EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS SEGUNDO BANCO 1. Un jugador tiene la siguiente estrategia de juego a la ruleta: él a puesta dos unidades monetarias al color rojo, si en el primer giro de la ruleta aparece un número rojo, él toma el dinero ganado y se retira del juego; si en el primer giro de la ruleta aparece un número negro o verde, él hace girar la ruleta dos veces más y apuesta cada vez tres unidades monetarias al color rojo y luego se retira del juego. Sea X la variable aleatoria que denota la fortuna del jugador. Calcular E(X) 2. (Dificil) Para financiarse sus estudios en la universidad, un joven ha decidido vender emparedados de jamón y queso a sus compañeros. El costo de elaboración de cada emparedado es de 500 pesos y el joven los vende a 1500 pesos. Sin embargo, los emparedades que no logra vender en un día, no los puede vender al día siguiente. Si la demanda diaria de emparedados es una varibale aleatoria con distribución binomial de parámetros n = 20 y p = 2/3 ¿Cuántos emparedodos debe elaborar diariamente para maximizar su ganancia diaria esperada? 3. Se lanza una moneda corriente tantas veces como sea necesario hasta obtener por primera vez “cara”. Sea X el número de lanzamientos requeridos. a. Calcular E(X) 4. (Difícil, solo para aquellos que se sientan bien con lo equivalente a cálculo vectorial) Sea X una variable aleatoria con distribución Poisson de parámetro 𝜆. Encontrar el valor de lambda para el cual P(X=k) sea máxima. 5. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p. Demostrar que: 1 1 − (1 − 𝑝)𝑛+1 𝐸( )= (𝑛 + 1)𝑝 𝑋+1 6. (Ejercicio de probabilidad que se puede hacer con V.A.) ¿Cuántos hijos debe tener una pareja para que, con probabilidad 0.95, ella tenga por lo menos un hijo y un hija. 7. (Me interesa mucho que sepan hacer ste ejercicios, OJO) En una cierta aerolínea se sabe por experiencia que el 5% de las personas que hacen una reservación no toman el vuelo. Por esta razón se aceptan 100 reservaciones aún cuando sólo se tienen 95 sillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que a todas las personas que se preseten a abordar el vuelo se les asigne una silla en el avión? 8. En una urna se encuetran N boletos de los cuales unos están premiados y otros no. Supóngase que cada boleto tiene, independientemente de los demás, probabilidad igual a p de ser ganador de un premio. Calcular la probabilidad de que el sexto boleto extraído sea el ganador del tercer premio. 9. (Muy difícil) En una masa para hacer pan se han mezclado M uvas pasas. Supóngase que se usa la totalidad de la masa para elaborar N panecillos. ¿Cuántas uvas pasas se deben utilizar para que con probabilidad 0.95 cada panecillo contengo por lo menos una uva pasa? 10. Un dado es lanzado 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad que el 6 salga exactamente 2 veces? 11. Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Si el único premio del sorteo es de 1800 euros, calcular el resutlado que debe esperar una persona que compra 3 billetes. 12. Una variable aleatoria discreta toma todos los valores enteros entre 0 y 4 con la siguiente función de densidad. X f(X) 0 0.3 1 0.25 2 0.25 3 0.1 4 0.1 a. Calcular su esperanza y varianza. 13. Suponiendo que es equiprobable el tener hijo o hija, determinar el número esperado de varanoes en una familia de ocho hijos, así como la probabilidad de que efectivamente resulte este número. 14. Un laboratorio farmacéutico encarga una encuesta para estimar el consumo de cierto medicamento que elabora, con vistas a controlar su producción. Se sabe que a lo largo de un año cada persona tiene una posibilidad entre mil de necesitar el medicamento, y que el laboratorio podrá vender una media de cuatro mil unidades del producto al año. Se pide hallar: a. Probabilidad de que el número de enfermos no exceda de cuatro por año. b. Probabilidad de que haya doce enfermos por año. 15. El recuento de glóbulos blancos de un individuo sano puede presentar un promedio en valor de hasta 6000 por milímetro cúbico de sangre. Para detectar una deficiencia de glóbulos blancos se determina su número en una gota de sangre de 0.001 milímetro cúbicos. ¿Cuántos glóbulos blancos cabe esperar en un individuo sano? ¿ Cuánto de raro sería encontrar un máximo de 2 glóbulos blancos? 16. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contienen 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de aduna selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero se arretado por porsesión de droga? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? 17. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 exploten? 18. (Algo difícil pero chevere) Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas: Se preparan cajas de 25 para embarque y se seleccionan una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno o más, la caja entera se regresa; sino se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embara. La compañía sabe que normalmente en un lote de 25 cajas, 2 estan defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? 19. Si la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05. ¿ Cuál es la probabilidad de que el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva? 20. Los registros de una compañía constructoria de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.2. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta compañía en un año dado sea el tercero en requerir reparaciones en un año?