Solución de problemas 1º Matemáticas Ésta es una herramienta de trabajo con la que se exploran formas novedosas y estimulantes para pensar un conjunto de retos conformados por textos cortos que plantean situaciones problemáticas y que sirven de estímulo para responder preguntas y realizar actividades. Durante la resolución de los problemas de cada Reto de esta obra, se estará aprendiendo gradualmente a desarrollar las competencias matemáticas, como pueden ser, entre otras: comprender el problema, hacerse preguntas al explorar las soluciones de un caso, descubrir y emplear la herramienta RETOS Solución de problemas 1° Matemáticas con matemáticas, y consiste en ACC UNN A A LL EERRCCA M A A EE AM NTT DDU IIEEN PPA O ARR U C C ACC O A A LL A I I ÓN A A VV Ó N IIDDA A para resolverlo, seguir una secuencia de razonamientos matemáticos, expresar y explicar los propios razonamientos, encontrar o extraer problemas matemáticos de la realidad... I SIB SN B N997700--22 9 -- 11559295- 6- 2 1 55 929576 9 9 7 87 89 9770022 99 1 Francisco H. Acevedo Alejandro Schmidt Doris Cetina Solución de problemas 1º MATEMÁTICAS Francisco H. Acevedo Alejandro Schmidt Doris Cetina AC ERC UN A L AM A E IEN TO DU PAR CA CIÓ A L A V N IDA Solución de problemas 1º Matemáticas es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López. El libro Solución de problemas 1º. Matemáticas fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo: Asistencia de edición | Nelly Perez Islas Coordinación editorial | Roxana Martín-Lunas Rodríguez Revisión técnica | Rodrigo Cambray Núñez · Gilberto Castillo Peña Irma Guillermina Vázquez Aguilar Corrección de estilo | Gilda Castillo Coordinación de diseño | Francisco Ibarra Meza Diseño de portada e interiores | Tania Rendón López Diagramación | Adrián Hernández Jiménez Itzel Castañena Moreno Ilustraciones | René Sedeno Hernández Jaime Yair Cañedo Camacho Viñetas | David Lara Investigación fotográfica | Miguel Bucio Trejo Editora en Jefe de Secundaria | Roxana Martín-Lunas Rodríguez Gerencia de Investigación y Desarrollo | Armando Sánchez Martínez Gerencia de Procesos Editoriales | Laura Milena Valencia Escobar Gerencia de Diseño | Mauricio Gómez Morin Fuentes Coordinación de arte y diseño | Francisco Ibarra Meza Coordinación de autoedición | Óscar Tapia Márquez Digitalización de imágenes | José Perales Neria · Gerardo Hernández Ortiz María Eugenia Guevara Sánchez Fotomecánica electrónica | Gabriel Miranda Barrón · Manuel Zea Atenco Benito Sayago Luna La presentación y disposición en conjunto de cada página de Solución de problemas 1º. Matemáticas son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. D.R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D.F. ISBN: 970-29-1599-6 Primera edición: Agosto de 2006 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México 2 Presentación E ditorial Santillana te presenta en esta nueva serie, Retos, una herramienta con la que podrás explorar, junto con tus profesores y compañeros, formas novedosas y estimulantes de trabajar tanto en el aula como fuera de ella. La serie abarca tres áreas: comprensión lectora, matemáticas y ciencias, tomando como punto de partida los enfoques didácticos más recientes integrados en evaluaciones internacionales como los presentados en el Programa Internacional de Evaluación de Alumnos (PISA, por sus siglas en inglés), de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE). A continuación presentamos las características de la serie de matemáticas, los objetivos que pretendemos que alcances, las formas en las que puedes usar el libro y la definición de los conceptos más importantes, entre otras cosas. Es muy frecuente escuchar decir a los profesores de matemáticas que éstas se encuentran en todas partes; tal aseveración sólo se enuncia, no se demuestra. Afirmar, como ejemplo típico, que las matemáticas aparecen hasta cuando uno va al mercado es una simplificación excesiva, increíble por irreal; nadie emplea inecuaciones de primer grado para hacer las compras de la semana. Y no es que no sea posible —y ocasionalmente deseable—; sin embargo, la mayoría de las veces en que se pretende mostrar las aplicaciones directas de conceptos matemáticos, se construyen ejemplos artificiales que poco o nada tienen que ver con la realidad. Lo anterior tiene una consecuencia en ustedes los estudiantes: el descrédito de la disciplina, o de los autores de libros, o de los profesores. Ustedes son agudos y perciben nuestros deficientes intentos al confrontarlos con su realidad. Los que enseñamos ciencia debemos entender, por ejemplo, que Cuauhtémoc Blanco no usa el concepto de vectores convergentes para darle un pase “filtrado” al Piojo López. Fue un reto escribir los Retos que conforman este libro. Por un lado deseábamos presentar problemas cercanos a la experiencia, que reflejaran más o menos fielmente su complejidad, y que pudiesen ser resueltos con los elementos que poseen jóvenes que cursan la educación secundaria. Sin embargo, lo más importante es que la búsqueda de la solución —que no es y no tiene por qué ser única ni cerrada— lleva necesariamente a considerar cómo es que se modela una situación que se pretende resolver. Suponemos con fundamento que ustedes, con ayuda de sus profesores, podrán proponer uno o más modelos para resolver los Retos; el mérito está en la consistencia del desarrollo más que en el resultado. Procuramos abarcar una amplia gama de problemas que pudiesen interesarles porque suponemos que tienen que ver con aquello que les gusta a los jóvenes; de hecho, también a nosotros nos gustan mucho algunas de las actividades que dan origen a los Retos. Es pertinente aclarar que éste no fue el único criterio para seleccionarlos, estamos conscientes que “los avances científicos que se están produciendo representan los mayores dilemas políticos y éticos de nuestra sociedad actual”. Así, algunos Retos confrontan prejuicios actuales, cuestionan nuestros hábitos y costumbres y tienen la intención de que reflexiones largamente sobre los planteamientos. La forma de estos planteamientos tiene dos consecuencias que consideramos muy importantes, a saber: este no es un libro para leerse de corrido, tendrás que investigar, detenerte y reflexionar, usar herramienta matemática a la que estás habituado, reconsiderar tus respuestas, equivocarte y aprender de los errores; eventualmente, además, te remitiremos a la literatura, a la historia, al deporte, a la física, a la biología y a la cultura en general. La segunda consecuencia es que las matemáticas se convierten en un elemento más que te permite analizar tu entorno, considerando que las variadas soluciones a los Retos deben enfrentarse de manera crítica. Esta es la causa por la que a lo largo del texto hablamos de regatas, ahorro, pobreza y riqueza, comida, tráfico, religión, conflicto y guerras, salud, moda, epidemias, extraterrestres, futbol, televisión y su impacto en la sociedad, etcétera. Hay algo más que esperamos, que te diviertas. Autores y editores de RETOS 3 Guía de trabajo Con el objeto de facilitarte la consulta de esta guía, la hemos dividido en cuatro apartados. En los primeros tres, “Introducción”, “Cómo usar este libro” y “Estructura de la obra” encontrarás, respectivamente, los objetivos principales del texto, algunas recomendaciones para que obtengas el mayor provecho de él, y la forma en que hemos organizado el material para que puedas identificar mejor sus componentes. El cuarto apartado, “El programa internacional PISA”, es una sección de referencia a la que podrás remitirte para profundizar en los conceptos, métodos e ideas principales que fundamentan el planteamiento de los Retos. INTRODUCCIÓN El libro que tienes en tus manos es un libro de trabajo, no un libro de texto. Dicho de otra forma, es un libro con el que se pretende hacer pensar a quien lo lea y resuelva las actividades que en él se plantean. Ahora bien, la expresión “hacer pensar” es tan amplia que perderíamos claridad si no nos detenemos un momento a tratar de precisarla. Reconocemos que hay múltiples formas de “hacer pensar”(con la ciencia, la literatura, la filosofía, la pintura, entre otras), pero no hacemos uso de las mismas habilidades o competencias al abordar cada una de esas disciplinas. Es por ello que “hacer pensar”, en el contexto de este libro de trabajo, se referirá a las dos componentes de una misma actividad: por una parte nos llevará, por supuesto, a pensar las matemáticas y su contenido, y por la otra a promover el desarrollo de las habilidades particulares que se activan cada vez que trabajas con matemáticas, es decir, lo que llamaremos las competencias matemáticas. En este libro tomaremos como competencias las ocho identificadas en el marco del programa internacional PISA, al que ya se ha hecho referencia en la Presentación. Éstas son: 1. Pensar y razonar (matemáticamente): ¿Qué clase de preguntas matemáticas planteas al explorar las posibles soluciones de un problema? 2. Argumentación: ¿Puedes seguir secuencias de argumentos matemáticos o construirlos tú mismo? 3. Comunicación: ¿Puedes expresar con claridad tus razonamientos y explicar tus procedimientos de cálculo? ¿Comprendes los razonamientos y explicaciones de otros? 4. Construcción de modelos: ¿Sabes “traducir” aspectos de la realidad a conceptos matemáticos y viceversa? 5. Formulación y resolución de problemas: ¿Eres capaz de encontrar o extraer problemas matemáticos de la realidad? ¿Qué estrategias empleas para resolverlos? 6. Representación: ¿Cómo ilustrarías alguna situación problemática para poder abordarla mejor? ¿Qué tipos de gráficas sabes interpretar? 7. Empleo de operaciones y de un lenguaje simbólico, formal y técnico: ¿Hasta qué punto estás familiarizado con la simbología matemática? ¿Eres capaz de expresar determinados enunciados como fórmulas? 8. Empleo de soportes y herramientas: ¿Qué recursos materiales aprovechas para comprender y resolver un problema? 4 (Si deseas profundizar más en la naturaleza de estas competencias consulta el último apartado de esta guía de trabajo, llamado “El programa internacional PISA”.) Para ayudarte a desarrollar estas competencias matemáticas hemos diseñado un conjunto de actividades que llamamos Retos. Si tomas en serio su solución y te dedicas a ellos, sin importar cuánto tiempo te tome o si alguien de tu grupo los hace más rápido o mejor, conseguirás argumentar y comunicar mejor tus ideas, elaborarás razonamientos más claros y correctos, conseguirás hacer un mejor empleo de las herramientas matemáticas y del lenguaje asociado a ellas. Tu ingenio matemático mejorará al construir modelos sobre las diferentes situaciones que se te presentan y tu capacidad de representar los conceptos matemáticos será mayor. Lo podemos resumir así: aprende las matemáticas en tu libro de texto y aprende a usarlas en este libro de trabajo. Una característica común a todos los libros de texto es que, en mayor o menor grado, pretenden que aprendas un contenido —un tema— y lo domines. Suelen ser libros en los que abundan problemas con solución única y cerrada, problemas diseñados para que uses la herramienta matemática revisada en el capítulo correspondiente y que, salvo muy raras excepciones, no te ayudarán a hacer una reflexión sobre tu experiencia cotidiana o tu entorno social. Además, se acostumbra usar estos libros sólo como un apoyo a lo que el profesor ha expuesto en clase y casi nunca como una herramienta que posibilita emprender una investigación. Un libro de trabajo —o al menos los de esta serie— está pensado al revés de un libro de texto. Por una parte, supone que tú ya conoces las herramientas matemáticas que necesitarás, pero que tendrás que decidir cuál de ellas es la más adecuada en cada caso; o bien, si no las conoces, irás a investigar cómo se usan. Difícilmente sucederá que aprendas en un libro de trabajo algún tema nuevo de matemáticas (aunque no podemos decir que esto sea imposible). Como ya dijimos, los problemas que encontrarás aquí no tienen respuestas únicas ni cerradas, es decir, son más parecidos a investigaciones. Para resolverlos necesitarás buscar información, dominar más herramientas matemáticas, hacer estimaciones y tomar decisiones, hacer reflexiones que tal vez te lleven más tiempo que el de la clase, plantear hipótesis para poder resolver una parte y luego descartar tu hipótesis para poder ampliar la solución. No encontrarás ni caminos únicos ni respuestas únicas; en ocasiones te sentirás desorientado, tal como sucede con un investigador que no sabe si la indagación que ha emprendido tiene, por lo menos, un punto de llegada, pero que aun así persevera porque sabe que hay mucho que ganar en el proceso. ¿CÓMO USAR ESTE LIBRO? Hay más de una respuesta a esta pregunta, como podrías esperar. Antes de explicar el uso del libro debemos decirte que tu profesor cuenta con una versión diferente a la tuya en algunos aspectos. En la versión del maestro aparece mucha más información que en la versión para el estudiante. Entre otras cosas, incluye respuestas posibles —las respuestas que nosotros, los autores, consideramos como correctas o adecuadas—. Incluye también varias explicaciones adicionales que lo ayudarán a guiarte en la resolución de cada Reto o, a veces, a cuestionarte aún más. Contiene asimismo la lista de temas matemáticos que es necesario saber para resolverlos, de 5 modo que él pueda decidir en qué momento se puede abordar uno u otro y evitar así que un Reto en particular se convierta en una tortura irresoluble porque aún no conoces la herramienta básica necesaria para intentar su solución. Agregamos junto a cada actividad las competencias —las habilidades matemáticas— que se pretende que desarrolles al resolverla. Esto le dará a tu profesor una guía para evaluar si la forma en la que has trabajado cumple el cometido de ayudarte a mejorar tus habilidades. Si le pides que te muestre su versión verás cómo el margen, que en tu libro está vacío, contiene gran cantidad de notas y sugerencias, soluciones alternativas y puntos de vista diferentes. Todo ello se debe a que, tanto tu profesor como los autores, debemos estar preparados ante cualquier camino que se te ocurra para resolver el Reto y guiarte adecuadamente cuando lo necesites, tarea que no es fácil si, como esperamos, tu creatividad nos rebasa. ¿Cómo, pues, usar este libro? Después de todo lo dicho, la respuesta se enuncia fácilmente: como tú quieras. Solo o acompañado; en clase, en tu casa o en el parque; cerca o lejos de tu maestra. No puede haber tiempos planeados para la creatividad. Nos encantaría saber que te levantas en medio de la noche pues se te ocurrió la respuesta al inciso “tal” del Reto “ése” que no te sale. Lo más recomendable, sin embargo, es que sigas ciertas instrucciones de tu profesor. Quizá no tenga caso que te lances a resolver un Reto cualquiera o parte de él conforme tu ánimo lo decida; lo mejor es que haya una planeación. Permítele así a tu profesora que decida cuándo se abordará uno u otro, que organice discusiones o que resuelva dudas. Tal vez determine que alguna actividad hay que resolverla en clase pues supone que te será útil cierta asesoría o porque quiere ver cómo se te ocurre algo en particular. Digámoslo así: aunque es cierto que la creatividad no tiene horario, también es cierto que no aparecerá si no hay un trabajo cuidadoso y sistemático que le permita aparecer. O bien: aunque no sabemos cuándo surge la creatividad, sí sabemos que no llega nada más porque sí, demanda trabajo. No exijas de tu profesor respuestas cerradas. En lugar de ello preséntale tus problemas: explícale qué parte se te dificulta, dile por qué y cuéntale qué has pensado al respecto. Él te guiará con sugerencias o nuevas preguntas: “¿Ya pensaste en esto?”, o tal vez “¿Por qué dices que se cumple tal cosa si acá dices que se cumple lo contrario?”, o “Revisa de nuevo el concepto de proporcionalidad”; todas ellas son respuestas que puedes esperar de tu “misterioso” maestro. Incluso es posible que te recomiende preguntarle a algún compañero que intenta resolver la misma parte que tú, para que la piensen juntos. Sólo recuerda que cada vez que permitas que alguien te dé la respuesta de alguna actividad sin que la hayas pensado por tu cuenta estás perdiendo la oportunidad de desarrollar alguna de las competencias mencionadas, y de esta manera se pierde todo el sentido de trabajar estos Retos, convirtiéndolos en una pérdida de tiempo. ESTRUC TUR A DE LA OBR A El libro consta de un apartado principal, que contiene los Retos —cuyas notas características ya hemos comenzado a desbrozar—, y un apartado final accesorio, que hemos denominado “¡Descubre cuánto…!” y que está compuesto por una serie de preguntas peculiares sobre cantidades que a primera vista parecería imposible calcu- 6 lar dada la escasa información inicial, pero que por lo mismo ofrecen una gran oportunidad para desarrollar tus habilidades de estimación y razonamiento numérico. Se trata de preguntas Fermi, así llamadas en honor del físico italiano Enrico Fermi, cuya habilidad para hacer estimaciones razonablemente acertadas en condiciones de información escasa eran legendarias. Una vez aclarada la estructura global del libro vamos a abundar sobre su disposición interna. Los Retos se han organizado de manera independiente y, como ya mencionamos, se pueden resolver en el orden que se requiera, ya sea siguiendo los temas del curso o de acuerdo con un interés específico. Al inicio de cada Reto encontrarás, enmarcado en un recuadro, el texto del estímulo principal, es decir, la situación hipotética que da origen a un problema cuya resolución constituye precisamente el reto. Algunas veces se trata de un problema tomado del entorno social, otras veces es un cuento, otras más es una situación meramente matemática. En el estímulo se da cierta información organizada en un contexto. No siempre la información es suficiente; más aún, no te vamos a decir cuándo es suficiente y cuándo no, tendrás que decidirlo tú. Al final del estímulo se enuncia, sin ambigüedades, qué es lo que se espera que consigas; esa será “Tu misión”, el objetivo que te guiará en la conquista del Reto. A la izquierda del estímulo principal aparece un recuadro titulado “Antes de comenzar”. En él encontrarás preguntas relacionadas con el tema del Reto. Te sugerimos que te detengas a pensarlas antes de abordar el problema, pues te ayudarán a comprender cuál es la idea fundamental que se trabaja en él. Después del estímulo principal inician formalmente las actividades de resolución del Reto. Siguiendo el esquema planteado por el programa internacional PISA, el proceso de solución se aborda en tres fases, que hemos denominado de la siguiente manera: 1) “Exploración del problema y elección de la herramienta matemática”, 2) “Solución matemática” y 3) “Solución del problema real y visión retrospectiva”. A su vez, cada fase se compone de actividades de muy diversos tipos, las cuales aparecen numeradas secuencialmente de la primera a la última fase. En algunas actividades se te pedirá que pienses estrategias, en otras que plantees una ecuación y la resuelvas; a veces necesitarás hacer algunos cálculos o validar una hipótesis. Resolver las actividades te hará recorrer un posible camino hacia la solución. No te confundas, recuerda que es un libro de trabajo, no de texto. No vas a encontrar la solución unas páginas más adelante, ni la busques. Si no te detienes a pensar cada actividad, no podrás llegar al final. Resuelve cada una, piénsala, repiénsala, repasa lo que hiciste, coméntala con tu maestra, pero no, insistimos, no pretendas recorrer caminos fáciles. Si te empeñas en ello terminarás aburrido en un rincón. Vas a encontrar que las actividades no terminan cuando has encontrado una solución numérica al Reto. Este hallazgo es sólo una etapa más. Es necesario que revises si la solución que encontraste es válida y que el proceso seguido es adecuado. Las actividades propias del Reto no terminan sino hasta que esto último se ha verificado. Al final de la mayor parte de los Retos encontrarás una serie de actividades complementarias agrupadas en tres secciones: “Conexión histórica”, “Explora con tecnología” y “Más problemas”. Es importante aclarar, por otra parte, que no todas las secciones mencionadas aparecen en todos los Retos. A continuación las describimos. 7 • Conexión. En esta sección encontrarás narraciones históricas que se relacionan con el Reto, ya sea por la matemática utilizada o por el tema que se trata en ella. Al leer estas secciones descubrirás cómo se ha desarrollado históricamente la matemática y a qué necesidades sociales han respondido los diferentes desarrollos narrados. Las conexiones históricas están divididas también en actividades que tendrás que resolver. • Explora con tecnología. Las secciones tecnológicas se refieren al uso de algún programa de cómputo que te permitirá repetir actividades o profundizar en el Reto con mayor capacidad de cálculo. Dicho de otra forma, están pensadas para ir más lejos aprovechando la tecnología. • Extensión. Una vez cumplida la misión en el Reto podrás aprovechar los resultados o procedimientos ahí ensayados para abordar en esta sección problemas ya resueltos que te ayudaran a repasar la herramienta matemática ya utilizada. Resuélvelos, por algo están allí. • Más problemas. Hacia el final de algunos Retos encontrarás ejercicios extra. Comúnmente son situaciones análogas a los problemas ya resueltos que te ayudarán a repasar la herramienta matemática ya utilizada. Resuélvelos, por algo están allí. Estas son, pues, las secciones que encontrarás en tu versión para el estudiante. Ya mencionamos que tu profesor o profesora tiene una versión distinta. Si quieres saber qué hay allí, lee lo que sigue. En el margen izquierdo de la versión del maestro se incluyen algunos textos auxiliares. Junto al inciso que numera cada actividad se encuentra la lista de competencias asociadas a ella, incluido el nivel de uso de cada competencia. Aquí se nos presenta el mayor desafío didáctico: ¿Cómo saber que un estudiante ha adquirido o desarrollado las competencias listadas en la actividad? La respuesta a esta pregunta requiere de un análisis cuidadoso. Por un lado reconocemos que las competencias son habilidades y que no existe el maestro que pueda transmitir sus habilidades a algún estudiante. Ningún futbolista, ningún escritor y ningún matemático puede hacer hábil a su pupilo; es el trabajo de éste el único camino que lo llevará a la destreza. Por otro lado debemos admitir que, como maestros, no sabemos qué sucede en el interior del estudiante cuando se le explica algo o se le narra una experiencia o se le muestra cómo se realiza una tarea. Así, el único recurso que nos queda para verificar que se adquiere una competencia —una habilidad—, es comprobar el resultado de una acción del estudiante. En nuestro caso lo que debemos comprobar tiene dos componentes: que el estudiante realice correctamente una tarea asociada con lo que la actividad le pide y que dicha actividad haya sido realizada de tal manera que la competencia señalada se haya “puesto en juego”. Lo problemático del asunto consiste en que haber “puesto en juego” una sola vez alguna competencia no es garantía de que el estudiante haya incorporado la competencia a su estructura cognitiva. Pero debemos reconocer que no podemos hacer más que exponer a ese estudiante ante varias situaciones, programadas y sistemáticas, donde tal competencia se “ponga en juego” y apostar a que la continua exposición del estudiante a estas tareas provocará que finalmente desarrolle la habilidad que buscamos. 8 El modelo de PISA presupone tres niveles de desarrollo para las competencias matemáticas; éstos son, en orden ascendente de dificultad, el nivel de reproducción, el nivel de conexión y el nivel de reflexión. Pretender que con los Retos incluidos en esta serie todos los estudiantes conseguirán el nivel de reflexión en las ocho competencias resultaría una meta de tan altos vuelos que correríamos el riesgo de caer en la decepción. Preferimos, ante la imposibilidad de obtener garantías de un éxito tan elevado, defender la utilidad de los Retos por la innegable posibilidad que ofrecen de generar competencia matemática. El nivel de desarrollo dependerá del estudiante en particular, de su nivel de conocimiento y de habilidad en el área matemática requerida para resolver el Reto, y dependerá también de su motivación y de su gusto por el trabajo matemático. Dependerá, en fin, de su personalidad y su individualidad. Debemos garantizar entonces, como maestros, que las relaciones en el grupo sean las adecuadas para poner todos estos elementos a favor del estudiante. Un ejemplo puede ayudarnos a clarificar. Supongamos que somos entrenadores de futbol y tenemos la suerte de acompañar a un joven futbolista desde sus inicios en las escuelas de futbol hasta su participación en un campeonato mundial con la selección de su país. Cuando niño le explicamos varias veces que para tirar a gol lo más conveniente era pegarle al balón con el empeine. Le mostramos cuál es el empeine, le mostramos cómo es que el pie debe entrar inclinado si nuestro pie es más grande que el radio de la esfera que conforma el balón, etcétera. ¿Cómo haríamos para saber si entendió? Podemos, por ejemplo, pedirle que repita la instrucción con sus palabras, pero eso no será suficiente para que domine la técnica. Podemos pedirle que patee el balón. Al principio, por más que haya entendido, no logrará empeinar el balón como es debido, mas como es un jugador talentoso, conseguirá un resultado aceptable pronto. ¿Posee ya la competencia? Podríamos decir que no. Un par de años más tarde ha dominado la técnica de tal forma que lo han nombrado el tirador oficial de penales en su equipo de fuerzas básicas. Supongamos que al ir creciendo mantiene esta posición de privilegio en el resto de los equipos en los que participa, hasta que llega al campeonato mundial. Podemos convenir que a estas alturas es un experto en el golpeo del balón, que posee la habilidad como pocos. Digamos que en la final se marca un penal a favor de su equipo y que le toca ejecutarlo, que cuando lo hace lo falla, errando su tiro por un metro al lado del poste. ¿Es esta una situación posible? Definitivamente sí. Parecería que incluso nuestro hipotético futbolista no ha alcanzado la competencia del tiro a gol a tal nivel que siempre atine. ¿Cuándo, pues, se tiene una competencia? La respuesta, si este ejemplo es válido, depende del grado de dominio que pretendamos. Dicho de otra forma, ¿por qué no a todos los matemáticos se les ocurre la demostración de todos los teoremas? Pues porque, aun siendo muy hábiles, algunos son más hábiles que otros, incluso algunos son más hábiles en ciertas áreas de las matemáticas y otros lo son en otras. Regresemos a los textos que aparecen en el margen de la versión del maestro. Ahí también se incluyen varias notas al docente asociadas a algunas actividades; en dichas notas se hacen aclaraciones al profesor sobre la pregunta o la respuesta para tales actividades. Estas notas se señalan con una pequeña cabeza de flecha que inicia el párrafo. También aparecen sugerencias didácticas que le proponen a los maestros algunas tareas que les ayudarán a trabajar la actividad. 9 Finalmente, en lo que toca a la organización del apartado final de la obra, “¡Descubre cuánto…!”, habíamos ya mencionado que está compuesto por preguntas Fermi, una por cada ficha. Al inicio de este apartado se presenta una introducción donde se explica la naturaleza de estas preguntas y se resuelve un ejemplo. Al abordar las preguntas Fermi no hay que perder de vista que las valoraciones cuantitativas parten de hipótesis y a veces de premisas no reconocidas, es decir, hay supuestos implícitos que nos ayudan a resolver el problema aunque no nos demos cuenta que hacemos uso de ellos. La idea es que el estudiante calcule con base en hipótesis realistas. Se recomienda que al inicio de cada Reto también se inicie la resolución de una pregunta Fermi y que después de unos días se revisen las estrategias planteadas por los estudiantes. EL PROGR AMA INTERNACIONAL PISA En este último apartado de la guía de trabajo haremos una descripción más detallada del modelo teórico de construcción del conocimiento diseñado por el Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA, por sus siglas en inglés) y sobre el cual se basan sus métodos de evaluación trienal. Dicha evaluación no sólo se limita al contenido curricular sino que se centra en determinar si los estudiantes son capaces de utilizar lo que han estudiado en situaciones a las que probablemente se tendrán que enfrentar en su vida diaria. Para facilitar la consulta hemos dividido este último apartado en tres secciones, cada una de las cuales cubre una parte del modelo de PISA al que se hace referencia en otros lugares de esta guía de trabajo: las competencias matemáticas, los temas o ideas principales y las fases de resolución de un problema. 1. Las competencias matemáticas El objetivo de la serie Retos es, entre otras cosas, activar y desarrollar los procesos matemáticos que los estudiantes aplican al tratar de resolver problemas. Tales procesos se conocen en el modelo de PISA como competencias matemáticas, cuyas características exponemos a continuación. 1. Pensar y razonar. Formular preguntas característicamente matemáticas (“¿Cuántos…?”, “¿Cómo puedo hallar…?”) y comprender los correspondientes tipos de respuestas. Distinguir entre distintas clases de enunciados lógicos. Emplear conceptos matemáticos en diversos contextos. 2. Argumentación. Comprender la diferencia entre una prueba matemática y otros tipos de razonamiento matemático. Seguir, evaluar y construir secuencias de argumentos matemáticos. Emplear estrategias heurísticas (“¿Qué puede o no puede pasar y por qué?”). 3. Comunicación. Saber expresarse oralmente y por escrito sobre cuestiones matemáticas; asimismo, comprender enunciados matemáticos producidos por otras personas. 10 4. Construcción de modelos. Estructurar la situación real que se quiere modelar. Pasar sucesivamente de los diferentes modelos (y sus resultados) a la realidad y viceversa para lograr una mejor interpretación de la misma. Validar modelos matemáticos, analizarlos críticamente y comunicar sus resultados. 5. Formulación y resolución de problemas. Formular y definir diferentes tipos de problemas matemáticos (puros, aplicados, abiertos, cerrados). Resolverlos siguiendo distintos caminos. 6. Representación. Descodificar, codificar, y distinguir entre diferentes representaciones de fenómenos o de objetos matemáticos. Seleccionar y pasar de un tipo de representación a otra, según la circunstancia o el propósito. 7. Empleo de operaciones y de un lenguaje simbólico, formal y técnico.* Descodificar e interpretar el lenguaje simbólico y entender su relación con el lenguaje natural. Traducir del lenguaje natural al simbólico. Manejar enunciados y expresiones con símbolos y fórmulas. Resolver ecuaciones y realizar cálculos. 8. Empleo de soportes y herramientas. Conocer y ser capaz de emplear soportes y herramientas (incluyendo tecnologías de la información) que coadyuvan a la actividad matemática, además de conocer sus limitaciones. Cada una de estas competencias puede dominarse a diferentes niveles, que se clasifican en tres grupos: 1. Reproducción. En este nivel el estudiante se limita a reproducir contenidos que le son familiares y lleva a cabo operaciones de rutina. 2. Conexión. El empleo de las competencias muestra evidencia de que el estudiante ha logrado combinar o relacionar material perteneciente a distintas áreas de contenido, o de que ha podido vincular diferentes representaciones de un problema. 3. Reflexión. El estudiante recurre a procesos de razonamiento, argumentación, abstracción y modelado más avanzados, aplicados a contextos nuevos o poco familiares. Estos tres niveles de competencia condensan los diferentes procesos cognitivos para resolver diferentes tipos de problemas. 2. Los temas o ideas principales Los temas principales de cada Reto forman parte tanto del programa vigente de estudios de educación secundaria como de la versión más reciente del programa preliminar de la Reforma de la Educación Secundaria (RES) y están enmarcados en la lista de ideas que el programa internacional PISA utiliza para adaptarse a los requisitos de las líneas principales del currículo escolar. Estos temas, llamados ideas principales en el modelo de PISA, son: • Cantidad. Un aspecto importante al tratar con la cantidad es el razonamiento * La séptima competencia se ha subdividido en el texto de tal manera que se podrá encontrar en tres diferentes formas: “Empleo de operaciones”, “Empleo de lenguaje simbólico” o “Empleo de operaciones y de lenguaje simbólico”, según el caso. 11 cuantitativo, cuyos componentes esenciales son la representación de los números en diferentes maneras, la comprensión del significado de las operaciones, la percepción de la magnitud de los números, los cálculos, la estimación y el cálculo mental. • Espacio y forma. Las regularidades geométricas pueden servir como modelos relativamente simples de muchas clases de hechos. El estudio de la forma está estrechamente vinculado al concepto de percepción espacial (movernos con mayor conocimiento en el espacio en que vivimos). También presupone entender la representación en dos dimensiones de los objetos tridimensionales, la formación de las sombras y cómo interpretarlas, qué es la perspectiva y cómo funciona. • Cambio y relaciones. Cualquier fenómeno natural constituye una manifestación de cambio. Algunos de estos procesos de cambio pueden describirse con funciones matemáticas simples (funciones lineales, exponenciales, logarítmicas) y pueden modelarse mediante ellas. A menudo las relaciones matemáticas adoptan la forma de ecuaciones o desigualdades, relaciones de equivalencia, divisibilidad, entre otras. Las relaciones pueden darse en una gran variedad de representaciones, entre ellas la simbólica, la algebraica, la tabular y la geométrica. Las diversas representaciones sirven a propósitos diferentes y poseen propiedades diferentes. Por esta razón, la traducción entre las diferentes representaciones tiene a menudo una importancia fundamental al momento de ocuparse de diversas situaciones y tareas. • Incertidumbre. La incertidumbre está pensada para sugerir dos temas relacionados: los datos y el azar. Estos dos fenómenos son objeto de estudio matemático por parte de la estadística y de la probabilidad, respectivamente. Actividades y conceptos importantes de esta área son la recolección de datos, el análisis y la presentación de los mismos, la probabilidad y la deducción. 3. Las fases de resolución de un problema El programa internacional PISA examina la capacidad de los estudiantes para analizar, razonar y transmitir ideas matemáticas de un modo efectivo al plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en diferentes situaciones. Este tipo de resolución exige que los estudiantes se valgan de las destrezas y competencias que han adquirido a lo largo de su escolarización y sus experiencias vitales. A este proceso se le denomina matematización y en este libro lo agrupamos en tres fases: Fase I. Exploración del problema y elección de la herramienta matemática. Se inicia con un problema enmarcado en la realidad. Se organiza la información de acuerdo con los datos del problema y se identifican los elementos matemáticos pertinentes. Se formulan hipótesis, se generaliza y se formaliza, es decir, se transforma el problema real en un problema matemático que lo representa fielmente. Esta fase incluye actividades como: • Representar el problema de un modo diferente, organizándolo de acuerdo a conceptos matemáticos y realizando suposiciones adecuadas. 12 • Comprender y establecer las relaciones entre el lenguaje utilizado para describir el problema y el lenguaje simbólico y formal necesario para entenderlo matemáticamente. • Localizar regularidades, relaciones y recurrencias. Fase II. Solución matemática. Cuando el estudiante ha traducido el problema real a un problema matemático, el procedimiento continúa dentro de las matemáticas. Esta parte del proceso incluye actividades como: • • • • • Utilizar diferentes representaciones e ir cambiando entre ellas. Utilizar operaciones y lenguaje simbólico, formal y técnico. Pulir y adaptar los modelos matemáticos, combinando e integrando modelos. Argumentar. Generalizar. Fase III. Solución del problema real y visión retrospectiva. Se da sentido a la solución matemática en términos de la situación real, a la vez que se identifican las limitaciones de la solución. Este último paso conlleva una reflexión del proceso matemático y de los resultados obtenidos. En este punto los estudiantes deben interpretar los resultados con una actitud crítica y validar todo el proceso. Este proceso de validación y reflexión incluye: • La comprensión del alcance y los límites de los conceptos matemáticos. • La reflexión sobre los argumentos matemáticos y la explicación y justificación de los resultados. • La comunicación del procedimiento y de la solución. • La crítica del modelo y de sus límites. .VOEPSFBM El ciclo de matematización.VOEPNBUFNÈUJDP &YQMPSBDJØOEFMQSPCMFNB ZTFMFDDJØOEFMBIFSSBNJFOUB NBUFNÈUJDB 1 30#-&." %&-.6/%03&"- 1 30#-&." ."5&.«5*$0 C 7JTJØOSFUSPTQFDUJWB 4PMVDJØOEFMQSPCMFNB NBUFNÈUJDP 4 0-6$*»/ 4 0-6$*»/ ."5&.«5*$" 3&"- B 4PMVDJØOEFMQSPCMFNBSFBM 13 Menú de textos Al profesor Antonio “el negro” Munguía, quien me enseñó a entender mejor el más hermoso juego: el futbol. RETOS 16 La cancha de futbol Temas: Incertidumbre 26 Sumando de uno en uno Temas: Cantidad 33 Cómo corren las noticias Temas: Cambio y relaciones Incertidumbre 48 ¿Quién es normal? Temas: Incertidumbre 69 Señales extraterrestres Temas: Forma y espacio 89 Anorexia a escala Temas: Cambio y relaciones Incertidumbre 114 El cuento de las cuentas del Dr. Undurriaga o ¿hasta cuanto sabes contar? Temas: Incertidumbre 129 Renacuajo campeador Temas: Forma y espacio Cantidad 149 Contador de arena Temas: Cantidad 14 ¡DESCUBRE CUÁNTO…! 164 Introducción 166 ¿Cuántas personas conoces? 168 ¿Puedes decir cuantas “cincos” hay entre 1 y 1000 sin tener que escribirlos? 169 ¿Cuánto dinero recauda una compañia telefónica a través del cargo por redondeo que aparece en el recibo? 171 ¿Cuál es la profundidad promedio de los oceános? 173 Descubre cuantos caracteres tiene en promedio una revista cualquiera 174 ¿Cuántas personas caben en la plancha del zócalo de ciudad de México? 175 ¿Cuántos partidos de futbol soccer —no profesional— se llevan a cabo en un fin de semana en México? 177 ¿Cuántos besos has dado en tu vida? 179 ¿Que distancia recorre un jugador de futbol en un partido? 181 ¡Formula tu pregunta Fermi! BIBLIOGR AFÍA E INTERNET 183 Bibliografía 184 Referencias de Internet 15 La cancha de futbol Antes de comenzar ¿En qué cancha de futbol hay más posibilidad de que se marquen penales, en una chica o en una grande? D on Melitón Martínez, presidente municipal de Tingüindín, Michoacán es gran aficionado al futbol. Por eso, no es de extrañar que cuando Nicolás y sus amigos le fueron a pedir un terreno donde jugar los partidos de la liga juvenil, no dudó en otorgarles el predio a espaldas de la iglesia del pueblo. Dicho predio es cuadrado, tiene una superficie de 10 000 m2 y está rodeado de una malla ciclónica. La única condición que puso para darles el terreno fue que le entregaran un modelo a escala de la cancha. Eso sí, les advirtió, pongan un área para gradas. El TERRENO DE JUEGO PORTERÍA LÍNEA DE META ÁREA DE META PUNTO PENAL LÍNEA ÁREA PENAL NDA DE BA SEMICÍRCULO PENAL CÍRCULO CENTRAL LÍNEA MEDIA LÍNEA DE B ANDA PUNTO CENTRAL Tu misión a lo largo de las siguientes actividades es hacer el modelo a escala de la cancha de futbol, incluidas el área técnica y las gradas, en una hoja blanca tamaño carta, de acuerdo con las siguientes indicaciones. 16 Matemáticas El área técnica Difiere de un estadio a otro en tamaño y ubicación, pero para nuestros fines seguiremos las siguientes líneas generales: • Está situada en un rectángulo de 30 m de largo por 5 m de ancho al centro de una de las líneas de banda separada 1 m de ésta. Área de gradas • Rectángulo de 50 m x 6 m ubicada enfrente del área técnica (en la otra línea de banda). Terreno de juego (no puede ser cuadrado) • Longitud máxima: 120 m • Longitud mínima: 90 m • Anchura máxima: 90 m • Anchura mínima: 45 m • Los lados más largos se denominan líneas de banda, los dos más cortos líneas de meta. • El terreno de juego está dividido en dos por una línea media. • El centro del campo está marcado con un punto en la mitad de la línea media alrededor del cual se trazará un círculo con un radio de 9.15 m. Los marcos En el centro de cada línea de meta se colocarán los marcos, que estarán formados por dos postes verticales equidistantes de las esquinas y separados 7.32 m entre sí. Área de meta Está situada en ambos extremos del terreno de juego y se demarca de la siguiente manera: 17 • A una distancia de 5.50 m de cada poste se marcan dos segmentos de recta perpendiculares a la línea de meta que se adentran 5.50 m en el terreno de juego y se unirán con una línea paralela a la línea de meta. • Al exterior de cada área penal se trazará un arco de círculo con centro en el punto penal y radio de 9.15 m. (Los comentaristas de futbol llaman equivocadamente “semicírc ulo” a este arco de círculo.) Área penal y punto penal Están situados en ambos extremos del terreno de juego y se demarcan de la siguiente manera: A una distancia de 16.50 m de cada poste se trazan dos segmentos de recta perpendiculares a la línea de meta que se adentrarán 16.50 m en el terreno de juego y se unirán con una línea paralela a la línea de meta. En cada área penal se marcará un punto a 11 m de distancia del punto medio de la línea entre los dos postes y equidistante a éstos. Al exterior de cada área penal se trazará un arco de círculo con centro en el punto penal y radio de 9.15 m. (Los comentaristas de futbol llaman equivocadamente “semicírculo” a este arco de círculo.) Área de esquina • Con un radio de 1 m medido desde cada esquina, se marcarán 4 arcos de circunferencia en la parte interior del terreno de juego. 18 Matemáticas Primera fase. 1. Escribe sobre el diagrama anterior las longitudes reales de la cancha. Incluye sobre el diagrama las zonas que no aparezcan en él. 2. ¿Cuánto mide de lado el predio que otorgará don Melitón? 3. Discute con tu equipo y escribe qué es lo que debes hacer para trasladar a una hoja blanca tamaño carta un modelo a escala del predio. 4. ¿Cuáles son las dimensiones de una hoja tamaño carta? • ¿Cuánto mide el lado del cuadrado mayor que se puede dibujar en una hoja tamaño carta? • Dibuja el cuadrado en tu hoja blanca. 5. Ya tienes el área donde vas a dibujar el modelo y un primer resultado importante: 100 metros equivalen a 6. Haz un croquis con los elementos principales que vas a ubicar en el terreno, son cuatro, indica cuáles: a) b) c) d) 19 La cancha de futbol Matemáticas • ¿Por qué son necesarios estos cuatro elementos? 7. ¿Qué distancias tienes que tomar en cuenta para ubicar estos tres elementos en el croquis? Considera que por razones de seguridad el terreno de juego debe tener un margen de por lo menos tres metros. a) b) c) 8. Señala los valores de estas distancias en el croquis. 20 Matemáticas 9. ¿Qué dimensiones obtuviste para el terreno de juego? • ¿Estas dimensiones están dentro de los parámetros establecidos? • ¿Consideras que son medidas adecuadas para una cancha? Si consideras que sí, pasa a la siguiente sección. Si consideras que no, modifica el croquis con las medidas que consideres pertinentes y luego pasa a la siguiente sección. Segunda fase 10. Habiendo decidido la medida del terreno de juego y sabiendo que 100 m equivalen a cm, ¿qué procedimiento conviene seguir para hallar la medida a escala de todas las longitudes involucradas? Discute con tu equipo y escribe el plan a seguir. 21 La cancha de futbol 11. Para concentrar la información, completa la tabla: Medida real Área técnica largo: 30 m. ancho: 5 m. separada 1 m de la línea de banda. Gradas Área de juego Postes Área de meta Área penal Punto penal Área de esquina Área central 22 Medida a escala Matemáticas Tercera fase 12. Conocidas las medidas de todas las magnitudes procede a hacer el modelo a escala que quiere don Melitón. Ya trazaste en la hoja blanca el cuadrado que representa el predio. Describe, con términos geométricos, cómo trazas y localizas los siguientes elementos: a) Línea media: b) Área técnica: c) Área de gradas: d) Líneas de meta: e) Línea de banda 1: f) Línea de banda 2 : g) Centro de la cancha : 13. Manos a la obra. 14. Tras haber llegado a una solución, conviene repasar lo que has hecho con el fin de que tengas un panorama claro de los pasos que seguiste para resolver el problema. Regresa, pues, al punto número 1 y haz una descripción de lo que hiciste en cada punto. Primera fase. Exploración del problema y elección de la herramienta matemática. 1. 2. 3. 23 La cancha de futbol 4. 5. 6. 7. 8. 9. Segunda fase. Solución matemática 10. 11. Tercera fase. Solución del problema real y visión retrospectiva. 12. 13. 14. 24 Matemáticas 䊏 EXPLOR A CON TECNOLOGÍA En una hoja de cálculo, escribe las fórmulas que te permitan calcular qué proporción del terreno de juego representan cada una de las áreas que lo componen (área penal, área de meta, etc.) para canchas con diferentes medidas. Largo Ancho Área total Área penal Área de meta AT AP AM AT/AP AT/AM Longitud máxima: 120 m Longitud mínima: 90 m Anchura máxima: 90 m Anchura mínima: 45 m 25 Sumando de uno en uno Antes de comenzar ¿Crees que es necesario conocer todos los sumandos de una suma para saber su resultado? P iensa en una nueva operación que no sea ninguna de las que conoces (+, -, ×, ÷). Vamos a denotarla con * y a definirla de la siguiente manera: a * b = 2a - b con a y b positivos. De esta manera, por ejemplo, 10*11 = 2(10) - 11 = 20 - 10 = 9 Calcula: 3*10 = 2(3) - 10 = 6 -10 = -4 6*5 = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7 8*11 = 2(8) - 11 = 16 -11 = 5 11*8 = 2(11) - 8 = 22 - 8 = 14 Tu misión a lo largo de las siguientes actividades es averiguar el resultado de la suma siguiente: 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 + ... + 999*100 26 Matemáticas Primera Fase 1. Lo primero será averiguar los primeros sumandos. 1*2 = 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0 3*4 = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 2*3 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 4*5 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3 2. ¿Notas algún patrón que te permita hacer la operación * con mayor fluidez? • ¿Cuál? • Ahora sin hacer la operación escribe el resultado de: 997 * 998 = 998 * 999 = 999 * 1000 = • Es decir, 1*2+2*3+3*4+4*5+...+999*1000 es equivalente a la suma Una manera de calcular la suma sería escribir todos los sumandos y efectuar la suma. Es una manera, pero tendríamos sumandos. ¿Crees que sea la forma más práctica? Discútelo con tus compañeros y escribe qué otras estrategias puedes seguir para hacer la suma. 27 Sumando de un en uno Antes de proseguir con la búsqueda de la solución, lee la siguiente conexión histórica. 䊏 CONEXIÓN HISTÓRIC A: K ART FRIEDRICH GAUSS Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Hace 228 años nació en Götingen, Alemania, Karl Friedrich Gauss. Hay una historia sobre él que dice que cuando contaba con 8 años de edad, su profesor, para ocupar a sus alumnos, les pidió encontrar la suma de los 100 primeros números naturales: 1+2+3+4+...+100. El profesor se disponía a tomarse un buen tiempo para trabajar en otras cosas, cuando Karl se levantó de su pupitre y le enseñó la solución: 5 050. Dejemos aquí la historia y veamos qué fue lo que hizo Karl. Él se dio cuenta que sumando los números del 1 al 100 de la siguiente manera, obtenía siempre el mismo resultado: 100 + 1 = 101 99 + 2 = 101 98 + 3 = 101 97 + 4 = 101 . . . 51 + 50 = 101 • ¿Cuántas parejas que suman 101 tenemos? Es decir, que podemos escribir la suma del 1 al 100 como otra suma equivalente: 101 + 101 + 101 + ... + 101 50 veces Lo que es lo mismo que 50 veces 101, o bien 50 × 101 = 5050. 28 Matemáticas La familia de Karl Friedrich Gauss vivía pobremente, su padre apenas tenía los medios para mandar a estudiar a su hijo la primaria, pero los maestros hicieron saber al duque de Brunswick del talento del niño; él se hizo su protector y se encargó de enviarlo a la Universidad. Karl estudió, investigó y demostró una gran cantidad de teoremas. Además, fue uno de los primeros en pensar en la geometría no euclidiana, llamada así para diferenciarla de la geometría plana de Euclides (que es la que se enseña en la escuela). Hoy, a partir del trabajo de Einstein sobre la relatividad general, tenemos bases para pensar que la geometría no euclidiana es la que mejor describe al espacio y al tiempo. Su obra fue tan importante, que ha sido reconocida como una de las contribuciones mayores al campo de la ciencia durante los siglos XVIII y XIX, y por esta razón se le conoce como el “Príncipe de las matemáticas”. Segunda fase 3. Volvamos al problema de calcular la suma 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... 997 + 998. Para empezar podemos prescindir del primer sumando, ¿por qué? Por lo tanto, la suma que debemos hacer es: Si procedemos de la misma forma que hizo Gauss de niño, debemos obtener las sumas de: 998 + 1 = 999 997 + 2 = 999 . . . 499 + 500 = 999 • ¿Cuántas parejas que suman 999 tenemos? Por lo que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 997 + 998 = 999 + 999 + 999 + ... + 999 500 veces 29 Sumando de un en uno Tercera fase 4. Escribe ahora el resultado de: 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + 4 * 5 + ... + 999 * 1000 = 5. Tras haber llegado a una solución, conviene repasar lo que has hecho con el fin de que tengas un panorama claro de los pasos que seguiste para resolver el problema. Regresa, pues, al punto número 1. Describe lo que hiciste en cada punto. Primera fase. Exploración del problema y elección de la herramienta matemática. 1. 2. Segunda fase. Solución matemática 3. Tercera fase. Solución del problema real y visión retrospectiva 4. 5. Fíjate que el método que acabamos de revisar sirve si sumamos un número par de sumandos, ¿qué pasaría si el número de sumandos es impar? Veamos: Encuentra la suma del 1 al 99. 30 Matemáticas 䊏 MÁS PROBLEMAS I (OPCIONAL) A continuación se muestran cuatro arreglos de cuadrados que llamaremos figuras 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 1. Dibuja el arreglo que corresponde a la figura 5. • Señala en la figura cuántos cuadrados hay en cada fila. 31 Sumando de un en uno 2. ¿Cuál es el área de las cinco figuras anteriores? Completa la tabla. Nota que, como los cuadrados tienen un centímetro de lado, entonces el área de cada uno es . Parar hallar el área de cada figura basta contar cuántos cuadra- dos hay en cada arreglo. Figur a Número de cuadr ados Área 1 2 3 4 5 3. Si un arreglo tiene 500 cuadrados en la fila de abajo, ¿cuántos cuadrados hay en total • ¿Cuál es su área? 䊏 MÁS PROBLEMAS 1. Cuadrados mágicos: Completa los siguientes cuadrados de manera que cada fila, cada renglón y cada diagonal sumen lo mismo. -9 -2 -6 -9 -9 -4 -8 -12 -5 2 -8 -6 1 3 -7 0 -3 6 5 32 9 8 -11 -4 Solución de problemas 1º Matemáticas Ésta es una herramienta de trabajo con la que se exploran formas novedosas y estimulantes para pensar un conjunto de retos conformados por textos cortos que plantean situaciones problemáticas y que sirven de estímulo para responder preguntas y realizar actividades. Durante la resolución de los problemas de cada Reto de esta obra, se estará aprendiendo gradualmente a desarrollar las competencias matemáticas, como pueden ser, entre otras: comprender el problema, hacerse preguntas al explorar las soluciones de un caso, descubrir y emplear la herramienta RETOS Solución de problemas 1° Matemáticas con matemáticas, y consiste en ACC UNN A A LL EERRCCA M A A EE AM NTT DDU IIEEN PPA O ARR U C C ACC O A A LL A I I ÓN A A VV Ó N IIDDA A para resolverlo, seguir una secuencia de razonamientos matemáticos, expresar y explicar los propios razonamientos, encontrar o extraer problemas matemáticos de la realidad... I SIB SN B N997700--22 9 -- 11559295- 6- 2 1 55 929576 9 9 7 87 89 9770022 99 1 Francisco H. Acevedo Alejandro Schmidt Doris Cetina
