León Walras

León Walras: equilibrio general
Pensamiento Económico II – Lección III
León Walras: Equilibrio General
Luis Guillermo Vélez Álvarez
Economista, Docente Universidad EAFIT
Consultor, Fundación ECSIM
I
León Walras (1832 – 1910) es uno de los más grandes economistas de todos los
tiempos. A él debe la economía el concepto de equilibrio general competitivo en
toda su significación. Su obra, Éléments d´economie politique pure o theorie de
la richesse sociale, es el marco de referencia de la teoría económica moderna en
sus versiones más avanzadas[1]: la teoría walrasiana de la competencia perfecta
(...) es el corazón de la economía, escribe Andreu Mas Collel[2].
La vida de Walras, como la de la mayor parte de los economistas, es
extremadamente simple en sus acontecimientos externos. Basado en su
autobiografía, Schumpeter presenta el siguiente perfil:
“Walras nació en Evreux, departamento del Eure, el 16 de diciembre de 1834. La
marcha de sus estudios pone de manifiesto la incapacidad del hombre de
pensamiento para las cuestiones prácticas. Sus fracasos no resultan extraños si se
piensa que se preparó en la École Polytecnique estudiando a Newton y a Descartes.
Su falta de entusiasmo por los caminos trillados es la misma que experimenta toda
mentalidad penetrante. Fracasó en su intento de estudiar en la École de Mines.
Quiso entonces ser periodista y trabajó para varias empresas, pero siempre con esa
falta de éxito que le caracterizaba. Sin embargo, desde nuestro punto de vista,
importa señalar que ya en 1859, en su primera publicación – un intento de refutar
las ideas básicas de Proudhon – se mostró convencido de que la teoría económica
podía ser tratada matemáticamente. Desde entonces supo lo que quería y todas sus
fuerzas se consagraron a un fin: en esto – en el método y no en problemas de ningún
tipo – está el origen de su obra. Desde entonces, también, se vio privado del soporte
y del ocio necesario para su tarea – en su autobiografía describe los círculos
científicos franceses en los cuales por lo general no logró arraigar. En esto, el azar
prestó un servicio a la ciencia. Walras, en 1860, había participado en un congreso
tributario celebrado en Lausana – y cuyas discusiones inspiraron su segunda
publicación importante- y las relaciones que allí adquirió le llevaron, diez años más
tarde, a ocupar la recién fundada cátedra de economía en esta ciudad. Esto tuvo
gran significación tanto por la ciencia como para el propio Walras. Todo aquel que
tenga un alto aprecio por su obra se sentirá profundamente emocionado ante aquel
pasaje de su autobiografía en el que describe, no sin solemnidad, cómo se dirigió a
la prefectura para obtener el permiso para abandonar el país y cómo después
emprendió el viaje hacia Lausana. En cuanto llegó comenzó a trabajar, y continuó
haciéndolo hasta que coronó la tarea que se había impuesto y fallaron sus fuerzas.
En 1892 se retiró de la cátedra, pero mantuvo su relación con la universidad, como
profesor honorario. En su pequeño piso de una casa próxima a Clarens continuó su
trabajo, y allí murió, el 4 de enero de 1910”[3]
La significación de la obra de Walras no fue comprendida por el establecimiento
académico de Francia. Se le negó la posibilidad de ejercer la docencia y su obra fue
vista con extrañeza: los académicos del país no podían creer que eso fuese
economía. En el prefacio a la cuarta edición de los Éléments, publicada en 1900,
escribió, no sin cierta amargura:
“Si Francia del siglo XIX, que vio nacer la nueva ciencia, se desinteresó
completamente de ella, eso se debe a una concepción, de gran estrechez burguesa,
que ve la cultura intelectual dividida en dos zonas distintas: la una produciendo
calculadores desprovistos de conocimiento filosóficos, morales, históricos,
económicos; y otros que se destacan en las letras sin ninguna noción matemática.
El siglo XX, que no está lejos, sentirá la necesidad, incluso en Francia, sentirá la
necesidad de entregar las ciencias sociales a hombres de cultura general,
habituados a manejar a la vez la inducción y la deducción, el razonamiento y la
experiencia. Entonces la economía matemática tomará su rango al lado de la
astronomía y de la mecánica matemáticas, y ese día, se nos hará justicia”[4]
Y se le hizo justicia.
Walras tuvo en vida el reconocimiento de la comunidad científica de su tiempo. Sus
Elementos fueron conocidos y leídos por los más grandes economistas de la época
de todos los países - Menger, Marshall, Jevons, Wicksteed, Edgeworth, BohmBawerk, Barone, Pantaleoni, Fisher y otros - con los que mantuvo un gran
intercambio epistolar. Incluso fue postulado al premio nobel de la paz, el de
economía no existía entonces, por sus propuestas de reforma social. Ya en los años
treinta sus ideas serían desarrolladas por grandes economista como Hicks, Lerner,
Allais, Lange, Samuelson, Wald, Von Neumann y otros más, algunos de los cuales
recibirían posteriormente el nobel de economía. En los años 50 y 60, otra serie de
economistas – Debreu, Arrow, Gale, Koopmans, etc. - con un instrumental
matemático más avanzado harían nuevos aportes a la solución de los problemas de
existencia, unicidad y estabilidad del equilibrio competitivo. Actualmente, el texto de
referencia en las escuelas más avanzadas de economía del mundo "Microeconomic Theory” de Mas Collel, Whinston y Green – es totalmente
walrasiano.
II
Antes de presentar los principales aspectos del pensamiento de Walras, es
conveniente insistir un poco más sobre el significado del equilibrio de competencia
perfecta como núcleo central de la teoría económica. La exposición que sigue está
basada en el prefacio y en la introducción histórica del libro de Arrow y Hahn ,
Análisis General Competitivo.[5].
El análisis general competitivo es el modelo de una economía descentralizada de
competencia perfecta donde los agentes eligen o toman decisiones sobre la base
de ciertos axiomas de racionalidad. Lo primero que es preciso entender que elaborar
un modelo tan abstracto no responde pura y simplemente a la necesidad de hacer
una simplificación de para obviar las complicaciones del mundo real. Se trata de
algo más profundo:
“Ya es larga y bastante respetable la serie de economistas la serie de economistas
que, desde Adam Smith hasta el presente, han tratado de demostrar que una
economía descentralizada, motivada por el interés individual y guiada por señales
de precios, sería compatible con una disposición coherente de los recursos
económicos, que podría considerarse, en un sentido bien definido, mejor que una
gran número de disposiciones alternativas posibles. Además, las señales de precios
operarían en cierta forma para establecer ese grado de coherencia. Es importante
entender cuan sorprendente puede ser esta afirmación para cualquiera que no se
haya expuesto a esta tradición. La respuesta inmediata, de sentido común, al
interrogante: ¿cómo sería una economía motivada por la ambición individual y
controlada por un número muy grande de agentes?, sería probablemente esta:
habría caos. El hecho de que una respuesta enteramente diferente haya sido
proclamada como cierta desde antiguo y haya impregnado en realidad el
pensamiento de una gran número de personas que en modo alguno son
economistas, es motivo suficientes para investigarla seriamente”[6].
Y sobre la trascendencia del problema, dicen Arrow y Hahn:
“…la noción de que un sistema social movido por acciones independientes en
búsqueda de valores diferentes es compatible con un estado final de equilibrio
coherente, donde los resultados pueden ser muy diferentes de los buscados por los
agentes; es sin duda la contribución intelectual más importante que ha aportado el
pensamiento económico al entendimiento general de los procesos sociales”[7]
Carlo Benetti, plantea la cuestión en los siguientes términos:
“El problema científico inicial, probablemente el más profundo que plantea la teoría
económica, concierne a la posibilidad de coherencia de una sociedad de mercado.
¿Por qué una sociedad compuesta de propietarios privados, quienes, movidos por
interese egoístas, toman decisiones económicas independientemente los unos de
los otros no desemboca en el caos? Desde Richard Cantillon todos los grandes
economistas han buscado una respuesta a esta pregunta”[8].
La coherencia del sistema en términos económicos es un equilibrio. Es decir, un
estado en cual las estrategias individuales son compatibles entre sí y no se generan
fuerzas endógenas susceptibles de modificarlo. Son de equilibrio las estrategias que
ningún agente quiere cambiar, dadas las estrategias de los demás agentes.
Dado el concepto de equilibrio son dos las cuestiones que se deben plantear:
1.
2.
3.
El problema de la existencia. Es decir, que el conjunto de ecuaciones mediante el
cual se representa el sistema tenga una solución económicamente significativa. Una
solución es económicamente significativa cuando todos los precios son no
negativos.
El problema de la unicidad. Es decir, que la solución del sistema sea única.
El problema de la formación de precios de equilibrio o el problema de la
estabilidad. En otras palabras, se trata de mostrar cómo a partir de una situación
de des-equilibrio se generan fuerzas endógenas que llevan el sistema al equilibrio
o, lo que es equivalente, explicar cómo se restablece, por la acción de fuerzas
endógenas, una situación de equilibrio inicial que es modificada por un choque
exógeno.
Históricamente el primer autor que adopta de forma más o menos sistemática un
enfoque de equilibrio general es Richard Cantillon. En su modelo de economía hay
tres agentes: los propietarios de la tierra, los trabajadores y los empresarios. Esto
último juegan un papel muy similar, como veremos, al que juegan en el modelo de
Walras: alquilan los recursos productivos de propietarios y trabajadores y les venden
productos en el mercado de bienes que aquellos pagan con los ingresos recibidos
de los empresarios. También el Tableau Economique de los fisiócratas puede verse
como un sistema de equilibrio general aunque carezca de una teoría explícita de la
formación de los precios. Debemos a Adam Smith la conocida metáfora de la “mano
invisible” y a los demás economistas clásicos – Ricardo, Mill, Sraffa, etc. – una
representación de la economía como sistema interdependiente en el cual la regla
de uniformidad de la tasa de beneficio es el mecanismo que llave al ajuste de los
precios de mercado a los niveles naturales que garantizan la reproducción de
sistema. Finalmente, incluso Marx, con sus esquemas de reproducción simple y
ampliada aborda el problema del equilibrio de una economía competitiva.
III
Walras concebía la economía como compuesta de tres campos de estudio: la
economía política pura, la economía social y la economía aplicada. A cada uno de
esos campos consagró una obra, a saber: Éléments d´Economie Politique Pure
(1874), Études d´Economie Sociale (1896) y Études d’Economie Politique Appliquée
(1898). Estos dos últimas no son obras sistemáticas como los Éléments, sino más
bien colecciones de artículos relativos a las temáticas indicadas.
La economía política pura es “la teoría de la determinación de los precios bajo el
régimen hipotético de libre competencia absoluta”[9]. La economía aplicada es la
teoría de la producción agrícola, industrial y comercial de la riqueza. Finalmente, la
economía social es la teoría de la distribución de la riqueza por la propiedad y los
impuestos[10]. En el libro sobre economía aplicada aborda cuestione tales como
bimetalismo y monometalismo, monopolios públicos, libre comercio, banca y
crédito, etc. En el libro sobre economía social aborda tópicos como la
nacionalización de la tierra, el comunismo y la propiedad privada, el individualismo,
etc.
Como quiera que la parte más conocida de la obra de Walras es su teoría del
equilibrio general competitivo en el imaginario popular y en el de no pocos
economistas es visto como un defensor a ultranza de la libre competencia sin
restricciones y del estado mínimo. Nada más alejado de la realidad. En carta a uno
de sus corresponsales desmiente ese prejuicio de manera expresa:
“Me parece que usted me considera un defensor de la competencia libre
absoluta...pero lo que es cierto es lo opuesto; más bien ha sido el deseo de
responder a la mal fundada e ininteligible aplicación de la noción de competencia,
lo que me ha llevado al estudio de la competencia libre en el comercio y la
producción.”[11]
Walras era en efecto un decidido partidario de la intervención económica del estado.
Propugnó por la nacionalización de la tierra con la idea de que el gobierno derivara
de su arriendo los ingresos necesarios para financiar su actividad sin tener que
recurrir a impuestos de ninguna clase. Era partidario de que el gobierno asumiera
directamente la prestación de ciertos servicios públicos como el ferrocarril por
considerar que dicha actividad, en manos privadas, conductas monopolísticas
abusivas. Un par de citas extraídas de su economía aplicada ilustran
suficientemente su visión social:
Libertad del Individuo, Autoridad del Estado, Igualdad de Condiciones, Desigualdad
de Posiciones: esta es la fórmula general de la constitución de la ciencia social”.
(...) he escrito mucho en favor de la supresión de todos los impuestos personales
(siguiendo, por supuesto, la toma por parte del Estado de la propiedad de la tierra)
y esta es una condición absoluta para el funcionamiento eficiente de un sistema de
mercado libre. De otro lado, un sistema de intercambio libre es una condición
absoluta para la paz.”
El colectivismo es (...) la mitad de la Verdad en Economía Aplicada, como el
comunismo es la mitad de la Verdad en Economía Social”[12].
Walras justificaba la nacionalización de la tierra con el siguiente argumento:
“Hay dos tipos de riqueza social para distribuir: la tierra y las facultades personales;
y hay dos categorías sociales en las cuales la riqueza social puede ser distribuida,
el estado y el individuo. De acuerdo con el principio de la desigualdad de las
características del ser humano, las facultades personales deben ser atribuidas al
individuo; de acuerdo con el principio de igualdad de condiciones la tierra debe ser
atribuida al estado”[13]
Todos los proyectos de reforma social de Walras reposan sobre la hipótesis de un
estado previsor y benevolente que conoce bien el interés general de la sociedad y
se esfuerza por realizarlo. Cuando se abandona esa hipótesis y se concibe el
gobierno como una entidad conformada por hombres iguales a todos los demás la
presunción sobre su buena conducta se derrumba. Los trabajos de la escuela de la
elección pública y los de la tradición austríaca ofrecen visiones del estado más
acordes con la naturaleza humana.
Este aspecto de la obra de Walras fue desechado, en efecto, por la mayoría de sus
seguidores, empezando por su discípulo inmediato, Vilfredo Pareto, su sucesor en
la cátedra de economía de la Universidad de Lausana, quien consideraba absurdas
todas las ideas de su maestro sobre economía social y aplicada.
“La más grande contribución del profesor Walras a la discusión económica fue su
descubrimiento de un sistema general de ecuaciones que expresan el equilibrio
económico. No puedo, por mi parte, admirar suficientemente esta porción de su
trabajo, pero debo agregar que estoy completamente en desacuerdo con él respecto
a lo que tiene que decir en su trabajo titulado Études d´ Economie Sociale. El
profesor Walras piensa que es posible obtener ciertas deducciones económicas de
principios metafísicos de jurisprudencia. Esta opinión merece respeto, pero no
puedo aceptarla. Yo soy un creyente en la eficiencia de los métodos experimentales
hasta el punto de excluir todos los otros. Para mí no existen demostraciones
valiosas excepto aquellas basadas en los hechos”[14].
Otro notable economista del equilibrio general, John Hicks (1904-1989), nobel de
economía
en
1972,
se
expresó
de
manera
semejante:
“El trabajo de Walras sobre teoría monetaria, y sus relativamente no-interesantes
escritos sobre economía aplicada, no nos pueden detener aquí. Es en economía
pura en donde se encuentra su interés, y el descubrimiento de las condiciones de
equilibrio estático bajo competencia perfecta fue su logro central”[15].
Ciertamente sobre las ideas de reforma social es mejor dejarlas en un discreto
olvido y reconocerlo como un gran teórico de la economía pura y no como un
reformador social de la categoría de Henry George.
IV
Antes de describir la forma en que Walras aborda el equilibrio general, es
conveniente ilustrar el significado y la importancia teórica de los problemas de
existencia, unicidad y estabilidad del equilibrio en términos del análisis marshalliano
de oferta y demanda de una sola mercancía[16].
Veamos en primer lugar la definición de precio de equilibrio. En un mercado de una
sola mercancía existe un precio de equilibrio positivo si hay un precio al cual las
cantidades demandadas, D (P) y ofrecidas S (P) son iguales. Si para cada precio
restamos la cantidad ofrecida de la cantidad de la cantidad demandada obtenemos
una nueva función denominada función de exceso de demanda: E (P) = D (P) – S
(P). Podemos definir el precio de equilibrio de la mercancía como aquel que hace
igual a cero la función de exceso de demanda.
La gráfica 1, que presenta las curvas habituales de oferta y demanda, ilustra esta
situación. El panel (a) muestra un mercado de una mercancía cualquiera en la que
hay un precio de equilibrio y sólo uno. El panel (b) presenta la misma situación en
términos de la función de exceso de demanda. Formalmente P* es un precio de
equilibrio si S (P*) = D (P*) o, en términos de la función de excedo de demanda, E
(P*)
=
0.
Gráfica 1.
Analicemos ahora el caso de la situación representada por la gráfica 2. Allí resulta
evidente que no existe un precio positivo al cual las cantidades ofrecidas y
demandadas sean iguales. O, en términos de la curva de exceso de demanda, no
existe un precio positivo al cual sea nulo el exceso de demanda. El único precio al
cual podrían igualarse las cantidades ofrecidas y demandadas sería igual a cero.
Esto significa que se trata de un bien libre. La situación de equilibrio, para considerar
los bienes libres, puede entonces definirse como aquella en la cual existe un precio
no – negativo tal que la cantidad demandada no es mayor que la ofrecida.
Formalmente, P* > ó = 0 es un precio de equilibrio si D (P*) < ó = S (P*) y, además,
D (P*) < S (P*) implica que P* = 0.
Gráfica 2
Pero también son concebibles situaciones como la representada en la gráfica 3. Allí
no hay ningún precio al cual se igualen las cantidades demandadas y ofrecidas o,
lo que es lo mismo, no existe un precio que anule los excesos de demanda.
Gráfica 3
Se ve pues que no es evidente, aún en el caso de un solo mercado, que exista un
precio que vacíe el mercado. Pero adicionalmente, pueden presentarse situaciones
en la cuales el precio de equilibrio no sea único, es decir, que existan varios precios
a los cuales las cantidades ofrecidas y demandadas sean iguales. Esta situación se
representa en la gráfica 4. Las funciones de oferta y demanda son constantes y
coincidentes de suerte que las cantidades demandadas y ofrecidas son iguales para
cualquier precio, lo cual implica que todo precio no negativo es un precio de
equilibrio.
Gráfico 4
Es claro pues que la existencia de un precio de equilibrio no es algo de por sí
evidente. Es preciso demostrar que existe un conjunto de precios de equilibrio no
vacío. Adicionalmente, demostrada la existencia, es preciso demostrar que sólo hay
un precio de equilibrio en el mercado.
Pero suponiendo resueltos los problemas de existencia y unicidad queda aún el
problema de la estabilidad del equilibrio o, lo que es lo mismo, el problema del
proceso mediante el cual se forman los precios de equilibrio. Esto se ilustra en la
Gráfica 5. La cuestión puede plantearse de una de estas dos formas equivalentes:
Dada una situación de desequilibrio, ¿cuál es el proceso que permite la anulación
de los excesos de demanda y lleva al equilibrio?
Dada una situación de equilibrio, si se presenta una perturbación exógena que
aparte precio y cantidad de sus valores de equilibrio, ¿cuál es el proceso que lleva
al restablecimiento de la situación de equilibrio?
Las curvas de oferta y demanda del panel (a) de la gráfica 5 representa una
situación en la cual en presencia de una perturbación las fuerzas endógenas que
se ponen en movimiento llevan al restablecimiento del equilibrio. Por el contrario, en
el panel (b) se presenta la situación contraria: las fuerzas puestas en movimiento en
presencia de un perturbación exógena dan lugar a cambios que alejan cada vez
más los precios y las cantidades de sus valores de equilibrio.
Gráfica 5
Aun considerando un mercado aislado, es claro que la existencia del equilibrio, su
unicidad y su estabilidad están lejos de ser evidentes. Pero además, si tenemos en
cuenta la conducta individual de maximización, es claro que suponer como algo
dado la existencia de un precio único que maximice la utilidad de todos los
consumidores, el beneficio de todos los productores y vacíe el mercado parece
excesivo. Y el problema es aún mayor cuando se considera no uno sino todos los
mercados. En esto radica el gran aporte de León Walras, en haber planteado el
problema del equilibrio en toda su magnitud habiendo definido así todo el programa
de investigación que ha venido desarrollando la economía hasta la época actual.
V
Según William Jaffé, su biógrafo más reputado, Walras habría tomado la noción de
una economía en equilibrio de la obra Elementos de Estática, de Louis Poinsot, que
Walras habría leído a los 19 años. Allí aprendió Walras cómo se deducían las
condiciones de equilibrio general de un sistema mecánico a partir de las condiciones
de equilibrio de las partículas. De esto sacó la idea de un sistema económico de
interdependencia donde las partículas que lo conforman – consumidores y
productores – interactúan entre sí a través de sus acciones en el ámbito del
mercado. Naturalmente pasar de la idea vaga de un sistema donde “todo depende
de todo y vice-versa” a una formulación rigurosa en términos matemáticos hay un
trecho bastante largo.
En un artículo titulado Économique el Mecanique, publicado en 1909, Walras
escribió:
“La teoría de la satisfacción máxima del intercambio y la de la energía máxima de
la balanza romana, la teoría del equilibrio general del mercado y la del equilibrio
universal de los cuerpos celestes, encontraremos, entre las dos teorías mecánicas
una sola y única diferencia: la exterioridad de los fenómenos mecánicos y la
interioridad de los fenómenos económicos, (...); se tienen instrumentos para
determinar la caída de los astros los unos hacia los otros. No se tienen para medir
la intensidad de las necesidades en las personas que intercambian. Pero no
importa, puesto que cada individuo que intercambia se encarga de operar él mismo,
consciente o inconscientemente, esta medida y de decidir en interior profundo si sus
´ultimas necesidades satisfechas son o no proporcionales a los valores de las
mercancías. Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los
hechos que se van a medir sean físicos o psíquicos, no impide que exista medida,
es decir, la comparación de las cantidades y la relación cuantitativa, y que, en
consecuencia, la ciencia sea matemática”[17].
El equilibrio económico general está definido por cinco condiciones, a saber:
1.
Todo consumidor, definido por una función de utilidad, alcance el máximo de
satisfacción, lo cual ocurre cuando los precios de los bienes que consume
proporcionales sus utilidades marginales.
2.
Igualdad entre el precio de cada bien y servicio y su costo de producción.
3.
Igualdad entre la cantidad ofrecida y la demandad de cada bien o servicio.
4.
Igualdad entre las cantidades producidas y demandas y entre los precios de venta
y los costos de producción de los bienes de capital nuevos.
5.
Finalmente, la condición de equilibrio monetario según la cual la cantidad de
dinero en circulación debe ser tal que la moneda tenga el mismo precio como
mercancía, como moneda y como capital circulante.
La demostración de la primera condición es el objeto de la teoría del intercambio
puro, es decir, la formación de los precios en una economía sin producción. Hasta
aquí
llegaron
Jevons
y
Menger.
La demostración conjunta de las condiciones 1, 2 y 3 es el objeto de la teoría del
intercambio y la producción en una economía estática, es decir, en una economía
donde los recursos son dados, es decir, donde no hay ahorro ni acumulación de
capital.
El estudio de la condición 4 es la teoría de la capitalización y el interés, uno de los
aspectos más complejos de la teoría walrasiana aún en la actualidad. El estudio
simultáneo de las condiciones 1, 2, 3 y 4 conforma el equilibrio general.
El equilibrio monetario, que Walras estudia en la lección 30, es el aspecto menos
desarrollado de la teoría del equilibrio general aún en la actualidad.
En la sección siguiente se examinará la teoría del intercambio y la producción de
manera conjunta lo que resulta suficiente para señalar los aspectos más importantes
de la teoría de Walras desde el punto de su lógica interna. Se harán algunas
observaciones sobre la teoría del capital y de la tasa de interés. Las cuestiones de
la moneda en el equilibrio general se analizarán en otra lección.
VI
Después de la teoría del intercambio puro, Walras aborda, en la lección 17, la teoría
de la producción.
“He tratado sucesivamente, en la teoría matemática del cambio, el intercambio de
dos mercancías entre ellas en especie, luego el intercambio de múltiples
mercancías con la intervención de un numerario. Al hacer esto dejé de lado la
circunstancia de que las mercancías son productos resultantes de la asociación de
los elementos de producción como las tierras, los hombres y los capitales. Ha
llegado el momento de hacer intervenir y de plantear, después del problema de la
determinación del precio de los productos, el de la determinación matemática del
precio de los servicios productivos. La solución del problema del intercambio nos ha
conducido la fórmula científica de la ley de la oferta y la demanda. La solución del
problema de la producción nos conducirá a la fórmula científica de la ley de los
gastos de producción o costo de producción. Así yo habré encontrado las dos
grandes leyes de la economía políticas; con la diferencia de que en lugar de
ponerlas en competencia y contradicción la una y la otra en la determinación de los
precios, le habré dado su parte a cada una fundamentando en la primera la
determinación del precio de los productos y sobre la segunda la determinación del
precio de los servicios productivos”[18]
Son necesarias algunas definiciones. Es preciso distinguir entre el capital y sus
servicios. Capital es todo bien durable, servicio es todo bien fungible. El capital
trasciende de un período de producción a otro, su servicio se prestas y se agota en
cada período. Hay dos categorías de capital: los naturales y los artificiales. Los
capitales naturales son los capitales inmobiliarios o la tierra y los capitales
personales o personas. Los artificiales son los capitales mobiliarios. Solamente
estos últimos se producen según las reglas de la economía y por lo tanto su cantidad
es susceptible de aumentar. Si hay un excedente este será siempre un excedente
de capitales mobiliarios.
A cada capital corresponde un servicio y a cada servicio un precio. A la tierra
corresponde el servicio de la tierra y su precio es la renta; al capital personal
corresponde el servicio del trabajo y su precio es la renta y, finalmente, al capital
mobiliario corresponde el servicio del capital y su precio es el interés[19].
Todos los capitales se miden físicamente. Aquí no hay pues un problema de
agregación como cuando se trata de la función de producción. El servicio de cada
capital es una cantidad de sus unidades empleada durante una cantidad de tiempo.
El servicio de la tierra será una cantidad de ésta utilizada durante un intervalo de
tiempo. El tiempo se mide, por supuesto, en sus unidades naturales. Los
empresarios no compran los capitales, los arriendan y pagan por sus servicios.
“Los capitales solamente porque sobreviven al primer al primer uso puede
alquilarse, sea a título oneroso o a título gratuito. Se puede alquilar una casa, un
bien mueble. ¿Y cuál es la razón de esa operación? Procurar al arrendatario el
disfrute del servicio. El alquiler del capital es la alienación del servicio del capital.
Definición fundamental que reposa enteramente sobre la distinción entre los
capitales y los ingresos y sin la cual la teoría de la producción y la del crédito son
imposibles”[20].
Los capitales – naturales y artificiales – son económicamente la misma cosa:
“Es de la esencia de los capitales dar nacimiento a los ingresos, es de la esencia de
los ingresos nacer directa o indirectamente de los capitales”[21]
Tenemos pues 3 agentes – terratenientes, que detentan la tierra, trabajadores,
dueños de los servicios personales y capitalistas, propietarios de los capitales
propiamente dichos. Y aparece un cuarto personaje: el empresario. Se trata de un
personaje enteramente distinto de los demás. Su rol es alquilar los servicios de los
tres capitales y asociarlos en la producción.
“Desde el punto de vista científico debemos distinguir esos roles y evitar el error de
los economistas franceses que hacen del empresario un trabajador encargado del
trabajo de dirección de la empresa”[22]. Volveremos a hablar de este empresario.
Después de las definiciones anteriores, Walras plantea el problema de la siguiente
forma:
“Dicho lo anterior, vamos a investigar por qué y cómo se sucede, en una sociedad
económica sometida al régimen de la libre competencia en materia de producción y
de cambio, que hay, para los servicios de la tierra o las rentas, para el servicio de
las facultades personales o para los trabajos, para los servicios de los capitales
propiamente dichos o para los beneficios, precios corrientes que son cantidades
matemáticas; vamos, hablando propiamente, a formular el sistema de ecuaciones
del cual las rentas, los salarios y los intereses son las soluciones”[23]
Existen dos clases de mercados: el de los servicios productos y el mercado de los
productos. En el mercado de servicios los vendedores son los propietarios de los
capitales y los empresarios los compradores; en el mercado de productos los
vendedores son los empresarios y los compradores los propietarios de los servicios
productivos. El vínculo es el dinero que es distribuido a los propietarios en el
mercado de servicios y que es utilizado por éstos en el mercado de productos. Pero
este vínculo es puramente formal: la moneda no juega ningún rol en el equilibrio
general. En cambio el vínculo del empresario es fundamental: está siempre a un
lado del mercado; de la demanda, en el de servicios; de la oferta, en el de productos.
El equilibrio se realiza cuando 1. Hay igualdad entre la oferta y la demanda de
servicios producción. El precio de los servicios productores constituye la
remuneración de los propietarios de los capitales. Por tanto no hay al equilibrio
ningún remanente para el empresario: “…en el estado del equilibrio de la
producción, los empresarios no realizan ni beneficio ni pérdida. Subsisten entonces
como propietarios, no como empresarios”[24] . Ningún ingreso está asociado a la
función del empresario en equilibrio. Por el contrario, por fuera del equilibrio, el
empresario realiza beneficios o pérdidas. Es a partir de ahí que los procesos de
ajuste se producen: los empresarios abandonan las ramas deficitarias y buscan las
excedentarias.
Veamos ahora el esquema de la producción. Notación.
Os1……………Osn las cantidades ofrecidas de los servicios 1,2 ….n
Ps1……………Psn
los precios de los servicios.
D1……………Dm las cantidades demandadas de mercancías.
P1…………….Pm
los precios de las mercancías.
Aij cantidad del servicio j necesaria para la producción de una unidad de
mercancía i.
El sistema de intercambio y producción está conformado por cuatro bloques de
ecuaciones, a saber:
Para cada servicio productivo hay una función de oferta donde la cantidad es función
del precio de todos los servicios y de todos los productos. El primer bloque está
formado porn ecuaciones del siguiente tipo:
Os1 = Fs1(P1…….Pm ; Ps1……Psn)
Para cada producto se tiene una demanda que es función del precio de todos los
servicios y todas las mercancías. El segundo bloque está formado
por m ecuaciones del siguiente tipo:
D1 = F1(P1…….Pm ; Ps1……Psn).
La primera condición de equilibrio, la igualdad entre la oferta de cada servicio y la
demanda conforma en el tercer bloque de ecuaciones que está formado
por n ecuaciones de este tipo:
Os1 = A11D1 + A21D2……..Am1Dm
La segunda condición de equilibrio, la igualdad entre el precio de venta y los costos
de producción conforma el cuarto bloque. Hay m ecuaciones del siguiente tipo:
P1 = A11Ps1+ A12Ps2………..A1nPsn
Hay 2n + 2m ecuaciones que permiten determinar n cantidades de servicios, m
cantidades de productos, n precios de servicios y m-1 precios de productos. Una
ecuación puede deducirse de las otras con los que quedan 2n+2m – 1 ecuaciones
y otras tantas incógnitas, al tomar como numerario un mercancía cualquiera.
Walras pensaba que para que existiera un conjunto de precios de equilibrio bastaba
con la igualdad entre el número de incógnitas y de ecuaciones. Había sin embargo
dos complicaciones.
1.
Como sólo los precios relativos afectan en comportamiento de los consumidores
y los empresarios; el sistema sólo tiene 2n + 2m – 1 variables, esto lo expresó
Walras tomando un bien como numerario.
2.
El equilibrio presupuestal de cada consumidor implica que el valor de su ingreso
es igual al valor de su consumo y la condición de equilibrio nulo de los empresarios
implican que el valor de mercado de la oferta total es igual al valor de la demanda
para cualquier conjunto de precios, no sólo para el conjunto de equilibrio. Esto es lo
que se conoce como Ley de Walras. Las relaciones de oferta y demanda no son
independientes. Si hay equilibrio 2n+2m – 1 mercado, lo hay también en el otro.
En los años 30 un conjunto de economistas y matemáticos mostraron que el
problema de la existencia del equilibrio era más complicado que la igualdad del
número de ecuaciones y de incógnitas. Se observó que para un conjunto verosímil
de los coeficientes técnicos, los Aij, los precios o cantidades de equilibrio podían ser
negativos. También se advirtió que si el número de productos fuese menor que el
número de factores, el sistema no tenía solución general. Esto llevó a nuevos
tratamientos del problema de la existencia cuyo examen está fuera del alcance de
estas lecciones.
VII
Veamos ahora el problema de la estabilidad del equilibrio. En términos de Walras,
se trata de mostrar cómo el mercado resuelve el sistema de ecuaciones planteado.
Esto es fundamental, pues sin esa demostración, la solución del sistema se reduce
a la solución de un problema matemático desprovisto de significación económica.
“Queda solamente por demostrar, en lo referente tanto al equilibrio de la producción
como al del intercambio, que el mismo problema al cual le hemos dado una solución
teórica, es también el problema que se resuelve en la práctica por el mercado por
el mecanismo de la competencia”[25].
Para tratar el problema de la estabilidad del equilibrio o, lo que es lo mismo, para
describir el proceso de ajuste hacia los precios de equilibrio cuando se parte de un
conjunto de precios que no lo es, Walras recurrió a la ficción de un mercado
organizado en forma de subasta en el que un subastador dirige un proceso mediante
el cual los precios se ajustan progresivamente a los valores de equilibrio. Este es el
tanteo walrasiano.
“Los mercados mejor organizados desde el punto de vista de la competencia son
aquellos en que las ventas y las compras se hacen mediante subasta, a través de
agentes tales como los agentes de cambio, corredores de comercio o voceadores
que las centralizan, de tal forma que ningún cambio tiene lugar sin que las
condiciones sean anunciadas y conocidas y sin que los vendedores tengan la
oportunidad de rebajar sus precios y los compradores de aumentarlos. Así
funcionan las bolsas de valores públicos, las bolsas de comercio, los mercados de
grano, de pescado, etc. Al lado de estos mercados existen otros donde de la
competencia, aunque no tan bien organizada, funciona todavía de una manera
bastante adecuada y satisfactoria: tales son los mercados de frutas y legumbres, de
volatería. Las calles de una ciudad donde se encuentran almacenes y panaderías,
carnicerías, tiendas de ultramarinos, sastrerías, zapaterías, constituyen mercados
con una organización un poco más defectuosa desde el punto de vista de la
competencia pero, sin embargo, esta está presente de forma suficiente. (...)
Supondremos siempre un mercado perfectamente organizado desde el punto de
vista de la competencia, de igual forma que en la mecánica pura se supone que las
máquinas se encuentran libres de rozamientos”[26].
Veamos en primer lugar el tanteo en la economía de intercambio. El subastador
grita sistema de precios al azar. Se tienen m mercancías y por tanto m-1 precios.
Los propietarios de mercancías hacen entonces sus cálculos – cálculos de
maximización de utilidad bajo la restricción de presupuesto – y determinan las
distintas cantidades de bienes que deben demandar y ofrecer. El subastador reúne
todas las ofertas y demandas para cada bien y constata la existencia de igualdad.
Si no hay igualdad, modifica los precios siguiendo una regla simple: si para una
mercancía la oferta agregada excede a la demanda, baja el precio; e inversamente.
Comunica luego el nuevo conjunto de precios, los agentes hacen sus cálculos, fijan
sus ofertas y demandas, etc. Bajo ciertas condiciones el tanteo de precios converge
a hacia el sistema determinado teóricamente. Ninguna transacción tiene lugar
durante el proceso de tanteo, es decir, no hay intercambios fuera del equilibrio.
El caso de la producción es más complicado porque se tienen ahora dos clases de
mercados: el de servicios productivos y el de productos. El problema surge del
hecho de asumir un sistema de interdependencia general en donde todo cambio en
un punto de sistema modifica el resto.
Walras procede por aproximaciones sucesivas tomando como dadas ciertas
variables y tanteando otros precios para llegar al equilibrio de las demás. Una vez
que éstas están en equilibrio vuelve sobre las primeras y así sucesivamente. Para
hacer análisis representemos el sistema en notación matricial:
P es el vector de precio de los productos.
Ps es el vector de precios de los servicios.
Os es el vector de oferta de servicios.
D es el vector de demanda de bienes.
A es la matriz de coeficientes técnicos.
Inicialmente Ps y D están dados. Los notamos como P*s y D*.
Con los precios de los servicios dados y la matriz de coeficientes técnicos, se
determinan los costos de producción:
P*s ----------------- APs = P
estde productos, se determinan los precios de venta.
D*-------------------D* = F (P, P*s) --------------------P1
No hay ninguna para que P1 sea igual P, es decir, para que el precio de venta sea
igual al costo de producción. En general la igualdad no será satisfecha. Es aquí
donde intervienen los empresarios. Si el precio de venta de una mercancía es
superior al costo de producción, los empresarios afluyen y desarrollan su
producción; si el precio de venta es inferior al costo de producción, los empresarios
se retiran y la cantidad producida de esas mercancías baja. En el período siguiente
el vector de D** es diferente al inicial. El proceso recomienza:
P*s ----------------- APs = P
D**-------------------D** = F (P, P*s) --------------------P2
Problema es saber si el nuevo vector de precios P2 está más cerca del vector de
equilibrio que P1.
Los precios de los servicios están dados y no han cambiado. Esto significa que el
ingreso de los consumidores no ha cambiado tampoco. El ingreso de los
consumidores se distribuye entre los diferentes bienes de tal suerte que la utilidad
sea máxima. Tomemos el caso de un bien cualquiera, el bien i. El consumidor
destina a ese bien una cierta cantidad de su ingreso, que es igual a la cantidad
comprada pos su precio. Imaginemos que en la segunda fase del proceso la
cantidad de i aumenta. Si aumenta su precio debe bajar. Pero sólo ocurre así si la
cantidad renta destinada a la compra de ese bien permanece constante. Esto se
denomina efecto de primer orden, el cual, según Walras, es de importancia notable.
Este es el efecto bueno, equilibrante. Ahora bien, ¿necesariamente el ingreso
destinado al bien i permanece constante?. De ninguna manera. El cambio en el
precio de un bien entraña dos efectos: el efecto sustitución y el efecto renta. Walras
trata el punto y dice lo siguiente:
“Esta sería una consecuencia de segundo orden, que tiene una importancia
mediocre en lo que concierne a los precios (…) por tres razones: 1. Que la variación
de la suma destinada a al consumo de i (DiPi), está limitada por el hecho de que los
dos factores Di y Pi varían en sentido contrario; 2. Que esta variación, que implica
una venta y una compra de todas las mercancías, no implica, por esa misma razón,
más que una venta y una compra de una cantidad mínima de cada una de ellas y 3.
Que los efectos de venta y compra se contrarrestan”[27]
Y he aquí la conclusión triunfal:
“…es cierto que el cambio en la cantidad fabricada de cada producto tiene sobre el
precio de venta de ese producto un efecto directo, todo entero en el mismo sentido,
mientras que los cambios en las cantidades fabricadas de los otros productos,
suponiendo que todas van en el mismo sentido, no tienen sobre ese precio de venta
sino efectos indirectos, en sentido contrario los unos y los otros se compensan hasta
cierto punto. El sistema de nuevas cantidades fabricadas y de los nuevos precios
de venta es por tanto más vecino del equilibrio que el anterior, y sólo basta con
continuar el tanteo para que se aproximen cada vez más”[28]
Esto es lo que técnicamente se conoce como condición de diagonal dominante. En
términos simples significa que el precio de las papas es más sensible a la variación
de las cantidades de papas que a las variaciones acumuladas de las cantidades de
todas las demás mercancías.
El tanteo se continúa bajo la hipótesis de diagonal dominante y al final, sobre el
mercado de bienes, se llega a la siguiente configuración:
Pe , P*s, Os, De, A. Donde Pe y De son vectores de equilibrio, para un vector P*s
fijado al azar.
Partiendo es esto se procede al tanteo sobre el mercado de servicios.
Los datos de partida son: Pe, P*s, Os, De, A.
De -------------A’De = Os --------------Os1
esta es la demanda de servicio.
Pe, P*s ---------Os = Fs (Pe, P*s) -------Os2 esta es la oferta de servicios.
No hay ninguna razón para que la demanda de servicios Os1 sea igual a la oferta
deOs2 servicios.
“Es necesario que las cantidades des servicios productivos compradas y vendidas
sean no solamente equivalentes sino iguales, puesto que son esas cantidades de
es servicios productivos las que deben entrar en la confección de los productos. Así,
ha llegado el momento de cerrar por así decir el círculo de la producción llevando a
la igualdad la oferta y la demanda de servicios”[29]
Para eso se debe liberar la variable que se ha mantenido fija, el precio de los
servicios productivos, P*s. Se mantienen fijos De y Pe.
Para De, Pe y P*s se puede tener que la oferta y la demanda de servicios sean
iguales:
A’De = Fs (Pe, P*s)
Sin embargo, usualmente serán desiguales y los precios de los servicios bajarán o
subirán según que su oferta exceda a la demanda o viceversa, hasta que se llegue
a un vector Ps que equilibre todos los mercados. Pero ahora que el mercado de
servicios está en equilibrio, el mercado de productos puede haberse modificado.
Walras asume en este punto una posición similar a la ya indicada con relación a los
efectos indirectos y directos tratados en el mercado de bienes.
La condición general de estabilidad, entendiendo por estabilidad el hecho de que
partiendo de un conjunto de precios cualquiera se llegue al conjunto de precios de
equilibrio, es la condición según la cual la diferencia entre la oferta y la demanda de
cualquier bien o servicio es más sensible a la variación de su propio precio que a la
variación acumulada de los precios de todos los otros bienes y servicios. Arrow y
Hahn han señalado el que esa condición se cumpla o no depende de la elección del
numerario. En efecto, afirmar que los excesos de oferta o demanda son más
sensibles a la variación de un precio que de todos los otros no es otra cosa que un
problema de elasticidades. Si el numerario cambia, las elasticidades precio de los
excesos de oferta o demanda frente a los diferentes precios van a cambiar.
Aunque queda por examinar el problema de la capitalización, lo expuesto hasta
ahora permite hacer, para concluir algunas reflexiones sobre la teoría de Walras.
VIII
Veamos, en primer lugar, el concepto de competencia. Escribe Walras:
“Este estado de equilibrio de la producción es, como el estado de equilibrio del
intercambio, un estado ideal, no real. (…) Pero es el estado normal en el sentido de
que es aquel hacia el cual las cosas tienden por ellas mismas bajo el régimen de
libre competencia aplicada tanto a la producción como al intercambio”[30]
Cuando se hace el tanteo sobre el mercado de productos los precios de venta que
aseguran el equilibrio del consumidor pueden ser diferentes de los costos de
producción. En ese caso, las cantidades se modifican por la acción de los
empresarios pues esa desigualdad equivale a la existencia de beneficios o pérdidas.
Todo el proceso competitivo reposa sobre el empresario. Este es el agente por el
cual se realiza la ley de la producción: la igualdad entre el precio de venta y el costo
de producción. Cuando los excesos de demanda desparecen y los precios se
igualan a los costos, es decir, al estado de equilibrio “podemos hacer abstracción
de los empresarios”, escribe Walras[31]. Pero hay un punto aún más interesante:
“Notemos sin embargo que si la multiplicidad de empresas conduce al equilibrio de
la producción, ellas no es teóricamente el único medio de alcanzar ese objetivo; un
empresario único que demandara los servicios cuando sus precios bajan y ofreciera
los productos cuando sus precios suben, y que restringiera la producción en caso
de pérdidas y la desarrollara siempre en caso de beneficios, obtendría el mismo
resultado”[32]
Esta es una conclusión formidable: para Walras la competencia es una condición
suficiente pero no necesaria para alcanzar el equilibrio de la producción y el cambio.
En ella se apoyará Oscar Lange para sustentar la viabilidad de una economía
centralizada en el debate sobre la viabilidad del socialismo con Mises.
El empresario es un agente económico diferente de todos los demás. Está definido
de tal manera que su diversidad no es un atributo significativo. Los demás agentes
económicos de diferencian por su función de utilidad y por los diversos capitales
que poseen. Los individuos se diferencian porque tienen diferentes cosas escasas
y útiles y tienen diferentes relaciones con esas cosas. El empresario escapa a esa
regla: no es un sujeto de ninguna riqueza. Está definido por una función.
Por eso es evidente que la ganancia del empresario es diferente de las de los otros
agentes. Su ganancia o pérdida es una magnitud objetiva que resulta de un cálculo
objetivo sobre magnitudes socialmente reconocidas: los precios: “El estado de
beneficio o pérdida del empresario – escribe Walras - resulta a todo instante de la
situación de sus libros y del estado de sus materias primas y productos en
inventarios”[33]. Las ganancias de los demás agentes son ganancias subjetivas,
ganancias de utilidad.
El subastador es también una figura bien singular. Lanza los precios, agrega las
ofertas y las demandas y, al equilibrio, desaparece como el empresario. Es una
figura ficticia que encarna las fuerzas del mercado.
La ley de costo de producción aparece, inicialmente, como la ley de una
organización económica particular la sociedad del mercado de libre competencia.
Sin embargo, puede ser aplicada en un mundo sin mercado de un empresario único.
Así, la regla cambia de significación: ya no es la ley de una organización social
particular sino una ley de comportamiento económico general. Es la ley de
comportamiento racional desde el punto de vista del valor.
Finalmente unas palabras sobre la noción de producción. El equilibrio de la
producción está definido por la igualdad entre los precios y los costos de producción.
El intercambio, por otra parte, es una relación de equivalencia, de equivalencia de
valor, y es al mismo tiempo la operación por la cual se modifica la forma material de
la riqueza. La producción es una forma del intercambio - donde intervienen de un
lado los productos y del otro los factores – también regida por la ley de la
equivalencia. La producción es un cambio de factores contra productos. Pero hay
más:
“Al estado de equilibrio de la producción podemos considerar no sólo los servicios
productores cambiándose contra los productos y los productos cambiándose contra
servicios productores sino también los servicios productores cambiándose a fin de
cuentas los unos contra los otros”[34]
Factores ------------------ productos ----------------factores
Valor de factores ---------valor de productos----------valor de factores
Esta concepción de la producción se opone a la concepción de los economistas
clásicos para quienes la producción se define sobre la base de un excedente. Lo
que los clásicos llaman producción, es la producción de un producto neto, el cual,
al mismo tiempo es la condición del capital. El capital es una forma del excedente
definido por la uniformidad de la tasa de beneficio.
En Walras el capital es definido por un excedente y un mercado en la economía. El
mercado de los capitales nuevos que son producidos más no utilizados en el
período: son excedente por tanto de la producción. La diferencia fundamental entre
la teoría clásica y la teoría de Walras reside en la teoría del excedente. Walras
analiza el excedente en términos de mercado, los clásicos lo analizan en términos
de distribución.
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[1] “….el modelo más avanzado de la teoría económica es, por supuesto, la versión
de Arrow-Debreu del equilibrio general walrasiano”. Hahn, Frank (1984) . Monnaie
et inflation. Economica, Paris, 1984. Página 23.
[2] Mas Collel, A. “The future of general equilibrium” Spanic Economic Review. 1,
207–214 (1999)
[3] Schumpeter, J.A. Diez grandes economistas: de Marx a Keynes. Alianza
Editorial, Madrid, 1983. Páginas 110 – 111.
[4] Walras, L. Éléments d’economie politique pure ou theorie de la richessa
sociale. Librerie genérale de droit et de jurisprudence. Paris, 1952. Página XX.
[5] Arrow, K.J. y Hahn, F.H. (1971,1977). Análisis generalcompetitivo. Fondo de
Cultura Económica, México 1977.
[6] Arrow y Hahn. Op. Cit. Página 9.
[7] Arrow y Hahn. Op. Cit. Página 14.
[8] Benetti, C. (1996). “La teoría del desequilibrio: una crítica y una propuesta” en
Ortiz, E. (editor). Teoría de los precios: avances en el debate
contemporáneo. Universidad Autónoma Metropolitana, México, 1996.
[9] Walras. Op. Cit. Página XI.
[10] Ídem. Páginas V-VI.
[11] Citado por Monsalve, Sergio. “Sobre la obra original de Walras”. Comunicación
presentada en la Primera Jornada de Historia del Pensamiento Económico.
Universidad EAFIT, Medellín, Octubre de 2009. Pág. 4.
[12] Ídem. Páginas 5 y 6.
[13] Walras. Économie Sociale. Citado por Foldvary, F.E. “The marginalits who
confronted land” en página 97.
[14] Ídem página 36.
[15] Ídem página 37.
[16] Se sigue el análisis presentado por Quirk, J. y Saposnik, R.
(1972). Introducción a la teoría del equilibrio general y a la economía del
bienestar. Antoni Bosch, Barcelona, 1972. Capítulo 3.
[17] Walras, L. “Économique et Mecanique”. Metroeconomica. Volume 12, Issue 1.
Febrero de 1960. Páginas 3-30.
[18] Walras. Éléments. Página 175 – 176.
[19] Walras habla de “capital foncier” cuyo servicio es la “rente” y su precio el
“fermage”; de “capital personel” con servicio “travaile” y precio “salaire” y de “capital
mobiliere” con servicio “profit” y precio “interet”. Aquí se abandonan estos nombres
porque se prestan a confusión.
[20] Walras. Op. Cit. Página 190.
[21] Walras. Op. Cit. Página 178.
[22] Walras. Op. Cit. Página 191.
[23] Walras. Op. Cit. Página 184.
[24] Walras. Op. Cit. Página 195.
[25] Walras. Op. Cit. Página 214.
[26] Walras. Op. Cit. Página 44 – 45.
[27] Walras. Op. Cit. Página 220.
[28] Walras. Op. Cit. Página 220 – 221.
[29] Walras. Op. Cit. Página 223.
[30] Walras. Op. Cit. Página 194.
[31] Walras. Op. Cit. Página 195.
[32] Walras. Op. Cit. Página 194.
[33] Walras. Op. Cit. Página 198.
[34] Walras. Op. Cit. Página 195.