → −𝑦 = 𝑐𝑒 −𝑥 − 8𝑥 + 6 𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝒄𝒆−𝒙 − 𝟔 Para x = 0; y = 200 200 = 8(0) − 𝑐𝑒 −0 − 6 → 𝑐 = −206 𝒚 = 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎𝟔𝒆−𝒙 − 𝟔 Entonces: y = 51.964813 aproximadamente 52 Luis Enrique Gutierrez Mamani 2 Aplicaciones Aplicación del método Runge Kutta de 4to orden en Excel: Método de Runge - Kutta 4º orden xi yi k1 k2 k3 k4 yi+1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 200 181.196525 164.258566 149.008595 135.28598 122.945372 111.855258 101.896637 92.9618337 84.9534182 77.7832335 71.3715116 65.6460751 60.5416155 55.999039 51.9648754 -198.0000 -178.3965 -160.6586 -144.6086 -130.0860 -116.9454 -105.0553 -94.2966 -84.5618 -75.7534 -67.7832 -60.5715 -54.0461 -48.1416 -42.7990 -37.9649 -187.7000 -169.0767 -152.2256 -136.9782 -123.1817 -110.6981 -99.4025 -89.1818 -79.9337 -71.5657 -63.9941 -57.1429 -50.9438 -45.3345 -40.2591 -35.6666 -188.2150 -169.5427 -152.6473 -137.3597 -123.5269 -111.0105 -99.6851 -89.4375 -80.1651 -71.7751 -64.1835 -57.3144 -51.0989 -45.4749 -40.3861 -35.7815 -178.3785 -160.642256 -144.593837 -130.072626 -116.93329 -105.044326 -94.2867451 -84.5528827 -75.745319 -67.7759051 -60.5648805 -54.0400751 -48.1361864 -42.7941266 -37.9604305 -33.5867211 181.196525 164.258566 149.008595 135.28598 122.945372 111.855258 101.896637 92.9618337 84.9534182 77.7832335 71.3715116 65.6460751 60.5416155 55.999039 51.9648754 48.390743 2) Aplicación en la Ingeniería. Luis Enrique Gutierrez Mamani 3 Aplicaciones Luis Enrique Gutierrez Mamani 4 Aplicaciones Utilizando Excel: 𝑺′𝒕 = 𝟔 − 𝑺𝒕 𝟐𝟓 𝑺(𝟎) = 𝟕𝟓𝒈𝒓 𝑺(𝟔𝟎) 𝒉 = 𝟓𝒎𝒊𝒏 Método de Runge - Kutta 4º orden xi yi k1 k2 k3 k4 yi+1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 75 88.595 99.7256797 108.838738 116.299903 122.408607 127.410007 131.50482 134.857379 137.602232 139.849534 141.689475 143.195896 3 2.4562 2.0110 1.6465 1.3480 1.1037 0.9036 0.7398 0.6057 0.4959 0.4060 0.3324 0.2722 2.7000 2.2106 1.8099 1.4818 1.2132 0.9933 0.8132 0.6658 0.5451 0.4463 0.3654 0.2992 0.2449 2.7300 2.2351 1.8300 1.4983 1.2267 1.0043 0.8223 0.6732 0.5512 0.4513 0.3695 0.3025 0.2477 2.454 2.0091716 1.64497576 1.34679649 1.10266718 0.90279037 0.73914457 0.6051623 0.49546655 0.40565498 0.33212325 0.27192038 0.22263028 88.595 99.7256797 108.838738 116.299903 122.408607 127.410007 131.50482 134.857379 137.602232 139.849534 141.689475 143.195896 144.429253 3) Aplicación en Ingeniería ambiental. Se determinó la densidad estomática (número de estomas por mm) en hojas de Eryngium horridum malme, (“caraguatá”) en función de su variabilidad a lo largo del eje longitudinal de la hoja y entre hojas en distintos estadios de desarrollo. Determinar el número de estomas presentes cuando la hoja tiene 51.25cm de longitud. 𝑦 ′ = −0.2212𝑥 + 14.709 Longitud de la hoja (cm) Número de estomas/mm2 5 10 16 32 45 51 62 157 238 270 453 505 544 553 Luis Enrique Gutierrez Mamani 5 Aplicaciones Método de Runge - Kutta 4º orden xi yi k1 k2 k3 k4 yi+1 51 51.05 51.1 51.15 51.2 51.25 544 561.11135 578.1674 595.16815 612.1136 629.00375 3.4278 3.4167 3.4057 3.3946 3.3836 3.3725 3.4223 3.4112 3.4002 3.3891 3.3780 3.3670 3.4223 3.4112 3.4002 3.3891 3.3780 3.3670 3.41674 3.40568 3.39462 3.38356 3.3725 3.36144 561.11135 578.1674 595.16815 612.1136 629.00375 645.8386 EJERCICIOS EN EXCEL 4) Use el método de Runge Kutta con h=0.01 para obtener una aproximación de y (0.1) para la solución de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −20y + 7𝑒 −0.5𝑥 , y (0) =5 Método de Runge - Kutta 4º orden xi yi k1 k2 k3 k4 yi+1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 5 4.15694636 3.46639464 2.90070289 2.43723972 2.05747608 1.74624156 1.49111567 1.28192932 1.11035672 0.96958129 -93 -76.1738399 -62.3975439 -51.1182741 -41.8834038 -34.3223521 -28.1317124 -23.0630755 -18.9130603 -15.5151521 -12.7330198 -83.7174781 -68.5738468 -56.1750937 -46.0236646 -37.7121955 -30.9071635 -25.3355028 -20.7736449 -17.0385471 -13.980346 -11.4763436 -84.6457303 -69.3338461 -56.7973387 -46.5331256 -38.1293163 -31.2486824 -25.6151238 -21.002588 -17.2259984 -14.1338266 -11.6020112 -76.1057666 -62.3418092 -51.0726414 -41.8460419 -34.2917619 -28.1066663 -23.0425685 -18.8962697 -15.5014043 -12.7217632 -10.4458275 4.15694636 3.46639464 2.90070289 2.43723972 2.05747608 1.74624156 1.49111567 1.28192932 1.11035672 0.96958129 0.85402203 5) Use el método de Runge Kutta con h=0.1 para obtener una aproximación de y (1.5) para la solución de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2xy, 𝑦(1) = 1 Luis Enrique Gutierrez Mamani 6 Aplicaciones Método de Runge - Kutta 4º orden xi yi k1 k2 k3 k4 yi+1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1 1.23367435 1.5526954 1.99368677 2.61163323 3.49021064 2 2.71408357 3.72646896 5.1835856 7.31257305 10.4706319 2.31 3.14957062 4.34754711 6.08273833 8.63405947 12.4426009 2.34255 3.19965163 4.42518188 6.20412395 8.825675 12.7482561 2.715361 3.72873483 5.18755532 7.31947766 10.4826022 15.248116 1.23367435 1.5526954 1.99368677 2.61163323 3.49021064 4.75855167 Luis Enrique Gutierrez Mamani 7